正弦定理2
§1.1.1-2 正弦定理(二)
§1.1.1-2 正弦定理(二)
课堂练习 <<教材>> P.4
练习1.2
书面作业
<<教材>> P.10 习题1.1 A组1(1).2(1.3) B组2
2013-1-16
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
（３）正弦定理的变形：
①
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
边角 互化
③ a : b : c sin A : sin B : sin C
2013-1-16
a b c , sin B , sin C wzzxzgr@ 11
①
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
边角 互化
a b c , sin B , sin C ② sin A 2R 2R 2R
③ a : b : c sin A : sin B : sin C
2013-1-16
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
解法二：由正弦定理 a b c 2 R 得：
sin A sin B sin C
sin A
a b c , sin B , sin C 2R 2R 2R
b c a 2 b2 c2 所以 b c , 2 2 2 2R 2R 4R 4R 4R 即 b2 c2 , a 2 b2 c2，则 b c, a2 b2 c2 ,
4
§1.1.1-2 正弦定理(二)
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
Ａ为锐角
Ｃ b Ａ a<bsinA 无解 Ｃ b a Ａ Ｃ b a b Ｃ a Ｃ
高二数学正弦定理2精选教学PPT课件
正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sin C
思考： 正弦定理的基本作用是什么？
思考： 正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其他边，如 b sin A a sin B
思考： 正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其他边，如 b sin A a sin B ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角可以求其他角的正弦值，如 a sin A sin B b
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课堂小结
2. 正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及 一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一 边的对角.
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课后作业
1. 阅读必修5教材P.2到P.4; 2. 教材P.10习题1.1A组第1、2题.
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思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大. A
A C B
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动.
思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大. A 能否用一个等式把 这种关系精确地表示出 C 来？ B
解三角求其他的边和角的过程叫作
解三角形.
讲解范例： 例1. 在△ABC中，已知A＝32.0 ， B＝81.8 ，a＝42.9cm，解三角形.
o o
练习： 在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1 , 边长精确到1cm):
正弦定理所有公式
正弦定理所有公式
正弦定理是数学中最重要的定理之一，也是三角函数的基础。
它描述了三角形内角度和边长之间的关系。
它是一种把三角形内角度和边长联系起来的定理，可以用来计算三角形内角度、边长和面积等。
正弦定理的第一个公式表明，三角形的两个内角比和为180度，即a+b=180°。
它表明了三角形内的角度总和为180度，也是三角形的基本特征。
第二个正弦定理的公式是sin a / a= sin b / b，它描述了三角形内角a和角b之间的比例关系。
这个关系表明，在三角形中，两个内角的正弦值比值相等。
最后一个正弦定理的公式是a = b = c，它表明三角形的三条边长是相等的。
它表明，如果三角形的三条边都是相等的，则三角形是等边三角形。
正弦定理也可以用来计算三角形的面积。
计算三角形面积的公式为S=1/2ab sin C，其中a和b分别是三角形的两条边长，C是三角形的夹角大小。
正弦定理的应用非常广泛，它可以用于计算三角形的角度、边长和面积，以及求解其他相关问题。
它是三角函数的基础，也是数学中最重要的定理之一。
正弦定理二
a b c 正弦定理: (1)正弦定理 = = = 2R sinA sinB sinC
(2)正弦定理解两种类型的三角问题: 正弦定理解两种类型的三角问题:
(1)已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角; 已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角; 已知两角和任意一边 (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其 已知两边和其中一边的对角, 已知两边和其中一边的对角 他的边和角. 他的边和角.
角 化 为 边
因此三角形为等腰直角三角形. 因此三角形为等腰直角三角形.
变形: 变形:sinA b = sinB a
cos A a = cos B b
cos A b = cos B a
已知 ABC 中,满足
(a 2 + b 2 ) sin( A B) = (a 2 b 2 ) sin( A + B ) ,试判断 ABC
b sin A 2 sin 30o sin B = = =1 a 1 π
C b A a=bsinA B
又 B ∈ (0, π ) ,所以 B = 所以 2 即三角形ABC有一解 有一解. 即三角形 有一解
(1)已知ABC 中,A= 30°,a=1,b=2,则 ( A ) ) ° , , A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , (2)已知ABC中,A=30°, a= 2 ,b=2,则 ) ° , (B) A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , 1 (3)已知ABC 中,A=30°, a= 2 ,b=2,则 ) ° , ( ) A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , (4)已知 ABC 中,A=30°,a=m ,c=10,有两解, ) ° ,有两解, 则m范围是 范围是 . 由正弦定理得: 解:(2)由正弦定理得 2 由正弦定理得 又 B ∈ (0, π )且a<b π 3π 所以 B = 或
正弦定理变形9种公式
正弦定理变形9种公式摘要：一、正弦定理简介二、正弦定理的九种变形公式1.公式一2.公式二3.公式三4.公式四5.公式五6.公式六7.公式七8.公式八9.公式九三、总结正文：一、正弦定理简介正弦定理是三角学中的一个重要定理，它揭示了三角形中各边与对应角的正弦值之间的比例关系。
根据正弦定理，我们可以通过已知的边长和角度来计算其他边长或角度。
正弦定理的数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，A、B、C 分别表示对应的三個角。
二、正弦定理的九种变形公式1.公式一：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA2.公式二：b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosB3.公式三：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC4.公式四：a^2 = b^2 + c^2 + 2bc*cosA5.公式五：b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosC6.公式六：c^2 = a^2 + b^2 + 2ab*cosB7.公式七：a^2 = b^2 - c^2 + 2bc*cosC8.公式八：b^2 = a^2 + c^2 + 2ac*cosA9.公式九：c^2 = a^2 - b^2 + 2ab*cosB三、总结正弦定理是三角学中非常基础且重要的定理，掌握其各种变形公式有助于我们更好地理解和应用正弦定理。
在解决实际问题时，我们可以根据问题的具体需求选择合适的公式进行计算。
1.1.1正弦定理2
a b a sin B 1 sin A 解：由 sin A sin B 得 b 2
∵ 在 ABC 中 a b ∴ A 为锐角
A 30
变式：在例 2 中，将已知条件改为以下 几种情况，角B的结果有几种？
1 2
b 20, A 60 , a 20 3 ;
S ABC
∴
S ABC
1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
1 1 S ABC ac sin B ab sin C 2 2 1 bc sin A 2 1 1
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即
变式:
a b c sin A sin B sin C
j AB j AC j CB
B A
j
csin A asinC
同理，过点C作 j BC
a c sin A sin C
则
j AB j (AC CB )
变式训练：
（1） 在△ABC中，已知b= ， 3 A=
45 ， B=
，求 60 a。
b sin A a b 3 sin 45 = = 2 解： ∵ ∴ a sin B sin A sin B sin 60
（2） 在△ABC中，已知c= ， 3A=
， 75B =
60b。 ，求
a b c 3 2 R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
a b b c c a 1 ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A 2sin A : sin B : sin C a : b : c
三角形公式的汇总
三角形公式的汇总
三角形是一个具有三条边和三个角的多边形。
以下是一些与三角形相关的公式：
1. 周长公式：三角形的周长等于三条边的长度之和。
周长 = 边1长度 + 边2长度 + 边3长度
2. 海伦公式：用于计算三角形的面积，其中海伦公式根据三条边的长度进行计算。
面积 = 平方根(s * (s-边1长度) * (s-边2长度) * (s-边3长度))
其中s = (边1长度 + 边2长度 + 边3长度) / 2
3. 正弦定理：用于计算三角形的角度和边长之间的关系。
正弦定理1：a/sinA = b/sinB = c/sinC
正弦定理2：边长a/sinA = 边长b/sinB = 边长c/sinC
4. 余弦定理：用于计算三角形的角度和边长之间的关系。
余弦定理1：a² = b² + c² - 2bc * cosA
余弦定理2：边长a² = 边长b² + 边长c² - 2bc * cosA
5. 正切定理：用于计算三角形的角度和边长之间的关系。
正切定理1：tanA = a/b
正切定理2：tanA = (b*sinC) / (c-b*cosC)
以上是一些常见的三角形公式，它们可以用于解决与三角形相关的问题。
【新教材】正弦定理 (2)
C
＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径 ．
2．正弦定理的变形
(1)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C ；
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； c
(3)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝ 2R ；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A .
解题技巧(已知两角及一边解三角形问题的基本方法)
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边， 再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三 边；
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理 求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
【跟踪训练1】
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 A
解析 因为 tan A＝13，所以 sin A＝ 1100.由正弦定理知 AB＝sBinCA·sin
C＝
10sin 150°＝
10 2.
答案
10 2
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
例 2 在△ABC 中，A＝45°，c＝ 6，a＝2，求 b，B，C.
解析
∵sina A＝sinc C，∴sin C＝csian A＝
答案：2
题型分析 举一反三
题型一 已知两角及一边解三角形
例 1 在△ABC 中，A＝30°，C＝105°，a＝10，求 b，c，B. 解析 因为 A＝30°，C＝105°，所以 B＝45°. 因为sina A＝sinb B＝sinc C， 所以 b＝assiinnAB＝10sisnin3405°°＝10 2， c＝assiinnAC＝10ssiinn3100°5°＝5 2＋5 6.
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等腰三角形或直角三角形
D
）
例2.在∆ABC中，a + b = 6 + 6 3, A = 30°, B = 60° 求边长c
C=12
变式2.在∆ABC中，下列结论正确的是： a b−c (1) = sin A sin B − sin C 2 2 2 2 a +b b+c sin A + sin B sin B + sin C (2) = ⇔ = c a sin C sin A （3）a=b ⇔ sin2A=sin2B (4) sin B > sin C ⇔ b > c ⇔ B > C
C a b h 60° B
A
2.在△ABC中,a=m, b=2, B=30°, 若这个三角形 中 °
有两个解， 的取值范围是_______. 有两个解，则m的取值范围是 的取值范围是
m 30°
m
m 2
m <2<m 2
B
30
°
2<m<4
探究新知（ 探究新知（一）
正弦定理的常见变形公式有哪些？ 正弦定理的常见变形公式有哪些？
a+b a+b+c (4) = = 2 R(比例的性质） sin A + sin B sin A + sin B + sin C
注意：根据（ ），（2 注意：根据（1），（2）可以实现三 角形中的边和角之间的相互转化。 角形中的边和角之间的相互转化。
典例分析
a b 例1.（1）∆ABC中， , ∆ABC 为（ C ） = cos A cos B
小结 1.正弦定理的常见变形公式： 正弦定理的常见变形公式： 正弦定理的常见变形公式 （）a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C 1
(边化角公式）
a b c （2） A = ,sin B = ,sin C = sin （角化边公式） 2R 2R 2R 2.三角形面积计算公式 2.三角形面积计算公式： 三角形面积计算公式：
前置测评
1.在 ∆ABC中 ， 角B的结果有几种？
(1)b = 20, A = 60°, a = 6 3 无解 (2)b = 20, A = 60°, a = 10 3 一解 (3)b = 20, A = 60°, a = 11 3 两解A (4)b = 20, A = 120°, a = 2 3 无解 (5)b = 20, A = 120°, a = 20 3 一解
高一数学必修五第一章
解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理 正弦定理（ 1.1.1 正弦定理（2）
复
习
1.正弦定理： 1.正弦定理：在△ABC中 正弦定理 ABC中
a b c = = = 2R sinA sinB sinC
2.解三角形及三角形解的个数 2.解三角形及三角形解的个数 题型一.已知任意两角及一边有唯一解 有唯一解 题型二. 题型二.已知任意两边与其中一边的 可能有一解， 可能有一解，两解或无解 对角. 对角.
√
×
×
√
探究新知（ 探究新知（二）
你知道的三角形面积计算公式有哪些？ 你知道的三角形面积计算公式有哪些？
1 1 1 (1) S = ah a = bhb = chc 2 2 2
h=?
1 1 1 (2)S= a b sinC = a c sinB = b c sinA 2 2 2
正弦定理
(3 ) S =
1 1 1 （1） S= a b sinC = a c sinB = b c sinA 2 2 2 (2) A + B + C = π (3) sin( A + B ) = sin C , cos( A + B ) = − cos C A+ B C A+ B C (4) sin = cos , cos = sin 2 2 2 2
5 2 5 或 5 5
例4.已知∆ABC中，c = 2 2, a > b, C =
6 10 8 5 24 a= ,b = ,S = 5 5 5
π
4 tan A tan B = 6, 试求a、b及此三角形的面积。
说明：一下三角关系式， 说明：一下三关系式，在解答有关三角形时会经常用 要熟记、记准，并能灵活应用。 到，要熟记、记准，并能灵活应用。
2
(4)S = 2R sin Asin BsinC
a b c 4 R
例3.在∆ABC中，a = 3, b = 5, cos C是方程 10 x − 29 x − 21 = 0的根，求∆ABC的面积。
2
S=6
变式3.在∆ABC中，若AB = 2，BC = 5，S∆ABC =4 B 求 sin 的值。 2
1 1 1 S= a b sinC = a c sinB = b c sinA 2 2 2
作业 1.体验成功1.1.1第7题 1.体验成功1.1.1第 体验成功1.1.1
2.在∆ABC中，B = 30°，AB = 2 3, AC = 2 求此三角形的面积。
（ ）a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C 1
a b c = = = 2R sinA sinB sinC
(边化角公式）
a b c （2） A = sin ,sin B = ,sin C = （角化边公式） 2R 2R 2R (3)a : b : c = sin A : sin B : sin C
A、等边三角形 、 C、等腰三角形 、 B、直角三角形 、 D、等腰直角三角形 、
a b 变式1.若 = , 判断三角形的形状。 变式 若 cos B cos A
变式2. 在∆ABC中，a 2 tan B = b 2 tan A, 则此三角形是（ A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.直角或等腰三角形