1.1.1正弦定理2解的个数
(完整)1.1.1正弦定理(用)
解三角形.
C 30o, a c 4 3
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B
3 2 2
3
b
2
2
Q a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
(3) a b c sin A sin B sin C
abc
k(k 0)
sin A sin B sinC
或a k sin A，b k sin B，c k sinC （k 0）.
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 75（0 三角形中大边对大角）
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
c bsin C 2 6 2 6 2
k,由
正
弦
定理，
得
a ksinA,b ksinB,c ksinC
代入已知条件，得：
sinA
sinB
sinC
cosA cosB cosC
即 tanA tanB tanC
又A,B,C (0,π),A B C, 从而ΔABC为正三角形。
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
1.1.1 正弦定理
已知两角和任意一边， 已知两角和任意一边， 求其他两边和一角 。 。 【例 1】 在△ABC 中，已知A = 45 ， C = 30 ， C c = 10，解三角形. 解： B =180° (A + C) =105° a b
定理的应用
c sin A 10×sin 45° ∴a = =10 2 = sinC sin30° b c = ∵ sin B sin C c sin B 10×sin 105° ∴ b= = = 5( 6 + 2 ) sin 30° sin C
a c = ∵ sin A sinC
A
c
B
【巩固练习】
6+ 2 sin 75 = 4
1.在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°， c= 3 2 ，解三角形.
答案：C = 60°, a = 3 + 3 , b = 2 3
2.在△ABC中，已知 A=30°，B=120°， b=12 ，解三角形.
答案：C = 30°, a = 4 3 , c = 4 3
回应情境 △ABC中，已知 ＝75，C＝60，AC＝100，求 中 已知A＝ ， ＝ ， ＝ ， B AB． ． c 解： = 180° (A + C) = 45° B
b c a ∵ = sin B sinC 60 b sinC 100× sin60° ∴c = = C sin B sin45° = 50 6
b
A
c
D
B
C
a
c
B
D
a b c b 同理可得 = = sin A sin B sinC sin B
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即
§1.1.1-2 正弦定理(二)
§1.1.1-2 正弦定理(二)
课堂练习 <<教材>> P.4
练习1.2
书面作业
<<教材>> P.10 习题1.1 A组1(1).2(1.3) B组2
2013-1-16
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
（３）正弦定理的变形：
①
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
边角 互化
③ a : b : c sin A : sin B : sin C
2013-1-16
a b c , sin B , sin C wzzxzgr@ 11
①
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
边角 互化
a b c , sin B , sin C ② sin A 2R 2R 2R
③ a : b : c sin A : sin B : sin C
2013-1-16
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
解法二：由正弦定理 a b c 2 R 得：
sin A sin B sin C
sin A
a b c , sin B , sin C 2R 2R 2R
b c a 2 b2 c2 所以 b c , 2 2 2 2R 2R 4R 4R 4R 即 b2 c2 , a 2 b2 c2，则 b c, a2 b2 c2 ,
4
§1.1.1-2 正弦定理(二)
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
Ａ为锐角
Ｃ b Ａ a<bsinA 无解 Ｃ b a Ａ Ｃ b a b Ｃ a Ｃ
§1.1.1正弦定理(2)
第一章 1.1.1正弦定理（2）学习目标：加深对正弦定理的理解，熟练掌握正弦定理的应用。
1．正弦定理有哪几种变形？问题探究：探究问题（一）画图判断三角形的解的个数 （1）已知 △ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则 （ ） A 、有一解 B 、有两解 C 、无解 D 、不能确定 （2）已知△ABC 中,A=30°, a= 2，b=2，则 （ ）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定（3）已知 △ABC 中,A=30°, a= 21，b=2，则 （ ）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定总结：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?探究问题（一）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: （1）若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,(b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA（2）若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a说明：已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形的个数。
练习.画图判断满足下列条件的三角形的个数:(1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o (3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o探究问题（二） 利用正弦定理证明两个结论： 1、三角形内角平分线定理的证明：已知：如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD ABDC AC=证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理，得sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC ACβαα==-，两式相除得BD ABDC AC = 三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
正弦定理2
等腰三角形或直角三角形
D
）
例2.在∆ABC中，a + b = 6 + 6 3, A = 30°, B = 60° 求边长c
C=12
变式2.在∆ABC中，下列结论正确的是： a b−c (1) = sin A sin B − sin C 2 2 2 2 a +b b+c sin A + sin B sin B + sin C (2) = ⇔ = c a sin C sin A （3）a=b ⇔ sin2A=sin2B (4) sin B > sin C ⇔ b > c ⇔ B > C
C a b h 60° B
A
2.在△ABC中,a=m, b=2, B=30°, 若这个三角形 中 °
有两个解， 的取值范围是_______. 有两个解，则m的取值范围是 的取值范围是
m 30°
m
m 2
m <2<m 2
B
30
°
2<m<4
探究新知（ 探究新知（一）
正弦定理的常见变形公式有哪些？ 正弦定理的常见变形公式有哪些？
a+b a+b+c (4) = = 2 R(比例的性质） sin A + sin B sin A + sin B + sin C
注意：根据（ ），（2 注意：根据（1），（2）可以实现三 角形中的边和角之间的相互转化。 角形中的边和角之间的相互转化。
典例分析
a b 例1.（1）∆ABC中， , ∆ABC 为（ C ） = cos A cos B
小结 1.正弦定理的常见变形公式： 正弦定理的常见变形公式： 正弦定理的常见变形公式 （）a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C 1
1.1.1正弦定理2
a b a sin B 1 sin A 解：由 sin A sin B 得 b 2
∵ 在 ABC 中 a b ∴ A 为锐角
A 30
变式：在例 2 中，将已知条件改为以下 几种情况，角B的结果有几种？
1 2
b 20, A 60 , a 20 3 ;
S ABC
∴
S ABC
1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
1 1 S ABC ac sin B ab sin C 2 2 1 bc sin A 2 1 1
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即
变式:
a b c sin A sin B sin C
j AB j AC j CB
B A
j
csin A asinC
同理，过点C作 j BC
a c sin A sin C
则
j AB j (AC CB )
变式训练：
（1） 在△ABC中，已知b= ， 3 A=
45 ， B=
，求 60 a。
b sin A a b 3 sin 45 = = 2 解： ∵ ∴ a sin B sin A sin B sin 60
（2） 在△ABC中，已知c= ， 3A=
， 75B =
60b。 ，求
a b c 3 2 R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
a b b c c a 1 ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A 2sin A : sin B : sin C a : b : c
天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 1.1.1 正弦定理课件(二)新人教A版必修5
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.1（二）
问题探究一 问题 1
已知两边及其中一边的对角， 判断三角形解的个数
本 课 栏 目 开 关
在△ABC 中，已知 a，b 和 A，若 A 为直角，讨论三
角形解的情况．(请完成下表) 关系 式 a≤ b a＞b
图形
解的 个数
无
解
一
解
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.1（二）
问题2 在△ABC中，已知a，b和A，若A为钝角，讨论三角 形解的情况．(请完成下表) 关系 式 a≤b a＞b
本 课 栏 目 开 关
图形
解的 个数
无解
一解
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.1（二）
本 课 栏 目 开 关
问题3 在△ABC中，已知a，b和A，若A为锐角，讨论三角 形解的情况．(请完成下表) 关 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥ b 系 a＜bsin A 式
本 课 栏 目 开 关
角，一钝角) (锐角) a>b 一解(锐角)
1.1.1（二）
本 课 栏 目 开 关
2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是否是特殊三 角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统 一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．
1.1.1（二）
1.1.1 正弦定理(二)
【读一读学习要求，目标更明确】 1．熟记正弦定理的有关变形公式． 2． 探究三角形面积公式的表现形式， 能结合正弦定理解与面 积有关的斜三角形问题． 3．能根据条件，判断三角形解的个数． 【看一看学法指导，学习更灵活】 1．已知两边及其中一边对角解三角形，其解不一定唯一，应 注意运用大边对大角的理论判断解的情况． 2． 判断三角形形状时， 不要在等式两边轻易地除以含有边角 的因式，造成漏解．
黑龙江省哈尔滨市高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正
1.1.1 正弦定理(二)【学习目标】1．能应用正弦定理解三角形；2．掌握三角形面积公式；3．能利用条件判断三角形解的个数【重点难点】正弦定理及其应用；解三角形中知两边一对角型中解的判断.【知识梳理】1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 的常见变形： (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ； (3)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. 2．正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 3．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12acsin B . 4．ABC ∆中，已知,a b 及锐角A ，则a 、b 、sin A 满足什么关系时，三角形无解，有一解，有两解？⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ),( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a ⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a【课内练习】1、已知△ABC 的面积为23，且3,2==c b ，则∠A 等于 （ ） A ．30° B ．30°或150° C ．60°D ．60°或120° 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3， b ＝1，则c ＝________.3．（1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆；（2）在C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆.4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4， cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .【课外练习】1．△ABC 中,∠A、∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°,4,6==b a ,那么满足条件的△ABC（ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定2．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( ) A ．1 B ．2C. 12D ．4 3．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 4．（1）在ABC △中，3,6,30a c A ===o ，求ABC △的面积S .（2）在ABC △中，4,30,45a B C ===o o，求ABC △的外接圆半径R 和面积S .。
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a b sin A 无解
a bsinA 一解(直角) bsinA a b 二解(一锐，一钝)
a ≥ b
一解(锐角)
已知边a,b和A
C b
a
A H
a<CH=bsinA 无解
C
C
b a
A B
b
a
a
A
B1 H B2
a=CH=bsinA 仅有一个解
CH=bsinA<a<b 有两个解
C
b
a
A
H
B
ab
仅有一个解
⑵若A为直角或钝角时:
a ≤ b 无解 a b 一解(锐角)
C a
b
A
C
b
a
A
已知两边和其中一边的对角”的三角形的解
的个数的表格
A 90o
A 90o
a b 一解
一解
a b 无解
一解
a bsin A 二解
a b 无解 a bsin A 一解
C
∵
2√3
3
> 1，
20
∴ 无解.
60° A
思考： 当b＝20，A＝60°，a＝？时，
有1解、2解、无解.
练习
ABC中，
（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°， 则a＝√_2___，
（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，
则B＝_3_0_°_，
（3）已知c＝2，A＝45°，a＝ 2√6 ，则
B＝_7_5_°__或__1_5_°____.
3
小结
1. 正弦定理 解三角形时，注意大边对大角
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
＝2R
是解斜三角形的工具之一.
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边；(只有一解) （2）已知两边及其中一边的对角→↓.
⑴若A为锐角时:
无解！
C
a
b
B
c
A
为啥呢？
在△ABC中，将已知条件改为以下几 种情况，结果如何？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 ;
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 ;
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
C
b
A 60°
B
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3
sinB＝
b
sinA a
＝
1 2
，
B＝30°或150°，
C
2060° 20√3
A
B
∵ 150°＋60°> 180°，
∴ B＝150°应舍去.
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 C
sinB＝
b sinA a
＝1 ，
20
B＝90°.
60°
A
B
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
sinB＝
b
sinA a
＝
2√3
3
，
1.1.1正弦定理 ----解的个数
复习回顾：1. Βιβλιοθήκη 弦定理abc
sin A sin B sinC
是解斜三角形的工具之一.
注：每个等式可视为一 个方程：知三求一
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边； （2）已知两边及其中一边的对角.
上一节课后探究结果展示
在△ABC中，已知 a=4，b=10 , A=30°, 三角形的解的情况又怎样呢? 你能画三角形吗?
a bsin A 无解
作业:
1、已知在 ABC中，c 10, A 450 ,C 300 ,求a,b和B
2、在 ABC中，b 3, B 60 0 , c 1,求a和A,C
3、 ABC中，c 6, A 450 , a 2,求b和B,C