关于y=x的反射变换
线性变换与二阶矩阵 课件
x' y'
k1x, k2 y.
对应的二阶矩阵为
k1 0
0 k2 .
4.投影变换
设l是平面内一条给定的直线.对平面内的任意一点P作直线l
y p(x, y)
的垂线，垂足为点P' , 则称点P' 为点P在直线l上的投影.
将平面上每一点P变成它在直线l上的投影P' , 这个变换称为 关于直线l的投影变换.
例1 在直角坐标系xoy内，将每个点绕原点O按逆时针
方向旋转300的变换称为旋转角是300的旋转变换. (1)求点A(1，0)在这个旋转变换作用下的像A'； （2）写出这个旋转变换的表达式.
(1) A'( 3 , 1) 22
(2)x'
3 x 1 y, 2 2 (2)
y'
1 2
x
3 y. 2
是
x' y,
y'
x.
0 对应的二阶矩阵为 1
10.
一般地，我们把平面上的任意一点P变成它关于直线l的对称点 P'的线性变换叫做关于直线l的反射.
探究
在直角坐标系xoy内，直线l过原点，倾斜角为.
你能求出关于直线l的反射变换的坐标变换公式吗？
3.伸缩变换 在直角坐标系xoy内，将每个点的横坐标变为 原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，其中k1, k2 均为非零常数，我们称这样的几何变换为伸缩变换.
q2,且A B，求p, q, x, y.
在直角坐标系xoy内，每个点都绕原点O按逆时针方向旋转
1800.设点P(x, y)经过旋转后变成点P（' x', y' ), x', y'与x, y
三角函数的变换与性质
三角函数的变换与性质三角函数在数学中起着重要的作用，它们与三角学和几何学密切相关。
本文将探讨三角函数的变换与性质，包括平移、缩放和反射等变换，以及周期性、奇偶性和对称性等性质。
1. 平移变换三角函数的平移变换指的是在横轴或纵轴方向上对函数图像进行平移操作。
对于y = sin(x)来说，平移变换可以表示为y = sin(x - a)或y = sin(x + a)，其中a表示平移的量。
当a大于0时，图像向右平移；当a小于0时，图像向左平移。
同样地，对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，也可以用相似的方式进行平移变换。
平移变换可以帮助我们理解函数图像的移动规律，对解决实际问题中的几何和物理相关问题具有重要意义。
2. 缩放变换三角函数的缩放变换是指改变函数图像在横轴或纵轴方向上的尺度。
对于y = sin(x)来说，缩放变换可以表示为y = a*sin(x)或y = sin(ax)，其中a表示缩放的比例。
当a大于1时，函数的振幅增大，图像变窄；当a小于1时，函数的振幅减小，图像变宽。
类似地，对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，缩放变换也可以用类似的方式进行。
缩放变换可以帮助我们研究函数图像的形状和变化，对数学建模和图像处理等领域有着广泛应用。
3. 反射变换三角函数的反射变换是指改变函数图像关于横轴或纵轴的对称性。
对于y = sin(x)来说，反射变换可以表示为y = -sin(x)或y = sin(-x)，其中负号表示对称性的改变。
经过纵轴反射后，图像关于纵轴对称；经过横轴反射后，图像关于横轴对称。
对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，也可以通过反射变换来改变图像的对称性。
反射变换有助于我们研究三角函数图像的特征和性质，对对称几何和信号处理等领域有一定的应用价值。
4. 周期性三角函数具有明显的周期性特征，即函数在一定区间内的值重复出现。
对于y = sin(x)来说，它的周期为2π，即在每个2π的区间内，函数的值会重复。
三角函数的基本变换
三角函数的基本变换三角函数是数学中的重要内容，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
而三角函数的基本变换是理解和应用三角函数的基础。
本文将介绍三角函数的基本变换，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的平移、伸缩和反射三种变换。
一、正弦函数的基本变换正弦函数的标准公式为：y = A*sin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D 为常数，且A不等于0。
对于正弦函数的基本变换，可以通过调整A、B、C、D的值来实现平移、伸缩和反射。
1. 平移平移是指将函数图像沿x轴或y轴方向移动。
当C为正数时，正弦曲线向左平移；当C为负数时，正弦曲线向右平移。
平移的距离由C的绝对值决定，绝对值越大，平移的距离越远。
2. 伸缩伸缩是指将函数图像在x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。
当A的绝对值变大时，正弦曲线在y轴方向上的振幅增大，即拉伸；当A的绝对值变小时，正弦曲线的振幅减小，即压缩。
当B的绝对值变大时，正弦曲线在x轴方向上的周期变短，即拉伸；当B的绝对值变小时，正弦曲线的周期变长，即压缩。
3. 反射反射是指将函数图像关于x轴或y轴进行翻转。
当A为负数时，正弦曲线关于x轴进行翻转；当B为负数时，正弦曲线关于y轴进行翻转。
二、余弦函数的基本变换余弦函数的标准公式为：y = A*cos(Bx + C) + D，其中A、B、C、D为常数，且A不等于0。
余弦函数的基本变换与正弦函数类似，分为平移、伸缩和反射三种变换。
1. 平移余弦函数的平移与正弦函数相同，通过调整C的值来实现。
当C为正数时，余弦曲线向左平移；当C为负数时，余弦曲线向右平移。
2. 伸缩余弦函数的伸缩与正弦函数类似，通过调整A和B的值来实现。
当A的绝对值变大时，余弦曲线在y轴方向上的振幅增大，即拉伸；当A 的绝对值变小时，余弦曲线的振幅减小，即压缩。
当B的绝对值变大时，余弦曲线在x轴方向上的周期变短，即拉伸；当B的绝对值变小时，余弦曲线的周期变长，即压缩。
3. 反射余弦函数的反射与正弦函数类似，通过调整A的值来实现。
计算机图形学复习题及答案
计算机图形学复习题及答案Newly compiled on November 23, 2020中南大学现代远程教育课程考试模拟复习试题.及参考答案计算机图形学一、名词解释1．图形2．像素图3．参数图4．扫描线5．构造实体几何表示法6．投影7．参数向量方程8．自由曲线9．曲线拟合10．曲线插值11．区域填充12．扫描转换二、判断正误（正确写T，错误写F）1.存储颜色和亮度信息的相应存储器称为帧缓冲存储器，所存储的信息被称为位图。
（）2．光栅扫描显示器的屏幕分为m行扫描线，每行n个点，整个屏幕分为m╳n个点，其中每个点称为一个像素。
―――――――――――――――――――――（）3．点阵字符用一个位图来表示，位图中的0对应点亮的像素，用前景色绘制；位图中的1对应未点亮的像素，用背景色绘制。
――――――――――――――――－（）4．矢量字符表示法用（曲）线段记录字形的边缘轮廓线。
―――――――――――（）5．将矢量字符旋转或放大时，显示的结果通常会变得粗糙难看，同样的变换不会改变点阵字符的显示效果。
―――――――――――――――――――――――――（）6．在光栅图形中，区域是由相连的像素组成的集合，这些像素具有相同的属性值或者它们位于某边界线的内部。
―――――――――――――――――――――――（）7．多边形的扫描变换算法不需要预先定义区域内部或边界的像素值。
――――――（）8．齐次坐标表示法用n维向量表示一个n＋１维向量。
―――――――――――――（）9．实体的边界由平面多边形或空间曲面片组成。
―――――――――――――――（）10．平面多面体表面的平面多边形的边最多属于两个多边形，即它的表面具有二维流形的性质。
―――――――――――――――――――――――――――――――（）11．实体几何性质包括位置、长度和大小等。
―――――――――――――――――（）12．实体的拓扑关系表示实体之间的相邻、相离、方位、相交和包含等关系。
几何画板在数学中运用讲座：探索反比例函数的性质.docx
几何画板在数学中运用讲座：探索反比例函数的性质一、画反比例函数y = -v1运行结果：在直角坐标系中画出反比例函数y ==的图像涉及知识：运用［图表］［绘制新函数1的功能画出反比例函数y二丫的图像操作步骤：1、打开新建的文件，［图表］［网格］［方形网格］建立直角坐标系。
2、［图表］［绘制新函数］会出现一个对话框。
选择f方程］y=f(x)然后输入y = I -x ［确定］得到图像3、选取函数图像，［作图］［图像上的点］得到一点C这一点总在图像匕选屮点C［度量］［坐标］得到C 点的坐标。
拖动C点观察横坐标与纵坐标的变化恬况。
二、探索反比例函数图象的对称性运行结果：移动函数上的点C,发现它关于y = X与y = - X对称的点都在反比例函数上1涉及知识：运用［图表］［绘制新函数］的功能画出反比例函数y = 乂的图像,运用［变换］［反射］得到C 点关于y = x和y =・x的对称点操作步骤：2、打开新建的文件，［图表］［网格］［方形网格］建立宜角世标系。
2、［图萄〔绘制新函数］会出现一个对话框。
选择［方程］y司x）然后输入y = 1 -x ［确定］得到图像3、选取函数图像，［作图］［图像上的点］得到一点C这一点总在图像上。
选屮点C［度議］［坐标］得到C 点的坐标。
4、画直线y = x和y二-x,双击［变换］［反射］，得到C点关于y = x与y = - x的对称点，选中这两点［度量1［朋标］，拖动C点，观察C点及两个对称点的横朋标与纵朋标的变化情况。
设置变化过程屮保留痕迹，探索kA ；图像的关系。
涉及知识：运用［图表］［绘制新函数］的功能画出反比例函数y 二入的图像，学会运用［新建参数功能］ ［动画］按钮的制作操作步骤：1、 打开新建的文件，［图表］［网格］［方形网格］建立直角坐标系。
2、 ［图表］［绘制新函数］,在对话框中选取方程y=f(x)［数值］［新建参数］，得到一个对话框将对话框屮的 II 选中输入k,然后输入kmx ［确定］，得到函数图像。
高中数学中的三角函数的基本变换规律
高中数学中的三角函数的基本变换规律在高中数学的学习过程中，三角函数是一个重要的内容。
它们在解决几何问题、物理问题以及工程问题中发挥着重要的作用。
而要理解三角函数的性质和应用，我们首先需要掌握它们的基本变换规律。
一、平移变换规律平移是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行平移。
对于三角函数而言，平移变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的平移变换规律：y = a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示振幅的变化，b表示周期的变化，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。
2. 余弦函数的平移变换规律：y = a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示振幅、周期、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。
通过平移变换规律，我们可以将函数图像在平面上进行移动，从而观察到函数图像的变化。
二、伸缩变换规律伸缩是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行拉伸或压缩。
对于三角函数而言，伸缩变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的伸缩变换规律：y = a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示纵坐标方向的伸缩倍数，b表示横坐标方向的伸缩倍数，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。
2. 余弦函数的伸缩变换规律：y = a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示纵坐标方向的伸缩倍数、横坐标方向的伸缩倍数、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。
通过伸缩变换规律，我们可以观察到函数图像在平面上的形状发生变化，从而更好地理解函数的性质。
三、反射变换规律反射是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行镜像。
对于三角函数而言，反射变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的反射变换规律：y = -a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示振幅的变化，b表示周期的变化，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。
2. 余弦函数的反射变换规律：y = -a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示振幅、周期、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。
第1课时矩阵的概念与几种常见的变换
图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
当旋转角α=1800时
1
0
0 - 1
即原点中心对称
(9)投影变换 1 0 0 0 (x, y) （x,0)
x轴上的投影变换
0 0
0 1
(x, y) （0, y)
y轴上的投影变换
类似地，将平面内图形投影到某条直线(或某 个点上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,相应 的变换称做投影变换
纵坐标不变，横坐标变 为原来的k倍 x轴方向的伸缩变换
横坐标不变，纵坐标变 为原来的k倍 y轴方向的伸缩变换
几种常见的矩阵变换 根据下列新旧坐标关系写出相应矩阵变换
x x
(4)
y
y
1 0
0 1
关于y轴的反射变换
x x
(5)
y
y
1 0 0 -1 关于x轴的反射变换
(6)
x
y
y x
0 1 1 0
T： xy
x y
a c
b
d
x
y
矩阵乘法的形式
的矩阵形式，反之亦然（a,b, c, d R).
两种形式形异而质同
几种常见的矩阵变换 写出下列各矩阵变换下的新旧坐标关系：
1 0 (1) 0 1
(2)
k 0
0
1
1 0
(3) 0
k
x x
y
y
x kx
y
y
x x
y
ky
恒等变换
► 探究点：平面图形的变换 例 2 [2008·江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，设
椭圆 4x2＋y2＝1 在矩阵 A＝20 01对应的变换下得到曲线
F，求 F 的方程． 【思路】用矩阵变换的意义来解题．
M正交变换和仿射变换
1：反射把右手系变成左手系. 反射把右手系变成左手系. 所以反射不是刚体运动. 所以反射不是刚体运动. 2：反射也保持距离不变. ：反射也保持距离不变.
C
A
O
P
B
•Q
O1
π
A1
C1
B1
•Q1
'
P
6：什么叫正交变换？ 什么叫正交变换？ 正交变换：保持距离不变的变换 正交变换：保持距离不变的变换. 1：反射和刚体运动都是正交变换，以及它们 反射和刚体运动都是正交变换， 的乘积都是正交变换. 的乘积都是正交变换. 2：正交变换把一个三角形变成跟它全等的三 角形. 角形. 定理2 正交变换或者是刚体运动， 定理2：正交变换或者是刚体运动，或者是反 或者是刚体运动与一个反射的乘积. 射，或者是刚体运动与一个反射的乘积.
作业
7，10，11 ， ，
复习：坐标变换 复习：
旧坐标系[O, e1 , e2 , e3 ]
O ' = (a1 , a2 , a3 )
' e3
新坐标系[O , e , e , e ] uuuu r ' OO = a1e1 + a2 e2 + a3e3 .
' ' 1 ' 2 ' 3
e3
' e2
e1' = (a11 , a21 , a31 ), e = (a12 , a22 , a32 ),
P
P'
| PP |= k | PP | 0 0
'
π
P0
的对应是一个变换， P 到 P ' 的对应是一个变换，叫做对于平面 π 的压 缩变换， 称作压缩系数. 缩变换， 称作压缩系数. k
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关于y=x的反射变换
反射变换是几何变换的一种，又称对称变换。
对于平面上的一条直线，我们可以将平面上的一些点和它们的镜像点关于这条直线映射到对称位置，从而得到一种新的图形。
这个过程就叫做反射变换。
其中，对于y=x直线的反射变换，是一种常见的变换方式，它不仅在数学中有着重要的应用，同时在生活中也有许多例子。
在这里，我们将详细介绍一下y=x直线的反射变换相关内容。
反射变换是一种平面变换，定义为将平面内的点P和它的镜像点P'关于某条直线L映射到对称位置。
而y=x直线的反射变换，是指将平面内所有点与y=x的交点沿着y=x的对称轴进行对称，得到对称后的新点的过程。
1、y=x的反射变换保持线段长度、角度和方向不变。
2、y=x的反射变换将平面内每一点的对称点作为其图形的一部分，并保持距离直线L 的距离大小不变。
3、y=x的反射变换的映射是自反、对称和传递性的。
对于点(x,y)经过y=x的反射变换后得到的新点(x',y')的公式为：
x' = y
y' = x
1、反射光线在镜面上的反射
在光学领域中，y=x的反射变换被广泛应用在描述光线在平面镜上的反射现象中。
当一束光线碰到平面镜面时，会根据y=x的反射变换规律，沿着特定角度反射到平面镜的另一侧。
这种现象被称为平面镜反射。
2、对称图形的绘制
对于对称图形的绘制，我们可以借助y=x的反射变换来得到某些相对复杂的图形。
例如，我们可以将曲线沿y=x的对称轴对称，得到一个新的曲线图形。
同时，通过多次反射变换，我们可以绘制出非常特殊的图形，如弧形等。
3、编程语言中的数据结构
在编程语言中，使用y=x的反射变换规则，可以帮助我们实现平面上的数据结构。
例如，我们可以使用反射变换来实现一棵二叉树的对称操作，或者通过对多边形进行反射变换来判断其是否具有对称性等。
四、结论
y=x的反射变换是反射变换中最常见，也是应用最广泛的一种变换方式。
对于数学和生活中许多问题，我们都可以借助y=x的反射变换规律来解答。
同时，了解这种变换方式的性质和应用范围，不仅可以帮助我们更好地理解数学中的几何变换问题，也可以帮助我们更好地解决实际生活问题。