四川省内江市2020届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试卷
四川省内江市2020届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试卷
1.本试卷包括第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答第I 卷时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第II 卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
3.考试结束后，监考人将答题卡收回。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置。
) 1.已知集合A ＝{1，2，m}，B ＝{3，4}，若A ∪B ＝{1，2，3，4}，则实数m 为 A.1或2 B.2或3 C.1或3 D.3或4 2.已知复数21
i
z i =
+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.割圆术是估算圆周率的科学方法由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416。
在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为 A.
1π B.3
π
C.3π
D.332π
4.在二项式(x 2
－
1x
)5的展开式中，含x 4
的项的系数是 A.－10 B.10 C.－5 D.5
5.函数y ＝f(x)在P(1，f(1))处的切线如图所示，则f(1)＋f′(1)＝
A.0
B.1
2
C.
3
2
D.－
1
2
6.已知等比数列{a n}是递增数列，a2＝2，S3＝7，则数列{
1
n
a
}的前5项和为
A.31
B.31或
31
4
C.
31
16
D.
31
16
或
31
4
7.函数f(x)＝x2－2x－2|x－1|＋1的图像大致为
8.已知向量(2cos,2sin),(,),(0,1)
2
a b
π
θθθπ
=∈=
r r
，则向量a
r
与b
r
的夹角为
A.
3
2
π
θ
- B.
2
π
θ
+ C.
2
π
θ- D.θ
9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。
右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b 分别为5、2，则输出的n＝
A.2
B.3
C.4
D.5
10.定义在R上的偶函数f(x)满足：任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有21
21
()()
f x f x
x x
-
-
<0，则
A.2log 3
3121(2
)(log )(log 2)9f f f <<- B.2log 3132
1
(log 2)(log )(2)9f f f -<<
C.2log 3
312
1
(log )(log 2)(2
)9
f f f <-< D.2lo
g 3132
1
(2)(log 2)(log )9f f f <-<
11.函数f(x)＝x(x －S 1)(x －S 2)……(x －S 8)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n ＝
1
(1)
n n +，则f′(0)＝
A.
112 B.14 C.18 D.19
12.已知函数2
22,0
()log ,0
x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则
下列结论：①x 1＋x 2＝－1，②x 3x 4＝1，③0<x 1＋x 2＋x 3＋x 4<1
2
，④0<x 1x 2x 3x 4<1，其中正确的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
)
13.已知随机变量ζ服从正态分布N(2，δ2
)，则P(ζ<2)＝___________。
14.设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f(f(x)的定义域为___________。
15.已知函数y ＝f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数满足f(－3－x)＋f(x －1)＝0。
若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋……＋f(2020)＝___________。
16.
对于函数())13
f x x π
ω=-
+(其中ω>0)：
①若函数y ＝f(x)的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π
，则ω＝2； ②若函数y ＝f(x)在(－3π，4
π
)上单调递增，则ω的范围为[12，103]；
③若ω＝2，则y ＝f(x)在点(0，f(0))
x －2y －1＝0；
④若ω＝2，x ∈[0，
2
π
]，则y ＝f(x)的最小值为－12；
⑤若ω＝2，则函数y
＋1的图像向右平移3
π
个单位可以得到函数y ＝f(x)的图
像。
其中正确命题的序号有______________________(把你认为正确的序号都填上)。
三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题考生根据要求作答。
)
(－)必考题：共60分。
17.(本题满分12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设(sinB－sinC)2＝sin2A －sinBsinC。
(1)求A；
(2)当a＝6时，求其面积的最大值，并判断此时△ABC的形状。
18.(本题满分12分)某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验。
为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”。
(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?
(2)从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为X，求X的分布列与数学期望。
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
(其中n＝a＋b＋c＋d)
P(K2≥k0) 0.01 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 19.(本题满分12分)
已知函数
ln ()
x
f x
x
=。
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有lnx<
2
2x
x x e e -成立。
20.(本题满分12分)
已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *
)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9。
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
21n a -，S n 为数列{b n }的前n 项和，若对任意n ∈N *
，总有43
n m S -<，求的取值范围。
21.(本题满分12分)
巳知函数f(x)满足：12
1()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+。
(1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f(＝)－
2
12
x ，且当x>0时，(x －k)g'(x)＋x ＋1>0，求整数k 的最大值。
(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选－题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为13cos 23sin x t
y t =+⎧⎨--+⎩
(t 为参数)。
在极坐标系(与
平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴中，直
线l sin()()4
m m R π
θ-
=∈。
(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值。
23.(本题满分10分)
函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|。
(1)当a ＝1时，求不等式f(x)≤5的解集； (2)若f(x)≥4，求a 的取值范围。
2020年四川省内江市高考数学一诊试卷(理科)
已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）证明：对一切 ，都有 成立．
已知数列 为等差数列，且 ＝ ， ＝ ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，若对任意 ，总有 ，求 的取值范围．
已知函数 满足： ＝ ．
（1）求 的解析式；
（2）若 ＝ ，且当 时， ，求整数 的最大值．
1.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
由两集合的并集为 ，可得出 ＝ 或 ＝ ，即可求出 的值．
【解答】
∵ ＝ ， ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ 或 ＝ ，
2.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 的坐标得答案．
【解答】
解：∵ ，
∴复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
②若函数 ＝ 在（一 ， ）上单调递增，则 的范围为 ；
③若 ＝ ，则 ＝ 在点（ ）处的切线方程为 ＝ ；
④若 ＝ ， ，则 ＝ 的最小值为一 ；
⑤若 ＝ 则函数 的图象向右平移 个单位可以得到函数 ＝ 的图象．
其中正确命题的序号有________（把你认为正确的序号都填上）．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．
故选 .
3.
【答案】
B
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可．
2020届四川省高考数学(理)模拟试题(word版,有答案)
普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A I Z 中元素的个数是（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A 3（B ）23（C 2（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ,DA u u u r g DB u u u r =DB u u u r g DC u u u r =DC u u u r g DA u u u r=-2，动点P ，M满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u uu r ，则2BM u u u u u r 的最大值是（ ）（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+第II 卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2019-2020学年四川省内江市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A={x|x2＜1}，B={x|2x＞1}，则 A∪B=（ ）
A．（0，1） B．（﹣1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
∴
考 ，解得 a=1．
故选：C．
高
您 3．（5 分）下列各组向量中，可以作为基底的是（
A．
，
B．
，
）
祝C．
，
D．
，
【解答】解：对于 A，
， ， 是两个共线向量，故不可作为基底．
对于 B， ， 是两个不共线向量，故可作为基底．
对于 C，
， ， 是两个共线向量，故不可作为基底．．
对于 D， 故选：B．
上单调递减，
则
，可得
φ
，k∈Z．
∴φ= 故选：C
7．（5 分）已知 α 是锐角，若 A． B． C． D． 【解答】解：∵已知 α 是锐角，若
，则 cos2α=（ ）
！
功 ， ∴ cos （ α ﹣ ）
= 则 cos2α=sin（
=， ﹣2α）=﹣sin（2α﹣
）=﹣2sin（α﹣
成）cos（α﹣
， ， 是两个共线向量，故不可作为基底．
4．（5 分）下列说法中正确的是（ ）
A．先把高三年级的 2000 名学生编号：1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的 50 名
学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m，然后抽取编号为 m+50，m+100，m+150…
2020年内江市高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)
2020年内江市高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={0,−1,2，−3，4}，B={x|x2<12}，则A∩B=()A. {4}B. {−1,2，−3}C. {0,−1,2，−3}D. {−3,−2,−1,0，1，2，3}2.已知向量m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，则m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为()A. √13B. 8C. 8√55D. 8√13133.已知复数z满足z+iz=i，则z=()A. 12+12i B. 12−12i C. −12+12i D. −12−12i4.在等差数列{a n}中，若a1+a13=10，则(a5+a9)2+4a7=()A. 120B. 100C. 45D. 1405.已知a=e−0.3,b=log20.6,c=log3π，则()A. b<a<cB. b<c<aC. a<b<cD. c<a<b6.某地一所高中2018年的高考考生人数是2015年的1.5倍，为了更好地对比该校学生情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下条形图：则下列结论正确的是()A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了12C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数不变D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加7.(1+2x)6(1+y)4的展开式中xy2项的系数为()A. 45B. 72C. 60D. 1208.把函数的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位可以得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ的值为()A. 5π6B. π3C. π12或7π12D. 5π12或11π129.执行如图所示的程序框图，如果输入的a=918，b=238，则输出的n=()A. 2B. 3C. 4D. 3410. 如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为：( )A. 12π，4√3πB. 92π，92π C. 9π，94π D. 9π，92π11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过其右焦点F 且与渐近线y =−ba x 平行的直线分别与双曲线的右支和另一条渐近线交于A 、B 两点，且FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( )A. 32B. √2C. √3D. 212. 已知函数f(x)=x 2+1，那么f(a +1)的值为( )A. a 2+a +2B. a 2+1C. a 2+2a +2D. a 2+2a +1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据：x/106元 2 4 5 6 8 y/106元 3040605070x 与y 具有线性相关关系，线性回归方程为y ̂=6.5x +a ̂，则a^的值为____________． 14. 直线y =(ax +1)e x 在点(0,1)处的切线斜率为−2，则a =_____________． 15. 已知α∈R ，，则tan 2α=_________．16. 如图，已知正方形ABCD 的边长是2，E 是CD 的中点，P 是以AD 为直径的半圆上任意一点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a na n +3(n ∈N ∗).(1)求a 2，a 3；(2)求证：{1a n+12}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；(3)数列{b n }满足b n =(3n −1)⋅n2n ·a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式对一切n ∈N ∗恒成立，求λ的取值范围．18. 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为35，但由于体力原因，第7场获胜的概率为25． (1)求甲队分别以4:2，4:3获胜的概率；(2)设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望．19. 如图，多面体ABCDEF 中，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AB//CD ，AD ⊥CD ，AB =AD =1，CD =2． (1)证明：平面BCE ⊥平面BDE ； (2)求二面角C −BE −F 的大小．20. 已知点O 为坐标原点椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a > b >0)的右焦点为F ，离心率为12，点P ，Q 分别是椭圆C 的左顶点、上顶点，△POQ 的边PQ 上的中线长为√72．(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点直线PA 、PB 分别交直线x =2a 于M 、N 两点，求FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．21.设函数f(x)=x3−6x+5，x∈R．(Ⅰ)求f(x)的极值点；(Ⅱ)已知当x∈(1,+∞)时，f(x)≥k(x−1)恒成立，求实数k的取值范围．22.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A(1,π3),B(2√3,π6),圆C经过点A，圆心C为直线ρsin(θ+π6)=12与极轴的交点．(1)求圆C的极坐标方程;(2)若P是圆C上一动点，求线段PB长度的最大值．23.已知函数f(x)=|x|+|x−6|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤10的解集；(Ⅱ)记f(x)的最小值为m，若正实数a，b，c满足a+b+c=m，求证：√a+√2b+√3c≤m．【答案与解析】1.答案：C解析：解：集合A={0,−1,2，−3，4}，B={x|x2<12}={x|−2√3<x<2√3}，则A∩B={0,−1,2，−3}．故选：C．由二次不等式的解法，化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求集合．本题考查集合的交集的求法，同时考查二次不等式的解法，运用定义法解题是关键，属于基础题．2.答案：D解析：本题考查平面向量的数量积的坐标运算、向量的投影定义，考查运算能力，属于基础题．求出m⃗⃗⃗ ，n⃗的数量积和n⃗的模，再由m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗ ·n⃗⃗|n⃗⃗ |，代入数据计算即可得到．解：m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，，则m⃗⃗⃗ ·n⃗=1×2+2×3=8，|n⃗|=√22+32=√13，则向量m⃗⃗⃗ 在向量n⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗ ·n⃗⃗|n⃗⃗ |=√13=8√1313．故选D．3.答案：A解析：本题考查复数的运算；属于基础题；首先求出z，然后求共轭复数．解：因为复数z满足z+iz =i，则z=i−1+i=i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=1−i2，所以z=12+12i;故选A．4.答案：A解析：本题考查了等差数列的性质，属于基础题．利用等差数列的性质可得a1+a13=2a7=10⇒a7=5，则(a5+a9)2+4a7=(2a7)2+4a7即可求得答案．解：在等差数列{a n}中，a1+a13=2a7=10⇒a7=5，∴(a5+a9)2+4a7=(2a7)2+4a7=100+20=120，故选A．5.答案：A解析：本题考查比较大小，考查推理能力和计算能力，属于中档题．利用指数函数的性质和对数函数的性质即可求解．解：因为，故b<a<c，故选A．6.答案：D解析：本题主要考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是熟练掌握频率分布直方图的计算，根据已知及频率分布直方图的计算，可知结论正确的是哪个．解：设2015年该校参加高考的人数为S，则2018年该校参加高考的人数为1.5S．对于A选项，2015年一本达线人数为0.28S，2018年一本达线人数为0.24×1.5S=0.36S，所以一本达线人数增加，故A选项错误;对于B选项，2015年二本达线人数为0.32S，2018年二本达线人数为0.4×1.5S=0.6S，显然与2015，故B选项错误;年相比，2018年二本达线人数不是增加了12对于C选项，2015年和2018年艺体达线率没变，但考生人数不同，故C选项错误;对于D 选项，2015年不上线人数为0.32S ，2018年不上线人数为0.28×1.5S =0.42S ，不上线人数有所增加，故D 选项正确． 故选D ．7.答案：B解析：解：由于(1+2x)6(1+y)4=(1+12x +60x 2+160x 3+⋯+64x 6)(1+4y +6y 2+4y 3+y 4)，可得xy 2项的系数为12×6=72， 故选：B ．把所给的式子利用二项式定理展开，可得xy 2项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．8.答案：C解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律及性质，属于基础题．根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得函数g(x)=−sin(2x −2φ−π3).再根据g(x)为偶函数，可得2φ+π3=kπ+π2，k ∈Z ，结合φ的范围，求出它的值．解：把函数f(x)=sin(−2x +π3)=−sin(2x −π3)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位， 可以得到函数g(x)=−sin[2(x −φ)−π3]=−sin(2x −2φ−π3)的图象， 再根据g(x)为偶函数，可得2φ+π3=kπ+π2，k ∈Z ，即φ=kπ2+π12，k ∈Z ．因为0<φ<π， 所以φ=π12或 φ=7π12，故选C ．9.答案：A解析：解：输入a =918，b =238，n =0， r =204，a =238，b =204，n =1，r =34，a =204，b =34，n =2， r =0，输出n =2， 故选：A ．根据程序框图模拟进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和运行，比较基础．10.答案：D解析：本题考查由几何体的三视图求对应几何体的外接球的表面积和体积.关键是正确还原几何体，明确外接球的半径，然后正确计算即可．解：观察三视图，可得直观图为底面是直角三角形，高为2的三棱锥，所以其外接球是以1，2，2为长宽高的长方体的外接球， 所以外接球直径为√12+22+22=3， 所以外接球的表面积为，体积为43×π×(32)3=9π2，故选D ．11.答案：B解析：本题考查双曲线的离心率，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 确定出A 的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的离心率． 解：∵直线AB 与渐近线y =−ba x 平行，设坐标原点为O ， ∴∠BOF =∠BFO ． 设F(c,0)，则B(c 2,bc2a )， ∵FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A 是BF 的中点，即A(3c 4,bc4a )， 代入双曲线方程可得9c 216a 2−b 2c 216b 2a 2=1，即916e2−116e2=1，e>1，∴e=√2．故选：B．12.答案：C解析：∵函数f(x)=x2+1，∴f(a+1)=(a+1)2+1=a2+2a+2．故选：C．13.答案：17.5解析：本题考查线性回归方程，是一个基础题，题目的条件告诉了线性回归方程的系数，省去了利用最小二乘法来计算的过程．先求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入求出a的值．解：∵x=15×(2+4+5+6+8)=5，y=15×(30+40+60+50+70)=50，∴这组数据的样本中心点是(5,50)，∵ŷ=6.5x+â，∴把样本中心点代入得â=17.5，故答案为17.5．14.答案：−3解析：球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力．解：曲线y=(ax+1)e x，可得y′=ae x+(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为−2，可得：a+1=−2，解得a=−3．故答案为：−3．15.答案：−34解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，二倍角的正切公式，属于中档题．利用同角三角函数基本关系式，化简表达式为正切函数的形式，然后求解即可.解：由题意，平方得，所以，所以tan 2α+4tanα+4tan 2α+1=52，所以3tan 2α−8tanα−3=0， 所以tanα=3或−13．当tanα=3时，；当tanα=−13时，tan2α=2tanα1−tan 2α=2×(−13)1−(−13)2=−34．故答案为−34．16.答案：[−√5,2]解析：本题考查了三角函数的辅助角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．由三角函数的辅助角公式及平面向量数量积的运算得：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ+2sinθ=√5sin(θ+φ)，(其中tanφ=12且φ为锐角)所以θ+φ∈[π2+φ,3π2+φ]，所以当θ=π2时，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ+2sinθ=√5sin(θ+φ)取最大值2，当θ+φ=3π2即θ=3π2−φ时，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ+2sinθ=√5sin(θ+φ)取最小值−√5，即−√5≤AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，得解． 解：建立如图所示的直角坐标系，则A(0,−1)，B(2,−1)，C(2,1)，E(1,1)，D(0,1)， P(cosθ,sinθ)，θ∈[π2,3π2]，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−2,sinθ+1)， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ+2sinθ=√5sin(θ+φ)， (其中tanφ=12且φ为锐角) 所以θ+φ∈[π2+φ,3π2+φ]，所以当θ=π2时，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ+2sinθ=√5sin(θ+φ)取最大值2， 当θ+φ=3π2即θ=3π2−φ时，AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ+2sinθ=√5sin(θ+φ)取最小值−√5， 即−√5≤AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2， 故答案为：[−√5,2]．17.答案：解：(1)a 2=11+3=14,a 3=1414+3=113；(2)由a n+1=a na n +3得1an+1=a n +3a n=1+3a n，即1an+1+12=3(1a n+12)， 又1a 1+12=32，所以{1a n+12}是以32为首项，3为公比的等比数列．所以1a n+12=32×3n−1=3n 2，即a n =23n −1； (3)b n =n2n−1，，，两式相减得，∴T n =4−n+22n−1，．若n 为偶数，则，∴λ<3， 若n 为奇数，则，， ，．∴λ的取值范围为(−2,3)．解析：本题考查数列递推式，等比关系的定义，错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．掌握分类讨论的数学思想方法求解数列不等式是解题的关键，是难题．(1)利用a 1=1，a n+1=ana n +3，可求a 2，a 3；(2)把题目给出的数列递推式取倒数，即可证明数列{1a n+12}是等比数列，由等比数列的通项公式求得1a n+12，则数列{a n }的通项可求；(3)把数列{a n }的通项a n 代入b n =(3n −1)·n2n ·a n ，由错位相减法求得数列{b n }的前n 项和为T n ，对n 分类，则答案可求．18.答案：解：(1)设甲队以4:2，4:3获胜的事件分别为A ，B ，∵甲队第5，6场获胜的概率均为35，第7场获胜的概率为25， ∴P(A)=(1−35)×35=625，P(B)=(1−35)2×25=8125， ∴甲队以4:2，4:3获胜的概率分别为625和8125． (2)随机变量X 的可能取值为5，6，7，P(X =5)=35， P(X =6)=(1−35)×35=625，P(X =7)=(1−35)2×25+(1−35)2×(1−25)=425，∴随机变量X 的分布列为： X 5 6 7P35 625 425E(X)=5×35+6×625+7×425=13925．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．(1)甲队以4:2，4:3获胜的事件分别为A ，B ，甲队第5，6场获胜的概率均为35，第7场获胜的概率为25，由此能求出甲对以4:2，4:3获胜的概率．(2)随机变量X 的可能取值为5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．19.答案：解：(1)证明：取CD 中点H ，连结BH ，则四边形ADHB 为正方形，∴BC =BD =√2，∴CD 2=BD 2+BC 2，∴BC ⊥BD ， ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，DE ⊥AD ， 且，∴DE ⊥平面ABCD ， 又，∴DE ⊥BC ， ∵BD ∩DE =D ，，∴BC ⊥平面BDE ， ∵BC ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面BDE ．(2)解：由题知，DA ，DC ，DE 两两垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则C(0,2，0)，B(1,1，0)， E(0,0，1)，F(1,0，1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 设n⃗ =(x,y ，z)是平面BEF 的法向量， 则{n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +z =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +z =0, 令y =1，得n⃗ =(0,1，1)， 设m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)是平面BEC 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b +c =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b =0令a =1，得平面BCE 的法向量m ⃗⃗⃗ =(1,1，2)， 设二面角C −BE −F 的大小为θ， ∵二面角C −BE −F 为钝角， ∴cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2×√6=−√32， ∴二面角C −BE −F 为150°．解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．(1)取CD 中点H ，连结BH ，推导出BC ⊥BD ，DE ⊥AD ，从而DE ⊥平面ABCD ，DE ⊥BC ，进而BC ⊥平面BDE ，由此能证明平面BCE ⊥平面BDE ．(2)以D 为原点，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出二面角C −BE −F 的大小．20.答案：解：(1)如图所示由题意得△POQ 为直角三角形，且PQ 上的中线长为√72，所以|PQ|=√7．则{ca=12√a 2+b 2=√7a 2−b 2=c 2，解得{a =2b =√3c =1． 所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．(2)由题意，如图设直线l 的方程为：x =my +1， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则M (4,y 3)，N (4,y 4)，，联立方程{x =my +1x 24+y 23=1化简得(3m 2+4)y 2+6my −9=0．则{y 1+y 2=−6m3m 2+4y 1·y 2=−93m 2+4． 由P ，A ，M 三点共线易得y 3−04−(−2)=y 1−0x1+2，化简得y 3=6y1my 1+3，同理可得y 4=6y2my 2+3．FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,y 3)(3,y 4)=9+y 3y 4 =9+6y 1my 1+3·6y 2my 2+3=36y 1y 2m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9+9=36(−93m 2+4)m 2(−93m 2+4)2+3m((−6m 3m 2+4))+9+9=0解析：本题考查椭圆的标准方程以及圆锥曲线中向量参数问题，属于中档题． (1)利用椭圆的性质结合已知可得{ca=12√a 2+b 2=√7a 2−b 2=c 2进而求出椭圆方程；(2)联立直线和椭圆，利用韦达定理表示出FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 进而化简即可． 21.答案：解：(Ⅰ)对函数f(x)=x 3−6x +5求导，得函数f′(x)=3x 2−6． 令f′(x)>0，即3x 2−6>0， 解得x >√2或x <−√2， f′(x)<0，即3x 2−6<0， 解得√2<x <√2，∴f(x)的单调递增区间是(−∞,−√2)及(√2,+∞)， 单调递减区间是(−√2,√2)，所以x =−√2是极大值点；x =√2是极小值点． (Ⅱ)x ∈(1，+∞)时，f(x)≥k(x −1)恒成立，即是k ≤x 3−6x+5x−1恒成立，令g(x)=x 3−6x+5x−1，则g(x)=x 2+x −5，∴g(x)的最小值为−3， 即实数k 的取值范围为k ≤−3．解析：本题主要考查了利用导数求函数单调区间，极值，以及函数的极值的应用，综合性强．(Ⅰ)求出函数的导数，令导数大于0，解得函数的增区间；令导数小于0，解得函数的减区间；令导数等于0，解得函数的极值点，再根据极值点两侧的导数的正负判断是极大值还是极小值； (Ⅱ)因为x ∈(1,+∞)，所以f(x)≥k(x −1)恒成立可转化为k ≤x 3−6x+5x−1恒成立，再化简k ≤x 3−6x+5x−1，求最小值即可．22.答案：解：(1)在ρsin(θ+π6)=12中，令θ=0,得ρ=1,所以圆心C 的坐标为(1,0)． 连接AC ，因为圆C 经过点A(1,π3),所以圆C 的半径AC =1，于是圆C 过极点， 所以圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ. (2)连接OB,BC,在△OBC 中，BC =√(2√3)2+12−2×1×2√3cos π6=√7,所以PB 长度的最大值为√7+1.解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和余弦定理，是中档题．(1)令θ=0,得ρ=1,则圆心C 的坐标为(1,0).易知圆C 的半径AC =1，于是圆C 过极点，可得圆C 的极坐标方程；(2)在△OBC 中，由余弦定理可得BC ，所以PB 长度的最大值为BC +r ．23.答案：解：(Ⅰ)当x⩽0时，由−2x+6⩽10，解得−2⩽x⩽0；当0<x⩽6时，因为6<10，所以0<x⩽6；当x>6时，由2x−6⩽10，解得6<x⩽8，综上可知，不等式f(x)⩽10的解集为[−2,8]．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)的最小值为6，即m=6，所以a+b+c=6，由柯西不等式可得(a+b+c)(1+2+3)=((√a)2+(√b)2+(√c)2)((√1)2+(√2)2+(√3)2)⩾(√a+√2b+√3c)2，因此√a+√2b+√3c⩽6=m．解析：本题考查了绝对值不等式的解法及柯西不等式的应用，属于中档题．(Ⅰ)利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f(x)⩽10的解集；(Ⅱ)利用绝对值不等式，求出m，再利用柯西不等式进行证明．。
四川省内江市城北中学2020年高三数学理模拟试题含解析
四川省内江市城北中学2020年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示，已知球O为棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD3截球O的截面面积为（）A． B．C． D．参考答案：A略2. 设（是虚数单位），则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限参考答案：D略3. 如图，已知二面角为，点，，为垂足，点，，为垂足，且，，，则的长度为 ( )A． B．C． D．参考答案：B4. 设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式的系数为（）A．-150 B．150 C．-500 D．500参考答案：B略5. 现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（）A．6 B．8 C．12 D．16参考答案：C【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求．【解答】解：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有×3=6种方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2=6种方法．综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12种，故选C．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．6. 函数的图像与函数()的图像所有交点的横坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：D略7. 已知集合S={y|y=2x}，T={x|y=lg（x+1）}，则S∩T=( )A．（0，+∞）B．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面垂直于底面，高为4，四棱锥的底面为矩形，矩形的边长分别为3、2，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面垂直于底面，高为4，四棱锥的底面为矩形，矩形的边长分别为3、2，∴几何体的体积V=×3×2×2=4．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及判断数据所对应的几何量．8. 已知z=i（1+i），则在复平面内，复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，则在复平面内，复数z所对应的点（﹣1，1）在第二象限，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是：A BC D参考答案：D10. 如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）(A) (B) -(C) - (D) +参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离线率为__________。
2020届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟数学（理）试题（解析版）
2020届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，若{}1,2,3,4A B =，则实数m 为（ ）A ．1或2B ．2或3C ．1或3D ．3或4【答案】D【解析】根据并集的运算结果可得出实数m 的值. 【详解】集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，且{}1,2,3,4A B =，3m ∴=或4.故选：D. 【点睛】本题考查利用交并集的运算求参数，在处理有限集的计算时，要注意元素互异性这个特征，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数21iz i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数的除法运算将复数z 表示为一般形式，即可得出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】()()()12221211212555i i i i z i i i i -+====+++-， 因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（ ）A ．1πB ．3πC ．πD ．2π【答案】B【解析】计算出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为2126ππ=， 所以，半径为1的圆的内接正十二边形的面积为21121sin 326π⨯⨯⨯=，因此，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为3π. 故选：B. 【点睛】本题考查利用几何概型的概率公式计算概率，解题的关键就是求出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.4．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）． A ．10- B ．5-C ．10D ．5【答案】C【解析】分析：先求出二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出k 的值，即可求得展开式中4x 的项的系数.详解：521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开项()()()552135155C 1C k k k k k k k T x x x ----+=-=-， 、令354k -=，可得3k =， ∴()()5533551C 1C 10kk---=-=．故选C ．点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.5．函数()y f x =在()()1,1P f 处的切线如图所示，则()()11f f '+=（ ）A ．0B ．12C ．32D ．12-【答案】A【解析】由切线经过坐标轴上的两点求出切线的斜率()1f '和切线方程,然后求出(1)f ,即可得到()()11f f '+的值. 【详解】解:因为切线过(2,0)和(0,1)-,所以011(1)202f +=-'=, 所以切线方程为112y x =-,取1x =,则12y ,所以1(1)2f =-, 所以()()1111022f f '+=-+=.故选:A . 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了数形结合思想,属基础题. 6．已知等比数列{}n a 是递增数列，22a =，37S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ） A ．31 B ．31或314C ．3116D ．3116或314【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意求出1a 和q 的值，并确定出等比数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得()21231217a a q S a q q ==⎧⎪⎨=++=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 由于等比数列{}n a 是递增数列，则11a =，2q，1111112n n n na a a q a ++∴===，且111a ，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以12为公比的等比数列， 因此，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为511131211612⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的求和，根据题意求出等比数列的首项和公比是解题的关键，考查方程思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7．函数()2221xf x x x =--+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据()f x ,求出(0)f ,即可排除错误选项. 【详解】解:因为()2221xf x x x =--+,所以(0)0f =,排除ACD .故选:B . 【点睛】本题考查了根据函数解析式选择函数的图象,解题关键是特殊值的选取,属基础题. 8．已知向量()2cos 2a θθ=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b =，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．32πθ- B ．2πθ+ C ．2πθ-D ．θ【答案】C【解析】直接用向量的夹角公式求出两向量的夹角即可. 【详解】 解:因为()2cos ,2sin a θθ=,()0,1b =,所以2sin cos ,sin ||||2a b a b a b θ⋅<>===,因为,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,2a b πθ<>=-,所以向量a 与b 的夹角为2πθ-.故选:C . 【点睛】本题考查了向量夹角的求法和诱导公式,属基础题.9．宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【解析】由程序框图可得， 1n =时， 4462242a b =+=>⨯==，继续循环； 2n =时，6692482a b =+=>⨯==，继续循环； 3n =时，9279281622a b =+=<⨯==， 继续循环；结束输出3n =.点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.10．定义在R 上的偶函数()f x 满足：任意1x ，()212x x x ∈[0,+∞)≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()32log 31212log log 29f f f ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()32log 1321log 2log 29f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()332log log 1212log 229f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()32log 13212log 2log 9f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】根据条件可知()f x 在[0,)+∞上单调递减,然后结合()f x 的奇偶性比较函数值的大小即可. 【详解】解:由任意1x ,()212[,+)x x x ∈0∞≠,有()()21210f x f x x x -<-,知()f x 在[0,)+∞上单调递减,又()f x 为R 上的偶函数, 所以32log (2()3)f f =<31(log )(2)(2)9f f f =-=<12(log 2)(1)f f -=,即()32log 31212log log 29f f f ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:A . 【点睛】本题考查了函数单调性的定义,函数的奇偶性和利用单调性比较函数值的大小,属基础题.11．函数()()()()128f x x x S x S x S =---，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n a n n =+，则()0f '=（ ）A ．112 B ．14C ．18D ．19【答案】D【解析】先利用裂项相消法求出n S ,再求出()f x ',进一步求出(0)f '的值.【详解】 解:因为()11n a n n =+,所以111n a n n =-+,所以11111[(1)()()]2231n S n n =-+-++-+=1111nn n -=++. 由()()()()128f x x x S x S x S =---,得()()()()()()128128()+x [ ] f x x S x S x S x S x S x S ''=------,所以1281281(0)2399S S f S =='⨯⨯⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查了导数的运算和利用裂项相消法求数列的前n 项和,属中档题.12．已知函数222,0()|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则下列结论：①121x x +=-，②341x x =，③1234102x x x x <+++<，④123401x x x x <<，其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质可得122x x +=-，341x x =，数形结合求出12210x x -<<-<<,341122x x <<<<，进而可得结果. 【详解】画出函数()f x 的大致图象如下图，得出122x x +=-，341x x =，①错、②正确；且12210x x -<<-<<，341122x x <<<<， 344415(2,)2x x x x +=+∈， 则123444112(0,)2x x x x x x +++=-++∈，③正确； 因为221211111(2)2(1)1(0,1)x x x x x x x =--=--=-++∈， 所以123412(0,1)x x x x x x =∈④正确.故选C. 【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题13．已知随机变量ζ服从正态分布()22,N δ，则()2P ζ<=___________.【答案】12【解析】根据正态曲线的对称性,直接求解即可. 【详解】解:因为随机变量ζ服从正态分布()22,N δ,所以正态曲线关于2ζ=对称,所以()122P ζ<=. 故答案为:12.【点睛】本题考查了由正态曲线的对称性求概率,属基础题. 14．设函数()()lg 1f x x =-，则函数()()f f x 的定义域为___________.【答案】（-9，1）【解析】先求出(())f f x ,然后根据对数函数的真数大于0,求出其值域. 【详解】解:因为()()lg 1f x x =-,所以()()lg(1())lg[1lg(1)]ff x f x x =-=--.由1lg(1)010x x -->⎧⎨->⎩,得1101x x -<⎧⎨<⎩,所以91x -<<, 所以函数()()ff x 的定义域为(9,1)-.故答案为:(9,1)-. 【点睛】本题考查了函数定义域的求法和解对数不等式,属基础题.15．已知函数()y f x =是定义域为(),-∞+∞的奇函数满足()()310f x f x --+-=.若()11f =，则()()()()1232020f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=___________. 【答案】0【解析】根据()y f x =是定义域为(),-∞+∞的奇函数满足()()310f x f x --+-=,得到(0)0f =和()f x 的周期,再结合(1)1f =,求出(1)f ,(1)f ,(3)f 和(4)f 的值,进一步得到答案. 【详解】解:因为()y f x =是定义域为(),-∞+∞的奇函数满足()()310f x f x --+-=, 所以(0)0f =,(1)(3)(3)f x f x f x -=---=+, 则()(4)f x f x =+,所以()f x 的周期4T=,又()11f =,所以(3)(1)(1)1f f f =-=-=-,(4)(0)0f f ==, 令1x =-,则(31)(2)2(2)0f f f -++-=-=,所以(2)0f -=,所以(2)(2)0f f =--=,所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=,所以()()()()1232020f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=504[(1)(2)(3)(4)]0f f f f ⨯+++=. 故答案为:0. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性的应用,考查了转化思想和计算能力,属中档题.16．对于函数()13f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（其中0>ω）：①若函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π，则2ω=；②若函数()y f x =在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的范围为110,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③若2ω=，则()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为210y --=；④若2ω=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()y f x =的最小值为12-；⑤若2ω=，则函数1y x =+的图象向右平移3π个单位可以得到函数()y f x =的图象.其中正确命题的序号有_______.（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①④【解析】①根据条件,可得44T π=,然后利用周期公式求出ω;②根据()f x 在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,可得332432ωπππωπππ⎧--≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩,然后求出ω的范围;③当2ω=时,求出f (0)和f (x )的导函数,然后求出()()0,0f 处的切线方程的斜率()k f x '=,再求出切线方程即可;④根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,直接利用整体法求出f (x )的值域,从而得到f (x )的最小值;⑤直接求出函数1y x =+的图象向右平移3π个单位的解析式即可. 【详解】解:①若函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π,则 44T π=,所以T π=,所以22T πω==,故①正确;②当(,)34x ππ∈-,则(,)33343x πωππωππω-∈---, 因为0>ω,所以若函数()y f x =在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,则332432ωπππωπππ⎧--≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩, 所以12ω≤,又0>ω,所以102ω<≤,故②错误; ③当2ω=时,())13f x x π=-+,则1(0)2f =-, ())3x x f π'=- ,所以切线的斜率(0)f k ='=,所以()y f x =在点()()0,0f处的切线方程为210y --=,故③错误; ④当2ω=时,())13f x x π=-+,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,ππ2π2[,]333x -∈-,所以当(2)[32sin x π-∈-,所以1()()122min f x =-+=-,故④正确; ⑤当2ω=时,())13f x x π=-+,若1y x =+的图象向右平移3π个单位,则2)]1)1()33y x x f x ππ=-+=-+≠,故⑤错误. 故答案为:①④. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质,曲线切线方程的求法和三角函数的平移变换,考查了数学结合思想和转化思想,属中档题.三、解答题17．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-.（1）求A ；（2）当6a =时，求其面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状.【答案】（1）60；（2）ABC ∆面积的最大值为，此时ABC ∆为等边三角形. 【解析】（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出1cos 2A =，再结合角A 的取值范围可得出角A 的值；（2）对a 利用余弦定理，利用基本不等式求出bc 的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出b c =，可判断出此时ABC ∆的形状. 【详解】 （1）()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，()22b c a bc ∴-=-，222b c a bc ∴+-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，0180A <<，60A ∴=；（2）由余弦定理和基本不等式得222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，236bc a ∴≤=，当且仅当6b c a ===时，等号成立，ABC ∆∴的面积113sin 369322ABC S bc A ∆=≤⨯⨯=.此时，由于6b c ==，60A =，则ABC ∆是等边三角形. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了三角形面积最值的计算，一般利用基本不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.18．某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？ 甲班 乙班 总计 成绩优良（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.附：()()()()()22n da bc K a c b d a b c d -=++++（其中n a b c d =+++）【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）分布列见解析，43. 【解析】(1)根据茎叶图中的数据填写列联表,然后计算2K ,再对照表得出结论; (2)先确定甲班人数X 的所有可能取值,然后分别求其概率,再得到X 的分布列和数学期望. 【详解】解:(1)根据茎叶图中的数据作出22⨯列联表如表所示,根据22⨯列联表中的数据,得()22401041610 3.956 3.84126142020K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯, 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. (2)甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生人数为6. 由题意可知X 的取值分别为X 0=,1X =,2X =,则()22261015C P X C ===；()1124268115C C P X C ⋅===；()24266215C P X C ===. ∴X 的分布列为其数学期望EX =18640121515153⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了独立性检验,离散随机变量的分布列和数学期望,考查了计算能力,属中档题. 19．已知函数()ln xf x x=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明对一切()0,x ∈+∞，都有22ln x x x x e e<-成立.【答案】（1）()f x 的递增区间是()0,e ，递减区间是(),e +∞；（2）证明见解析. 【解析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，然后分别解不等式()0f x '>和()0f x '<，可得出函数()y f x =的递增区间和递减区间；（2）要证22ln x x x x e e<-，即证ln 2x x x x e e <-，构造函数()2x x g x e e =-，证明出()()max min f x g x ≤，并说明两个函数的最值不在同一处取得即可.【详解】 （1）函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，且()21ln xf x x -'=. 令()0f x '>，即ln 1x <，解得0x e <<；令()0f x '<，即ln 1x >，解得x e >. 因此，函数()y f x =的递增区间是()0,e ，递减区间是(),e +∞；（2）要证22ln x x x x e e<-，即证ln 2x x x x e e <-，构造函数()2x x g x e e =-，其中0x >. 由（1）知，函数()ln xf x x=在x e =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 1f x f e e==.()2x x g x e e =-，()1x x g x e-'∴=. 令()0g x '<，得01x <<；令()0g x '>，得1x >.所以，函数()y g x =的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞. 则函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 11g x g e==. ()()maxmin f x g x ∴≤，所以，ln 2x x x x e e <-，因此，22ln x x x x e e<-.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等等式，一般转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．已知数列(){}()*2log 1n a n N -∈为等差数列，且13a=，39a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n n b a =-，n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意*n N ∈，总有43n m S -<，求m 的取值范围.【答案】（1）21nn a =+；（2）[)10,+∞.【解析】（1）设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，利用1a 、3a 求出d 的值，可求出数列(){}2log 1n a -的通项公式，再利用对数式化指数式可求出n a ；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用定义判断数列{}n b 为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式求出n S ，可求出n S 的取值范围，即可得出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】（1）设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，则()()2321222log 1log 1log 8log 22d a a =---=-=，解得1d =，()212log 1log 21a -==，()()2log 1111n a n n ∴-=+-⨯=，12n n a ∴-=，21n n a ∴=+；（2）1221122n n n n b a -===-，11112121222n n n nn n b b -+-∴===，且11b =， 所以，数列{}n b 是以1为首项，以12为公比的等比数列，则11112211212n n n S ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-，由于数列{}n S 单调递增，11S =，12n S ∴≤<， 对任意*n N ∈，总有43n m S -<，423m -∴≥，解得10m ≥. 因此，实数m 的取值范围是[)10,+∞. 【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了等比数列前n 项和的计算，涉及对数的运算以及数列不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.21．已知函数()f x 满足：()()()12102x f f x x x e f x -'=-+. （1）求()f x 的解析式； （2）若()()212g x f x x =-，且当0x >时，()()10x k g x x '-++>，求整数k 的最大值.【答案】（1）()212xe xf x x =-+；（2）2. 【解析】(1)直接对f (x )求导,然后令x =1,求出(0)f ',再令x =0,求出(1)f ',从而得到f (x )的解析式;(2)先求出g (x )的解析式,然后利用分离参数法求出k 的范围,进一步得到整数k 的最大值. 【详解】解:(1)∵()()()12102x f f x x x e f x -'=-+, ∴()()()10x x f x x f ef -''=-+,令1x =得,()01f =,即()()12112x f e f x x x -'=-+, 令0x =得,(1)e f ,∴函数()f x 的解析式为()212xe xf x x =-+. (2)由(1)有()xg x e x =-,则()1x g x e '=-,∴()()()()111xx k g x x x k e x '-++=--++,故当0x >时,()()10x k g x x '-++>等价于()101x x k x x e +<+>-①, 令()1(0)1x h x x x x e +=+>-,则()()()()2221111x x x x xh x e e x xe e e ----=+=-'-, 令函数()2xe x H x =--,易()H x 在()0,∞+上单调递增,而()01H <,()02H >,所以()H x 在()0,∞+内存在唯一的零点, 故()h x '在()0,∞+内存在唯一的零点,设此零点为0x ,则()01,2x ∈. 当()00,x x ∈时,()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时,()0h x '>.∴()h x 在()0,∞+内的最小值为()0h x .又由()00h x '=可得002xe x =+∴()()00000112,31x x x x h x e +=+=+∈-,∴k 2≤, ∴()101x x k x x e +<+>-恒成立,则整数k 的最大值为2.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值,不等式恒成立问题,考查了转化思想和函数思想,属难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程13cos ,23sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴）中，直线l()sin 4m m R πθ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）若圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值. 【答案】（1）圆的普通方程为()()22129x y -++=；0x y m ；（2）2m=-32.【解析】试题分析：(Ⅰ)消去参数可得圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程分别为()()22129x y -++=, 0x y m -+= ；(Ⅱ)由题意结合点到直线距离公式得到关于实数m的方程，解方程可得3m =-±试题解析：（Ⅰ）消去参数t ，得到圆C 的普通方程为()()22129x y -++=.πsin 4m θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得 sin cos 0m ρθρθ--=.所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=. （Ⅱ）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，2=，解得3m =-±23．函数()2f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()5f x ≤的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）[]2,3-；（2）(][),62,-∞-+∞.【解析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，然后分1x ≤-、12x -<<、2x ≥三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式()5f x ≤，即可得出该不等式的解集； （2）利用绝对值三角不等式求出函数()2f x x a x =++-的最小值为2a +，由题意可得出24a +≥，解出该不等式即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()12f x x x =++-.当1x ≤-时，()()()12215f x x x x =-++-=-+≤，解得2x ≥-，此时21x -≤≤-； 当12x -<<时，()1215f x x x =-+-=≤成立，此时12x -<<； 当2x ≥时，()12215f x x x x =++-=-≤，解得3x ≤，此时23x ≤≤. 综上所述，不等式()5f x ≤的解集为[]2,3-；（2）由于不等式()4f x ≥在R 上恒成立，则()min 4f x ≥.由绝对值三角不等式可得()()()222f x x a x x a x a =++-≥+--=+，24a ∴+≥，即24a +≤-或24a +≥，解得6a ≤-或2a ≥.因此，实数a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值不等式恒成立问题的求解，一般转化为函数的最值来处理，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.。
2020届四川省高考数学理科模拟试题有答案(Word版)(已审阅)
普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A I Z 中元素的个数是（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A 3（B ）23（C 2（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ,DA u u u r g DB u u u r =DB u u u r g DC u u u r =DC u u u r g DA u u u r=-2，动点P ，M满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u uu r ，则2BM u u u u u r 的最大值是（ ）（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+第II 卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年四川省内江市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷一
数学试卷一、选择题1.已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则A B =U ( ) A.{|0}x x > B.{|12}x x << C.{|12}x x ≤< D.{|0x x >且1}x ≠2.已知复数z 在复平面内对应的点为()0,1，则1iz+=（ ） A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i --3.已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠.则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知tan 3,2ααπ=∈(0,),则sin 2cos()αα+π-的值为( )5.函数2()sin cos f x x x =+的部分图象符合的是( )A. B.C. D.6.已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则()3f -=( ) A.2-B.1-C.2D.17.根据党中央关于“精准脱贫”的要求，我市某农业经济部门派3位专家对2个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A.16B.14 C. 13D.128.在同一平面内,已知A 为动点,,B C 为定点,且, 2ACB π∠≠,,为中点.过点作交所在直线于,则AQ uuu r 在方向上投影的最大值是( )3BAC π∠=1BC =P BC P PQ BC ⊥AC Q BC uuurA.13B.12D.239.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则()()D Y D X -的值为( ) A.12512B.3512C.274D.23410.在ABC △中,3,4,5AB BC AC ===,过B 点作AC 的垂线，垂足为,D 以BD 为折痕将ABD △折起使点A 到达点P 处，满足平面PBD ⊥平面BDC ，则三棱锥P BDC -的外接球的表面积为( ) A.25πB.16πC.48πD.48125π 11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过右焦点2F 作其渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线C 右支于点P ，若22F P PM =u u u u r u u u u r ，且12120F PF ∠=︒，则双曲线C 的离心率为( )D.12.已知函数2()(1)(0)f x ax x x a =-+>，方程[]()f f x b =对于任意[]1,1b ∈-都有9个不等实根，则实数a 的取值范围为( ) A.(1,)+∞ B.(2,)+∞C.(3,)+∞D.(4,)+∞二、填空题 13.若92()a x x+的二项展开式中的6x 的系数为9，则a =__________ 14.在直角坐标系xOy 中，记0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域为Ω，在Ω中任取一点00(,)M x y ，0031x y -≥的概率P =_________．15.已知点,,A B C 均位于同一单位圆O 上，且2BA BC AB ⋅=u u u r u u u r u u u r ，若3PB PC ⋅=u u u r u u u r，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的取值范围为__________．16.已知函数311()e ,()ln 3x f x g x x -==+，若()()f m g n =，则n m -的最小值为__________． 三、解答题17.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，1237a a a ++=，数列{}n n b a -的前n 项和为2n S n =1.求n a ；2.求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.如图，在四棱锥P ABCD -中,,//,AB PC AD BC AD CD ⊥⊥，且222PC BC AD CD PA =====．1.证明：PA ⊥平面ABCD ；2.在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PM PD的值；如果不存在，请说明理由．19.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单提成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单提成6元，大于40单的部分每单提成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表0.05的前提下认为“繁忙日”与公司有关？ 2.若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望； ②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘，你会推荐小王去哪家？为什么？参考公式和数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++A与抛物线24x y=的焦点重合．1.求椭圆C的方程；2.是否存在直线l，使得直线l与椭圆C交于,M N两点，且椭圆C的右焦点F恰为AMN△的垂心(三条高所在直线的交点)？若存在，求出直线l的方程：若不存在，说明理由．21.已知函数()(1)ln(1)1f x ax b x x=-+++，曲线在点(0,(0))f处的切线方程为x y b-+=．1.求,a b的值；2.若当0x≥时，关于x的不等式2()1f x kx x≥++恒成立，求k的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线:2x tly t=⎧⎪⎨=⎪⎩(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos240ρθ+=．1.写出曲线C的直角坐标方程；2.已知点A，直线l与曲线C相交于点M N、，求11||||AM AN+的值．23.已知函数2()2f x x x=-，()g x a x b=-.1.当1,2a b==，求不等式()()f xg x£的解集；2.若函数()g x满足(1)(1)g x g x+=-，且()3()f xg x+?恒成立，求a的取值范围.参考答案1.答案：A 解析：2.答案：B解析：复数z 在复平面内对应的点为()0,1，则1i 1i i 11i i 1z ++-===--．故选：B ． 3.答案：C 解析： 4.答案：D 解析： 5.答案：B解析：函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，(0)sin 0cos01f =+=排除C ，22()sin cos sin 02424f ππππ=+=>，排除A ，D ， 故选：B ． 6.答案：A 解析：7.答案：A解析：4个专家分为3组，2,1,1，方法数有24C 种，再排到3个县区，故基本事件的总数有2343C A 36⋅=种. “甲，乙两位专家派遣至同一县区”事件的方法数为33A 种，故“甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率” 为61366=. 8.答案：C 解析： 9.答案：A解析：设A 学生答对题的个数为m ，得分5m ，则1(12,)4m B :，139()12444D m =⨯⨯=，9225()2544D X ∴=⨯=．设B 学生答对题的个数为n，得分5n ，则1(12,)4n B :，128()12333D n =⨯⨯=，8200()2533D Y ∴=⨯=．200225125()()3412D Y D X ∴-=-=． 故选：A ． 10.答案：D解析：3,4,5,AB BC AC ===且BD AC ⊥， 可得1216,55BD DC ==， 从而95PD AD ==， 在三棱锥P BDC -中，,,DB DC DP 两两垂直， 可知其为长方体的一部分，其外接球直径2R 5==，故其表面积为：2481425ππ⨯=⎝⎭，故选：D ． 11.答案：A解析：2(,0)F c ，渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，2F M b ∴==，2222,3bF P PM PF =∴=u u u u r u u u u r Q ， 由双曲线定义可知：12122,23bPF PF a PF a -=∴=+， 又12122,120F F c F PF =∠=︒，在12PF F △中，由余弦定理可得：222422214(2)2(2)()93332b b b bc a a =++-⨯⨯+⨯-， 又222c a b =+，23b a ∴=，即32b a =．e 2a ∴===． 故选：A ．12.答案：D解析：因为方程[]()f f x b =对于任意[]1,1b ∈-都有9个不等实根， 不妨令0b =，则方程[]()0f f x =有9个不等实根，令2()(1)0f x ax x x =-+=，解得：1230,x x x ===所以12(),()0,()f x x f x f x x ===都要有3个不同的根 由2()(1)(0)f x ax x x a =-+>可得：22()()(()1)()(1)()f x a x x x ax x x f x ⎡⎤-=---+-=--+=-⎣⎦，所以函数()f x 为奇函数，又22'()(1)213(1)f x a x ax x ax a =-+⋅+=--，由1()f x x =有3个不等实根，可得()f x 不是单调函数，即：1a >令'()0f x =，解得：x = 作出,'(),()x f x f x 的关系如下表：作出的简图如下：要使得1()f x x =有3个根，至少要满足1f x <，即：213a a ⎛⎫⎛⎫⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.05a >≈. 即： 3.05a >，排除,,A B C . 故选：D.13.答案：1解析：92()a x x+∵的二项展开式的通项公式为9319r r rr T C a x -+=⋅⋅， 令936r -=，求得1r =，可得展开式中的6x 的系数为99a =，1a =∴， 故答案为：114.答案：45解析：根据不等式组得到可行域为图中染色部分，满足0031x y -≥的是黑色部分，在中任取一点0000(,),31M x y x y -≥的概率P,即为黑色部分的面积除以总的染色面积，记直线的交点为,,A B C ,2221(,),(2,1),(0,1)31155x y x yA B C y x x y ==⎧⎧⇒⇔-⎨⎨=-=+⎩⎩, 1111,225BOC B AOC A S OC x S OC x =⨯⨯==⨯⨯=,112121422515122P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯ 故答案为：45. 15.答案：[]5,7解析：由2BA BC AB ⋅=u u u r u u u r u u u r 可得：22()BA AC AB BA AC AB AB ⋅-=⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以0BA AC ⋅=u u u r u u u r ，所以BA AC ⊥u u u r u u u r，即线段BC 为单位圆的直径. 以圆心为原点，以BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如下图：则(1,0)B -，(1,0)C设(,)P x y ，则(1,),(1,)PB x y PC x y =---=--u u u r u u u r由3PB PC ⋅=u u u r u u u r 可得：224x y +=，所以点P 在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，因为3PA PB PC PO OA PO OB PO OC PO OA ++=+++++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以3PA PB PC PO OA ++=+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=又1cos ,1PO OA -≤≤，PA PB PC ≤++≤u u u r u u u r u u u r 57PA PB PC ≤++≤u u u r u u u r u u u r.16.答案：2ln 33+ 解析：17.答案：1.设等比数列{}n a 的公比qQ1237a a a ++=即217q q ++=，解得：2q =或3-又{}n a 的各项为正，0q \>，故2q =\12n n a -=2.设n n n c b a =-，数列{}n c 前n 项和为2n S n =.由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得21n c n =-.21n n b a n \-=-121212n n n b n a n -\=-+=-+112[13(21)](122)n n n T a a a n -\=+++=+++-+++L L L22122112nn n n -=+=+--解析：18.答案：1.∵在底面ABCD 中，//,AD BC AD CD ⊥，且22BC AD CD ===， ∴2AB AC ==，BC = ∴AB AC ⊥，又,,AB PC AC PC C AC ⊥⋂=⊂Q 平面,PAC PC ⊂平面PAC ， ∴AB ⊥平面PAC ，又PA ⊂Q 平面PAC ，∴AB PA ⊥，2,PA AC PC PA AC ===∴⊥Q ，又,,PA AB AB AC A AB ⊥⋂=⊂Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ．2.在线段AD 上取点N ，使2AN ND =，则//MN PA ，又由1得PA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ，又∵ABCD 平面ABCD ，∴MN AC ⊥，作NO AC ⊥于O ，又∵MN NO N ⋂=，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO ，∴AC ⊥平面MNO ，又∵MO ⊂平面MNO ，∴AC MO ⊥，又∵AC NO ⊥，∴MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角， 设PM x PD=，则(1)22,22MN x AP x ON AN xAD x =-=-===， 这样，二面角M AC D --的大小为60︒，即22tan tan 60MN x MON ON x -∠===︒=即4PM x PD==-∴满足要求的点M 存在，且4PM PD =- 解析：19.答案：1.依题意得，公司与“繁忙日”列联表222()100(15252535) 4.17()()()()50504060n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯,4.17 3.841>， 所以，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“繁忙日”与公司有关.2.①设乙公司送餐员送餐单数为a ，则当38a =时，386228X =⨯=，当39a =时，396234X =⨯=，当40a =时，406240X =⨯=，当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，当42a =时，40627254X =⨯+⨯=.所以，X 的所有可能取值为228,234,240,247,254，X 的分布列为：11121()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,所以甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8+⨯=（元）,因为238.8241.8<，故从更高收入角度考虑推荐小王去乙公司应聘；因为乙公司比甲公司繁忙，故从工作闲适角度考虑推荐小王去甲公司应聘． 解析：20.答案：1.∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，它的一个顶点A 与抛物线24x y =的焦点重合．抛物线24x y =的焦点坐标为(0,1)1b =∴，由已知得2c a =，再由222a b c =+，解得a = ∴椭圆方程为2212x y +=． 2.设1122(,),(,),(1,0),(0,1)M x y N x y F B ，1BF k =-∴，F ∵是垂心，1MN k =∴∴设MN 的方程为y x t =+，代入椭圆方程后整理得：2234220x tx t ++-=1243t x x +=-∴，将x y t =-代入椭圆方程后整理得：223220y ty t -+-=， 1223t y y +=∴， F ∵是垂心，MF BN ⊥∴，1122(1,),(,1)MF x y BN x y =-=-u u u r u u u r ，1212(1)(1)0MF BN x x y y ⋅=---=u u u r u u u r ∴，整理得：1212120x x x x y y t +--+=， 224220333t t t t 2-----+=∴， 2340t t +-=∴43t =-∴或1t =(舍) ∴存在直线l ，其方程为43y x =-使题设成立． 解析：21.答案：1.函数()(1)ln(1)1f x ax b x x =-+++，导数为'()(ln(1)1)f x a b x =-++，曲线在点(0,1)处的切线方程为0x y b -+=，可得1,1a b b -==,则2a =，即有2,1a b ==；2.当0x ≥时，关于x 的不等式2()1f x kx x ≥++恒成立，可得22(1)ln(1)11x x x kx x -+++≥++恒成立，即有2(1)ln(1)0kx x x x -+++≤对0x ≥恒成立，可设2()(1)ln(1)g x kx x x x =-+++，导数为'()2ln(1)g x kx x =++，设()2ln(1),0h x kx x x =++≥， 1'()21h x k x =++， 当20k ≥时，'()0h x >，()h x 在0x ≥递增，可得()(0)0h x h ≥=，则()g x 在0x ≥递增，()(0)0g x g ≥=，与题设矛盾；当20k <，'()0h x =，可得112x k=--，①当12k ≤-时，1102k--<，在0x ≥时，'()0h x ≤，()h x 递减，可得()(0)0h x h ≤=， 则()y g x =在0x ≥递减，可得()(0)0g x g ≤=恒成立；②当12k >-时，1102k -->，1(0,1)2x k∈-- 上()h x 递增， 在1(1,)2x k∈--+∞递减，且(0)0h =， 所以在1(0,1)2x k ∈--上()(0)0h x h >=，故在1(0,1)2x k ∈--上()g x 递增， ()(0)0g x g ≥=，与题设矛盾．综上可得，k 的范围是1(,]2-∞-解析：22.答案：1.2cos 240ρθ+=∵． 2222cos sin 40ρθρθ-+=∴，2240x y -+=∴，224y x -=∴；2.将直线l的参数方程化为标准形式为：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入曲线C 的方程得234105t t ++=， 1212205,33t t t t +=-⋅=∴， 则1212121111||4||||||||t t AM AN t t t t ++=+==． 解析：23.答案：1.当1,2a b == ，()()f x g x ≤Q222x x x ∴-≤-等价于2222x x x x ≥⎧⎨-≤-⎩ 或2222x x x x <⎧⎨-≤-+⎩解得12x -≤≤所以原不等式的解集为{|12}x x -≤≤2.因为()()11g x g x +=- ，所以函数()g x 的图像关于直线1x =对称， 1b ∴=因为()()3f x g x +≥恒成立， 等价于2231x x a x -+≥-恒成立， 令1x t -=，当1x ≠时，22()t φt t +=2t t=+ ，可知0,()t φt >?；原不等式等价于min()a φt ?；当1x =时，R a ∈ ；综上，a 的取值范围为 (,-∞. 解析：。
2020年四川省内江市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省内江市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．）1.已知集合A＝{1, 2, m}，B＝{3, 4}，A∪B＝{1, 2, 3, 4}，则m＝（）A.0B.3C.4D.3或42.已知复数z=i2i+1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.割圆术是估算圆周率的科学方法由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416．在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（）A.1πB.3πC.√3πD.3√32π4.在二项式(x2−1x)5的展开式中，含x4的项的系数是（）A.−10B.10C.−5D.55.函数y＝f(x)在P（1, f(1)）处的切线如图所示，则f(1)+f′(1)＝（）A.0B.12C.32D.−126.已知等比数列{a n}是递增数列，a2＝2，S3＝7，则数列{1a n}的前5项和为（）A.31B.31或314C.3116D.3116或3147.函数f(x)＝x2−2x−2|x−1|+1的图象大致为（）A. B.C. D.8.已知向量a →=(√2cosθ, √2sinθ)，θ∈(π2, π)，b →=(0, 1)，则向量a →与b →的夹角为（ ） A.3π2−θ B.π2+θ C.θ−π2D.θ9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n ＝（ ）A.5B.4C.3D.210.定义在R 上的偶函数f(x)满足：任意x 1，x 2∈[0, +∞)(x 1≠x 2)，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0，则（ ）A.f(2log 23)<f(log 319)<f(−log 122)B.f(−log 122)<f(log 319)<f(2log 23)C.f(log 319)<f(−log 122)<f(2log 23)D.f(2log 23)<f(−log 122)<f(log 319)11.函数f(x)＝x(x −S 1)(x −S 2)…(x −S 8)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n=1n(n+1)，则f′(0)＝（）A.112B.19C.18D.1412.已知函数f(x)={−x2−2x,x≤0|log2x|,x>0，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论：①x1+x2＝−1，②x3x4＝1，③0< x1+x2+x3+x4<12，④0<x1x2x3x4<1，其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13.已知随机变量ξ服从正态分布N(2, δ2)，则P(ξ<2)＝________．14.设函数f(x)＝lg(1−x)，则函数f（f(x)）的定义域为________．15.已知函数y＝f(x)是定义域为(−∞, +∞)的奇函数满足f(−3−x)+f(x−1)＝0．若f(1)＝1，则f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2020)＝________．16.对于函数f(x)=√3sin(ωx−π3)+1（其中ω>0）：①若函数y＝f(x)的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为π4，则ω＝2；②若函数y＝f(x)在（一π3，π4）上单调递增，则ω的范围为[12, 103]；③若ω＝2，则y＝f(x)在点（0, f (0)）处的切线方程为√3x−2y−1＝0；④若ω＝2，x∈[0, π2]，则y＝f(x)的最小值为一12；⑤若ω＝2则函数y=√3sin2x+1的图象向右平移π3个单位可以得到函数y＝f(x)的图象．其中正确命题的序号有________（把你认为正确的序号都填上）．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设(sinB−sinC)2＝sin2A−sinBsinC．（1）求A；（2）当a＝6时，求其面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．18.某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含6的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为X，求X的分布列与数学期望．附：K2=n(da−bc)2（其中n＝a+b+c+d）(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)19.已知函数f(x)=lnxx．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）证明：对一切x∈(0, +∞)，都有lnx<2xe −x2e x成立．20.已知数列{log2(a n−1)}(n∈N∗)为等差数列，且a1＝3，a3＝9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n−1，S n为数列{b n}的前n项和，若对任意n∈N∗，总有S n<m−43，求m的取值范围．21.已知函数f(x)满足：f(x)＝f′(1)e x−1−f(0)x+12x2．（1）求f(x)的解析式；（2）若g(x)＝f(x)−12x2，且当x>0时，(x−k)g′(x)+x+1>0，求整数k的最大值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分．22.（15年福建）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=1+3costy=−2+3sint（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为√2ρsin(θ−π4)=m，(m∈R)．（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．23.设函数f(x)＝|x+a|+|x−2|．(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若f(x)≥4恒成立，求a的取值范围．2020年四川省内江市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．）1.已知集合A＝{1, 2, m}，B＝{3, 4}，A∪B＝{1, 2, 3, 4}，则m＝（）A.0B.3C.4D.3或4【解答】∵A＝{1, 2, m}，B＝{3, 4}，A∪B＝{1, 2, 3, 4}，∴m＝3或m＝4，2.已知复数z=i2i+1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解答】解：∵z=i2i+1=i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=25+15i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(25,15)，位于第一象限．故选A.3.割圆术是估算圆周率的科学方法由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416．在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（）A.1πB.3πC.√3πD.3√32π【解答】半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为2π÷12=π6，腰为1的等腰三角形，∴该正十二边形的面积为S＝12×12×1×1×sinπ6=3，根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为3π，4.在二项式(x2−1x)5的展开式中，含x4的项的系数是（）A.−10 B.10 C.−5 D.5【解答】解：对于T r+1=C5r(x2)5−r(−1x)r=(−1)r C5r x10−3r，对于10−3r=4，∴r=2，则x4的项的系数是C52(−1)2=10.故选B.5.函数y＝f(x)在P（1, f(1)）处的切线如图所示，则f(1)+f′(1)＝（）A.0B.12C.32D.−12【解答】∵切线过点(2, 0)与(0, −1)，∴f′(1)=−1−00−2=12，则切线方程为y=12x−1，取x＝1，得f(1)=−12，∴f(1)+f′(1)=−12+12=0．故选：A．6.已知等比数列{a n}是递增数列，a2＝2，S3＝7，则数列{1a n}的前5项和为（）A.31B.31或314C.3116D.3116或314【解答】等比数列{a n}是递增数列，且公比设为q，a2＝2，S3＝7，可得a1q＝2，a1+a1q+a1q2＝7，解得a1＝1．q＝2，或a1＝4，q=12（舍去），则1a n =12，数列{1a n}的前5项和为1+12+⋯+116=1−1251−12=3116．7.函数f(x)＝x2−2x−2|x−1|+1的图象大致为（）A. B.C. D.【解答】f(x)＝x 2−2x −2|x−1|+1＝(x −1)2−2|x−1|， 则函数关于x ＝1对称，排除A ，C ， f(0)＝−2+1＝−1<0，排除D ，8.已知向量a →=(√2cosθ, √2sinθ)，θ∈(π2, π)，b →=(0, 1)，则向量a →与b →的夹角为（ ） A.3π2−θ B.π2+θC.θ−π2D.θ【解答】∵向量a →=(√2cosθ, √2sinθ)，θ∈(π2, π)，b →=(0, 1)， 设向量a →与b →的夹角为α，α∈[0, π)，∴cosα=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=√2sinθ√2⋅1=sinθ＝cos(θ−π2)，故α＝θ−π2，9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n ＝（ ）A.5B.4C.3D.2【解答】 当n ＝1时，a =152，b ＝4，满足进行循环的条件， 当n ＝2时，a =454，b ＝8满足进行循环的条件，当n ＝3时，a =1358，b ＝16满足进行循环的条件， 当n ＝4时，a =40516，b ＝32不满足进行循环的条件，故输出的n 值为4，10.定义在R 上的偶函数f(x)满足：任意x 1，x 2∈[0, +∞)(x 1≠x 2)，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0，则（ ）A.f(2log 23)<f(log 319)<f(−log 122)B.f(−log 122)<f(log 319)<f(2log 23)C.f(log 319)<f(−log 122)<f(2log 23)D.f(2log 23)<f(−log 122)<f(log 319) 【解答】任意x 1，x 2∈[0, +∞)(x 1≠x 2)，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0，∴函数在[0, +∞)上单调递减，根据偶函数的对称性可知，函数在(−∞, 0)上单调递增，距离对称轴越远，函数值越小，∵f(2log 23)=f(3)，f(log 319)=f(−2)＝f(2)，f(−log 122)=f(1)，则f(2log 23)<f(log 319)<f(−log 122)．故选：A ．11.函数f(x)＝x(x −S 1)(x −S 2)…(x −S 8)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n =1n(n+1)，则f′(0)＝（ ） A.112 B.19C.18D.14【解答】∵f(x)＝x(x −S 1)(x −S 2)…(x −S 8)，∴f′(x)＝[(x −S 1)(x −S 2)...(x −S 8)]+x[(x −S 1)(x −S 2)...(x −S 8)]′， 则f′(0)＝S 1S 2...S 8， ∵a n =1n(n+1)=1n −1n+1，∴S n ＝1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1=nn+1，则S 1S 2...S 8=12×23×⋯×89=19，12.已知函数f(x)={−x 2−2x,x ≤0|log 2x|,x >0 ，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则下列结论：①x 1+x 2＝−1，②x 3x 4＝1，③0<x 1+x 2+x 3+x 4<12，④0<x 1x 2x 3x 4<1，其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【解答】作出函数f(x)={−x 2−2x,x ≤0|log 2x|,x >0 的图象如图，则x 1+x 2＝−2，故①错误；由f(x 3)＝f(x 4)，得|log 2x 3|＝|log 2x 4|，∴−log 2x 3＝log 2x 4， 则log 2(x 3x 4)＝0，即x 3x 4＝1，故②正确； x 1+x 2+x 3+x 4＝−2+x 3+x 4=x 3+1x 3−2，由log 2x ＝−1，得x =12，则12<x 3<1，∴x 3+1x 3−2∈(0, 12)，即0<x 1+x 2+x 3+x 4<12，故③正确；x 1x 2x 3x 4＝x 1x 2＝x 1(−2−x 1)=−x 12−2x 1， ∵−2<x 1<1，∴−x 12−2x 1∈(0, 1)， 即0<x 1x 2x 3x 4<1，故④正确． ∴正确命题的个数是3个．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.） 已知随机变量ξ服从正态分布N(2, δ2)，则P(ξ<2)＝________． 【解答】∵随机变量ξ服从正态分布N(2, δ2)， ∴正态曲线的对称轴是x ＝2 ∴P(ξ<2)＝0.5设函数f(x)＝lg(1−x)，则函数f （f(x)）的定义域为________． 【解答】要使函数有意义，则1−x >0，得x <1，即函数f(x)的定义域为(−∞, 1)， 要使函数f （f(x)）有意义，则f(x)<1， 即lg(1−x)<1，得0<1−x <10， 得−9<x <1，即函数f（f(x)）的定义域为(−9, 1)，已知函数y＝f(x)是定义域为(−∞, +∞)的奇函数满足f(−3−x)+f(x−1)＝0．若f(1)＝1，则f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2020)＝________．【解答】∵y＝f(x)是定义域为(−∞, +∞)的奇函数满足f(−3−x)+f(x−1)＝0，∴f(x−1)＝f(x+3)，∴f(x)＝f(x+4)，即f(x)的周期为4，∵f(1)＝1，且f(0)＝0，∴由f(x)＝f(x+4)得，f(3)＝f(−1)＝−f(1)＝−1，f(2)＝f(−2)＝−f(2)，f(4)＝f(0)＝0，∴f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝−1，f(4)＝0，∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝0，且2020＝4×504，∴f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2020)＝0．故答案为：0．对于函数f(x)=√3sin(ωx−π3)+1（其中ω>0）：①若函数y＝f(x)的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为π4，则ω＝2；②若函数y＝f(x)在（一π3，π4）上单调递增，则ω的范围为[12, 103]；③若ω＝2，则y＝f(x)在点（0, f (0)）处的切线方程为√3x−2y−1＝0；④若ω＝2，x∈[0, π2]，则y＝f(x)的最小值为一12；⑤若ω＝2则函数y=√3sin2x+1的图象向右平移π3个单位可以得到函数y＝f(x)的图象．其中正确命题的序号有________（把你认为正确的序号都填上）．【解答】对于①，∵函数y＝f(x)的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为π4，即T4=π4，得T＝π，∴2πω=π，则ω＝2，故①正确；对于②，由−π2+2kπ≤ωx−π3≤π2+2kπ，得−π6ω+2kπω≤x≤5π6ω+2kπω，k∈Z．取k＝0，可得−π6ω≤x≤5π6ω，由函数y＝f(x)在（一π3，π4）上单调递增，得{−π3≥−π6ωπ4≤5π6ω，解得0<ω≤12，故②错误；对于③，由ω＝2，得f(x)=√3sin(2x−π3)+1，得f′(x)＝2√3⋅cos(2x−π3)，则f′(0)=√3，又f (0)）=−12，∴y＝f(x)在点（0, f (0)）处的切线方程为y+12=√3x，即2√3x−2y−1=0，故③错误；对于④，ω＝2，则f(x)=√3sin(2x−π3)+1，∵x∈[0, π2]，∴2x−π3∈[−π3, 2π3]，则当2x−π3=−π3时，y＝f(x)的最小值为−12，故④正确；对于⑤，ω＝2，则f(x)=√3sin(2x−π3)+1，而函数y=√3sin2x+1的图象向右平移π3个单位，得到y=√3sin2(x−π3)+1=√3sin(2x−2π3)+1，故⑤错误．∴正确命题的序号是①④．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设(sinB−sinC)2＝sin2A−sinBsinC．（1）求A；（2）当a＝6时，求其面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．【解答】根据题意，(sinB−sinC)2＝sin2A−sinBsinC，由正弦定理可得：(b−c)2＝a2−bc，变形可得：b2+c2−a2＝bc，则cosA=b 2+c2−a22bc=12，又由0<A<π，则A=π3；根据题意，若a＝6，则a2＝b2+c2−2bccosA＝b2+c2−bc＝36，变形可得：bc≤36，则有S=12bcsinA=√34bc≤9√3，当且仅当b＝c时等号成立，此时△ABC为等边三角形．某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含6的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为X，求X的分布列与数学期望．附：K2=n(da−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)（其中n＝a+b+c+d）【解答】列出二维联表：得K 2=40×(10×4−10×16)226×14×20×20≈3.956>3.841所以能在犯错误的概率不超过0.05的前期下认为成绩优良与教学方式有关； 由题意可知X 的取值为0，1，2， 则P(X ＝0)=C 22C 62=115；P(X ＝1)=C 21C41C 62=815；P(X ＝2)=C 42C 62=25．E(X)＝0×115+1×815+2×25=43． 已知函数f(x)=lnx x．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）证明：对一切x ∈(0, +∞)，都有lnx <2x e−x 2e x 成立．【解答】函数的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=1−lnx x 2，令f′(x)>0，解得0<x <e ，令f′(x)<0，解x >e ， ∴函数f(x)的增区间为(0, e)，减区间为(e, +∞)； 证明：lnx <2x e−x 2e x 等价于lnx x <2e −x e x ，即证f(x)<2e −xe x ，由（1）知，f(x)≤f(e)=1e ，当x ＝e 时取等号， 令m(x)=2e −xe ，则m ′(x)=x−1e ，易知函数m(x)在(0, 1)递减，在(1, +∞)递增，∴m(x)≥m(1)=1e，当x＝1时取等号，∴f(x)<m(x)对一切x∈(0, +∞)都成立，则对一切x∈(0, +∞)，都有lnx<2xe −x2e x成立．已知数列{log2(a n−1)}(n∈N∗)为等差数列，且a1＝3，a3＝9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n−1，S n为数列{b n}的前n项和，若对任意n∈N∗，总有S n<m−43，求m的取值范围．【解答】数列{log2(a n−1)}(n∈N∗)为等差数列，设公差为d，a1＝3，a3＝9，可得log2(9−1)＝log2(3−1)+2d，即3＝1+2d，解得d ＝1，则log2(a n−1)＝1+n−1＝n，即a n＝1+2n；b n=2a n−1=22+1−1=(12)n−1，S n=1−1 2n1−12=2(1−12n)<2，对任意n∈N∗，总有S n<m−43，可得m−43≥2，解得m≥10，可得m的取值范围是[10, +∞)．已知函数f(x)满足：f(x)＝f′(1)e x−1−f(0)x+12x2．（1）求f(x)的解析式；（2）若g(x)＝f(x)−12x2，且当x>0时，(x−k)g′(x)+x+1>0，求整数k的最大值．【解答】∵f(x)＝f′(1)e x−1−f(0)x+12x2，∴f′(x)＝f′(1)e x−1−f(0)+x，令x＝1可得f(0)＝1，即f(x)＝f′(1)e x−1−x+12x2，令x＝0可得，f′(1)＝e，∴f(x)＝e x−x+12x2，由（1）可得g(x)＝e x−x，g′(x)＝e x−1，∴(x−k)g′(x)+x+1＝(x−k)(e x−1)+x+1，当x>0时，由(x−k)g′(x)+x+1>0可得，k<x+1e x−1+x(x>0)，①令ℎ(x)=x+1e x−1+x，则ℎ′(x)=−(xe x+1)(e x−1)2+1=e x(e x−x−2)(e x−1)2，令H(x)＝e x−x−2，易得H(x)在(0, +∞)上单调递增，而H(1)<0，H(2)>0，\故H(x)在(0, +∞)内存在唯一的零点，设为x0，在x0∈(1, 2)，当x∈(0, x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(x0, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，故ℎ(x)在(0, +∞)上的最小值ℎ(x0)=1+x0e x0−1+x0=1+x0∈(2, 3)，∵k<x+1e x−1+x恒成立，故整数k的最大值为2．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分．（15年福建）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=1+3cost y=−2+3sint（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为√2ρsin(θ−π4)=m，(m∈R)．求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．【解答】略略设函数f(x)＝|x+a|+|x−2|．(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若f(x)≥4恒成立，求a的取值范围．【解答】（1）a＝1时，f(x)＝|x+1|+|x−2|≤5，故{x≥2x+1+x−2≤5或{−1<x<2x+1+2−x≤5或{−x−1+2−x≤5x<−1，解得：−2≤x≤3，故不等式的解集是[−2, 3]；(2)|x+a|+|x−2|≥|x+a−x+2|＝|a+2|≥4，故a+2≥4或a+2≤−4，解得：a≥2或a≤−6，故a∈(−∞, −6]∪[2, +∞)．。
四川省内江市高中2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题文
四川省内江市高中2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题 文1.本试卷包括第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答第I 卷时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第II 卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
3.考试结束后，监考人将答题卡收回。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置。
)1.已知集合A ＝{1，2，m}，B ＝{3，4}，若A ∪B ＝{1，2，3，4}，则实数m 为A.1或2B.2或3C.1或3D.3或42.已知复数21i z i =+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量a r 、b r 满足|a r |＝1，|b r |＝4，且a r ·b r ＝2，则a r 与b r 的夹角为 A.2π B.3π C.4π D.6π 4.割圆术是估算圆周率的科学方法由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416。
在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为A.1πB.3π 5.函数f(x)=x 2－2lnx 的单调减区间是A.(0，1]B.[1，＋∞)C.(－∞，－1]∪(0，1]D.[－1，0)∪(0，1]6.已知等比数列{a n }是递增数列，a 2＝2，S 3＝7，则数列{1na }的前5项和为 A.31 B.31或314 C.3116 D.3116或314 7.函数f(x)＝x 2－2x －2|x －1|＋1的图像大致为8.已知3 cos()3πα+=-(α为锐角)，则sinα＝A.223+B.223-C.63+D.36-9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。