两种方法求一个数的算术平方根的近似值
人教版七年级数学下册 (平方根)实数课件教学(第2课时)
(2)因为6>4，所以 6 > 2，所以
61 >
21 =1.5.
2
2
归纳 比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值
例3 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积 为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正 在发愁.你能帮小丽算出她能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的 大正方形？
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角 三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形.
你知道这个大正方形的边长是多少吗？
解：设大正方形的边长为 x dm，则 x2 = 2.
由算术平方根的意义可知
直线平行.
3.互如相果平两行 条直线都与第三条直线平行,那么这两 条直线也
.
[检测]
1.在同一平面内,不是重合( 的两)条直线的位置关C系
A.平行或垂直
B.相交或垂直
C.平行或相交
D.不能确定
2.下列说法正确D的是 ( ) A.不相交的两条线段是平行线
B.不相交的两条直线是平行线
C.不相交的两条射线是平行线
按键顺序：
a=
注意：不同的计算器的按键方式可能有所差别
例4 用计算器求下列各式的值： 3136=
2=
利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你 发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?
… 0.062 5 0.625 6.25
62.5
… 0.25 0 6 2.5
7.906
625
第 五
相交线与平行线
6.1 算数平方根的比较-人教版数学七年级下册教学课件
(2)用计算器计算 3 (精确到0.001),并利用你在(1)中发现的 规律说出 0.03, 300, 30 000 的近似值,你能根据 3 的值 说出30 是多少吗?
3 ≈1.732
3．利用规律计算 2 ≈1.414， 20 ≈ 4.472， 则 0.2 ≈ 0.4472.
10
再探新知：
小组交流课本43页“探究”内容，你得到的规 律是什么？
被开方数的小数点每向右(或左)移动_两__ 位,则它的算术平方根的小数点向右(或左)移 动 _一_位__
被开放数扩大（或缩小）100 倍，算术平方
根扩大（缩小） 10 倍
自我检测：
1.若 12.5 3.535，1.25 1.118 那么 125 11 .8； 0.125 0 .35 35 . 2.若已知 7.45 2.729， y 272.9； 那么y 74 50 0 .
7.国际比赛的足球场的长在12m到14m之间，宽在 9m到11m之间，现有一个长方形的足球场其长是宽 的1.5倍，面积为150m2，问：这个足球0 6 2.5 7.906 25 79.06 250
规律：被开方数的小数点向右每移动 2 位,它的算术平 方根的小数点就向右移动 1 位;被开方数的小数点向左 每移动 2 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 1__位.
9
知识点三：用计算器求算术平方根
新知探究
课本第43页探究:
小丽想用一块面积为400cm²的正方形纸片沿着边的方向裁出一块面积为 300cm²的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2,不知能否裁出来,正在发愁,小明 见了说:“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”,你同 意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?
完全掌握平方根与立方根的计算方法
完全掌握平方根与立方根的计算方法数学作为一门基础学科，对于中学生来说是必不可少的。
在数学学习中，平方根与立方根是常见的概念和计算方法。
掌握平方根与立方根的计算方法，不仅有助于提高数学成绩，还能在实际生活中运用。
本文将详细介绍如何完全掌握平方根与立方根的计算方法。
一、平方根的计算方法平方根是一个数的平方等于该数的算术根。
计算平方根的方法主要有两种：近似法和开方法。
1. 近似法近似法是一种简单快捷的计算平方根的方法。
例如，要求√10的近似值，我们可以先找出最接近10的完全平方数，即4和9。
4的平方根是2，9的平方根是3，显然10介于2和3之间，所以√10的近似值可以取为2.5。
这种方法适用于计算不太复杂的平方根，但对于较大的数或者需要更精确的结果时，就不太适用了。
2. 开方法开方法是一种精确计算平方根的方法。
它主要有两种形式：手算开方和使用计算器开方。
手算开方是一种基于数学原理的计算方法。
以求√16为例，我们可以将16分解为4×4，即(√4)×(√4)，结果是4。
同样地，我们可以通过分解数的因数，将其转化为完全平方数的乘积，然后再进行开方运算。
使用计算器开方则更加方便快捷。
现在的计算器都配有开方功能，只需输入要开方的数，按下开方键即可得到结果。
这种方法适用于计算复杂的平方根或需要高精度结果的情况。
二、立方根的计算方法立方根是一个数的立方等于该数的算术根。
计算立方根的方法主要有两种：近似法和开立方法。
1. 近似法近似法和计算平方根的近似法类似。
例如，要求³√27的近似值，我们可以先找出最接近27的完全立方数，即8和27。
8的立方根是2，27的立方根是3，显然27介于2和3之间，所以³√27的近似值可以取为2.5。
这种方法适用于计算不太复杂的立方根，但对于较大的数或者需要更精确的结果时，就不太适用了。
2. 开立方法开立方法是一种精确计算立方根的方法。
它可以通过数学原理进行手算开立方，也可以使用计算器进行开立方运算。
正数的平方根计算
正数的平方根计算平方根是数学中常见的一个概念，它表示一个数的算术平方根。
在数学中，对于正数的平方根计算有多种方法和公式。
本文将介绍一些常见的计算正数平方根的方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求近似解的方法，也可以用来计算正数的平方根。
其基本思想是通过不断迭代，逐步逼近平方根的准确值。
设要计算正数a的平方根x，可以假设一个近似值x0，然后使用以下迭代公式不断更新：x = (x0 + a / x0) / 2通过多次迭代，可以得到越来越接近真实平方根的近似值。
当迭代次数足够多时，可以达到较高的精度。
二、二分法二分法是一种简单而直观的方法，也可用于计算正数的平方根。
它基于数值的性质，通过逐步缩小搜索范围来找到平方根的近似值。
对于一个正数a，可以将其平方根的范围确定在[0, a]之间。
然后，将范围分成两半，选择中间值m作为近似值，判断m的平方是否接近于a。
如果m的平方大于a，则将范围缩小为[0, m]；如果m的平方小于a，则将范围缩小为[m, a]。
通过不断缩小范围，可以逐步逼近平方根的准确值。
三、数值逼近法除了上述两种传统的方法外，现代计算机科学中还有许多数值逼近算法可以用于计算正数的平方根。
这些算法利用数学模型和计算机运算能力，能够更快、更精确地获得平方根的近似值。
其中，最常用的是牛顿-拉夫逊迭代法（Newton-Raphson iteration），它是对牛顿迭代法的改进和优化。
此外，还有连分数法（continued fraction），以及一些近似平方根的公式和算法。
综上所述，计算正数的平方根有多种方法可供选择。
对于一般的计算需求，可以选择牛顿迭代法或二分法；而对于更高的精确度要求，可以考虑使用数值逼近法。
需要注意的是，不同的方法在计算效率和精度上可能有所差异，可以根据实际需求选择合适的方法。
此外，计算平方根时还需要注意数值的范围和精度，避免计算结果的误差。
总之，计算正数的平方根是数学中的一项基本运算，有多种方法可供选择。
平方根(2)课件 2022-2023学年人教版数学七年级下册
C. 6＜x＜7；
D. 7＜x＜8.
3、设 n 为正整数，且 n 23 n 1 ，则 n ＝ 4 .
例题讲解
课本 第43页 例3
例1 小丽想用一块面积为400 cm²为的长方形纸片，沿着边
的方向剪出一块面积为300 cm²的长方形纸片，使它的长宽 之比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：
根据边长与面积的关系得 3x•2x=300 6x2=300 x2=50
形纸片的长应该大于21 cm. 因为 400 =20. 所以正方形纸 片的边长只有20 cm. 这样， 长方形纸片的长将大于正方形 纸片的边长.
x= 50 .
答：不能同意小明的说法. 小
所以长方形纸片的长为 3 50
丽不能用这块正方形纸片裁出
2
例题讲解 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的 算术平方根(或其近似值). 例2 用计算器求下列各式 的值． （1） 3136；
（2） 2 （精确到0.001）．
用计算器计算算术平方根 下面我们来看引言中提出的问题： 宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第 一宇宙速度v1而小于第二宇宙速度 v2．
“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸
片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要 求的纸片吗？
400 cm² 够长吗？ 够宽吗？
300 cm²
例题讲解
课本 第43页 例3
解：设长方形纸片的长为3x cm， 因为50＞49，所以 50＞7.
宽为2x cm.
由上可知3 50 ＞21，即长方
算术平方根的规律 （2）利用计算器计算 3 1.732 ，并利用（1）中
发现的规律说出 0.03， 300 ， 30000 的近似值，你能根据 3 的值说出 30 是多少吗?
人教版数学七年级下册6-1 平方根 第2课时 教案
6.1 平方根第2课时教学设计课题 6.1 平方根第2课时单元第六单元学科初中数学年级七下学习目标1.会用计算器求一个数的算术平方根;理解算术平方根随着被开方数扩大(或缩小)而变化的规律;2.通过求一个数的算术平方根的近似值，初步了解开方开不尽的数的无限不循环性，理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义;3.能用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值;4.体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数，培养探求精神，提高学生学习数学的兴趣.重点夹逼法及估计一个(无理)数的大小.难点会用计算器求一个数的算术平方根;理解算术平方根随着被开方数扩大(或缩小)而变化的规律.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课【创设情境】1.什么是算术平方根？一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x² a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数.2.求下列各式的值.(1)的算术平方根=_______(2)的算术平方根=_______追问：你2知道它有多大吗？【教学建议】让学生说出算术平方根的概念，并让学生回答，最后引出2有多大的疑问？学生思考并回答计算并思考.回顾旧知，引出本节课重点内容，如何求一个算术平方根的近似值.讲授新课【合作探究】能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为2 dm2 的大正方形？学生分组讨通过探究活动,引出求的一种如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2的大正方形.你知道这个大正方形的边长是多少吗？解：设大正方形的边长为x dm，则x2 = 2由算术平方根的意义可知x=所以大正方形的边长是dm.小正方形的对角线的长是多少呢？x=小正方形的对角线的长即为大正方形的边长.学生分组讨论、拼图过程中，教师巡视，了解各组探究情况，最后动态展示拼图过程，由学生代表回答解题思路，教师进行板书示范.最后教师可强调大正方形的面积不能表示成一个有理数的平方，因此它的边长只能用算术平方根的符号，即表示.想一想：2有多大呢？()2=2无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.播放动画过程中，教师可提问,对于(1)、(2)教师带领学生进行完成，(3)、(4)学生独立完成(1)在哪两个整数之间？(2)精确到0.1时在哪两个数之间？论、拼图，回答教师问题.方法，并举例说明什么是无限不循环小数，让学生理解其概念.(3)精确到0.01时在哪两个数之间？(4)精确到0.001时在哪两个数之间？最后，教师给出无限不循环小数的概念.【小试牛刀】你能估算出的近似值吗(精确到0.01)？解：∵22=4，32=9，∴2<<3.∵ 2.2²=4.84，2.3²=5.29，∴ 2.2<<2.3.∵ 2.23²=4. 9729，2.24²=5. 0176，∴ 2.23 <<2.24.∵ 2.2362 =4.999696，2.2372 =5.004169，∴ 2.236<<2.237，∴≈2.24.归纳：对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小.【合作探究】在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数a 的算术平方根(或其近似值).注意：计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，要注意阅读使用说明书.【典型例题】例1用计算器求下列各式的值：(1) ；(2) (精确到0.001).用计算器计算下列算术平方根，你发现了什么规律？学生思考，回答教师问题.通过例题，使学生掌握使用计算器求算术平方根的方法，做一做中的(2)可以和上面所估计的的大小进行比较.解：规律：被开方数的小数点向右或向左移动2位,算术平方根的小数点相应地向右或向左移1位.想一想：用计算器计算,并利用你发现的规律，求,,的近似值.你能根据的值说出是多少吗？【典型例题】例2 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2 的长方形纸片，使它的长宽之比为3 : 2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？解：设长方形纸片的长为3x cm ，宽为2x cm，根据边长与面积的关系得3x∙ 2x = 300，6x2 = 300 ，x2 = 50，x = ，因此长方形纸片的长为3cm .∵50 > 49，∴> 7.由上可知 3 > 21，则长方形纸片的长应该大于21 cm. 思考并积极回答.例题给出了一个实际问题背景，学生一般会认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片，通过学习可以纠正学生的认识.重点使学生掌握通过平方数比较有理数与无理数大小的一种方法.∵= 20，∴正方形纸片的边长只有20 cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.答：不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.例2先由学生尝试，教师再进行讲解.【随堂练习】1.用计算器求下列各式的值：(1) ；(2) (精确到0.01).2.估算的值 ( B )A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间【教学建议】教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，根据学生完成情况适当分析讲解.学生自主练习学生通过练习，可以更好的理解如何用计算器求一个数的算术平方根，进一步提高分析问题和解决问题的能力.课堂小结以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 回顾本节课所讲的内容通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.板书 1.求算术平方根的方法（1）夹逼法（2）用计算器求解2.例题讲解。
平方根的运算与应用
平方根的运算与应用平方根是数学中常见的一种运算，表示一个数的平方根，即平方根运算。
它在日常生活和各个领域中都有广泛的应用。
本文将探讨平方根的运算方法以及它在实际应用中的重要性。
一、平方根的定义与基本运算平方根是指一个数的算术平方根，可以用符号√表示。
例如，√25表示25的平方根，它的值为5。
平方根运算是指找出一个数的平方根的过程。
平方根运算可以用不同的方法进行，包括传统的算术方法和近似计算方法。
传统的算术方法是通过计算数的因数分解来找出平方根，但对于较大的数来说，这个方法不太实用。
近似计算方法则是通过数值逼近的方式，不断逼近平方根的值。
二、平方根在几何中的应用平方根在几何中有着重要的应用。
以正方形为例，对于一个正方形的边长为a，它的面积可以表示为a的平方。
那么，如果已知正方形的面积S，我们可以通过求S的平方根来得到正方形的边长a。
同样地，在三角形中，平方根也有着重要的应用。
以直角三角形为例，已知两个直角边的长度a和b，我们可以通过求a和b的平方和的平方根，得到斜边的长度c。
这一关系被著名的勾股定理所描述。
三、平方根在科学计算中的应用平方根在科学计算中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，使用平方根来计算速度、加速度等物理量。
在化学中，平方根可用于计算离子浓度、反应速率等。
同时，在计算机科学和工程领域中，平方根也被广泛应用。
例如，在图像处理中，平方根可用于计算像素的亮度值。
在信号处理中，平方根可用于计算信号的功率谱密度。
四、平方根的应用举例平方根的应用不限于上述领域，下面举几个实际例子来说明平方根的应用。
1. 财务分析：在财务分析中，平方根可用来计算风险指标，如标准差和波动率，从而评估投资的风险水平。
2. 地理测量：平方根可以用于计算两个地点之间的距离，例如求解两个坐标点之间的直线距离。
3. 生物医学：平方根在生物医学中的应用十分广泛，包括计算心率、脉搏、血压等生理参数。
总结：平方根是一种广泛应用的数学运算，用于计算一个数的平方根。
任何实数都有算术平方根 介值定理
任何实数都有算术平方根介值定理1. 算术平方根的定义在数学中，一个数的算术平方根是指一个数，其平方等于给定的非负数。
4的算术平方根为2，因为2的平方等于4。
具体地说，对于任意一个非负实数a，如果存在一个实数x使得x的平方等于a，那么x就是实数a的算术平方根。
符号√a表示非负实数a的算术平方根。
2. 实数的算术平方根的存在性首先需要证明任意非负实数都有算术平方根。
设a≥0，存在实数x，使得x的平方等于a。
如果a=0，显然存在一个实数0，使得0的平方等于0。
如果a>0，根据实数的性质，存在一个实数x，使得x的平方等于a。
这表明任意非负实数都有算术平方根。
3. 介值定理介值定理是实数连续函数的一个重要定理，它描述了函数在一个区间上的取值范围。
介值定理的内容是：如果实数函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a)和f(b)异号（或者f(a)=0或f(b)=0），那么在开区间(a, b)内至少有一个数c，使得f(c)=0。
4. 介值定理与算术平方根的关系介值定理和实数的算术平方根之间存在着密切的关系。
事实上，介值定理保证了任意非负实数的算术平方根存在。
具体地说，如果我们考虑函数f(x) = x^2 - a，其中a是一个非负实数。
对于f(x)在闭区间[-a, a]上连续，并且f(-a)和f(a)异号（或者f(-a)=0或f(a)=0），根据介值定理，存在一个数c，使得f(c)=0。
这个数c就是非负实数a的算术平方根。
5. 算术平方根的性质实数的算术平方根具有如下性质：- 非负实数的算术平方根是非负的；- 任意实数的算术平方根都是实数；- 如果a和b都是非负实数，那么√(ab) = √a * √b。
6. 结论通过以上的论述，我们可以得出结论：任何实数都有算术平方根。
这一结论是基于介值定理和实数连续函数的性质得出的，它保证了任意非负实数都有算术平方根的存在性。
算术平方根在数学和实际生活中都具有重要的意义，它的存在性为实数的运算和分析提供了坚实的基础。
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两种方法求一个数的算术平方根的近似值
的近似值
方法一：二分法
的近似值在（1，2）之间，取（1，2）的中点1.5，1.52=2.25，
的近似值就落在（1，1.5）之间，再取（1，1.5）中点1.25，1.252
=1.5625，
的近似值就落在（1.25，1.5）之间，再取（1.25，1.5）中点1.375，1.3752=1.890625， … …
的近似值
方法二：用平方法求算术平方根的近似值
我们知道，实数的大小比较和运算，常常需要求近似值．而求算术平方根的近似值通常使用计算器，但如果我们身边没有计算器时，如何求算术平方根的近似值呢？这里，我们介绍一种用平方法求算术平方根近似值的方法．
例1 求19的近似值．
析解：因为16＜19＜25，所以4＜19＜5．因此19等于4加上一个纯小数，不妨设这个纯小数为a ．则19=4+a ．
用“平方法”得：2
2816)4(19a a a ++=+=
因为a 是一个纯小数，2a 远远小于a 816+．在求19的近似值时，可以把它忽略不计．即a 81619+≈
此时，容易求得4.0≈a 所以19精确到小数点后面第一位的近似值是4+0.4=4.4．
如果要求更准确一点的近似值． 再设19=4.4+b ，再用平方法得：228.836.19)4.4(19b b b ++=+=．
同样，由于2b 远远小于b 8.836.19+，求19的近似值时，可以把它忽略不计．即
b 8.836.1919+≈．求得：04.0-≈b ． 所以19精确到小数点后面第二位的近似值是4.4+（－0.04）=4.36．
如此，进行下去，可以求得精确度更高的近似值，只是计算量会越来越大，不过我们通常要求的精确度不是很高．
掌握了以上原理之后，可以直接省略完全平方展开式中的二次项，从而使过程简化． 例2 求31的近似值．
解：设31=5+a ，则：a a 1025)5(312+≈+=
求得6.0≈a 所以31精确到小数点后面第一位的近似值是5+0.6=5.6． 再设31=5.6+b ，则：b b 2.1136.31)6.5(312+≈+=．
求得：03.0-≈b ． 所以31精确到小数点后面第二位的近似值是5.6+（－0.03）=5.57．
…… 你会做了吗？那就请你试试求110的近似值．并用计算器验证一下是否正确．。