新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》精品课件 (2)
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2.2二次函数的图像和性质(第二课时) 课件 2022—2023学年北师大版数学九年级下册
y y=x2+1
10
8
6
4
2 y=x2-1
-5 -2
5
x
讨论 （1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的 开口方向、对称 轴、顶点各是什么？
抛物线 y=X2+1
y=x2-1
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
y轴
(0，1)
向上
y轴
(0，-1)
y y=x2+1
10
8
6
4
2 y=x2-1
-5 -2
5
x
讨论 （2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2 有什么位置关系？
就得到抛物线y=ax2+k； 把抛物线y=ax2向下平移k个单位，
下
就得到抛物线y=ax2-k
减
在同一直角坐标系中，
y
画出下列二次函数的图象：
2
y=-0.5x2， y=-0.5x2+2 ,
1
y=-0.5x2-2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
观察三条抛物线的相互关系， 并分别指出它们的开口方向、 对称轴及顶点。
x 2和y=2x 2 的(图1)像列表
(2) 描点
当a＜0时，它 的图象又如 何呢？
10 9
y
y
2x2
8
7
y 1 x2 2
(3) 连线
6
函数
y=
1 2
x
2,
y=2x
2
5 4
的图像与函数 y=x 2(图中
3 2
虚线图形)的图像相比，有
1
什么共同点和不同点?
-5-4-3-2-1 o1 2 3 4 5 x
二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版) (2)
即可．
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
最新北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质》优质教学课件
并写出开口方向、顶点坐标、对称轴．
解：y＝(x－4)2－15
开口向上，顶点坐标为(4，－15)
对称轴为直线 x＝4
类型2：a＝1，b为奇数
5．(例2)求抛物线y＝x2＋x＋1的顶点坐标．
解：∵y＝x2＋x＋1
1
1
2
＝x ＋x＋ 4 ＋1－
4
3
1
2
＝(x ＋x＋ )＋
1 4 3 4
＝(x＋ 2 )2＋ 4
（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.
（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.
【例题】
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的
直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
9
400
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
y/m
10
桥面
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛
物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？
只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为配方
式或顶点式
y 3x 6 x 5
2
3(x 2x) 5
,-3).
.
(2)画抛物线 y=ax2+bx+c 的草图,
(4)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
= (x2+2x+1)- - = (x+1)2-3,∴抛物线的顶点
4a
要确定五点,即①开口方向;②对
解：y＝(x－4)2－15
开口向上，顶点坐标为(4，－15)
对称轴为直线 x＝4
类型2：a＝1，b为奇数
5．(例2)求抛物线y＝x2＋x＋1的顶点坐标．
解：∵y＝x2＋x＋1
1
1
2
＝x ＋x＋ 4 ＋1－
4
3
1
2
＝(x ＋x＋ )＋
1 4 3 4
＝(x＋ 2 )2＋ 4
（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.
（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.
【例题】
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的
直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
9
400
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
y/m
10
桥面
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛
物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？
只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为配方
式或顶点式
y 3x 6 x 5
2
3(x 2x) 5
,-3).
.
(2)画抛物线 y=ax2+bx+c 的草图,
(4)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
= (x2+2x+1)- - = (x+1)2-3,∴抛物线的顶点
4a
要确定五点,即①开口方向;②对
九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图象与性质教学课件新版北师大版
2(x2 4x) 7
2 x2 4x 4 - 8 7
（2 x - 2）2 1
提取二次项系数 配方：加上再减去一次项系 数绝对值一半的平方 整理：前三项化为平方形 式，后两项合并同类项
当 x 取哪些值时，函数 y=2（x-1）2 的值随 x 值的增大而增大？当 x 取哪些值时，函数 y=2（x-1）2 的值随 x 的增大而减少？
二次函数 y=2（x-1）2 与 y=2x2 的增减性类似.
在对称轴（直线：x=1）的左侧，即 x<1 时，函 数 y=2（x-1）2 的值随 x 的增大而减少. 顶点是最低点，函数有最小值. 当 x=1 时，最小值是 0.
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧，y 随 在对称轴的左侧，y 随
着 x 的增大而减小；在 着 x 的增大而增大；在
对称轴的右侧，y 随着 对称轴的右侧，y 随着
x 的增大而增大
x 的增大而减小
当 x=h 时，最小值为 k 当 x=h 时，最大值为 k
1. 指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标： （1）y= 2（x+3）2 - 1 ；
（- 3 ，-6）和（ 3 ，-6）.
2.填空： （1）抛物线 y=2x2 的顶点坐标是（0，0） ， 对称轴是 y 轴 ，在 对称轴的右 侧，y 随 着 x 的增大而增大；在 对称轴的左 侧，y 随着 x 的增大而减小，当 x= 0 时，函数 y 的值最小，最小值是 0 ，抛物线 y=2x2 在 x 轴的 上 方（除顶点外）.
（2）抛物线 y=- 2 x2 在 x 轴的 下 方（除顶点外），
3
在对称轴的左侧，y 随着 x 的 增大而增大 ，在对 称轴的右侧，y 随着 x 的 增大而减小 ，当 x=0
2 x2 4x 4 - 8 7
（2 x - 2）2 1
提取二次项系数 配方：加上再减去一次项系 数绝对值一半的平方 整理：前三项化为平方形 式，后两项合并同类项
当 x 取哪些值时，函数 y=2（x-1）2 的值随 x 值的增大而增大？当 x 取哪些值时，函数 y=2（x-1）2 的值随 x 的增大而减少？
二次函数 y=2（x-1）2 与 y=2x2 的增减性类似.
在对称轴（直线：x=1）的左侧，即 x<1 时，函 数 y=2（x-1）2 的值随 x 的增大而减少. 顶点是最低点，函数有最小值. 当 x=1 时，最小值是 0.
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧，y 随 在对称轴的左侧，y 随
着 x 的增大而减小；在 着 x 的增大而增大；在
对称轴的右侧，y 随着 对称轴的右侧，y 随着
x 的增大而增大
x 的增大而减小
当 x=h 时，最小值为 k 当 x=h 时，最大值为 k
1. 指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标： （1）y= 2（x+3）2 - 1 ；
（- 3 ，-6）和（ 3 ，-6）.
2.填空： （1）抛物线 y=2x2 的顶点坐标是（0，0） ， 对称轴是 y 轴 ，在 对称轴的右 侧，y 随 着 x 的增大而增大；在 对称轴的左 侧，y 随着 x 的增大而减小，当 x= 0 时，函数 y 的值最小，最小值是 0 ，抛物线 y=2x2 在 x 轴的 上 方（除顶点外）.
（2）抛物线 y=- 2 x2 在 x 轴的 下 方（除顶点外），
3
在对称轴的左侧，y 随着 x 的 增大而增大 ，在对 称轴的右侧，y 随着 x 的 增大而减小 ，当 x=0
初三下数学课件(北师版)-二次函数
解：(1)y＝－x2＋36(0＜x＜6)； (2)y＝50(1＋x)2 或 y＝50x2＋100x＋50； (3)y＝4x2＋260x＋4000.
8．下列函数关系式：①y＝13x2－5x＋621；②y＝x2＋3 1；③y＝x12＋x1＋1；④y
＝－2x－13x2；⑤y＝31x＋32；⑥y＝12－21m＋m2，其中是二次函数的是( C )
A．①②③
B．①②④
C．①④⑥
D．②③④⑥
9．如图，Rt△ABO 中，AB⊥OB，设 AB＝OB＝3，用直线 x＝t 截此三角 形，所得的阴影部分的面积为 S，则 S 与 t 之间的函数关系式为( B )
A．S＝t C．S＝t2
B．S＝21t2 D．S＝12t2－1
10．如图所示，设长方体底面是边长为 x cm 的正方形，高为 20 cm. (1)这个长方体的表面积 S＝ 2x2＋80x ，它是 x 的 二次 函数； (2)这个长方体的体积 V＝ 20x2 ，它是 x 的 二次 函数． 11．如图，用一段长 30 米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形 菜园 ABCD，设 AB 边长为 x 米，则菜园的面积 y(单位：米 2)与 x(单位：米) 的函数关系式为 y＝－21x2＋15x (不要求写出自变量 x 的取值范围)．
12．已知函数 y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)(m 是常数)，当 m 为何值时： (1)函数是一次函数； (2)函数是二次函数． 解：(1)m＝1 时，函数是一次函数； (2)m≠0，且 m≠1 时，函数是二次函数．
13．某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次(最低档次)的 产品一天能生产 76 件，每件利润 10 元，每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 4 件． (1)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为整数，且 1≤x≤10)， 求出 y 关于 x 的函数关系式； (2)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1080 元，求该产品的质量档次． 解：(1)y＝[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝－8x2＋128x＋640； (2)由－8x2＋128x＋640＝1080，解得 x1＝5，x2＝11(舍去)，产品质量为第 5 档次．
北师大版初3数学9年级下册 第2章(二次函数)抛物线的实际问题 课件(共24张PPT)
t 01 2 3 4 5 6 7… h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
拓展与延伸
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球
飞行路线的对称轴是直线t＝ 9 ；③足球被踢出9 s时落
2
地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其
中正确结论的个数是( B )
A．1
当堂小练
2.向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与高度之间的
关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7 s与第14 s时的高度相等，则在下
列哪一个时间的高度是最高的( C )
A．第9.5 s
B．第10 s
C．第10.5 s
D．第11 s
拓展与延伸
足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞 行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的 高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的 关系如下表：
新课讲解
知识点1 实际中二次函数模型的建立
1．运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛 (投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象 与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号．
新课讲解
2．利用二次函数解决实际问题的基本思路是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式； (4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．
∴EF＝10 m，GF＝3.75 m.在Rt△EFG中，tan ∠GEF＝
GF EF
3.75 10
0.375，∴∠GEF≈20.6°.
新课讲解
知识点2 求实际中“抛物线”型的最值问题
拓展与延伸
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球
飞行路线的对称轴是直线t＝ 9 ；③足球被踢出9 s时落
2
地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其
中正确结论的个数是( B )
A．1
当堂小练
2.向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与高度之间的
关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7 s与第14 s时的高度相等，则在下
列哪一个时间的高度是最高的( C )
A．第9.5 s
B．第10 s
C．第10.5 s
D．第11 s
拓展与延伸
足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞 行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的 高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的 关系如下表：
新课讲解
知识点1 实际中二次函数模型的建立
1．运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛 (投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象 与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号．
新课讲解
2．利用二次函数解决实际问题的基本思路是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式； (4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．
∴EF＝10 m，GF＝3.75 m.在Rt△EFG中，tan ∠GEF＝
GF EF
3.75 10
0.375，∴∠GEF≈20.6°.
新课讲解
知识点2 求实际中“抛物线”型的最值问题
九年级数学下册 2 二次函数课件 (新版)北师大版
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0)
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或 最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件 代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
与x轴有唯一交点(顶点)
与x轴有两个交点 与x轴没有交点
四、二次函数图象的平移
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移 得到，具体平移方法如下：
五、二次函数表达式的求法
考点五 二次函数表达式的确定
例5:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式.
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：
a b c 10，
a
b
c
4，
4 a 2 b c 7，
待定系数法
解得, a=2,b=－3,c=5.
第二章 二次函数
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)， 那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，
y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接 写出二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图 象与x轴交点的横坐标．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或 最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件 代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
与x轴有唯一交点(顶点)
与x轴有两个交点 与x轴没有交点
四、二次函数图象的平移
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移 得到，具体平移方法如下：
五、二次函数表达式的求法
考点五 二次函数表达式的确定
例5:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式.
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：
a b c 10，
a
b
c
4，
4 a 2 b c 7，
待定系数法
解得, a=2,b=－3,c=5.
第二章 二次函数
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)， 那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，
y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接 写出二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图 象与x轴交点的横坐标．
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图象与性质(2)》公开课课件.ppt
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).
位置不同; 最大值不同: 分别是0和-1
二次项系数为正数-3,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.
请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
二次函数y=ax2+c的图象和性质
北师大版 九年级（下）
2 二次函数的图象与性质（2）
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象． (1)完成下表：
x
… -3 -2 -1 0
1
2
3…
y=x2 … 9
4
1
0
1
4
9…
y=2x2 … 18 8
2
0
2
8 18 …
(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象．
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和y=-3x2的图象,会是 什么样?
二次函数y=-3x2-1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-3x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
y 3x2 y3x2 1
二次函数y=3x2+1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线.
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
二次函数y=2x2+1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=2x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
y2x2 1
二次函数y=2x2+1的 图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物线.
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定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a, b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的几种不同表示形式: (1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
随堂练习 在实践中感悟
1.下列函数中,哪些是二次函数？
怎么判(1）(y3=)3（s(x=是-31）)-²2+t ²1
断
（是）
(2)y x 1 （不是）x
(4)y 1 x2 x
? (5)y=(x+3)²-x² （不是）
（不是）
(6) v=10πr²
（是）
随堂练习
知道就做别客气
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场 地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系 是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
y=-5x²+100x+60000
x …… 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ……
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y ……
……
例题欣赏 数学真奇妙
你发现了吗？
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(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变 量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少 棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y 与x之间的关系式.
想一想
生活问题数学化
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结 （600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量
二次函数
y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项.
的阳光就会减少. 根据经验估计,每多 种一棵树,平均每棵 树就会少结5个橙子.
想一想
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但 是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所 接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一 棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
解：S=a( 60 - a)=a(30-a)
2
=30a-a²
= -a²+30a .
是二次函数关系式.
小试牛刀 心 动 不 如 行 动
如果函数y= x k 2 3 k 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是__0_或__3_
如果函数y=(k-3) x k 2 3 k 2+ห้องสมุดไป่ตู้x+1是二
次函数,则k的值一定是___0___
?
y=100(x+1)²=100x²+200x+100
思索归纳
二次函数
y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100
y是x的函数吗？ y是x的一次函数？是反比例函数？
有何 特点
定义：一般地,形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠
0)
的函数叫做x的二次函数.
思索归纳
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/2/92021/2/92021/2/92/9/2021 2:02:39 AM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/2/92021/2/92021/2/9Feb-219-Feb-21 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/2/92021/2/92021/2/9Tuesday, February 09, 2021 13、志不立，天下无可成之事。2021/2/92021/2/92021/2/92021/2/92/9/2021
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想一想 亲历知识的发生和发展
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就 是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由 中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转 存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本 息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
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2.定义的实质是：ax²+bx+c是整 式,自变量x的最高次数是二次
结合数学周报效果更好哦!
9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/2/92021/2/9Tuesday, February 09, 2021
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果 园橙子的总产量最多？
X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Y/个
你能根据表格中的数据作出猜想 吗
想一想 行家看“门道”
在种树问题中,种多少棵橙子树,可以 使果园橙子的总产量最多？
2.1二次函数
回顾与思考
温故知新
函数知多少
变量之间的关系
函数
一次函数 y=kx+b (k≠0)
正比例函数 y=kx(k≠0)
反比例函数
y k k 0.
x
二次函数
二次函数素描述的关系
想一想
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个 橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如 果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受