极限思想在高中数学中的应用
极限思想在高中数学中的应用
作者：谈家国
来源：《中学生数理化·教与学》2014年第08期
极限思想是古人很早提出的一种设想.中国的古人曾经提出如果知识是无穷尽的，而人们所知是有穷尽的，假设人不受生、老、病、死的限制，那么人是否能够获得无限的知识？人们意识到无限的思想以后，就意识到如果不确定某个值，就选取一个最接近于它的值，并用这种值描述它的趋势，这种思想构建了现代微积分知识的基础.
古时候，人们有时会无意识地应用这种知识.
例如，中国古代有本书，讲述这样一则故事.有一个牧羊人，他有17只羊，又有3个儿子，他依照村规把一半的财产分给大儿子，又将剩下三分之一的财产分给二儿子，剩下九分之一财产分给三儿子.可是人们发现17只羊没有办法完整的分配.这时有位智者，他将自己的1只羊放进17只羊中，即为18只羊，那么老大得到9只羊，老二得到6只羊，老三得到2只羊，剩下1只羊智者自己带回家.古时人们夸赞这种分配方法非常公平，然而现在人们可以看到，它是利用了极限的方法，让分配的方法尽可能地合乎当初预定的结果.这种分配方法与现代微积分的知识是不谋而合的.
极限的思想，即为一种无限接近于精准答案的思想，这种在精准答案不确定的的情形下，应用最接近于精准答案的思路，能够解决人们的很多数学问题.高中教师要引导学生理解到极限思想的最大应用价值.
一、应用极限思想解决无限的问题
所谓无限的问题是指人们需要求取一个数值，而这个数值求取的过程非常烦琐，人们如果穷举这个范围内所有的数值将会非常困难.但是如果人们有无限的思想，则可以就用无限接近的思想给出这个范围内最大的一个极限和一个最小的极限，则人们不需要穷举范围内所有的数值，直接可以判断该范围.
例如，在讲“解析几何初步”时，教师引导学生思考：已知一个锐角三角形，它的边AC已固定，BC=1，现B点在以C为圆心，半径为1的圆周上做运动（图略），求取AB的极限范围.
分析：如果这一题用普遍的方法计算，学生会把计算过程变得非常烦琐.然而如果学生能用数形结合的思想思考圆周运动的定义，则可迅速通过计算AB的取值范围直接得到答案为（3，5）.
二、应用极限思想解决逼近的问题
所谓逼近的问题是指人们遇到某种问题时，需要了解它的取值，然而这种取值是没有精确答案的，人们于是使用极限的思想，尽可能取出与该精准值最接近的一个答案，它即为该问题的最终答案.这种逼近的问题能帮助人们尽可能的解决不可能解决的问题.
三、应用极限思想解决决策的问题
所谓的概述问题是指人们在统计或计算中，需要了解某种数值.这种数值人们如果要精准的计算，常常会得出不必要的循环小数，而在实践生活中人们不需要特别精准的答案，只需要一个大概的数值帮助自己决策，因此可以用极限的思想把一此过于复杂的计算与统计全部省略，得到人们需要的大概数字.
例如，在讲“算法初步”时，教师可以引导学生思考：现在某凉茶公司出售一瓶饮料，它的售价为2元，顾客可以拿五只空瓶换一瓶饮料，如果该饮料成本为1元，使用该种销售方法，每瓶厂家可得到的毛利为多少？
分析：学生如果能理解极限的思想，就可理解到x空瓶能换x5瓶凉茶，以此类推，它能再次换回x52瓶，如果以极限的思想计算，则可将它的公式列为：x+x5+x52+…=limn→∞x（1-x5n）1-15=5x4，则每瓶凉茶的价格为2x5x4=85=1.6，最终可得利润为6角钱.极限思想能帮人们化繁为简，解决实践生活中的一些问题，实际上那位古老的卖羊故事即利用极限思想完成该类问题.
从以上的极限思想应用中可以看到，实际上极限思想拥有以下几种思想：无穷大的思想，它是指用一种数学方式描述出一种事物的趋势，人们可能不了解这件事情的极限，但是人们可以掌握该事物的趋势，并在该趋势范围内选取人们需要的一个范围，它能避免人们无穷列举的问题；无穷小的思想，它是指人们需要精准的掌握一件事物，然而这件事物几乎不可能让人们精准的了解或描述，因此人们用无限小的思想尽可能地选取最接近于精准答案的那个答案，它能避免人们无法精神描述的问题；辅助决策的思想，这是指人们在决策一件事物时，人们有时无法作准最精密无误的决策，然而人们却又必须解决决策的问题，所以人们寻找一个能帮助自己决策的答案，这个答案能接近于人们需要的这个目标.
微积分是目前高中学生需要学习的数学知识，学生在学习微积分时，常常会感觉到微积分知识复杂，他们觉得学习那么复杂的事物不知道能解决什么问题，教师要引导学生理解到无限思想应用的方法，当学生理解到无限思想的巨大用处时，就会对学生微积分知识产生兴趣.。
极限思想在高中数学中的应用开题报告
极限思想在高中数学中的应用开题报告开题报告数学与应用数学极限思想、地位和应用一、综述本课题国内外研究动态，说明选题的依据和意义极限是分析数学中最基本的概念之一,极限思想是数学中极为重要的思想。
极限一词从词源上讲含义是表示一个不可超越的限度,含有限制的意思。
数学中的"极限"在一定方面也有这个意思,但不完全是,更广地,如有"无穷逼近"之意。
在数学领域"极限"是有严格定义的,用以描述变量在一定的变化过程中的极限状态,它的建立是数学发展史中的一个重要转折点,它将初等数学扩展为变量数学,此后抽象空间中各类收敛性,也都是极限思想方法的运用和拓广。
而"极限"有其漫长的历史,历史上的数学家花了两千余年的时间将其概念完善和严密化。
古代朴素的,直观的极限思想是随着无限观的产生而产生的,古希腊的"穷竭法"、阿基米德圆周率计算、刘徽的割圆术等,无不含有朴素的极限思想的雏形,也揭示了极限概念的萌芽时期。
古朴的极限思想主要指通过整体细分,按照其中一种规律或发展趋势逼近终极状态近似获得整体值的一种思想。
希腊人的"穷竭法",从外推思想直观猜测出"两个圆的面积之比等于它们的直径（或半径）的平方之比",因为通过作两个圆的内接正多边形的面积之比,总是等于两个圆的半径的平方之比,所以外推"在终极的情况下"也应如此,即对于两个圆的面积,同样的结论也是成立的,这其中就蕴含有极限逼近思想。
希腊人在穷竭思想下发展的证明方法是严格的,并不是大致近似或是严格极限概念的其中一步,它根本不含明确的极限思想,仅依赖于间接证法，双归谬法,这样就避免了用到极限。
实际上欧几里得在面积和体积方面的工作比牛顿和莱布尼茨在这方面的工作严密可靠,因后者试图建立代数方法和数系并且想用极限概念。
但我们也能看到,双归谬法的确遏制了穷竭思想向极限思想的发展,远离了向严格极限发展的方向,将难处理的涉及无限的东西通过反证归谬给化解了。
极限思想在高中数学中的应用
教学实践JIAOXUESHIJIAN极限思想在高中数学中的应用广西壮族自治区北海市北海中学宁德芬【摘要】极限思想作为社会实践的产物，其渊源甚至可以追溯到古代。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，再确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到结果。
在高中数学的学习过程中，极限思想可以给学生提供一条意想不到的解题思路,让原本烦琐的题目以相对简易的方式求得答案。
本文将围绕可以运用极限思想的几道例题阐述极限思想在高中数学中的妙用。
【关键词】极限思想高中数学解题思路一、极限思想对部分求范围的题目有奇效在解决高中数学选择题时,极限思想是必须掌握的一种解题技巧，它本质上是特殊值法的延伸，利用极限思想来解决小题不仅可以透析题目的深刻本质,还可以达到化繁为简的目的。
1.已知定义在(-8,+8)上的函数/(%) = [(3;1)%-4：严<1,是减函数，那么a的取值范围是Uog,%),%>1()。
A.(0,1)B.(0,1/3)C.(1/7,1/3)D.(1/7,1)解析:本题的关键在于讨论函数在分界点x=l的领域内，使得(3a-l)%-4a>log必，即前者图象在后者之上,然后再结合图象去求a的取值范围。
此时,利用极限思想就可以很快地确定满足这一条件下的a的取值范围，之后交集范围便是题目所求。
而又因为/(%)在R 上的减函数，所以解得l/7<a<l/3，故选择C o从这道题中，我们显然可以看到极限思想帮助我们省去不少烦琐的计算过程,而是透析这道题所求范围的本质,从而达到了快速高效解题的目的。
所以,充分掌握极限思想,并在做题时时刻保持对数学思想的“敏锐嗅觉”，将会成为解题制胜的一大法宝。
二、极限思想能处理复杂的无穷等比数列问题极限本质上是从微积分中剥离出来的基本概念，它从数量上描述变量在变化过程中的一种状态或者趋势,而我们知道无穷等比数列中,g代表了该数列的变化规律，所以克制无穷等比数列是按照特定规律g变化的一种不定状态。
极限思想在高中数学解题中的应用
极限思想在高中数学解题中的应用摘要：极限思想在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。
在高中数学解题中,教师应渗透有关极限思想的教学,让极限思想进入学生数学思维领域，其次学生需善于总结发现运用极限思想解决相关题型。
下面就如何让极限思想应用于解高中几大类型题目,展开叙述。
关键词：极限思想；解题；应用；一、在日常教学中渗透,逐步形成认知在高中阶段,许多知识和方法和“无限趋近”相关﹐如区间的无穷远处、数列的项数﹑柱锥台之间的关系、函数图像的渐进线、曲边图形的面积及曲线的切线等。
因此,教师要在日常教学中进行渗透,让学生逐步形成对它的认知。
教科书这样呈现区间表示:实数集可以用区间表示为。
我们可以把满足, ,,的实数的集合分别表示为,,,。
二、在概念教学中渗透,深化理解与认识教科书虽然没有正面提及极限的概念,但是在导数的定义中,已经很紧密地把导数和极限概念关联在一起了。
当时，(为常数),把称为在点的导数,记作。
在这里,“无限趋近”的实质就是高等数学中的极限概念﹐实际教学中教师通常是借助导数的几何意义来帮助学生理解“无限趋近”,让学生直观地体验“无限趋近”,然后引导学生逐步认识“无限趋近”在解题中的作用。
三、在优化解题中渗透,体验巧妙解题的魅力数学思想的魅力在于能巧妙运用,优化解题思路，提升解题效率。
极限思想也不例外,它在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。
尤其在解决带参数的超越函数的零点问题上,可利用参变量分离方法和极限思想对所构造超越函数的图像进行定位,从而避开繁杂的讨论,大大优化解题过程。
1.极限思想在立体几何中的应用立体几何很考验同学们的空间想象和计算能力，同学们一般会花费大量时间解答这类题,但如果能够恰当地运用极限思想,就可以将复杂图形简单化,计算也随之变得容易。
例1、圆台的上底面和下底面的半径分别是和,作一个平行于圆台底面的截面将圆台分为体积相等的两部分,则截面圆的半径为（）。
极限思想在中学数学教学中的应用
极限思想在中学数学教学中的应用极限思想是一种重要的数学思想方法，在中学数学教学中运用极限思想，有助于学生对数列、定积分等复杂问题的理解，提高學生解决相关数学问题的能力。
如何引导学生掌握和应用极限思想，是中学数学教学中要认真思考的问题。
文章简单介绍了极限思想的内涵及在中学数学中的意义，并举出具体例子说明其在实际问题中的应用，以期提高学生的数学思维和解题能力。
标签：极限思想；中学数学教学；应用一、极限思想概述极限思想考察当变量按某种方式变化，譬如变量趋于无穷大或者趋于某一定值时，研究对象最终的变化趋势和趋向的唯一数值；是通过极限的概念，对研究对象从有限拓展到无限，从对常量的研究逐渐转化为对变量的研究，来分析和解决问题的一种思想方法。
二、极限思想在中学数学中的作用1.有利于提高数学思维能力新课标强调对学生数学思维能力和数学素养的培养。
教师通过极限思想教学的渗透，可让学生的思维从有限发散到无限，理解无限逼近的意义，掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的思想方法，学会将极限思想应用到其他数学问题的学习和解决当中。
2.有利于解决复杂数学问题教学中灵活渗透极限思想，能降低问题难度，理顺解题思路，提高解题的效率和质量。
例如，求曲边梯形的面积，首先插入分点分割曲边梯形，每个小曲边梯形可近似看成小矩形，这些小矩形的面积和近似等于曲边梯形的面积，分划不同，得到的矩形面积和也不同，当分划足够细时求出极限从而得到曲边梯形面积。
利用这种极限思想，还能解决众多数学问题，如平面曲线的弧长问题。
3.有利于和大学数学知识衔接高等数学的许多概念和方法与极限密切相关，中学教学中让学生掌握极限思想方法，能促进中学与大学数学知识的衔接，为高等数学学习奠定基础。
三、极限思想在中学数学教学中的应用1.极限思想在函数中的应用函数是中学数学教学中的重要内容，贯穿于中学数学的始终，是变量数学的基础。
解决函数问题，可以充分利用极限思想。
通常可以用反函数的方法进行解答，答案为D，由于是选择题，也可以采用极限思想，迅速判断出大致范围，提高解题效率。
例说极限思想在数学解题中的妙用
例说极限思想在数学解题中的妙用作者：张锋道来源：《理科考试研究·高中》2016年第06期极限思想是高中数学中的一种重要数学思想，在解题中切不可忽视其应用.对于某些数学问题，若能灵活运用极限思想，从其极端情形入手，就可以避开一些抽象复杂的运算，降低解题的难度，还可以优化解题的思路，收到事半功倍的效果.下面举例说明，极限思想在解题中的妙用.一、妙用极限思想求解数量变化范围例1若α∈[π6，π2），则直线2xcosα+3y+1=0的倾斜角的取值范围是A.[π6，π2）B.[5π6，π）C.（0，π6]D.（π2，5π6]解析因为斜率k=-23cosα，又α∈[π6，π2），所以当α→π2时，cosα→0，k→0（从负值趋于零），所以倾斜角→π，因此选B.一、妙用极限思想求解估算问题例1如图1三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，且侧面A1B1BA⊥底面A1B1C1，P 为棱B1B上一动点（不与点B1、B重合），则直线C1P与平面A1B1BA所成角的范围是A.（0，π6）B.（π6，π3）C.（π6，π4）D.（π4，π2）解析用极限估算.取A1B1中点D，连C1D，则∠C1PD为直线C1P与平面A1B1BA所成角.因为C1D为常数，所以只要确定PD的变化范围.当P→B1时，∠C1PD→∠C1B1D=π3，且∠C1PD当P→B时，则∠C1PD→∠C1BD，且∠C1PD>∠C1BD.而在Rt△CBD中，∠C1DB=90°，C1D=32a，BD=52a，tan∠CBD=C1DBD=35>33=tanπ6，即∠C1BD>π6.所以π6二、妙用极限思想求解探索性问题例2已知数列{an}中，a1=1，且对于任意正整数n，总有an+1=anan-2，是否存在实数a，b，使得an=a-b（-23）n对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.解析如果存在实数a，b满足题设要求，则由an=a-b（-23）n，可得limn→∞an=a.对an+1=anan-2两边取极限，得a=aa-2，所以a=0或a=3.若a=0，则数列{an}是以1为首项，公比为-23的等比数列，显然，不可能对于任意正整数n都满足an+1=anan-2；若a=3，将a1=1代入an=a-b（-23）n，可得b=-3，此时，an=3+3×（-23）n，所以a2=133，这与a2=-1矛盾.所以满足题设条件的实数a，b 不存在.三、妙用极限思想求解曲线方程例3求离心率e=25，过（1，0）点且与直线l：2x-y+3=0相切于点P（-23，53），长轴平行于y轴的椭圆方程.解析按常规，设椭圆中心为（x0，y0），可得椭圆的方程，再列出过已知点P的切线方程，联立消参可求得椭圆方程.但按极限思想，将点P视为椭圆的极限情形，可利用曲线系方程求解.已知e=25，则a2=5b2.把点P（-23，53）看作长轴平行于y轴且离心率e=25的椭圆系（x+23）2+15（y-53）2=k，当k→0时的极限情形（点椭圆）.则与直线l：2x-y+3=0相切于该点的椭圆系，即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程（x+23）2+15（y-53）2+λ（2x-y+3）=0.又因为所求椭圆过（1，0）点，代入求得λ=-23.因此所求椭圆方程为x2+y25=1.四、妙用极限思想画出函数图象例4已知f（x）=xx2+1，试画出图象，并结合图象指出其值域.解析先研究其奇偶性与单调性，再画出图象.因为f（x）=xx2+1，所以定义域为R且为奇函数，又f ′（x）=1-x2x2+1，所以f（x）在（-∞，-1]上递减，[-1，1]上递增，[1，+∞）上递减，且有极小值f（-1）=-12，极大值f（1）=12，画图时很可能画成图2而出错，得出值域为R，它是很好的满足了单调性与奇偶性，但还不够，图象有问题.问题在哪儿呢？因为limx→-∞f（x）=0（即xlimx→+∞f（x）=0（即x>0，f（x）>0），所以图形应该为图3，x轴变成了渐近线.所以值域为[-12，12].总之，恰当运用极限思想，抓住问题的极端情形解题，不仅使复杂问题的解决简单化，而且也有利于培养学生的创造性思维及探究能力.。
极限思想在高中数学解题中的应用
极限思想在高中数学解题中的应用极限思想在高中数学解题中的应用极限思想作为一个重要的数学概念在高中数学教学中得到了培训，影响着后来数学解题的过程，也对提升高中数学解题水平比较有意义。
因此，如何应用极限思想在高中数学解题中显得尤为重要。
首先，要认识到极限中的关系。
极限的基本概念是“当x的值逐渐接近某个特定的值，y的值也会逐渐靠近某个特定的值”，换句话说，所谓的“靠近”，就是指每次减小x的值时，y的值也会靠近某个极限值。
根据极限的定义，某一极限存在时，x的关系可以抽象成一个方程，即极限=f（x）。
其次，要学会把握极限的推导过程，比如一些分式除以越来越小的常数，我们往往会把这样的分式将其多次连乘，并且把和分母相特殊的项放到分母里，最终将这样的分式简化成一个极限式。
再次，要学会利用极限的思想来解决实际问题，比如高中生求解一元二次方程，可以先进行联立方程求值，再使用极限的思想，当a，b极限的值为1的时候，极限的解为2a+db。
这样就可以轻松求出一元二次方程的解。
比如，当方程为：ax2+bx+c=0时，极限值为2a+db，从而得到方程的解。
最后，要保持极限思想的正确认识和理解，比如说，在一般条件下，极限的值及其对应的x的值是有限的，而不是无穷的，那么也就意味着，在一定的条件范围下，有些函数的极限就是有限的，所以，当c取不同值时，极限也就有所变化，从而达到解决数学问题的目的。
极限思想作为一个数学思想，最重要的还是要正确理解和运用。
极限思想是对极端情况的分析，也可以帮助我们在解决数学问题中节省不少时间和精力。
因此，广大高中生要加强极限思想的学习，用正确的思想来解决高中数学中的各种问题，从而提高数学解题的水平。
数学分析思想在中学数学解题中的应用
数学分析思想在中学数学解题中的应用摘要：观察数年来无论是全国试卷还是各省自主命题的中考数学试卷，可以清楚地发现其中的一个重要信息，对数学的考查始终贯穿于数学试卷命题的核心主题。
整个试卷对函数与方程、数形结合思想、极限思想、特殊与一般思想、分类讨论思想，作了全方位的考查。
相对于传统教学过于重视数学基础而言，有必要在高中数学教学中侧重对学生的数学思想方法进行训练。
关键词：数学思想；高考；函数与方程；数形结合；特殊与一般；极限思想一、函数与方程思想在中学数学解题的应用与分析函数思想的运用贯穿在整个高中数学学习进程中，方程思想，从基本问题间的数学关系着手，将问题转换为方程或不等式模型已达到解决实际问题的目的。
由未知量与已知量构成看似矛盾实则统一的整体。
函数思想的含义是指在数量变化当中两个基本变量之间具有对应关系。
依据运动变化的观点从分析问题的数量关系入手，运用数学语言把函数转化为方程与未知量对应的数学关系，解题过程中通过利用方程理论以及函数的性质已达到将问题解决的方法，一般可以称为函数与方程的思想。
二、数形结合思想在中学数学解题的应用与分析三、特殊与一般的思想在中学数学解题的应用与分析我们发现在讲过高强度的数学解题训练后，许多题目既可用通性、通法直接求解，也可用“特殊”方法求解。
而且这样的思想解选择题特别有效，当一个命题在普遍的数学意义上成立时，那么它在特殊情况下也必然成立。
我们可以根据这理论直接确定选择题中的正确选项。
我们还可以将这种思想推广到去探求主观题的求解策略，同样简单省时间。
四、极限思想在中学数学解题的应用与分析极限思想的考查也是高中数学学习的一个重要方向，特别是一些看似很难很抽象的问题当运用极限思想后会迎刃而解。
极限，体现事物（或变量）运动变化的最终趋势或向极端状态无限逼近。
极限方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学方法。
极限方法是极限思想的体现，也是辩证思想的体现。
浅谈中学数学中的极限思想毕业论文
浅谈中学数学中极限思想的应用1 极限思想极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，是近代数学的一种重要思想.简单地说极限思想即是用无限逼近的方式从有限中认识无限,用无限去探求有限,从近似中认识精确,用极限去逼近准确,从量变中认识质变的思想.1.1 极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限思想可以追溯到古代，刘徽的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，他们借助间接证法——归谬法来完成了有关的证明.16世纪，荷兰数学家斯泰文改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明.如此，他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 1.2 极限思想的发展与完善极限思想的进一步发展和完善是与微积分紧密相联系的.16世纪欧洲的处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题只用初等数学的方法已无法解决,为了解决这些问题，科学家们开始专心研究促进技术革新.在这样的社会背景下，牛顿和莱布尼茨以无穷小量为基础建立了微积分，微积分的建立极大的促进了极限思想的发展.到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论.为了排除极限概念中的直观痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础.所谓n A =，就是指“如果对任何0ε>，总存在自然数N ，使得当n N >时，不等式n A ε-<恒成立”.这个定义，借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用.1.3 中学数学中的极限思想极限思想并非只出现在高等数学中.在中学数学里也有很多方面体现了极限思想，其中最典型的就是在求圆面积时候的用到分割法.在初高中时我们只知道圆的面积公式：2S Rπ=（R为圆的半径）.其实，深入探究会发现圆面积的计算就是运用极限的思想得出的.在学圆的面积之前，我们只学过三角形和常规的四边形的面积计算，那么我们如何把圆的面积化为求三角形或者四边形的面积呢？如图1-1是一个以R为半径的圆O，我们给这个圆O作n条半径，如图1-2所示.图这样我们就可以发现，圆的面积是由n个小扇形相加得来.这时你会发现，当n不断增大()n→∞时，圆里面的每一个小扇形我们就可以近似的看成一个小三角形，此小三角形的底可以近似的看成扇形的圆弧()1n n A A+，高为圆的半径R.我们知道三角形的面积为112n nS R A A+≈⋅,则整个圆的面积为122334111112222n nS R A AR A A R A A R A A+≈⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()122334112n nS R A A A A A A A A+≈⋅+++⋅⋅⋅+由于12233412n nA A A A A A A A Rπ++++⋅⋅⋅+=带入即可得出圆面积的近似值为：2S Rπ≈，当n越大时越精确，当n→∞即得证.圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为直，化整为零，积零为整，逐渐趋近近视值”的极限思想.当然这只是极限思想运用的一部分，在中学数学中还有很多的问题渗透了极限的思想.如函数、数列、球的表面积和体积推导、双曲线的渐近线、曲线的切线等等无不包含着极限思想的渗透和运用.本文我们结合一些具体的例子来探讨极限思想在初等数学中的一些运用.2 极限思想在函数中的渗透在中学数学中，很多幂函数、指数函数、正切函数、双曲线等等都存在渐近线，通过利用极限思想可以巧妙的研究这些函数的渐近线.例1 研究函数1+y x x =的图像.分析 函数1+y x x=的定义域为{}|0x x ≠.且为奇函数，因此可以先做出0x >时的函数图像.（1）当0x >时，由基本不等式可得1+2y x x=≥，当且仅当1x =时min 2y =；（2）当0x +→ 时，y →+∞，所以0x =是1+y x x=的一条渐近线；（3）当+x →∞时，10x →，y x →，所以y x =也是1+y x x=的一条渐近线.由此三个条件即可作出函数1+y x =的图像.如图2-1：图2-1极限思想在函数中的应用非常广泛，不仅应用于研究一些函数的渐近线，在求一些特殊函数的最值的问题中极限思想也是很好的切入点.例2 试讨论函数y =的最值. 分析 注意到函数表达式可以变形为：y=从数形结合的角度来看，函数值y可以看成做是平面直角坐标系中x轴上的动点(,0)x到两定点(32)A，、(11)B，的距离之差，即y MA MB=-（如图2-1），由平面几何的知识，易得当M移动到2(M'在线段AB的延长线上)点时y值最大maxy=下面我们探讨此函数有无最小值，分三种情况：①当M在如图2中M（线段AB的垂直平分线l与x轴的交点）右侧移动时；②当M在M'与M中间图2-1图2-2下面我们先看①时由于MB MA>，不妨记=y MB MA--，图2-2中，点1M、2M均在M的右侧（其中2M又在1M的右侧）.我们来比较111()=y M B M A--与222()=y M B M A--的大小，移项之后即比较12M B M A+与21M B M A+的大小.设1M A与2M B相交于点T,则有1212<()()M B M A M T BT M T AT++++12()()M T AT M T BT=+++21M B M A=+即12()()y y-<-所以当M在M右侧向右运动时，()y-的值越来越大，下面我们讨论()y-有无最大值.上面已知y MB MA-=-===114-=()114lim lim x x y →∞--=4211==+ 于是当x →+∞时，=y MB MA --的值越来越大的趋近于2，但是永远都不可能达到2，即y -没有最大值.但是<2y -，即2y >-.所以在第①情况下y 的取值范围为(]2,0-.同理，在第③种情况下，MB MA <当M 在M '左侧时(]1x ∈-∞-，，讨论y MA MB =-.计算可得y 的取值范围为(.在第②种情况下，当M 在M '与0M 之间且由0M 向M '移动时，y 值不断增大，所以y 的取值范围为⎡⎣0.综上所述，本题y的值域为(2-本题在高中阶段可能就只会让我们求此函数的最大值，但是如果我们进一步研究这个问题的时候，就能发现其与高等数学的衔接点.本题所涉及的函数最值问题，看似跟极限思想没多大联系，但是通过深入的研究我们才能发现其中的奥妙.3 极限思想在数列中的应用极限分析法是研究数列问题的一个有效方法.对于一个等比数列，在高中教材中给出的求和公式是11(1)(1)1(1),,.n n a q q q q S na -≠-=⎧⎪=⎨⎪⎩等比数列的求和公式是要分情况的，即1q =和1q ≠的情况.这样最简单的等比数列——常数列就被分裂出来.然而,利用极限就可以将它合二为一.对于上面1q ≠的情况，讨论1q →时，n S 的极限.111(1)lim lim 1n n q q a q S q→→-=- 2111(1)(1)lim 1n q a q q q q q-→-+++⋅⋅⋅+=-2111lim (1)n q a q q q-→=+++⋅⋅⋅+1na =这也就是说，1q =时的n S 就是1q ≠时n S 的极限.那么，等比数列求和公式就可以用一个公式来表示1(1)lim 1n n n q a q S q→-=-当然，这比高中课本上给出的公式要复杂点，但是这显然让我们重新思考了问题，使得这些分类的东西变成一个整体.对于一个无穷数列，它本身就是一个极限形式.所以在数列的有关问题中涉及到极限思想的题目很多，灵活运用极限思想能让我们解题方法更加简便，减少计算量和计算时间，优化解题过程.例3 已知数列{}n a 中，满足1=1a ，且对任意自然数n 总有12n n n a a a +-=，问是否存在实数a ，b 使得2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.分析 假设存在这样的实数a 、b ，满足2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立，则lim n x a a →∞=；再由12n n n a a a +-=两边同取极限有2aa a =-，解得0a =或3a =验证，当0a =时，数列{}n a 应该是以1为首项，以23-为公比的等比数列，显然，不可能对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以0a =不满足题意.当3a =时，将1=1a ，代入2()3n n a a b =--，求得3b =-，则233()3n n a =+⋅-，验证可得同样不满足对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以3a =同样不满足题意.综上所述，0a =和3a =都不满足题意，所以假设与题意矛盾，不存在这样的a 、b .在高中阶段，对于解这样的数列问题一般思路是按照 “由一般到特殊再到一般”的思维原则，再通过数学归纳法将{}n a 表达出来.但是对于这一个题目用这样的方法远没有借用极限思想简单.4 极限思想巧解立几问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例4 在四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）.(0A.(1B ，C.(0D ，分析 一般的方法，我们通过三角形三条边之间的等量关系列不等式，通过解不等式可以得出来，但是通过极限思想也可以巧妙的解决这个问题.显然，对于四根长度相等的直铁条有两种摆放方法： （1）底面为等腰三角形，两腰长度为2，底长为a （图4-1）； （2）底面为等边三角形，三条边的长都为2（图4-2）.图 4-2 由于a 是ABC ∆的边，所以04a <<.如图4-1，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于BDC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 、C 的距离为2.当A D →时，0a →；当平面ABC 与平面BDC 重合时，A 与D 距离最远即a 值最大.此时由菱形的性质可解得a =由于此图形必须要构成三棱锥，所以平面ABC 与平面BDC 不可以重合，即取不到所以(0,a ∈.如图4-2，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于DBC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 的距离为2.当A 在DBC ∠的角平分线上时，a 最小，可解得a =-；当A 在DBC ∠的角平分线的反向延长线上时，a 最大，可解得a =.由于此图形必须要构成三棱锥，所以A 不能在DBC ∠的角平a ∈.综上所说，a ∈，所以此题选A .这是2010年辽宁省的一道高考题，如果用一般的方法解不等式将会非常复杂，也浪费了考试时宝贵的时间.而如果使用无限逼近思想来研究就可以将原本复杂难懂的问题简单化. 从本题可以发现，极限思想在几何解题过程中的应用可以起到良好的导向作用，同时也是一种探索解题思路或切入点的有效武器.例5 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ，o o .(60180)B ， o o .(600)C ，9 o o .(00)D ，6 分析 如图4-3所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是正三棱锥S ABC -的高，图4-3当0180.SO→时，S无限靠近于O，此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 当SO→∞时，正三棱锥S ABC-无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于o60.所以α的取值范围为o o(60180)，，故本题选B.从这些例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.5 总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然，极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得，在我们的中学教学中，若能通过一些例题，来向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助.参考文献[1]谢慧杰.极限思想的产生、发展与完善.数学学习与研究,2008,(09):13-15.[2]梁克强.刘徽割圆术.中学生数学,2010,(06):23-24.[3]杨君芳.例析极限思想在高中数学中的一些应用.中学数学研究,2009,11(1):27-28.[4]孙道斌.利用极限思想巧解立几问题.中学生数学,2007,(1上):17-18.[5]吕士虎，徐兆亮.从高等数学看中学数学,2005,(03):1-3.[6]华东师大数学系.数学分析第三版.北京：高等教育出版社,2001:42-48.[7]张永辉，用极限思想解题.中学生数学，2006，(9上):8-9.。
例析极限、特殊化思想在解题中的运用
例析极限、特殊化思想在解题中的运用高群安(湖北省襄州一中㊀４４１１０４)摘㊀要:极限思想㊁特殊化思想ꎬ在历年高考中都占有重要的地位.在解题中ꎬ它具有排除否定功能ꎬ具有探求导向作用ꎬ它给我们观察㊁猜想㊁发现提供了有力的依据ꎬ使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ从而增强目标意识ꎬ提高我们的思维水平和解题效率.关键词:极限思想ꎻ特殊化思想ꎻ广泛应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００７２－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:高群安(１９６３－)ꎬ男ꎬ湖北省襄阳人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁数学思想概要特殊化思想㊀就是用特殊值㊁特殊点㊁特殊函数㊁特殊数列㊁特殊方程㊁特殊图形 去探求未知的题设结论ꎬ或验证已给题设结论的正误.错误的结论可当即否定ꎬ正确的结论则需要进一步的证明.极限思想㊀就是用极限的概念㊁理论去分析问题和解决问题的一种重要的数学思想ꎬ它在探究㊁解决有关数学问题中有着非常广泛的应用.极限思想㊁特殊化思想在历年的高考中占有重要的地位.运用极限㊁特殊化思想解决有关数学问题ꎬ可以迅速排除错误结论ꎬ缩小目标范围ꎬ优化解题过程ꎬ提高解题效率.㊀㊀二㊁数学思想应用举例特殊化思想是解决选择题的一种常用的方法.然而ꎬ对一些解答题ꎬ若先用特值法探求结论ꎬ就能使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ提高解题的效率.极限思想是运动与静止相互转化的观点在数学中的体现ꎬ如三角形可以看作是梯形上底趋向于零的极限情况ꎻ点可以看作是圆的半径趋向于零的极限情况.１.求值问题例１㊀抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ与ｘ轴的两交点为Ａ㊁Ｂꎬ求｜ＡＢ｜的值.分析㊀取ｍ＝０ꎬ则抛物线方程为ｙ＝－ｘ２＋１ꎬ易得｜ＡＢ｜＝２.解法一㊀把抛物线按向量(－ｍꎬ０)平移后ꎬ顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ此时抛物线方程为ｙ＝－ｘ２＋１ꎬ｜ＡＢ｜的长度不变ꎬ易得｜ＡＢ｜＝２.解法二㊀ȵ抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ所以抛物线方程可化为ｙ＝－(ｘ－ｍ)２＋１ꎬ令ｙ＝－(ｘ－ｍ)２＋１＝０得ｘ１＝ｍ－１ꎬｘ２＝ｍ＋１ꎬ｜ＡＢ｜＝｜ｘ２－ｘ１｜＝２.例２㊀求３ｘ＋ｘ＋８３ｘ－１３＋３ｘ－ｘ＋８３ｘ－１３之值.分析㊀当ｘȡ１时ꎬ原式有意义ꎬｘ＝１时ꎬ原式＝１＋１＝２ꎻｘ＝４时ꎬ原式＝３４＋４＋０＝２.由此猜想:原式的值是一个与ｘ无关的常数２.题中根式过多ꎬ能否通过换元转化ꎬ简化求解过程呢?解㊀设ｘ－１３＝ｔȡ０ꎬ则ｘ＝３ｔ２＋１ꎬｘ＋８３＝ｔ２＋３.ʑ原式＝３３ｔ２＋１＋ｔ(ｔ２＋３)＋３３ｔ２＋１－ｔ(ｔ２＋３)＝３(１＋ｔ)３＋３(１－ｔ)３＝１＋ｔ＋１－ｔ＝２.图１例３㊀如图１所示ꎬ在әＡＢＣ中ꎬ点Ｏ是ＢＣ的中点ꎬ过点Ｏ的直线分别交直线ＡＢꎬＡＣ于不同的两点ＭꎬＮꎬ若ＡＢң＝ｍＡＭңꎬＡＣң＝ｎＡＮңꎬ则ｍ＋ｎ的值为(㊀㊀).Ａ.１㊀Ｂ.２㊀Ｃ.３㊀Ｄ.４解法一㊀当点Ｍ与Ｂ重合时ꎬＮ与Ｃ重合ꎬ此时ｍ＝ｎ＝１ꎬｍ＋ｎ＝２.故选Ｂ.解法二㊀ȵＯ为ＢＣ的中点ꎬʑＡＯң＝１２(ＡＢң＋ＡＣң)＝１２(ｍＡＭң＋ｎＡＮң)＝ｍ２ＡＭң＋ｎ２ＡＮң.ȵＭꎬＯꎬＮ三点共线ꎬʑｍ２＋ｎ２＝１ꎬʑｍ＋ｎ＝２.故选Ｂ.例４㊀如图２ꎬ在四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝ＡＤꎬøＢＡＤ＝øＢＣＤ＝９０ʎꎬ四边形ＡＢＣＤ的面积为８ꎬ则ＡＣ的长为.思路一㊀(利用极限思想探求答案)当ＣңＤ时ꎬＡＣңＡＤꎬ四边形ＡＢＣＤң等腰直角三角形ＡＢＤ.２７由１２ＡＢ ＡＤ＝１２ＡＤ２ң８⇒ＡＤң４ꎬＡＣң４.图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３思路二㊀(利用特殊图形探求答案)取满足条件的正方形ＡＢＣＤꎬ则由ＡＢ２＝８⇒ＡＣ２＝２ＡＢ２＝１６⇒ＡＣ＝４ꎬ由此猜想ＡＣ＝４.解法一㊀如图３ꎬ连接ＢＤꎬ作ＡＯʅＢＤ于点Ｏꎬ作ＣＨʅＡＯ于点Ｈ.连接ＯＣ.依题意可设ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＤ＝ＯＣ＝ａꎬＯＨ＝ｂꎬＣＨ＝ｃꎬ则因为四边形ＡＢＣＤ的面积为８ꎬ所以１２ＢＤˑＡＨ＝８⇒ａ(ａ＋ｂ)＝８ꎬ于是ＡＣ２＝(ａ＋ｂ)２＋ｃ２＝ａ２＋２ａｂ＋(ｂ２＋ｃ２)＝２ａ２＋２ａｂ＝２ａ(ａ＋ｂ)＝１６ꎬ故所求ＡＣ的长为４.点评㊀解答的关键是作辅助线由面积关系导出ａ(ａ＋ｂ)＝８ꎬ再由勾股定理㊁整体代换求出ＡＣ＝４.不作辅助线能否求出ＡＣ呢?解法二㊀在四边形ＡＢＣＤ中ꎬ设ＡＢ＝ＡＤ＝ａꎬＢＣ＝ｂꎬＣＤ＝ｃꎬＡＣ＝ｘꎬ由题设易得ａ２＋ｂｃ＝１６.由余弦定理得ｘ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＢꎬｘ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＤꎬｃｏｓＢ＋ｃｏｓＤ＝０{⇒(ｃ＋ｂ)ｘ２＝ｃ(ａ２＋ｂ２)＋ｂ(ａ２＋ｃ２)⇒ｘ２＝ａ２＋ｂｃ＝１６ꎬｘ＝４ꎬ即ＡＣ＝４.２.参数范围问题例５㊀(２０１５课标１ 理１６)在平面四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＡ＝øＢ＝øＣ＝７５ʎꎬＢＣ＝２ꎬ则ＡＢ的取值范围是.分析㊀如图４ꎬ四边形ＡＢＣＤ中ꎬＢＣ＝２ꎬ角ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的大小确定ꎬ当ＤңＡ时ꎬｘ递增ꎻＤңＣ时ꎬｘ递减.图４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５解㊀如图５ꎬøＡ＝øＢ＝øＣ＝７５ʎꎬＢＣ＝２.设ＡＢ＝ｘꎬ则当ＡＤң０时ꎬｘң６＋２ꎻＤＣң０时ꎬｘң６－２.ʑＡＢɪ(６－２ꎬ６＋２).点评㊀本题是运用正弦定理解三角形ꎬ求取值范围问题.本解答抓住Ｄ点的动态变化ꎬ运用数形结合的思想㊁极限的思想ꎬ巧妙地解决了问题.３.求单调区间例６㊀已知偶函数ｆ(ｘ)ꎬ当ｘɪ(－ɕꎬ０]时单调递减ꎬ求ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增区间.分析㊀若取满足条件的特殊函数ｆ(ｘ)＝｜ｘ｜ꎬ则ｆ(２ｘ－ｘ２)＝｜ｘ２－２ｘ｜.画出图象ꎬ由图可知ꎬ递增区间为[０ꎬ１]和[２ꎬ＋ɕ).解㊀利用复合函数的单调性.设ｕ＝ｕ(ｘ)＝２ｘ－ｘ２＝－(ｘ－１)２＋１ꎬ则ｕȡ０⇔０ɤｘɤ２ꎬｕɤ０⇔ｘɤ０或ｘȡ２ꎬｕ(ｘ)在(－ɕꎬ１]单调递增ꎬ[１ꎬ＋ɕ)单调递减ꎬ函数ｙ＝ｆ(２ｘ－ｘ２)可看作是由ｙ＝ｆ(ｕ)ꎬｕ＝２ｘ－ｘ２复合而成的复合函数.根据复合函数同增异减的性质得 ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增 等价于 ｆ(ｕ)递增ꎬｕ(ｘ)递增ꎬ{或ｆ(ｕ)递减ꎬｕ(ｘ)递减{ ⇔ｕȡ０ꎬｘɤ１ꎬ{或ｕɤ０ꎬｘȡ１{⇔０ɤｘɤ１或ｘȡ２ꎬ即ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增区间是[０ꎬ１]和[２ꎬ＋ɕ).４.比较大小例７㊀әＡＢＣ中ꎬｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎ２Ｃ>２ꎬ试判断әＡＢＣ的形状.分析㊀由对称性不妨设ＡɤＢɤＣꎬ试判断әＡＢＣ的形状实际上就是比较角Ｃ与直角的大小关系ꎬ取Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝６０ʎꎬ则左边＝３ˑ３/４＝９/４>右边ꎬ满足条件ꎻ取Ａ＝Ｂ＝４５ʎꎬＣ＝９０ʎꎬ则左边＝２ꎬ不满足条件ꎻ取Ａ＝Ｂ＝３０ʎꎬＣ＝１２０ʎꎬ则左边＝５/４<２ꎬ不满足条件.由此猜想әＡＢＣ为锐角三角形ꎬ因此问题转化为证明最大角Ｃ<９０ʎ.５.否定错误选项例８㊀(２０１４课标１ 文１１)设ｘꎬｙ满足约束条件ｘ＋ｙȡａꎬｘ－ｙɤ－１ꎬ{且ｚ＝ｘ＋ａｙ的最小值为７ꎬ则ａ等号(㊀㊀).Ａ.－５㊀㊀Ｂ.３㊀㊀Ｃ.－５或３㊀㊀Ｄ.５或－３图６解析㊀画出不等式组对应的平面区域ꎬ如图所示.当ａɤ０时ꎬ在直线ｘ＋ｙ＝ａ上ꎬｘң－ɕꎬｙң＋ɕ时ꎬｚ＝ｘ＋ａｙң－ɕꎬｚ＝ｘ＋ａｙ无最小值ꎬ否定Ａ㊁Ｃ㊁Ｄ.故选Ｂ.点评㊀本解答的关键是利用极限思想ꎬ结合图形直观.当ａɤ０时ꎬ目标函数ｚ＝ｘ＋ａｙ没有最小值ꎬ否定选项ＡＣＤ.６.不等式问题例９㊀(襄阳市２０２０年５月高三月考试题１１)ｆ(ｘ)是Ｒ上的偶函数ꎬｘȡ０时ꎬｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(－ｘ)ɤ０ꎬ则不等式４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(－ｘ６)的解集是.３７Ａ.(４ꎬ＋ɕ)㊀㊀㊀Ｂ.(－ɕꎬ－１２)ɣ(４ꎬ＋ɕ)Ｃ.(－１２ꎬ４)㊀Ｄ.(－ɕꎬ－１２)解法一(特值法)㊀取满足条件的特殊函数ｆ(ｘ)＝－ｘ２ꎬ则由４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(２－ｘ６)得４ｘ２[－(ｘ３)２]>(１２－ｘ)２[－(２－ｘ６)２]⇒１６ｘ４<(ｘ－１２)４⇒４ｘ２<(ｘ－１２)２⇒ｘɪ(－１２ꎬ４).选Ｃ.如果是求解题ꎬ该怎么办呢?解法二(构造法)㊀构造函数ｇ(ｘ)＝ｘ２ｆ(ｘ)ꎬ因为ｆ(ｘ)是Ｒ上的偶函数ꎬｘȡ０时ꎬｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(－ｘ)ɤ０ꎬ即ｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(ｘ)ɤ０ꎬ所以当ｘȡ０时ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｘ２ｆᶄ(ｘ)＋２ｘｆ(ｘ)＝ｘ[ｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(ｘ)]ɤ０ꎬ所以偶函数ｇ(ｘ)＝ｘ２ｆ(ｘ)在[０ꎬ＋ɕ)递减ꎬ４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(２－ｘ６)⇔３６(ｘ３)２ｆ(ｘ３)>３６(１２－ｘ６)２ｆ(１２－ｘ６)⇔ｇ(ｘ３)>ｇ(１２－ｘ６)⇔｜ｘ３｜<｜１２－ｘ６｜⇒－１２<ｘ<４.选Ｃ.点评㊀本题主要考查依据题设条件ꎬ构造函数模型ꎬ解决不等问题的能力.７.利用极限思想回避讨论例１０㊀过点Ｐ(－１ꎬ２)的直线ｌ被圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝４截得的弦长为２２ꎬ求直线ｌ的方程.解㊀由题设可得圆心Ｏ(０ꎬ０)到直线ｌ的距离ｄ＝１ꎬ设ｌʒｙ－２＝ｋ(ｘ＋１)ꎬ则由ｄ＝｜ｋ＋２｜ｋ２＋１＝１⇒ｋ＝－３４或ｋ＝ɕꎬ故所求直线ｌ的方程为ｘ＝１或３ｘ－４ｙ＋５＝０.点评㊀按常规解答本题应分直线ｌ的斜率存在与不存在两种情况讨论ꎬ本解答巧妙地应用了极限的思想: ｋңɕ时ｄң１ 得斜率不存在的情况满足条件ꎬ回避了分类讨论ꎬ简化了解答过程.８.利用极限思想优化解题过程例１１㊀(２０１２四川 文１２)㊀已知设函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－３)３＋ｘ－１ꎬ{ａｎ}是公差不为０的等差数列ꎬｆ(ａ１)＋ｆ(ａ２)＋ ＋ｆ(ａ７)＝１４ꎬ则ａ１＋ａ２＋ ＋ａ７＝(㊀㊀).㊀Ａ.０㊀㊀Ｂ.７㊀㊀Ｃ.１４㊀㊀Ｄ.２１分析㊀明知山有虎ꎬ偏向虎山行.若取{ａｎ}为常数列ꎬ则易得ａｎ＝３ꎬ答案选Ｄꎬ但题设中{ａｎ}不是常数列呀!能否利用极限的思想和连续函数的性质快速解答呢?解㊀ｆ(ｘ)是Ｒ上的连续函数ꎬ公差ｄң０时ꎬａｎңａ４ꎬ１４＝ｆ(ａ１)＋ｆ(ａ２)＋ ＋ｆ(ａ７)ң７ｆ(ａ４)⇒ｆ(ａ４)ң２⇒(ａ４－３)３＋ａ４－１＝(ａ４－３)[(ａ４－３)２＋１]＋２ң２⇒ａ４ң３ꎬʑａ１＋ａ２＋ ＋ａ７ң７ａ４ң２１.观察答案ꎬ选Ｄ.㊀９.利用极限思想解决定值问题例１２㊀(见文[２])已知椭圆Ｍ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的焦距为２３ꎬ点Ｐ(０ꎬ２)关于直线ｙ＝－ｘ的对称点在椭圆上.(１)求椭圆Ｍ的方程ꎻ(２)如图ꎬ椭圆Ｍ的上下顶点分别为ＡꎬＢꎬ过点Ｐ的直线ｌ与椭圆交于不同两点ＣꎬＤꎬ①求线段ＰＤ长度的最大值ꎻ②当ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｑ时ꎬ试问:点Ｑ的纵坐标是否定值?若是ꎬ求出该定值ꎻ若不是ꎬ请说明理由.解㊀(１)椭圆Ｍ的方程是ｘ２４＋ｙ２＝１.(过程略)(２)①ＰＤ长度的最大值是２２１３.(过程略)②当点ＣңＡ时ꎬＤңＢꎬ四边形ＡＣＤＢң直角梯形ꎬ利用相似形的性质易得ｙＱ＝１２ꎻ当点ＣңＤ时ꎬ椭圆的割线ＰＣＤң切线ＰＴꎬ点Ｑң切点Ｔꎬ利用方程易求得ｙＱ＝１２.下面证明:点Ｑ的纵坐标是定值１２.设直线ｌʒｙ＝ｋｘ＋２ꎬＣ(ｘ１ꎬｋｘ１＋２)ꎬＤ(ｘ２ꎬｋｘ２＋２)ꎬ由ｙ＝ｋｘ＋２ꎬｘ２＋４ｙ２＝４{⇒(４ｋ２＋１)ｘ２＋１６ｋｘ＋１２＝０ꎬʑｘ１ｘ２ｘ１＋ｘ２＝１２－１６ｋ⇒ｋｘ１ｘ２＝－３４(ｘ１＋ｘ２).设Ｑ(ｘꎬｙ)ꎬ由ＡꎬＱꎬＤ共线及ＣꎬＱꎬＢ共线得ｙ－１ｘ＝ｋｘ２＋１ｘ２ꎬｙ＋１ｘ＝ｋｘ１＋３ｘ１{⇒ｙ－１ｙ＋１＝ｋｘ１ｘ２＋ｘ１ｋｘ１ｘ２＋３ｘ２＝－３４(ｘ１＋ｘ２)＋ｘ１－３４(ｘ１＋ｘ２)＋３ｘ２＝－１３⇒ｙ＝１２.可见ꎬ极限特殊化思想ꎬ具有排除否定功能.在求解题中ꎬ具有探求导向作用ꎬ它给我们观察㊁猜想㊁发现提供了有力的依据ꎬ使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ从而增强目标意识ꎬ提高我们的思维水平和解题效率.㊀㊀参考文献:[１]２０１２年全国及各省市高考试题解析[Ｍ].西安:陕西人民教育出版社ꎬ２０１２:１４８.[２]翟金成.高二数学测试题[Ｊ].中学生数理化(高二版)ꎬ２００９(０６):１９－２４.[责任编辑:李㊀璟]４７。
极限思想在高中数学中的应用
n n
x cos x − sin x ≤0 x2
在
π x ∈ 0, 2
n
∑
i =2
n
n
图1 证 明： 如 图 1， 在 单 位 圆 圆 O 中， 设 = OD = cos x ，则 ∠AOB = x ， CB = sin x ， OC
ni
∑ i! ∏
i =2
其中每一项均为正值，当 n 增加时，不 但对应的项数增多，而且括号内的数值也增
1 + k > 2 时， 大，所以数列 n 单调递增。又当 k −1 1 1 1 1 1 1− <1 < 1 + < 2 + ∑ = 2 + 1 − < 3 ，所以 ， ，所以 n 2 k! 2 n 2 1 1 + 有 n 上界。 记 1 n 。
lim
0
n =0 n →∞ 2 n
，从而 sin x sin x cos 2 x = 1 ，所以 lim = 1。 cos x < < 1 ，又因为 lim x → 0 x x 基 于 这 个 证 明， 我 们 可 以 知 道， 尽 管 sin x f ( x) = x 在 x = 0 处没有定义，但在非常接近 0 sin x 的位置， x → 1 。 π f ( x) = x cos x − sin x, x ∈ 0, 例 4。已知函数 2 。 （1）求证： f ( x) ≤ 0 。 sin x π （2）若 a < x < b 在 x ∈ 0, 2 上恒成立，求的 a 最大值与 b 的最小值。 解：（1） 由 f ( x) = x cos x − sin x 得： π 0, f ' ( x) = − x sin x < 0 ，所以 f ( x) 在 2 上单调递减， 从而 f ( x) ≤ f (0) = 0 。 sin x （2）当 x > 0 时， a < x < b ⇔ sin x > ax且 sin x < bx 。 ( x) sin x − cx ， 则 g ' ( x) = cos x − c ， 故 令 g= 当 c ≤ 0 时， g ( x) > 0 对任意 x ∈ 0, π 2 恒成立。 π 当 c ≥ 1 时， 因 为 对 任 意 x ∈ 0, 2 ， π ' 0, 上单调递 g ( x) = cos x − c < 0 ，所以 g ( x) 在区间 2 减，从而 g ( x) ≤ g (0) = 0 对任意 x ∈ 0, π2 恒成立。 π 0, ， 当 0 < c < 1 时， 存 在 唯 一 的 x ∈ 2 ' g ( x0 ) = cos x0 −' c = 0 。 x) 0, π2 上的情况如下： g ( x) 与 g (在区间