控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。

从不同的角度，可以对数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统内部状态变量描述的数学模型称为状态空间模型；等等。

2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。

机理分析法是通过对系统内部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。

实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。

如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。

这是介于上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。

2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？答主要步骤有：⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。

一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。

⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要因素。

⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律的原始微分方程式（或方程式组）。

⑷消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系的方程式。

⑸根据要求，对上述方程式进行增量化、线性化和无因次化的处理，最后得出无因次的、能够描述对象输入变量与输出变量的增量之间关系的线性微分方程式（对于严重非线性的对象，可进行分段线性化处理或直接导出非线性微分方程式）。

2-4 试述传递函数的定义。

如何由描述对象动态特性的微分方程式得到相应的传递函数？并写出传递函数的一般形式。

答对于线性定常系统、对象或环节的传递函数的定义可以表述为：当初始条件为零时，系统、对象或环节输出变量的拉氏变换式与输入变量的拉氏变换式之比。

如果已知系统、对象或环节的动态数学模型用下述线性常系数微分方程式来描述：式中y 为输出变量， x为输入变量，表示y(t) 的n 阶导数，表示x(t) 的 m阶导数。

对于一般实际的物理系统，。

假定初始条件为零，对上式的等号两边进行拉氏变换，得式中Y(s)是y(t) 的拉氏变换， X(s)是x(t) 的拉氏变换，于是可得传递函数：上式就是传递函数的一般形式。

由此可见，传递函数一般可以表示为两个的多项式之比，而且分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次。

2-5 试分别写出下述典型环节的时域和复域的输入输出模型：放大环节、一阶惯性环节、积分环节、二阶振荡环节、超前-滞后环节、微分环节、纯滞后环节、PID环节。

答环节的输入输出模型可以用微分方程和传递函数来表示。

前者是它的时域形式，后者是它的复域形式。

下面列表2-1说明各典型环节的输入输出模型（以y(t) 表示输出， x(t)表示输入）。

表2-1 典型环节的输入输出模型2-6 什么是控制系统的方块图？如何利用方块图来进行控制系统的建模？答方块图是控制系统中各个环节（元件）的功能和信号流向的图解表示。

根据各环节的信号流向，用带有箭头的信号线依次将各函数方块连接起来便可以得到系统的方块图。

利用方块图来进行控制系统建模的主要步骤如下：⑴绘制控制系统控制流程图。

⑵根据控制系统功能，将控制系统划分为若干个环节，例如被控对象、控制器、测量变送环节、执行机构（控制阀）等等。

⑶列写各环节的微分方程或传递函数，即分别对各个环节建模，并将建模结果（传递函数）填入各相应的方块中。

⑷根据控制系统的信号走向（各输入输出通道）关系将各方块用信号线连接起来，便得到控制系统的方块图。

⑸根据控制系统的类型和功能，确定控制系统的输入输出变量。

⑹利用方块图的简化规则来求出等效传递函数，或借助于信号流图中的梅逊（Mason）增益公式来求出信号流图的总增益，于是便可以得到控制系统的输入输出数学模型。

2-7 在方块图中，方块之间的基本连接形式有哪几种？从这几种基本连接形式出了，可归纳出哪些方块图的基本运算法则？答方块图的基本连接形式有串联、并联和反馈三种，下面分别介绍它们的连接形式与相应的基本运算法则。

⑴串联图2-1表示三个环节串联。

图2-1 方块的串联若干个环节串联时，总的传递函数等于各方块传递函数的乘积。

相应于图2-1，则有：⑵并联图2-2表示三个环节关联。

若干个环节并联时，总的传递函数等于各方块传递函数之代数和。

相应于图2-2，则有：图2-2 方块的并联图2-3 负反馈连接图2-4 正反馈连接⑶反馈图2-3表示负反馈连接，图2-4表示正反馈连接。

负反馈连接时，其闭环传递函数为：式中G(s)称为前向通道传递函数，H(s)称为反馈通道传递函数， G(s)H(s)称为开环传递函数。

当反馈通道传递函数H(s)=1时，称为单位反馈系统，此时有：正反馈连接时，如图2-4所示，则有：2-8 方块图的等效变换有哪些基本运算规则？答系统的方块图有时不一定只是环节串联、并联和反馈三种基本连接的简单组合，而可能具有较复杂的连接方式，这时可以通过方块图的等效变换，将方块图逐步简化为上述三种基本连接关系，然后再运用其相应的传递函数求得整个系统的传递函数，从而建立系统的复域模型。

方块图等效变换的基本运算规则列表2-2如下。

表2-2 方块图等效变换的基本运算规则2-9 试说明信号流图的基本构成，并回答信号流图的基本运算规则有哪些？答信号流图是类似于方块图的又一种表示变量之间关系的图示建模法。

在信号流图中，有以下一些基本构成及相应的术语。

⑴节点用来表示变量的点。

此变量等于所有进入该节点的信号代数和，从节点流出的信号值都等于这个变量值。

⑵支路连接两节点间的有向线段。

⑶输入节点或源点只有输出支路的节点称为输入节点或源点，它对应于输入变量。

在画信号流图时，一般将其放在左面。

⑷输出节点或阱点只有输入支路的节点称为输出节点或阱点，它对应于输入变量。

在画信号流图时，一般将其放在信号流图的最右面。

⑸混合节点既具有输入支路又具有输出支路的节点称为混合节点。

⑹传输两个节点间的增益称为传输。

在信号流图中，输入节点与输出节点之间的传输称为信号流图的总传输。

⑺通路沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径称为通路。

如果通路与任一节点相交不多于一次的称为开通路；如果通路又回到了起点，并且与其他节点相交不多于一次，就称为闭通路或回路；如果从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。

⑻不接触回路如果一个（或一些）回路与另一个（或另一些）回路，它们没有任何的公共节点，就称它们为不接触回路。

信号流图的基本连接形式及其运算规则如表2-3所示。

表2-3 信号流图的基本运算规则2-10 试简述梅逊公式及其应用。

答梅逊增益公式为：式中 p----信号流图的输入节点与输出节点之间的总增益；----第k条前向通道的总增益；----第k条前向通道特征式的余因子，即与第k条前向通道不相接触的回路的信号流图的特征式；----信号流图的特征式，可写为：其中 ----所有不同回路的增益之和；----每两个互不接触回路增益乘积之和；----第三个互不接触回路增益乘积之和。

在建立复杂系统的数学模型时，可以通过变量置换、消去中间变量的方法来建立系统的输入-输出模型，亦可以通过方块图的等效变换来建立系统的复域数学模型。

但是，借助于信号流图，特别是梅逊公式，可以更加方便地求出信号流图的总传输，从而得到系统的等交往传递函数或输入-输出模型。

在运用梅逊公式时应注意，梅逊公式只能用于输入节点和输出节点之间，而不适用于任意两个混合节点之间。

2-11 试简述数学模型各种表达式之间的对应关系。

答线性定常系统的数学模型主要有微分方程、传递函数和状态方程三种形式，这三种形式之间存在着内在的联系，相互之间在一定条件下可以转化，下面简述微分方程与传递函数之间转化的方法。

微分方程与传递函数之间的转化是通过位氏变换与拉氏反变换来实现的。

例已知微分方程为：在初始条件为0时，对上式两端取拉氏变换，则有：所以，相应的传递函数模型为：显然，如果已知系统的传递函数，只要通过拉氏反变换，就可以得到描述系统输入输出之间关系的微分方程式。

2-12 试分析几种简单系统（对象）的数学模型，以说明它们之间的相似性。

⑴水力系统；⑵电系统；⑶机械系统；⑷传热系统；⑸气动阻容组件；⑹溶液制备系统。

解⑴图2-9表示一个水槽，假定水槽的截面积为A ，输出阀的线性阻力系数为R ，则根据物料平衡有：式中V 表示水槽内水的蓄存量，。

另外，经过线性化后与h 成线性关系，即，将 v与代入原始方程并整理后有：令T=RA,K=R，则有：其相应的传递函数为：图2-9 水槽图2-10 RC电路图2-11 弹簧阻尼器系统⑵图2-10是一电路，根据基本电路定律有：两式联立，可得：令T=RC ，则上式可写为：其相应的传递函数为：⑶图2-11所示这一弹簧阻尼器系统。

在弹簧的上端有一位多，其下端就会有一位移。

由于弹簧所受的力与变形成正比，故有：F=k(x-y)式中F为力，为弹簧的刚度。

对于阻尼器来说，假设其产生的摩擦力与运动速度成正比，有：式中为阻尼器的粘性摩擦系数。

由于作用在阻尼器上的力与作用在弹簧上的力是相等的，所以有：可写成：其相应的传递函数为如果令，则：⑷图2-12所示为一水银温度计。

为了建立温度计的测量值与被测温度之间的数学模型，我们忽略温度计玻璃本身的热容，只考虑温度计内水银的热容。

水银具有的热量Q为：Q=McT 式中 M——水银的重量；c——水银的比热容。

单位时间由周围环境（温度为）传给水银温度计的热量应该等水银内蓄存热量的变化率，因此可写成下列式子：式中 a——水银温度计的等效导热系数；F——水银温度计的外表面积。

上述方程式可改写为：如令，则有：其相应有传递函数G(s)为：图2-12 水银温度计⑸图2-13所示为一气动阻容组件，由一个气阻R与一个气容C组成。

当输入压力增加时，气体将通过气阻慢慢进入气室，使气室内的压力也逐渐增加，直至为止。

当气压变化不大，气流气量不大时，通过气阻的气流量将与气阻两端的压差成正比，即：式中 R——气阻值；图2-13 气动阻容组件G——通过气阻的气体质量流由于气体进入气室，将使气室中的气体密度增加，根据物料平衡，单位时间进入气容的气体量应该等于气室中气体蓄存量的变化率，即：（2-2）式中 V——气室体积；P——气室内气体密度。