几种常见的平面变换
解析投影变换论文
解析投影变换选修4-2第二章中讲述了六种常见的平面变换，即恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换，这里对于投影变换做一些简要的解析。
一、投影变换的概念知识来源于生活，实际上生活中有关投影的例子举不胜举。
如物体在日光的照射下产生影子，就是投影。
那么究竟什么是投影变换呢？相信大家都看过排球比赛吧，中场休息时，两人同时相向用拖把将垃圾推到中界线l处停止。
我们可近似地把排球比赛场看作平面，以中界线l为x轴，场地中心o为原点建立坐标系，那么拖地前后可以看做是平面上的一个几何变换t:（x，y）→（x’，y’）=（x，0），则对应的变换矩阵m=1 00 0。
像这样将平面图形投影到某条直线（或点）的变换叫投影变换，而对应的矩阵称为投影变换矩阵。
这里我们不难发现，投影变换是一种线性变换，它虽然是映射，但不是一一映射。
二、常见的几种投影变换1.将平面上的点垂直投影到x轴上的变换就像前面举的拖地的例子，m=1 00 0就是此种情况。
例如：曲线m=1 00 0在矩阵对应的投影变换作用下变成什么图形？解析：设p（x，y）是曲线y=sinx上任意一点，它经过变换后成点p’（x’，y’），则x’y’=1 00 0xy=x0，即y’=0，也就是说，经过变换后点的横坐标不变，纵坐标变为0，所以将曲线沿垂直于x轴的方向投影到x轴上，变为直线y=0。
2.将平面上的点垂直投影到y轴上的变换不难看出此种变换t：（x，y）→（x’，y’）=（0，y），对应的变换矩阵为0 00 1。
例如：椭圆x2+=1在矩阵0 00 1对应的变换作用下变成什么图形呢？解析：因为x’y’=0 00 1xy=0y，所以x’=0y’=y，即经过变换后点的纵坐标不变，横坐标变为0，所以将椭圆x2+=1沿垂直于y轴的方向投影到y轴上，变成线段x=0（-2≤y≤2）（椭圆长轴）。
3.将平面上的点沿x轴（或y轴）方向投影到直线y=x上的变换我们来比较一下两种变换矩阵m1=1 01 0与m2=0 10 1。
平面几何计算平面形的旋转平移和对称变换
平面几何计算平面形的旋转平移和对称变换平面几何计算平面形的旋转、平移和对称变换在平面几何中，旋转、平移和对称变换是常见且重要的几何变换方法。
通过对平面形进行旋转、平移和对称变换，我们可以得到新的平面形，进而探索其性质和应用。
本文将介绍平面几何中的旋转、平移和对称变换，并进行相关计算。
一、旋转变换旋转变换是指将一个平面形绕着某个点旋转一定角度后得到的新的平面形。
在旋转变换中，我们需要确定旋转的中心点和旋转的角度。
旋转变换的数学表示可以使用矩阵运算来进行计算。
假设原始点的坐标为(x,y)，旋转中心为(a,b)，旋转角度为θ，则经过旋转变换后的点的坐标为(x',y')。
根据旋转矩阵的定义，可以得到以下计算公式：x' = (x-a) * cosθ - (y-b) * sinθ + ay' = (x-a) * sinθ + (y-b) * cosθ + b例如，若给定一个平面形的几个顶点坐标，我们可以通过旋转变换计算出该平面形绕某个点旋转一定角度后的新的顶点坐标。
二、平移变换平移变换是指将一个平面形沿着某个方向移动一定距离后得到的新的平面形。
在平移变换中，我们需要确定平移的方向和平移的距离。
平移变换的数学表示可以使用矢量运算来进行计算。
假设原始点的坐标为(x,y)，平移向量为(a,b)，则经过平移变换后的点的坐标为(x',y')。
根据平移的定义，可以得到以下计算公式：x' = x + ay' = y + b例如，若给定一个平面形的几个顶点坐标，我们可以通过平移变换计算出该平面形沿着某个方向移动一定距离后的新的顶点坐标。
三、对称变换对称变换是指将一个平面形围绕某个直线或点对称后得到的新的平面形。
在对称变换中，我们需要确定对称的直线或点。
对称变换的数学表示既可以使用矩阵运算，也可以使用坐标变换求解。
1. 直线对称变换：假设原始点的坐标为(x,y)，对称直线的方程为ax+by+c=0，则经过直线对称变换后的点的坐标为(x',y')。
常见的几种平面变换(切变变换)
缩放切变变换可以应用于各种 平面图形，如矩形、圆形、多 边形等。
通过缩放切变变换，可以改变 平面图形的大小和形状，实现 图形的缩放操作。这种变换在 图形处理、计算机视觉、图像 识别等领域有着广泛的应用。
平移切变变换
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
平移切变变换是平面图 形在平移过程中发生的 变换。
。
图像剪裁
通过切变变换，可以将图像的 一部分进行剪裁，实现图像的
局部显示。
图像扭曲
通过切变变换，可以将图像进 行扭曲，实现图像的扭曲效果
。
在几何建模中的应用
三维模型转换
通过切变变换，可以将三维模型进行转换， 实现三维模型的旋转、平移等操作。
二维图形绘制
通过切变变换，可以绘制各种二维图形，如 直线、圆、椭圆等。
THANKS
感谢观看
详细描述
平移切变变换是指将平 面图形按照一定的方向 和距离进行移动，从而 改变图形位置的变换。 在平移过程中，图形中 的每一点都按照相同的 方向和距离进行变换。
总结词
平移切变变换可以应用 于各种平面图形，如矩 形、三角形、多边形等
。
详细描述
通过平移切变变换，可 以改变平面图形在平面 上的位置，实现图形的 平移操作。这种变换在 图形处理、计算机视觉 、动画制作等领域有着
特效制作
通过切变变换，可以制作各种特效，如爆炸、烟雾等。
动画合成
通过切变变换，可以将多个动画进行合成，实现复杂的动画效果。
05
总结
切变变换的优点和局限性
优点
切变变换能够有效地处理图像的几何失真，提高图像的清晰度和对比度，同时能够保留图像中的重要 特征。
高二数学 几种常见的平面变换(1)-恒等变换、伸压变换教案
2、伸压变换矩阵与伸压变换；
3、用矩阵表示变换的数形结合的思想。
课本34页1、2
练习册
课外作业
课本34页3、4
课题
几种常见的平面变换（1）-恒等变换、伸压变换
总课时数
第节
教学目标
1.理解可以用矩阵来表示平面中的常见的几何变换；
2.掌握恒等、伸压变换的几何意义及其矩阵表示。
教学重难点
恒等变换、伸压变换的概念
恒等变换、伸压变换的矩阵
教学参考
教师用书 课本 非常学案
授课方法
启发引导
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
一、问题情境:
1、二阶矩阵与列向量的乘法规则：
其几何意义是
问题情境：一个矩阵就对应了一个变换，已知变换前（后）的点，知道了矩阵，就可以求出变换后（前）的点，已知变换也可以求出对应的矩阵。本节课就研究如何用矩阵表示平面上常见的变换。
二、建构数学
1.恒等变换矩阵(单位矩阵)
2.恒等变换
3.伸压变换矩阵
4.伸压变换
学生回答
学生活动：教师给出三个变换，学生用矩阵来表示，教师给出相应的、教学运用
例1、已知曲线y=sinx经过变换T作用后变为新的曲线C ,试求变换T对应的矩阵M ,以及曲线C的解析表达式.
解题小结：
例2、验证图C : x2+y2=1在矩阵A= 对应的伸压变换下变为一个椭圆,并求此椭圆的方程.
常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 反 射 变 换 03 旋 转 变 换 04 应 用 场 景 05 总 结 与 展 望
反射变换是指将平面图形沿一条直线进行翻转，使得图形对称于该直线 反射变换可以应用于平面图形的形状、大小和方向等属性的变化 常见的反射变换包括水平、垂直、对角线等方向的反射 反射变换在计算机图形学、几何变换等领域有着广泛的应用
旋转中心：固定点， 也称为旋转中心
旋转角度：绕旋转 中心旋转的角度
旋转方向：顺时针 或逆时针方向
绕点旋转：以一个固定点为中心进行旋转 绕线旋转：以一条固定直线或曲线为中心进行旋转 绕面旋转：以一个固定平面或曲面为中心进行旋转 绕体旋转：以一个固定物体或形状为中心进行旋转
绕原点旋转的矩阵表示
绕任意点旋转的矩Leabharlann 表示绕任意轴旋转的矩阵表示
绕任意直线旋转的矩阵表 示
图像旋转：将 图像按照指定 的角度旋转， 常用于纠正图 像的倾斜角度
图像缩放：调 整图像的大小， 常用于改变图
像的分辨率
图像平移：将 图像在平面上 移动，常用于 调整图像的位
置
图像剪切：从 图像中裁剪出 指定的区域， 常用于选取图 像的特定部分
图像旋转和平 移的组合变换： 将图像旋转后 再进行平移， 常用于对图像 进行复杂的变
镜像反射：将图像沿垂直或水平方向进行对称变换 旋转反射：将图像绕某点旋转一定角度进行对称变换 缩放反射：将图像沿某个方向进行缩放变换 剪切反射：将图像沿某个方向进行剪切变换
反射变换的定义
反射变换的矩阵表示形式
反射变换的几何意义
反射变换的应用
定义：旋转变换是 一种通过绕某一固 定点旋转来改变图 形位置的变换
常见的几种平面变换(切变变换)
整理ppt
1
创造情境
F
F
S
S
F
F
一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平
行的大小相等方向相反的力作用时，形状就要
图3
整理ppt
图4
4
数学建构
1．切变变换、切变变换矩阵
由矩阵
1 0
k 1
1
k
10确定的变换通常叫做切变变换，对应
的矩阵叫做切变变换矩阵。
2． 10
k
1
沿x轴方向的切变变换。对于原图形中的任意
一点，纵坐标保持不变，而横坐标依纵坐标的比例增
加，它把平面上的点沿x轴方向平移|ky|个单位,当ky>0
A (0 ,0 ),B (2 ,2 ),C (6 ,2 ),D (4 ,0 )。
整理ppt
9
四、巩固练习
1.已知切变变换T使得矩形ABCD变为平行四边 形 ABCD ,试求变换对应的矩阵M，并指出矩 形区域ABCD变换过程中的不变线段。
2．考虑直线 几何图形。
x
y 2 在矩阵
1 0
1 1
作用下变换得到的
0 1
是沿y轴方向的切变变换，y轴上的
点是不动点。
4．切变变换保持图形面积不变。
整理ppt
11
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时，沿x轴正方向移动；当ky<0时，沿x轴负方向移动
；当ky=0时，原地不动，图形在x轴上的点是不动点.
江苏省江阴市山观高级中学高二数学选修4-2.2《几种常见的平面交换》导学案
§2.2 几种常见的平面变换学习目标1. 掌握恒等变换与伸压变换的表示及其几何意义，了解单位矩阵.2. 恒等变换与伸压变换的规律及其变换矩阵；3. 理解反射变换的矩阵表示及其几何意义学习导航一、课前准备 复习1：矩阵的概念复习2：二阶矩阵与平面列向量的乘法二、预习思考通过预习（课本P 12—22）初步掌握恒等变换、伸压变换、反射变换等平面变换. 提炼新知： 1．恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换，都能把自身变成自身．因此，我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，所实施的对应变换称为恒等变换．我们把矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1称为恒等变换矩阵或单位矩阵，可记为E . 2．伸压变换矩阵M 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12把平面上每一个点P 都向x 轴方向垂直压缩为原来的一半，只有x 轴上的点没变； 矩阵M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001把平面上每一个点P 都沿x 轴方向伸长为原来的2倍，只有y 轴上的点没变．像矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1这种将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，或作沿x 轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称为沿y 轴或x 轴的垂直伸压变换矩阵，对应变换为垂直伸压变换，简称伸压变换． 3．反射变换(1)反射变换的概念像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，其中定直线称为反射轴，定点称做反射点．(2)反射变换的分类与矩阵M1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1对应的变换是关于x轴的轴反射变换．与矩阵M2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100 1对应的变换是关于y轴的轴反射变换．与矩阵M3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100－1对应的变换是关于原点的中心反射变换．与矩阵M4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换是关于直线y＝x的轴反射变换．4．线性变换一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换．三、知识应用例1、如图所示，已知曲线y = sin x经过变换T作用后变为新的曲线C，试求变换T对应的矩阵M，以及曲线C的解析表达式.例2、验证圆C：x2 + y2 = 1在矩阵A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21对应的伸压变换下变为一个椭圆，并求此椭圆的方程.小结：将平面图形F作沿x轴方向的伸压变换，其变换矩阵的一般形式是什么？沿y轴方向的呢？例3、求出矩形ABCD在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡16.0作用下得到的图形，并画出示意图，其中A（-1，0），B（1，0），C （1，1），D （-1，1）.例4、求出曲线y =x （x ≥0）在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001作用下变换得到的曲线.例5、设a 、b ∈R ，若M = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a10所定义的线性变换把直线l ：2x + y – 7 = 0变换成另一直线l ＇：x + y – 3 = 0，求a 、b 的值.练一练：1、研究直角坐标平面内正方形OBCD 在矩阵M = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001对应的变换作用下得到的几何图形，其中O （0，0），B （2，0），C （2，2），D （0，2）.2、考虑以下各向量在矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001对应的变换作用下的结果，并从几何变换的角度解释所得结果：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡0a ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡b 0.四、总结提升检测反馈：1、求出平行四边形ABCD 在矩阵M = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡31001作用下变换得到的几何图形，并画出示意图，其中A （0，0），B （3，0），C （4，2），D （1，2）.2、研究函数y = 2cos x 在矩阵M = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡31001变换作用下的结果.3、求△OBC 在矩阵M = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002对应的变换作用下的结果，其中O 为原点，B （-1，0），C （0，1）.4、求出△ABC 在矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321作用下变换得到的图形，并画出示意图。
几种常见的平面变换
26.2几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即()A A A λαλβλαλβ1212+=+；3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
【典型例题】例1：（1）平面上任意一点在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛51001的作用下( ) A. 横坐标不变,纵坐标伸长5倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到51倍 C. 横坐标,纵坐标均伸长5倍 D. 横坐标,纵坐标均缩短到51倍 答案：B 。
（2） 表示x 轴的反射变换的矩阵是( )A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 答案：D 。
（3）已知二次曲线22220x y x y +++--=，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后(0)2πθ<<，所得图形的新方程式中不含xy 项，则θ= （）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75° 答案：C 。
解析：由已知得旋转变换矩阵M =cos -sin sin cos θθθθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦T ：cos sin sin cos x x x y y y x y θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而有cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=+⎧⎨''=-+⎩代入原二次曲线方程，得到关于,x y ''的新方程式，要使其中不含,x y ''项，必须满足222sin cos sin )0θθθθ+-=，即tan 2θ=(0,),23ππθθ∈∴=。
（4）设△OAB 的三个点坐标为O(0,0),A(a 1,a 2),B(b 1,b 2)，在矩阵M =1 k 0 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下作用后形成△OA B ''则△OAB 与△OA B ''的面积之比为___________。
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2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点） 即 A λ1α + λ 2 β = λ1A α + λ 2 A β ； ( ) 例 1：（1）平面上任意一点在矩阵0 ⎪B. C.D.A. ⎝ 0 1 ⎪⎭-1 0⎪⎭0 -1⎪⎭0 1⎪⎭2 ) ，所得图形的新方程式中不含 xy 项，则θ =答案：C 。
解析：由已知得旋转变换矩阵 M = ⎢cos θ -sin θ ⎤x sin θ + ycos θ ⎥⎦ ⎩ y = - x ' sin θ + y ' cos θ y ⎦ ⎣ y '⎦ ⎣ 1⎥⎦⎣0 026.2 几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；，3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
【典型例题】⎛ 1 0 ⎫ 1 ⎪ 的作用下()⎪ ⎝ 5 ⎭A. 横坐标不变,纵坐标伸长 5 倍B. 横坐标不变,纵坐标缩短到 1 5倍C. 横坐标,纵坐标均伸长 5 倍D. 横坐标,纵坐标均缩短到 1 5倍答案：B 。
（2） 表示 x 轴的反射变换的矩阵是()⎛ 1 0⎫ ⎛ -1 0⎫⎛ 0 1 ⎫⎛ 10 ⎫⎪ ⎪⎝⎝⎝答案：D 。
（3）已知二次曲线 2 x 2 + 3xy + y 2 + x - y - 2 = 0 ，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后 (0 < θ <π（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75°⎣sin θ cos θ ⎦⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎡ x cos θ - y sin θ ⎤ ⎧ x = x ' c os θ + y ' s in θT ： ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥ = ⎢ ，从而有 ⎨ ⎣代入原二次曲线方程，得到关于 x ', y ' 的新方程式，要使其中不含 x ', y ' 项，必须满足π π2sin θ cos θ + 3(cos 2 θ - sin 2 θ ) = 0 ，即 tan 2θ = - 3 ，∵θ ∈ (0, ),∴θ = 。
2 3⎡1 k ⎤（△4）设 OAB 的三个点坐标为 O(0,0),A(a 1,a 2),B(b 1,b 2)，在矩阵 M = ⎢对应的变换下作用后形成△ O A 'B ' 则△OAB 与△ OA 'B ' 的面积之比为___________。
答案：1：1。
解析：由题意知 T M 为切变变换，故变换前后的图形面积大小不变。
⎡1 0 ⎤（5）函数 y = 3cos x 在矩阵 M= ⎢ 1 ⎥ 变换作用下的结果是。
⎣ 2 ⎦（1） ⎛10⎫⎪⎪方程为y=2x+2；（2） 1⎭（3） 20⎫曲线方程为x2+y2=4∵⎢01⎥⎢y⎥＝⎢y⎥∴ｘ＝ｘ＇ｙ＝ｙ＇换后的点为A(x,y),则 20⎫⎛x⎫=⎛2x⎫=⎛x1⎫∴2x=x,y=y⎝01⎭⎝y⎭⎝y⎭⎝y1⎭+y⎡cos45-sin45⎤⎢-22⎥，任意选取双曲⎣22⎦''答案：y=3cos x。
解析：本变换是伸压变换。
2例2：试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。
⎝01⎭⎛-10⎫⎪点A（2，5）；⎝•A（-2，5）Y•A（2，5）⎝01⎭O X 答案：（1）所给方程表示的是一条直线。
设A（x,y）为直线上的任意一点，经过变换后的点为：A＇（x1,y1）⎡10⎤⎡x⎤⎡x⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦变换后的方程仍为：ｙ＝２ｘ＋２∴该变换是恒等变换。
（图略）（2）经过变化后变为（-2，5），它们关于y轴对称，故该变换为关于y轴的反射变换（3）所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A（x,y）为曲线上的任意一点，经过变11111将之代入到x22=4可得方程该变换是伸压变换。
Yx2y21+141=4，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，YOXOX图1图2例3：将双曲线C：x2-y2=1上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C'，试求C'的方程。
⎡22⎤⎥答案：由题意，得旋转变换矩阵M=⎢⎥=⎢⎣sin45cos45⎦⎢22⎥⎢⎥线x2-y2=1上的一点P(x0,y0)，它在变换T M作用下变为P'(x0,y0)，则有y ⎦ y ' ⎦⎪ 0 22 ,∴ ⎨ ( x + y ) ⎪ y = 2 ( y ' - x ' )2⎪ 0 2' ⎧1 -1⎥⎦1 -1⎥⎦'( x ' , y ' ) ，则有 ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ y ' ⎥ ，故 ⎨ x - y = y ' , 即 ⎨ y 0 = x 0' - y ' ⎣1 -1⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎩ 0 ⎩ 0 1 -1⎥⎦⎣0 1 ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 1 ⎦⎣1 0 ⎦ 3．将圆 x 2+ y2= 1在矩阵 A = ⎢ ⎥对应的伸压变换下变成一个椭圆 ⎣0 b ⎦4．在矩阵 ⎢⎡1 ⎦⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ M = ⎢ 0 ⎥=⎢ 0 ⎥ ⎣ 0 ⎣ 0 ⎧ ⎪ x 0 = ，故 ⎨⎪ y ' =⎪⎩ 0 x 2 - y 2 = 1上，所以 x 2 - y 2 = 1 ，即有 2x ' y ' = 1 。
∴所求的 C ' 方程为 xy = 0 0 0 0 1 2。
⎡1 0⎤例 4：研究直线3x - 2 y + 1 = 0 在矩阵 ⎢ 对应的变换作用下变成什么图形，并说⎣明其几何意义。
⎡1 0⎤答案：任取直线 3x - 2 y + 1 = 0 的一点 P ( x 0 , y 0 ) ，它在矩阵 ⎢⎣对应的变换作用下变为 P 0 0 ⎡1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎧ x = x ' ⎧ x = x ' 0 0 0 00 0 0 0又因为点 P 在直线 3x - 2 y + 1 = 0 上，所以 3x - 2 y + 1 = 0即有 3x ' - 2( x ' - y ' ) + 1 = 0, x ' + 2 y ' + 1 = 00 0⎡1 0⎤从而直线 3x - 2 y + 1 = 0 在矩阵 ⎢ ⎣作用下变成直线 x + 2 y + 1 = 0 。
其几何意义是：把直线 3x - 2 y + 1 = 0 上的每一点沿垂直于直线 x + 2 y + 1 = 0 的方向投影到该直线上。
【课内练习】1．下列矩阵是二阶单位矩阵的是（ ）⎡1 0⎤ ⎡0 1⎤⎡1 0⎤⎡0 0 ⎤A 、 ⎢ ⎥B 、 ⎢ ⎥C 、 ⎢ ⎥D 、 ⎢ ⎥答案：A 。
解析：由定义知。
2．坐标平面上将一个三角形分别作投影、伸压、旋转、反射、切变的线性变换，则得 到的新图形一定与原三角形全等的个数为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4答案：B 。
解析：只有旋转、反射变换满足。
⎡a 0⎤ y 2x 2 + 4 = 1，则a +b = （ ）3 5 A 、 B 、3 C 、 D 、52 4答案：B 。
解析：由已知得 a = 1,b = 2 。
0⎤⎣2 1⎥ 变换下，点 A(2,1)将会转换成。
答案：(2,5)。
解析： ⎢⎡1 ⎣2 1⎥⎦ ⎢⎣2⎥⎦ ⎣5 ⎦5．若直线 x - y - 4 = 0 在矩阵 M = ⎢ ⎥ 对应的变换作用下，把自己变为自己，则 a , b⎪⎪ 0 1 + ab⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎡ax + y ⎤ 答案：0，2。
解析：由题意知 T M ： ⎢ 0 ⎥ → ⎢ 0 ⎥ = ⎢ ，故 ⎨- x + by ⎥⎦ y ⎦ y ' ⎦ ⎣ 0 ⎣ 0⎪ y = 0 x ' + ay ' ⎣⎩答案： ⎢⎡1 -1⎤⎦ （2）⎢2 1 ⎥⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡2⎤ =⎢ ⎥ 。
⎡a 1⎤ ⎣-1 b ⎦的值分别为。
0 0易求得 a = 0, b = 2 。
6．曲线 C 在伸压变换下 T ： ( x , y ) → ( x ', y ') = (2 x , y ）作用得到 y = 2sin x 的图象，则曲线 C 的方程为。
答案： y = 2sin 2 x 。
解析：由已知，曲线 C 上每一点变换前后纵坐标没有变化，而横坐标变为原来的 2 倍，即将 y = 2sin x 的图象上每一点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的一半，故曲线 C 的方程为 y = 2sin 2 x 。
7．直线 x - y = 1 在矩阵 A 对应的变换作用下变成直线 x = 1 ，则 A 。
⎣0 1⎥。
8．试讨论下列矩阵将所给图形（或方程表示的图形）变成了什么图形?画图并指出该变 换是什么变换？⎡0 -1⎤（1）⎢1 0 ⎥⎡1 0⎤⎣ ⎦点Ａ：（2，1）点Ａ：（2，1）ＹA ’（－１，２）⎡0 -1⎤ ⎡2⎤ ⎡-1⎤答案：（1）、解：∵ ⎢1 0 ⎥ ⎢1 ⎥ =⎢2 ⎥即点Ａ：（２，１）经过变化后变为 A ＇（－１，２）该变换是把向量ＯＡ绕着 原点逆时针旋转９００得到向量 ＯＡ＇ ∴该变换为旋转变换。
变换图形如图１。
O•A （２，１）X图 1A ’（2，5）⎡1 0⎤ ⎡2⎤ ⎡2⎤（2）、解：∵ ⎢2 1 ⎥ ⎢1 ⎥ = ⎢5⎥即点Ａ：（２，１）经过变化后变为ＹOA （2，1）X4 / 9图 2-1 1⎥⎦则 ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ y ⎥ ,∴ ⎨ y = -0x + 0y ，∴ x + y = 0( x ≠ 0) ，图形略。
10．已知矩阵 M=⎢⎡1 2 ⎤，向量α = ⎢ ⎥ ，β = ⎢ ⎥⎡1⎤⎦答案：（1）证明①M(α +β )=M ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥⎪ = ⎢⎛ ⎡1⎤ ⎡2⎤ ⎫⎡1 2 ⎤ ⎡3⎤⎝ ⎣1⎦ ⎣0⎦ ⎭ ⎣3 4⎦ ⎣1 ⎦ ⎣13⎦ = ⎢ ⎥ ，M β ⎣7 ⎦ ⎣6 ⎦ 13⎥⎦⎥ = ⎢7λ + 6μ ⎥ λ ⎦ ⎣0 ⎥⎦ ⎭ ⎢⎣3 4⎥⎦ ⎢⎣ λ 7λ ⎥⎦ ⎣ 6⎦ ⎣ 6μ ⎥⎦ ⎣7 6μ ⎦ λ (M α )= λ ⋅⎢ ⎥ = ⎢ ，μ (M β )= μ ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ ，λ (M α )+μ (M β )= ⎢ ⎥ ⎣ y 2 ⎦ ⎣ y 1 ⎦ 1．变换 ⎛ 1 0 -1⎪⎭ ⎝ q ⎪⎭ ⎝ - q ⎪⎭1⎥⎦⎣ 1⎦ ⎣2 1⎦ ⎣0 1 ⎦⎣0A ＇（2，5）。