均值不等式第二课时---公式变形及拓展
3.2均值不等式(2)基础
b a a b
b a b a 2 2 a b a b
当且仅当
b a 时，取 " " a b
即 a b 时，取 " "
1 1 变式 6 ：已知 a, b R ， a b 1 ，求 的最小值. a b
分析：
1 1 1 ”替换“ a b" 常数 ， 用“ a b
1 1 ab ab a b a b b a 1 1 a b
1 1 ab ab a b a b 解：法 1： b a 1 1 a b
b a 当且仅当 时，取 " " a b
b a 1 即 a b 时， y 的最小值为 4. a b 2
4 ( x) ( ) 4为常数 x
4 4 ( x) ( ) 2 ( x) ( ) 4 行吗？ x x
解： x 0, 0
4 x 4 2 (x ) x y 2 x
4 x
4 x 4 2 (x ) x y 2 x
分析： x
1 常数 , 凑配成常数 x2
解： x 2
x 2 0, 4 0 x2
当且仅当 x ( x 2) 2 x2 x2
4 2 42 2 x2
取 " " ,即 x 0 时， ymin 2
变式 7 ：已知 a, b R ， a 2b 1 ，求 的最小值.
解：法 1:
1 1 a 2b a 2b a b a b 2b a 1 2 a b
1 1 a b
法 2 ： a, b R ， a 2b 1 ，
1 1 1 2 a b ab
第二章 2.2 2.2.4 第二课时 均值不等式的应用
第二课时 均值不等式的应用课标要求素养要求掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0).结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.通过学习均值不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.教材知识探究(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？提示 这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定，即长x 与宽y 的和一定，求xy 的最大值，xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝252＝625，当且仅当x ＝y ＝25时取等号，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x 与宽y 之和最小值，x ＋y ≥2xy ＝210 000＝200，当且仅当x ＝y ＝100时取等号，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省.1.均值不等式与最大(小)值 口诀：和定积最大，积定和最小两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(1)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(2)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2.均值不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.教材拓展补遗[微判断]1.对于实数a ，b ，若a ＋b 为定值，则ab 有最大值.(×) 提示 a ，b 不一定为正实数.2.对于实数a ，b ，若ab 为定值，则a ＋b 有最小值.(×) 提示 a ，b 不一定为正实数.3.若x >2，则x ＋1x 的最小值为2.(×)提示 当且仅当x ＝1时才能取得最小值2，故x >2时，取不到最小值2. [微训练]1.已知正数a ，b 满足ab ＝10，则a ＋b 的最小值是________. 解析 a ＋b ≥2ab ＝210，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立. 答案 2102.已知m ，n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是________.解析 由m 2＋n 2≥2mn ，∴mn ≤m 2＋n 22＝50.当且仅当m ＝n ＝±52时等号成立. 答案 50 [微思考]1.利用均值不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？ 提示 利用均值不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.2.已知x ，y 为正数，且1x ＋4y ＝1，求x ＋y 的最小值. 下面是某同学的解题过程：解：因为x >0，y >0，所以1＝1x ＋4y ≥2×2xy ＝4xy ，所以xy ≥4.从而x ＋y ≥2xy≥2×4＝8.故x ＋y 的最小值为8. 请分析上面解法是否正确，并说明理由. 解 这个同学的解法是错误的.理由如下：上述解法中连续使用两次均值不等式，但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当1x ＝4y ＝12，即x ＝2，y ＝8时，等号成立；第二个不等式当且仅当x ＝y 时，等号成立，因此x ＋y 不能等于8.正解 x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4＝y x ＋4x y ＋5≥2·y x ·4x y ＋5＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1，y x ＝4x y ，即x ＝3，y ＝6时，等号成立.故x ＋y 的最小值为9.题型一 利用均值不等式求最值注意均值不等式成立的条件，且等号能否取得 【例1】 (1)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (2)设x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值. 解 (1)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立.∴x ＋4x －2的最小值为6.(2)法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋（2x －16）＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2（x －8）×16x －8＋10＝18， 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立. ∴x ＋y 的最小值是18.法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy ＋10≥108y x ·2xy ＋10＝18，当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立. ∴x ＋y 的最小值是18.规律方法 利用均值不等式求最值的策略【训练1】 (1)若x <0，求y ＝12x ＋3x 的最大值； (2)若x >1，求y ＝1x －1＋x 的最小值. 解 (1)因为x <0，所以y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋（－3x ）≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ·（－3x ） ＝－12，当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时等号成立，所以y 的最大值为－12. (2)因为x >1，所以x －1>0，y ＝1x －1＋x －1＋1≥ 2（x －1）·1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立，所以y的最小值为3.题型二 利用均值不等式解决实际应用问题【例2】 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解 (1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1).(2)因为8010⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100， 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米. 规律方法 利用均值不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.【训练2】 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解 设该厂每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨. 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1). 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x ＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. 题型三 均值不等式的综合应用均值不等式应用的关键是获得定值的条件，解题时需灵活地选择方法 【探究1】 已知x >0，y >0且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为________. 解析 法一 (1的代换)： 因为1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . 因为x >0，y >0，所以y x ＋9xy ≥2y x ·9xy ＝6，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x ①时，取“＝”. 又1x ＋9y ＝1，②解①②可得x ＝4，y ＝12.所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法二 (消元法)：由1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.因为x >0，y >0，所以y －9>0.所以x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10≥2（y －9）·9y －9＋10＝16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时，取“＝”，此时x ＝4， 所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法三 (构造定值)：因为x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，所以x >1，y >9.由1x ＋9y ＝1，得y ＋9x ＝xyxy －9x －y ＋9－9＝0(x －1)(y －9)＝9(定值).所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝2×3＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时取等号，所以x ＋y 的最小值是16. 答案 16【探究2】 已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8D.7解析 因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0，所以要使2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，只需m ≤(2a＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b时，等号成立，所以m ≤9. 答案 B【探究3】 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 解析 ∵a ＞0，b ＞0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3，即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)【探究4】 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________. 解析 正数x ，y 满足x ＋y ＝1， 即有(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋x ＋2y ＋1＋4（y ＋1）x ＋2≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2x ＋2y ＋1·4（y ＋1）x ＋2＝14×(5＋4)＝94，当且仅当x ＝2y ＝23时，取得最小值94. 答案 94规律方法 利用均值不等式求条件最值的常用方法(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用均值不等式求最值. (2)构造法：①构造不等式：利用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，将式子转化为含ab 或a ＋b 的不等式，将ab ，(a ＋b )作为整体解出范围；②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用均值不等式求最值.(3)函数法：若利用均值不等式时等号取不到，无法利用均值不等式求最值时，则可将要求的式子看成一个函数求最值.【训练3】 (1)已知2a ＋b ＝1，a >0，b >0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.2 2 B.3－2 2 C.3＋2 2D.3＋ 2(2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值是( ) A.3＋2 2 B.3－2 2 C.6－4 2D.6＋4 2解析 (1)1a ＋1b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时，等号成立.∴1a ＋1b 的最小值是3＋2 2.(2)1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c )＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc ≥4＋2 2b a ·a b＋2c a ·a c ＋2c b ·2bc ＝6＋42，当且仅当2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2bc 即a ＝c ＝2－22，b ＝2－12时，等号成立. 答案 (1)C (2)D一、素养落地1.通过运用均值不等式求最值，培养数学运算及逻辑推理素养，通过运用均值不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养.2.利用均值不等式求最值(1)利用均值不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件. (3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的. 二、素养训练1.当x >0时，12x ＋4x 的最小值为( ) A.4 B.8 C.8 3D.16解析 ∵x >0，∴12x >0，4x >0. ∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝83， 当且仅当12x ＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，12x ＋4x 的最小值为8 3. 答案 C2.已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为( ) A.－12 B.－1 C.2D.0解析 ∵x >－2，∴x ＋2>0，∴x ＋1x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－2≥2（x ＋2）·1x ＋2－2＝0，当且仅当x ＝－1时“＝”成立. 答案 D3.已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝2，那么xy 的最大值是________. 解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ＝2≥22xy ，∴2xy ≤1， ∴xy ≤12，当且仅当x ＝2y 即x ＝1，y ＝12时“＝”成立. 答案124.若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，则a 的取值范围是________. 解析 x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0，＋∞)恒成立ax ≤x 2＋1，x ∈(0，＋∞)恒成立a ≤x＋1x ，x ∈(0，＋∞)恒成立. ∵x ∈(0，＋∞)，x ＋1x ≥2，∴a ≤2. 答案 (－∞，2]5.已知x >0，y >0，a >0，b >0，a ，b 为常数且满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，取“＝”的条件为bx y ＝ayx ，此时x ＋y 的最小值＝(a ＋b )2＝18，即a ＋b ＋2ab ＝18.① 又a ＋b ＝10.②联立①②有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.基础达标一、选择题1.若x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A.1＋ 2B.2C.3D.4解析 ∵x >1，∴x 2－x ＋1x －1＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立. 答案 B2.已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值是( ) A.18 B.16 C.8D.10解析 ∵x >0，y >0且8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝x y ，即x＝12，y ＝3时，等号成立. 答案 A3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处D.2千米处解析 设仓库与车站的距离为d ，则y 1＝k 1d ，y 2＝k 2d ，由题意知2＝k 110，8＝10k 2，∴k 1＝20，k 2＝0.8.∴y 1＋y 2＝20d ＋0.8d ≥216＝8，当且仅当20d ＝0.8d ，即d ＝5时，等号成立.选A. 答案 A4.设计用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m ，则车厢的最大容积是( ) A.(38－373) m 3 B.16 m 3 C.4 2 m 3D.14 m 3解析 设车厢的长为b m ，高为a m.由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32，即b ＝16－2a a ＋1，∴V ＝a ·16－2a a ＋1·2＝2·16a －2a 2a ＋1.设a ＋1＝t >1，则V ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫20－2t －18t≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫20－22t ·18t ＝16，当且仅当2t ＝18t ，即t ＝3时取“＝”，此时a ＝2.故选B. 答案 B5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为( )A.10 mB.20 mC.30 mD.40 m解析 设矩形的另一边长为y .由三角形相似得x 40＝40－y40，其中0<x <40，0<y <40，∴40＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝20时，矩形的面积取得最大值.故选B. 答案 B 二、填空题6.设x >－1，则（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值是______.解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0， 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有（x ＋5）（x ＋2）x ＋1＝（t ＋4）（t ＋1）t＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，（x ＋5）（x ＋2）x ＋1取得最小值9.答案 97.已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________. 解析 根据题意，3a ＋b ＝2ab32b ＋12a ＝1，则a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32b ＋12a (a ＋b )＝2＋3a 2b ＋b 2a ≥2＋23a 2b ·b 2a ＝2＋3，当且仅当b ＝3a 即a ＝3＋12，b ＝3＋32时等号成立， 则a ＋b 的最小值为2＋ 3. 答案 2＋ 3 8.若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.解析 因为x >0，所以x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x ＋3＝15.当且仅当x ＝1时，等号成立， 所以x x 2＋3x ＋1的最大值为15.所以a ≥15. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ≥15三、解答题9.(1)若x >0，求y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值； (2)设0<x <32，求y ＝4x (3－2x )的最大值. 解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x 时， 即x 2＝4，x ＝2时取等号.∴y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4. (2)∵0<x <32，∴3－2x >0， ∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ， 即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32的最大值为92. 10.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解 设底面的长为x m ，宽为y m ，水池总造价为z 元. 根据题意，有z ＝150×4 8003＋120(2×3x ＋2×3y ) ＝240 000＋720(x ＋y ).由容积为4 800 m 3，可得3xy ＝4 800. 因此，xy ＝1 600.故z ＝240 000＋720(x ＋y )≥240 000＋720×2xy ＝240 000＋720×2 1 600＝297 600， 当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝40时，等号成立.所以，将水池的底面设计成边长为40 m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.能力提升11.已知x ，y 都是正数.(1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y 的最小值. 解 (1)∵3x ＋2y ＝12，∴xy ＝16·3x ·2y ≤16×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y 22＝6，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝2，y ＝3时，等号成立. ∴xy 的最大值为6.(2)∵x ＋2y ＝3，∴1＝x 3＋2y3， ∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2y 3＝13＋23＋x 3y ＋2y 3x≥1＋2x 3y ·2y 3x ＝1＋223，当且仅当x 3y ＝2y3x ，即x ＝32－3，y ＝3－322时取等号， ∴1x ＋1y 的最小值为1＋223.12.某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2020年日本东京奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件.已知2020年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用.若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完.(1)将2020年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数.(2)该企业2020年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 解 (1)由题意可设3－x ＝k t ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1.当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32(3－2t ＋1)＋3. 当销售x (万件)时，年销售收入为150%[32(3－2t ＋1)＋3]＋12t .由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝150%⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t －⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3－t ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）(t ≥0).(2)y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42(万元)，当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y 取最大值42万元，∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大。
均值不等式公式推导
均值不等式公式推导一、均值不等式的内容。
对于任意正实数a、b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
1. 方法一：作差法。
- 对于正实数a、b，考虑(a + b)/(2)-√(ab)的值。
- 对(a + b)/(2)-√(ab)进行变形：- (a + b)/(2)-√(ab)=(a - 2√(ab)+b)/(2)。
- 进一步将分子变形为完全平方式，即a - 2√(ab)+b = (√(a)-√(b))^2。
- 因为a、b是正实数，所以(√(a)-√(b))^2≥slant0，当且仅当√(a)=√(b)（即a = b）时，(√(a)-√(b))^2 = 0。
- 所以(a + b)/(2)-√(ab)=((√(a)-√(b))^2)/(2)≥slant0，即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
2. 方法二：几何法（以直角三角形为例）- 设直角三角形的两条直角边分别为a、b（a>0,b>0）。
- 根据直角三角形的面积公式，其面积S=(1)/(2)ab。
- 以a + b为斜边构造一个直角三角形，斜边上的高为h，根据三角形面积公式S=(1)/(2)(a + b)h。
- 由于这两个三角形面积相等，所以(1)/(2)ab=(1)/(2)(a + b)h，则h=(ab)/(a + b)。
- 根据直角三角形斜边大于直角边的性质，有(a + b)/(2)≥slant h（当且仅当a = b时取等号）。
- 把h=(ab)/(a + b)代入可得(a + b)/(2)≥slant√(ab)（这里是因为((a + b)/(2))^2≥slant ab，两边同时开方得到(a + b)/(2)≥slant√(ab)）。
课件5：§3.2 均值不等式
解法二：∵0＜x＜13，∴13－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2＝112， 当且仅当 x＝13－x， 即 x＝16时，等号成立． ∴x＝16时，函数取最大值112.
变式训练 2：已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________． 【解析】∵t>0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥2－4＝－2， 当且仅当 t＝1t ，即 t＝1 时，等号成立.
变式训练 1：某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第
三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( )
A．x＝a＋2 b
B．x≤a＋2 b
C．x＞a＋2 b
D．x≥a＋2 b
【解析】∵这两年的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b ＝1＋a＋2 b，∴x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．
【答案】6 4
4．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab. ∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， ∴( ab)2－2 ab－3≥0， ∴ ab≥3 或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9.
【答案】[9，＋∞)
5．a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． 解：∵a>0，b>0，1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba≥10＋2 ba·9ba＝10＋2×3＝16. 当且仅当ba＝9b，即 b2＝9a2 时等号成立．
均值不等式教案2（共5篇）
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
高中数学第三章不等式3.2均值不等式2课件新人教B版必修5
2019/9/14
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
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4
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
1
2
6
变式1、求函数 f (x)
相x应的
x4x值2 2。(x
0)的最大值以及
解：
x2
1
1
f (x)
x4
2
x2
2 x2
2
2
2 4
x 4 2, f (x)max
2 4
变式2、求函数 f (x) x2 x 4 (x 1)
的最大值以
x x1
及相应的 值。
求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此时点 P 坐标。
2 (1, 2)
2、已知
x
2,
y
4,
xy
32，求
log2
x 2
log2
y 4
的最大值，以及相应的 x, y值。
第3章-3.2-第2课时均值不等式的应用
2 1 ∴f(x)≤2＝1，当且仅当 x＝x ，即 x＝1 时等号成立．
(1)应用均值不等式需注意三个必要条件：即一正、二定、三 相等． 在具体的题目中， “正数”条件往往易从题设中获得解决， “相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设 计为一个难点， 它需要一定的灵活性和变形技巧． 因此， “定值” 条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解题成败的关键． (2)常用构造定值条件的技巧变换： ①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本 不等式．
x y 当且仅当 4· y＝x，即 y＝2x 时等号成立．
1．利用均值不等式求最值必须满足“一正、二定、 三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定 值，和有最小值． 2．使用均值不等式求最值时，若等号取不到，则考 虑用函数单调性求解． 3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数 量关系，抽象出数学模型，利用均值不等式解应用题，既 要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义.
教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源
第 2 课时 均值不等式的应用
●三维目标 1．知识与技能 巩固均值不等式的简单应用． 2．过程与方法 能灵活构造均值不等式求最值成立的三个条件． 3．情感、态度与价值观 通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态 度，勇于提出问题、分析问题的习惯．
【解】
a 由题意知，12＝11＋ ，解得 a＝9. 11－2
9 所以函数 f(x)＝x＋ . x －2 9 9 又 f(x)＝x＋ ＝x－2＋ ＋2 x－2 x－2 ≥2 9 x－2× ＋2＝8(x＞2)． x－2
《均值不等式》课件
05式
总结词
广义均值不等式是对于任意非负实数，其算术平均数总是大于或等于其几何平均数。
详细描述
对于任意非负实数 $x$ 和 $y$，有 $frac{x+y}{2} geq sqrt{xy}$。这个不等式在数学和物理中有广泛的应用，特 别是在优化和不等式证明中。
证明
利用切比雪夫不等式的定义和放缩技巧，通过代数变换和数学归纳法，可以得到上述不等式成立。
04
均值不等式的应用
在最优化问题中的应用
均值不等式可以用于解决最优化问题，例如最大值和最小值问题 。通过应用均值不等式，可以找到函数的最优解，使得函数取得 最大或最小值。
均值不等式在解决最优化问题时，可以提供一种有效的数学工具 ，帮助我们找到最优解，并理解函数的性质和行为。
均值不等式的数学符号表示
• 均值不等式的数学符号表示为：对于任意正实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时等号成立。
详细描述
均值不等式的可加性是指，如果一组 数$a_1, a_2, ..., a_n$都大于等于0， 那么这组数的算术平均数大于等于它 们的平方和的几何平均数。
均值不等式的乘除性
总结词
如果$a > 0, b > 0$，那么$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$；如果$a > 0, b < 0$，那么$frac{a+b}{2} < sqrt{ab}$。
【精品】人教B版高中数学必修五第三章不等式3.2均值不等式20171206411
(3)若实数
a,b
满足1
������
+
2 ������
=
������������,则 ab 的最小值为 2 2. (
)
(4)当 a>0,b>0 时,有不等式1������+21������ ≤
������������
≤
������+������ 2
≤
������2+2 ������2成立.
()
答案:(1)× (2)× (3) (4)
3.2 均值不等式
-1-
1.1.1 正弦定理
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课标阐释
思维脉络
1.了解均值不等式的证明过程,理 解均值不等式成立的条件,等号 成立的条件及几何意义. 2.会运用均值不等式解决最值、 范围、不等式证明等相关问题. 3.掌握运用均值不等式a+2b ≥
ab(a,b>0)求最值的常用方法及 需注意的问题.
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课堂篇 合作学习
-2-
1.1.1 正弦定理
一
二
三
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课课前前篇篇 自自主主预预习习
一、重要不等式
【问题思考】
1.填空: 对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 2.怎样比较 a2+b2,(������+2������)2,2ab 三者的大小关系?
提示:a2+b2≥(������+2������)2≥2ab,当且仅当 a=b 时等号成立.利用作差 法即可证明.
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均值不等式课件
汇报人： 2024-01-01
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的习题与解析
01
均值不等式的定义
定义及公式
定义
均值不等式是数学中的一个基本概念 ，它表示对于任意正实数，其算术平 均值总是大于或等于其几何平均值。
公式
对于任意正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$， 有 $frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1 cdot a_2 cdot ... cdot a_n}$。
适用条件
正实数
均值不等式只适用于正实数，因 为当数不是正数时，算术平均值 和几何平均值的比较关系就不一
0$，$b > 0$。
进阶习题3
求证$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{4}$，其
中$a > 0$，$b > 0$。
高阶习题与解析
高阶习题1
求证$frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$，其中$a_1, a_2, ldots, a_n > 0$。
M-GM不等式的推广形式
对于非负实数，算术平均数始终大于或等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号 。
应用场景
在解决最值问题、求函数极值、证明不等式等方面有广泛应用。
柯西不等式的推广
柯西不等式的推广形式
对于任意的正实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2，当且仅 当ai/bi = const.时取等号。
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ab (2) (a，b∈R+)； ab 2
2 2 2
b a (3) 2 (ab＞0)； a b
a b ab (4) (a，b∈R). 2 2
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取 值要求.
要点分析
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，
(B)乙车先到达B地
(D)不能判定
练习:一件商品,初始定价为a元,甲采用先打P折,再打Q 折的方式促销,乙直接采用打(P+Q)/2的方式促销,问最 终哪个商家的售价更低?
【例2】
.直角三角形的周长为L,求其面积S的最大
值
典型题选讲
【例3】某单位决定投资3200元建一仓库(长方 体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱， 正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖， 每米长造价45元，顶部每平方米造价20元， 试算： (1)仓库面积S的最大允许值是多少？ (2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算， 那么正面铁栅应设计为多长？
( S 16)( S 10) 0
S 100
因此S最大允许值是100米2，取得此最大值的条件是 40x=90y而xy=100，由此求得x=15，即铁栅的长应 是15米。
2ab ab a 2 b2 则: ab ab 2 2
其中当且仅当a＝b时取等号.
要点分析
3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常 数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点： “一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完 全具备时，应创造条件.
4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值. (1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值 2 p； 1 2 (2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 s. 4
知识扩充
2、常见均值拓展.
2 ab a b 当a、b∈R+时，1 1 2 a b
a 2 b2 2
D
关于算术平均数与几 何平均数的大小关系 的几何解释
如图,取AC=a,CB=b,以a+b为直径作 圆,作DC垂直AB于C,
A C
B
交圆一点D,思考:DC=
?
要点分析
1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数”的定理.了解它的变式： (1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)；
误区点击！！！
以下题目你等式应用举例
.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度为a，另一半时 间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路 程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b， 则两车到达B地的情况是( ) A
【例1】
(A)甲车先到达B地
(C)同时到达
典型题选讲 解析:用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由 题意翻译数量关系。 设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有：S=xy
由题意得40x+2×45y+20xy=3200
3200 2 40 x 90 y 20 xy 120 xy 20 xy 120 S 20S
S 6 S 160
§6.2 算术平均数与几何平均数
(第二课时)
学习目的:
1.掌握均值不等式的常见变形应用.
2.注意对均值不等式应用条件的判断. 3.会有均值不等式求实际问题的最值
知识扩充
1、定义：n个正数a1a2…an的算术平均数 a1 a2 an 为: n n 其几何平均数为： a a a
1 2 n