最新二重积分练习题
二重积分习题及答案
6 2 2 x y 2 y r 2 sin
x 3 y 0 1
( x y )dxdy d
2 2 D
6
3
r 2 rdr 15( 3 ). 2 sin 2
4 sin
2
D1 , D2 两部分, 则
I d xd y
D1
1 1 1 x
1 D1 1
y
D2
d xd y
x2
o D2
1 x
d x 2 d y d x
1 1
0
2 dy 3
(2) 提示:
I ( x 2 y 2 2 xy 2) d xd y
积分时必须考虑次序
x
D
2 y2
e
dxdy dy x e
1 y 0 0
2
2 y2
dx
e
1 0
y
2
1 2 y3 y2 2 1 y dy e dy (1 ). 0 6 e 3 6
2
计算积分 I dy e dx dy e dx .
D
y 1
D1 D2
yx
作辅助线 y x 将D 分成
D1 , D2 两部分
2
D2
( x y )d xd y 2 d xd y
D
o
1 x
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算
( x y )dxdy , D : x 2 y 2 1
y
D
o
1x
考研数学二重积分练习
习题8 二重积分 一、填空题1、若D 是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知(1)Dx y --⎰⎰=_____。
2、设区域D 是221x y +≤与222x y x +≤的公共部分，在极坐标系下(,)Df x y dxdy ⎰⎰的累次积分 。
3、当{(,)1,1}D x y x y x y =+=-=}时 Ddxdy ⎰⎰＝ 。
4、设{}222(,)D x y x y a =+≤，若Dπ=，则a = 。
5、设区域D 由曲线sin ,,02y x x y π==±=所围成，则()51Dx y dxdy -⎰⎰＝ 。
二、选择题 1、设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则（ ）。
A 、2/32I ≤≤ B 、23I ≤≤ C 、1/2D I ≤≤ D 、10I -≤≤ 2、设(,)f x y 是连续函数，则1(,)xdx f x y dy =⎰⎰（ ）。
A 、1(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B 、110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ C 、101(,)ydy f x y dx ⎰⎰ D 、1(,)xydy f x y dx ⎰⎰。
3、设D 是第一象限中由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰（ ）。
A 、()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰B 、()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ C 、()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰D 、()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰4、设1DI σ=⎰⎰,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(, 其中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则（ ）A 、123I I I >>B 、321I I I >>C 、312I I I >>.D 、213I I I >>5、累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成：（ ） A、1(,)dyf x y dx ⎰ B 、1(,)dy f x y dx ⎰ C 、1100(,)dxf x y dy ⎰⎰D 、1(,)dx f x y dy ⎰。
二重积分练习题(二)
O3
直角坐标系下的练习题
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{2}xy^{2}dxdy$
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{2}(x + y)dxdy$
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{2}(x - y)dxdy$
极坐标系下的练习题
计算$int_{0}^{frac{pi}{2}}int_{0}^{1}r^{2}costheta dtheta dr$
确定积分区域
拆分积分
逐个积分
极坐标系下的计算方法
将直角坐标转换为极坐标，即$x = rho cos theta, y = rho sin theta$。
将二重积分拆分为两个定积分，即$int int f(rho,theta) dA = int drho int f(rho,theta) dtheta$。
二重积分的几何意义
二重积分表示二维平面上的曲顶柱体的体积。 当f(x,y) > 0时，二重积分表示曲顶柱体的体积，其中f(x,y)是曲顶的函数。 当f(x,y) < 0时，二重积分表示曲顶柱体的体积的负值，即该体积的负值。 当f(x,y) = 0时，二重积分表示曲顶柱体的边界形状的面积。
二重积分的计算方法
二重积分的综合应用
O4
1
2
3
利用二重积分可以计算由平面曲线围成的平面区域的面积。
计算面积
利用二重积分可以计算由曲面围成的三维空间的体积。
计算体积
通过二重积分可以求出平面薄片的重心坐标。
计算平面薄片的重心
在几何中的应用
在物理中的应用
利用二重积分可以计算分布不均匀的物体的质量。 计算质量 通过二重积分可以求出两个质点之间的引力。 计算引力 利用二重积分可以计算空间中电荷分布产生的电场强度。 计算电场强度
二重积分(习题)
v1.0可编写可改正第九章二重积分习题 9-11、设I1( x2y 2 ) 3 d,D1此中D1{( x, y) | 1 x1, 2y2} ;又 I 2( x2y2 )3 d ,D2此中 D 2{( x, y) | 0 x1,0y2} ,试利用二重积分的几何意义说明I1与 I2之间的关系 .解：因为二重积分I1表示的立体对于坐标面x 0 及y0对称 , 且I1位于第一卦限部分与 I 2一致,所以 I 14I 2.2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域 D 关于 y 轴对称, f (x, y) 为 x的奇函数 , 即f (x, y) f (x, y)时,有 f (x, y)d0 ;D(2)当积分区域 D 关于 y 轴对称, f (x, y) 为 x的偶函数 , 即f ( x, y) f ( x, y) 时,有 f ( x, y)d2 f (x, y)d, 其中D1为D在D D1v1.0 可编写可改正x0 的部分.并由此计算以下积分的值,此中D {(,) |x2y2 2 }. x y R(I)4d; (II)y222;(III)y3 cosx2 d. xy R x y dD 1 x2yD D解：令 I f ( x, y)d,I1 f ( x, y)d, 此中D1为D在x0 的部分,D D1(1)因为 D 对于 y 轴对称, f (x, y) 为 x 的奇函数,那么I表示的立体对于坐标面于是x 0 对称,且在 x 0 的部分的体积为I1,在x0 的部分的体积为I1, I 0 ;(2)因为 D 对于 y 轴对称, f (x, y)为x的偶函数,那么 I 表示的立体对于坐标面 x 0 对称,且在 x 0 的部分的体积为I1,在x0 的部分的体积也为I1,于是 I2I1.(I)因为D{( x, y) | x2y2R2 } 对于y轴对称,且 f ( x, y)xy 4为 x 的奇函数 ,于是xy4 d0 ;D(II)由于 D {( x, y) | x2y 2R2 } 关于x 轴对称 ,且f ( x, y) y R2x2y 2为 y 的奇函数,于是y R 2x2y 2 d0 ;D(III)由于D{( x, y) | x2y2R2 } 关于x轴对称, 且f ( x, y)y3 cosx y3 cosxd0 .x2y2为 y 的奇函数,于是2y21D 1 x3、依据二重积分的性质, 比较以下积分的大小:(1) I1( x y)2 d与I2( x y)3 d, 此中D是由x轴、y轴与直线D Dx y 1所围成;解：因为在 D内 , 0 x y 1 ,有 0 ( x y)3( x y) 2, 所以I 2( x y) 3 d( x y) 2 d I 1.D D(2) I1ln( x y)d与I2[ln( x y)] 2 d,D D此中 D {( x, y) | 3 x 5,0 y1} .解：因为在 D 内,e 3 x y 6 ,有 ln( x y) 1, ln( x y) [ln( x y)] 2,所以I 1ln( x y)d[ln( x y)] 2 d I 2.D D4、利用二重积分的性质预计以下二重积分的值：(1) I xy(x y1)d,D此中 D{( x, y) | 0x1,0 y2} ；解：因为 D 的面积为 2 ,且在 D内 , 0 xy( x y 1) 8 ,那么0 0 2xy( x y 1)d8 2 16 .D(2) I( x2 4 y29)d,D此中 D{( x, y) | x2y24} ；解：因为 D 的面积为 4 ,且在 D 内,9 x2 4 y 29 13 3 y225 ,那么369 4( x2 4 y29)d25 4 100 .D(3) I d,cos2x cos2D 100y此中 D{( x, y) | | x || y | 10} ；解：因为 D 的面积为200 ,且在 D 内,111 102 100 cos2 x cos2y , 那么100100＝ 200d200 2 .51102D 100cos2 x cos2 y100习题 9-21、计算以下二重积分：(1)( x2y2 )d, 此中D是矩形地区 :| x | 1,| y | 1 ；D解：y2 )d dx ( x 2y 2 )dy 2 (x 21)dx8 .(x2111D11133(2)xye x2y2d, 此中D{( x, y) | a x b, c y d} ；D解：22b d x 2y2 1 d2c2b x2dx .(x y )d dx( xye)dy(e e)xeDa c2a1b2e a2 d 2e c 2(e)(e) .4(3)(3x 2 y)d, 此中D是由两坐标轴及直线x y2所围成的闭地区；D解：(3x2y)d dx(3x2y)dy(42x2x2)dx20.2 2 x2D0003(4)xcos(x y)d ,此中 D 是极点分别为( 0,0),(,0) 和 ( ,) 的三角形D闭地区 .xcos(x y)d xxcos(x y)dy x(sin2x sinx)dx 3 .解：dxD00022、画出积分地区 , 并计算以下二重积分：(1)x yd, 此中D是由两条抛物线y x , y x2所围成的闭地区；D1x2 17 6解：44x yddxx2x ydy3 0 (xx )dx 55 .D(2)y d, 此中 D 是由直线 yx, y 2 x 及 x 1, x 2 所围成的闭地区；Dx解：y d2 dx2 xDx1xy32xdx9xdy.214(3)(2x y) d , 此中 D 是由 yx, y1及 y 2 所围成的闭地区；Dx12 )dy解：(2xy)ddy 1 (2x y)dx(2y 2 119 .2 y 2D1y1y6(4)e x y d , 此中 D 是由 | x | | y |1 所确立的闭地区 .Ddxx 1 1dx x 1解：e x y de x y dy0 e x y dyD1x 1x 1e 1)dx(e e2 x 1)dx e 3e 1e 1 .0 (e 2x 1112 2e 2 2eea:=0..1;b:=x-1..-x+1;f:=exp(x+y);int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a);simplify(");3、假如二重积分f2 ( y)的乘D {( x, y) | a 即f ( x, y)dD证明：f (x, y) dDb df ( x, y)d的被积函数 f ( x, y) 是两个函数f1 (x) 及D积,即 f ( x, y) f1 (x) f 2 ( y),积分区域x b, c y d} ,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,b df1 ( x)dx f 2 ( y)dy.a cb d b ddx f ( x, y)dx dx f1 ( x) f 2 ( y)dya c a cb df1 (x)f2 ( y)dy dx f1 (x)dx f 2 ( y) dy .a c a c4、化二重积分I f ( x, y)d 为二次积分(分别列出对两个变量先后序次D不一样的两个二次积分), 此中积分地区D是：(1) 由曲线y ln x 、直线x 2及 x 轴所围成的闭地区；图形 >plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..,color=1);2ln x ln 22解： Idx f ( x, y) dy dye yf ( x, y) dx .100(2) 由y轴及右半圆xa2y 2所围成的闭地区；图形 >plot([(1-x^2)^(1/2), -1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1, color=1);a a2x22 f ( x, y)dy a a 2 y2解： Idxa 2xdy f (x, y)dx .0a0(3) 由抛物线y x2与直线 2x y 3所围成的闭地区.图形 > plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1);1y3 y 9解： I dy f ( x, y)dx dy2 f ( x, y)dx .0y1y5、更换以下二次积分的积分次序：1 (1)dy解： I1 (2)dy1yf ( x, y)dx ；y1x0 dx x2 f ( x, y)dy .ee yf ( x, y) dx ；e ln x解： I dx f (x, y) dy .101 1 y 2(3)dy f ( x, y)dx ；0 2 y解： I2 dx2 x x 21 f (x, y) dy .2 x1x 2f ( x, y)dy2 2 x (4)dx dxf ( x, y) dy ；11 2 y 解： Idyf (x, y) dx .ysin x(5)0 dxsin x2f ( x, y)dy ；图形>plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]],x=0..Pi,color=1);dyf ( x, y)dx1 arcsin y解： I2 arcsin y dyf ( x, y)dx .1arcsin y2a 2 ax22 x (6)dx 2 ax x 2f ( x, y) dy1dx 0f ( x, y) dy .图形> plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]],x=0..2,color=1);a aa 2y 2a2 a解： I0 dy y 2f (x, y) dxdya2 2f ( x, y) dx2aa y2a 2aady y 2 f ( x, y)dx .2 a6、设平面薄片所占的闭地区D 由直线 x y2, y x 和 x 轴所围成 , 它的面密度(x, y)x 2 y 2 , 求该改薄片的质量 .图形 > plot([2-x,x], x=0..2,y=0..1,color=1);解： m( x, y)d1dy2 x y 2 )dx0 y(x 2D184 y4 y 28 y 34(3) dy.337、求由平面 x 0, y0, z 1, x y 1 及 z 1 x y 所围成的立体的体积 .图形 > with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x):display({A,B,F,G,H},grid=[25,20], axes= BOXED , scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR);解： V[(1 x1dx 1 x y) dy 1121y) 1] d(x(1x) dx.D002038、为修筑高速公路, 要在一山坡中辟出一条长500m ,宽20m的通道 , 据丈量 ,以出发点一侧为原点, 往另一侧方向为x 轴(0x20), 往公路延长方向为y 轴( 0y 500 ),且山坡高度为z10 sin y sin x ,试计算所需50020挖掉的土方量.图形 > plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);解： V zd 20500(10 sin y sin x)dy70028(m3 ) . 0dxD0500209、画出积分地区 , 把积分I f ( x, y)d表示为极坐标形式的二次积分, 其D中积分地区 D 是：(1)D {(,) |x2y2a2,x0}(a0)；x y图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)], x=0..1,color=1);解： I2daf ( r cos, r sin)rdr . 02(2)D {(,) |x2y22} x y y；图形 > plot([1+(1-x^2)^(1/2),1-(1-x^2)^(1/2)],x=-1..1,color=1);解： x2y 2 2 y r 22r sin r 2 sin, 于是I d 2 sin f ( r cos, r sin)rdr .(3)D{( , ) | a 2x 2 y 2b 2 }, 此中 0 ab ；x y图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);解： I2 bf ( r cos , r sin)rdr .da(4)D{( , ) | 0x 1,0y x 2 }.x y图形 > plot([x^2,[[1,0],[1,1]]], x=0..1,color=1);解： yx 2r sinr 2 cos 2r sectan ,x 1 r cos 1r sec , 于是I4 dsec f ( r cos , r sin )rdr .sec tan10、化以下二次积分为极坐标形式的二次积分：11(1)dx f ( x, y)dy ；图形 > plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1);解： x 1 r cos 1 r sec y 1r sin1rcsc,, 于是Isec f (r cos , r sin )rdr2dcsc 4 df (r cos , r sin ) rdr .41 1 x 2x2y 2)dy ；(2) dx1 x f ( 0图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1);解： y1 xr sin1 r cos r1 , 于是sincosI1f (r )rdr .2 d 1cossin11、把以下积分为极坐标形式, 并计算积分值：2a 2 ax x 2( x 2y2)dy ；(1)dx图形 > plot((2*x-x^2)^(1/2), x=0..2,color=1);解： y 2ax x 2r sin 2ar cosr 2 cos 2r 2a cos ,于是 I2d2a cosr 3 dr 4a 4 2 cos 4 3 a 4.413x1dy ；(2)dxx 2y 2x图形 > plot([3^(1/2)*x,x], x=0..1,color=1);解： x1r cos 1r sec , 于是I3 dsec 3sec dln23 .0 dr44123 adx3 xx2y 2dya a 2x 2x2y2dy .(3)233 dxa2图形 > plot([3^(1/2)*x/3, (1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..,color=1);解： x1 r cos 1 r sec , 于是v1.0 可编写可改正a2dra 3a 3.I 6 d6 dr3 01812、利用极坐标计算以下各题：(1)R 2x 2y 2 d , 此中 D 为圆域 x 2y 2 Rx ( R 0 ) ；D图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： x 2y 2 Rxr 2Rr cos r R cos , 于是Id Rcos R2 r2 rdr1 3(42 0 R) .233(2)ln(1 x2y 2) d , 此中 D 为圆 x2y21及坐标轴所围成的在第一D象限内的闭地区；图形 > plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);解： I2d1r2) rdr (2 ln 2 1) .ln(1 40 0(3)arctan yd, 其 中 D 为 圆 周 x 2y 2 1 , x 2y 24 及 直 线Dxy 0, y x 所围成的在第一象限内的闭地区.图形>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1);v1.0 可编写可改正解： I2rdr3 4d3 2 .4 d12 06413、选择适合的坐标计算以下各题：(1)x 2, 此中 D 是直线 x2, yx 及曲线 xy1所围成的闭地区；y 2dD图形 > plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1);解： I2 xx 2 2 (x 3x) dx91dx 12 dy1.xy4(2)sin x 2y 2 d, 此中 D 是圆环形地区2x 2y 242 ；D图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);解： I2 d2r sin rdr62 .(3)(x 2y 2 )d , 此中 D 是由直线 yx, yx a, ya, y 3a ( a 0 )D所围成的闭地区；图形>plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1);3 ay (x2y 2)dx3aa 2y a 314a 4.解： I)dx adya (2ay2y a3v1.0 可编写可改正(4)|1 x 2y 2 | d , 此中 D 为圆域 x 2 y 24 .D图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);2 d1 2 21)rdr9 5 .解： I(1 r 2)rdrd( r 212214 、计算以xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭地区为底, 而以曲面z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积 .图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： x 2y 2axr 2ar cosra cos , 于是( x2y 2)da cos 3dra 4cos 43 a 4. Vdd2r2D2423215、某水池呈圆形 , 半径为 5 米 , 以中心为坐标原点 , 距中心距离为 r 处的水深5米 , 试求该水池的蓄水量 . 为1 r 2图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： V255rdr 5 (ln 2ln 13)16.29 ( 米 3).d21 r16、议论并计算以下广义二重积分：d, 此中 D{( x, y) | xy 1, x 1} ；(1)Dx p y q1q 1 11p q 01解： Idx 1dy1 dx.py q 1 q 1 x pq1xx(1 q)(q p)v1.0可编写可改正即当 p q 1 时,广义二重积分收敛, 且I1.1)( p( q q)(2)d, 此中D{(,) |x2y21}；(x2y2 ) p x yD21 2 p 1 1解： I d dr.01r2 p 1p1即当 p1时 , 广义二重积分收敛, 且Ip. 1。
二重积分部分练习题
题目部分，（卷面共有100题,405.0分，各大题标有题量和总分） （3分）［2］二重积分 xydxdy （其中D :D2(3 分)[3]若区域 D 为 0W y w X 2,|X|W 2,则xy dxdy =Df(x 2, y 2)dxdyD2 2f(x , y )dxdyD1(3分)[5]设f(x,y)是连续函数, 0 dx1一、选择（2 分）［1］ （16小题,共53.0分）(A)1(C ) 21(D )- 4答()3264(A ) 0;( B )(C )(D ) 25633答（（3分）［4］设D 1是由ox 轴， oy 轴及直线 x+y=1所圈成的有界闭域, 的连续函数，则二重积分)f 是区域D : |x|+|y|w 1上(A) 2(B) 4(C ) 8(D)-2(A) (B) 1 dy 0 J1dy 0丿 f(x,y)dx 2 1dy y 2 1 1 f(x,y)dx (C) 1 0d y (D) 2°dy f(x, y)dx f(x, y)dx . :产 f(x, y)dx -2 1 dy y~1 1 f (x, y)dx （3分）［6］设函数f （x,y ）在区域D : y 2W — x ）,y > x 2上连续，则二重积分f (x, y) dxdy可D化累次积分为 0(A) dx 1 1(C) 0dyx 2-f(x,y)dyy 2y f (x,y)dxy(B) dx1 1(D) 0dyx 2 x f (x, y)dyy 2y f (x, y)dx0< y W x 2,0< X W 1)的值为 则二次积分f (x, y)dy（3分）［7］设f （x,y ）为连续函数，则二次积分 ；dy 1；2—2yf （x, y ）dx 可交换积分次序为1 、页 (3)：^3 x 2(A) dx 0 0 f (x,y)dy 1 dx 0f (x,y)dy127、21、3rv(B) 2dx 00 f (x, y)dy1dx 0 f(x, y)dy2dx 02'13 x 2(C) dx 0 厶 f （x,y ）d y(D) ?d 0 32cos f (r cos ,r sin )rdr2sin f (x,y)dy（3分）［8］设f （x,y ）为连续函数，则积分 dx f (x,y)dy dx f (x, y)dy可交换积分次序为1 y2 2 y(A) dy 0丿 0 f(x,y)dx 1 dy 0 f(x,y)dx 1 x 2 2 2 x (B) dy 0 J 0 f (x,y)dx 1 dy 0 f (x, y)dx1 2 y(C) dy 0 J曲f (x,y)dx1 2 x (D) dy 0丿x 2 f (x,y)dx（4分）［9］若区域D 为（x - -1）2+y 2< 1,则二重积分 2 0 02cos 2 i （A ）0d1 0 x2 ） f （x, y ）dxdy 化成累次积分为 F(r, )dr (B) 2cos0 F(r, )dr 2cos F(r, )dr(D) ；d 2cosF(r, )dr 其中 F(r, B )=f(rcos 9 ,rsin 0 )r. （3分）［10］若区域D 为x 2+y 2w 2x ,则二重积分 (x______ 答（ ）y ）'.x 2 y 2 dxdy 化成累次积分为 (A) [d 2 2cos0 (cossin ) 2r cos rdr(B) 0 (cos sin )d2cos 3 r 3drD2cos 3(C) 2 02 (cos sin )d 0 r dr答()(3 分)[15]若区域 D 为 |x|w 1,|y|w 1,则xe cos(xy) sin(xy)dxdyD(A) e; (B) e 1; (C) 0；(D) n .答（(4 分)[16]设 D : x 2+/w a 2(a >0),当 a=时，Ja 2 x 2 y 2 dxdy(D) 2 2 (cos2sin )d2cosr 3dr(4 分)[11]设 h答()[ln(x y)]7dxdy,l 2 (x y)7dxdy,l 3sin 7(x y)dxdy 其中 D 是DDD由 x=0,y=0, x y-,x+y=1所围成的区域，贝U 11, 12, 13的大小顺序是2(A) IK |2V |3； (C)l l V l 3 V l 2；(B) |3V l 2V l i ; (D)l 3V l i V I 2.(5分)[12]设I弊—，则I 满足ix |y 11cos X sin y2 , c(A )3 l21 (C) DI- 2 (B)2 I 3 (D) 1 I 0(4 分)[13]设 x y1其中D 是由直线x=0,y=0,及x+y=1所围成的区域,2则I 1, 12，13的大小顺序为(A) 13V I 2V I 1; (C)l 1V I 3V I ；(B)l 1V l 2V l 3；V V（3分）［14］设有界闭域 D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1A D 2= ,f （x,y ）是定义在D 1U D 2上的连续 函数，则二重积分2f (x , y)dxdyD2(A) 2 f (x , y)dxdyD12(B) 4 f (x , y)dxdyD 22(C) 4 f (x , y)dxdyD 11(D)2D 2 2f(x , y)dxdy(A)1(B )32(3分)[6]设D : O W x w 1,0 < y w 2(1 — x)，由二重积分的几何意义知■y dxdy = ____________三、计算(78小题,共331.0分)(3分)[1]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分2 y0dy 亠 f (x, y)dx2 y 的积分次序。
经济数学（二重积分习题及答案）
经济数学（二重积分习题及答案）第九章二重积分习题 9－11．设0),(≥y x f ，试阐述二重积分(,)d Df x y σ的几何意义.解当0),(≥y x f 时，二重积分(,)d D f x y σ??表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底，以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴，准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积.2．试确定下列积分的符号并说明理由:221(1)ln()d d x y x y x y+<+??224(2)d x y x y*+≤??解 (1) 因1x y +<，则将此式两边平方，得220121x y xy ≤+<-<于是 0)ln(22<+y x 故221ln()d d 0.x y x y x y +<+(2)因为224d x y x y+≥??222222221122343d d d d x y x y x y x y x y x y x y x y+≤<+≤<+≤<+≤=+++当221x y +≤1，且此区域面积为π，则21d x y x y π+≤≤??当2212x y <+≤0，且此区域面积为π，则2212d 0xy x y <+≤≤??当2223x y <+≤1-，且此区域面积为π，则2223d x y x y π<+≤≤-??当2234x y <+≤且此区域面积为π,则22d x y x y <+≤≤??故 224d 00x y x y ππ+≤≤+--=3．试用二重积分的定义证明: (1) d DDS σ=??(其中D S 为D 之面积)(2) (,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=(k 为常数)证 (1) 由二重积分的定义,有.1(,)d lim (,)n i i ii Df x y f λσεησ→==?∑??则当1),(≡y x f 时,上式变为0 1d lim lim ni D Di DS S λλσσ→→==?==∑??.(2) 由二重积分的定义,有,1,101(,)d lim () lim () lim (,)n i iioi Dni i ioi ni i ii kf x y kf k f k f λλλσξησξησξησ→=→=→==?=?=?∑??∑∑(,)d .Dk f x y σ=??4．根据二重积分的性质,比较下列积分的大小. ()2(1) d Dx y σ+??与3()d Dx y σ+??,其中D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成;(2) d Dx y σ+??与3()d Dx y σ+??，其中D 由圆2(2)x -+ 2(1)2y -=围成.解 (1) 积分区域D 如图9－1 所示.因在所围区域内有10≤+≤y x ,所以 32)()(y x y x +≥+故 ()23d ()d D D x y x y σσ+≥+. 图9－1 (2) 积分区域D 如图9－2 所示.因圆22(2)(1)2x y -+-=的参数方程为21x y θθ?=+??=+??则3cos )32sin()4x y πθθθ+=+=++ 图9－2 min ()321,1,x y x y +=-=+≥而且于是32)()(y x y x +≤+故 ()2d ()d .D D x y x y σσ+≤+5．利用二重积分的性质,估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+??，:01,01D x y ≤≤≤≤22(2) sin sin d DI x y σ=??，:0,0D x y ππ≤≤≤≤(3) (1)d DI x y σ=++??，:01,02D x y ≤≤≤≤22(4) (49)d DI x y σ=++??，22:4D x y +≤ 解 (1) 因01,01x y ≤≤??≤≤?则0102xy x y ≤≤??≤+≤?故00d 2d 2d 2 2.D DDDI S σσσ=≤≤===(2) 因0,0x y ππ≤≤??≤≤?则0sin 10sin 1x y ≤≤??≤≤?于是 220sin sin 1x y ≤≤ 故200d d .D DDI S σσπ=≤≤==（3）因0102x y ≤≤??≤≤?，则411≤++≤y x故d (1)d 4d DDDx y σσσ≤++≤即28.I ≤≤(4) 因4022≤+≤y x ,则22229494()925x y x y ≤++≤++≤于是99d 25d 25D DDDS I S σσ=≤≤=而 24D S r ππ== 故36100.I ππ≤≤习题 9－21.计算下列二重积分：22(1) ()d ,Dx y σ+??其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤; 22(2) ()d ,Dx y x σ+-??其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成; 2(3) d ,Dxy σ??其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成;211(4) d .y x ?解 (1)9－3 所示.11222211()d d ()d Dx y x x y y σ--+=+12128(2)d .33x x -=+=? 图9－ 3(2)积分区域D 如图9－4所示.22222102 ()d d ()d yyDx y x y x y x xσ+-=+-232019313()2486y y dy =-=?图9－4(3)积分区域D 如图9－5所示.2112232001 d d d ()d 3xx D xxy x xy y x y xx σ== 1470111()d 3340x x x =-=?图9－5(4)积分区域D 如图9－6所示.2211110110sin d d d sin d sin1cos1.x x y x x yx x x x +===-?图9－62．积分区域}{(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤，且被积函数为()(),f x g y ?求证：()()d d ()d ()dbdacDf xg y x y f x x g y y ?=??.证积分区域D 如图9－7所示.()()d d d ()()d b dacDf xg y x y x f x g y y=??()[()d ]d ()d ()d ()d ()d b dacd bcab dacf xg y y xg y y f x xf x xg y y ==?=??图9－73．设(,)f x y 在D 上连续且D 由y x y a x b b a ===>、与（）围成，求证：d (,)d d (,)d .bx b baa a y x f x y y y f x y x =?证积分区域D 如图9－8 所示. 交换等式左边二次积分的积分顺序有d (,)d d (,)d bx b baaayx f x y y y f x y x=?图9－84．下列条件下，将(,)d DI f x y σ=??按不同积分顺序化为二次积分：2(1) 4D y x y x ==由与所围成；(2) D x 由轴与半圆周()2220x y r y +=≥所围成. 解 (1) 由24y x =和y x =,得交点为(0,0),(4,4).积分区域D 如图9－9 所示.于是将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得40d (,)d xI x f x y y=??将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得24104d (,)d .y y I y f x y x =??(2)积分区域D 如图9－10 所示. 图9－9 将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得d (,)d rrI x f x y y-=?将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得d (,)d rI y f x y x=? 图9－105.更换下列二次积分的积分顺序：10(1) d (,)d y y f x y x10(2) d (,)d yy f x y x1(3) d (,)d e ln xx f x y y10(4) d (,)d y f x y x2113(3)2001(5) d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y-+??解 (1)因为原积分区域{(,)01,D x y y y x =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－11 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2110d (,)d d (,)d .xyxy f x y x x f x y y =?(2) 因为原积分区域{}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－12 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故111d (,)d d (,)d .y oxy f x y x x f x y y =(3)因为原积分区域{}(,)1,0ln D x y x e y x=≤≤≤≤为X 型区域, 其图形如图9－13 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－11 图9－12故ln 11d (,)d d (,)d .x exeex f x y y y f x y x =??（4）因为原积分区域{(,)01,D x y y x =≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－14 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故1101d (,)d d (,)d .y f x y x x f x y y -=??图9－13 图9－14（5）因为原积分区域{}2121,(,)01,0D D D D x y x y x =+=≤≤≤≤其中21(,)13,032D x y x y x ??=≤≤≤≤??（－）为X 型区域, 其图形如图9－15 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－15 图9－16 2113(3)20011320d (,)d d (,)d d (,)d .故x x y x f x y y x f x y yy f x y x --+=??6．求由平面0011x y x y ====、、、所围成的柱体被平面0z =与2x + 3y + z = 6所截得的立体的体积.解该曲顶柱体如图9－16所示.习题 9－31.作适当变换，计算下列二重积分：()22(1) ()sin d d Dx y x y x y-+??.D 是顶点为(,0)(2,)(,2)πππππ、、、(0,)π的四边形;22(2) d d ,Dx y x y ??1240D xy xy y x y x x ====>由、、和所围成且、0y >;(3) d d ,yx yDex y +?? D 由x 轴，y 轴和直线1x y +=所围成; ()()1100623d d 7d 623d .2DV x y x yx x y y =--=--=2222(4) ()d d ,Dy x x y a b +2222:1y x D a b +≤.解 (1) 积分区域D 如图9－17所示.令x y ux y v -=??+=?，解得()()1212x u v y v u ?=+=-?? 于是原积分区域D 的边界x y π+=、3x y π+=、x y π-=、x y π-=-与图9－17 新积分区域D’的边界3v π=、v π=、u π=、u π=-相对应. 其积分区域D’的图形如图9－18所示.因为11(,)12211(,)222xx x y u v J yy u v u v====-??故()()22sin d d Dx y x y x y -+??22'322321sin d d 21d sin d 231sin 2324D u v u vu u v v u v v ππππππππ-=?==?- ? ? ? ?- 图9－183431().3223ππππ=?-=(2) 积分区域D 如图9－19所示.令 x y u yv x ==??，解得x y ?==?则新积分区域D’由u = 1,u = 2,v = 1,v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－20所示. 图9－19 因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ==2)12u v v -==22'2'1d d d d 211 d d 2DD D u x y x y uv u v v v u u v v=??=故图9－2024211117d d ln 2.23u u v v ==?? （3）积分区域D 如图9－21所示.令x y u y v +=??=?，解得x u vy v =-??=?则新积分区域D’由u = v 、v = 0和u = 1围成. 图9－21 其积分区域D’的图形如图9－22所示.因为11(,)101(,)xxx y u v J y y u v u v-====图9－22故 10'd d 1d d d dy vv x yuuuoDD ex y e u v u ev +=??=()1011d 2e u e u -=-=.（4）积分区域D 如图9－23所示.令cos sin x ar y br θθ=??=?则新积分区域为(){}',02,01D r r θθπ=≤≤≤≤ 图9－23 因为(,)(,)xxx y r J yyr r θθθ==cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==22222'21300 ()d d d d 1d d .2DD y x x y r abr r abab r r ab πθθπ+===故2.用变量替换，求下列区域D 的面积：(1)334851500.D xy xy xy xy x y ====>>由曲线、、和所围成且、(2)D 由曲线333344y x y x x y x y ====、、、所围成且00.x y ≥≥、解 (1) 令3u xy v xy =??=?，解得x y ==则新积分区域D’由 u = 4、u = 8、v = 5、v = 15围成.因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ==12v==81515545' d d 111 d d d d 4ln 2ln 3.222D DD S x yu v u v v v v ====?=故图9－24(2) 令33y u x x v y ?==?，解得x y ?==??则新积分区域D’由u = 1、u = 4、v = 1和v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－25所示.因为(,)(,)xx y u v J yyu v u v ==图9－251113988883293111888831188()81388u v u v uv u v v u -----------= =--故d d D DS x y=??()33442211342111d d d ()d 881 1d .88D uv u v u uv vuu-====’100D x y x y +===3.设由直线、与所围成，求证：1cos()d d sin1.2D x y x y x y -=+??证积分区域D 如图9－26所示.令x y vx y u +=??-=?，解得()()1212x v u y v u ?=+=-??则新积分区域'D 由v = 1,v = -u , 及v = u 围成. 图9－26因为11(,)12211(,)222xx x y u v J yy u v u v====-??'1cosd d cos d d 2DD x y u x y u v x y v -=?+故图9－27 101d cos d 2vv uv uv -=??101[s i n ]d 21s i n 1d s i n 1.2v v u v v v v v =-==4．选取适当变换，求证：()()11d d d , : 1.Df x y x y f u u D x y -+=+≤??证积分区域D 如图9－28所示.令x y ux y v +=??-=?, 解得()()1212x u v y u v ?=+=-??则新积分区域'D 由u = 1, u = -1,v = 1及v = -1所围成其积分区域D’的图形如图9－29所示. 图9－28 因为 11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ====--?? 故'1()d d ()d d2DD f x y x y f u u v +=-??1111111d ()d ()d .2u f u v f u u ---==习题 9－41.画出下列积分区域D 并把积分(),d d Df x y x y ??化成极坐标形式：()22222(1) 0 (2) 2x y a a x y x +≤>+≤()2222(3)0 (4) 0101a x yb a b y x x ≤+≤<<≤≤-≤≤且解积分区域D 如图9－30所示.（1）令cos sin x r y r θθ=??=?则积分区域D 被夹在0θ=与2θπ=之间，且远近极点的边界方程分别为0r a r ==与,故图9－30()20,d d d (cos ,sin )d .aDf x y x y f r r r r πθθθ=(2) 积分区域D 如图9－31所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为r=2cos θ与r = 0.由r ≥0和2cos 0θ≥得22ππθ-≤≤图9－31 则D 被夹在22ππθθ==-和之间, 故2cos 202(,)d d d (cos ,sin )d Df x y x y f r r r rπθπθθθ-=??.(3) 积分区域D 如图9－32所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为r a r b ==与，图9－32 而D 被夹在02θθπ==与之间, 故20(,)d d d (cos ,sin )d .baDf x y x y f r r r r πθθθ=??(4) 积分区域D 如图9－33所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为图9－331cos sin r θθ=+0r =与，而D 被夹在02πθθ==和之间，故12cos sin 0(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r πθθθθθ+=2．将下列二次积分化为极坐标形式：2222001122222000(1) d )d (2) d (3) d ()d (4) d )d aaxa xx x y y x y x x y y yx y x-+++解 (1)积分区域D 如图9－34所示. 令cossin x ry rθ==则y2cos,r aθ=而D被夹在2πθθ==与之间, 故图9－3422cos22320000d)d d d.a ax x y y r r πθθ+=(2) 积分区域D如图9－35所示. 令cossinx ry rθθ==则0x a x==与的极坐标方程分别为图9－26 cosarθ=与0;r=0y x y==与的方程分别为04π==与,故sec240000d d d.a ax y r rπθθ=(3) 积分区域D如图9－36所示. 令cossinx ry rθθ==2y x y x==与的极坐标方程分别为图9－36 tan sec rθθ=4πθ=与,故211tan sec2224000d()d d d.xxx x y y rπθθθ-+=(4) 积分区域D如图9－37所示.令cossiny rθθ==则222x y a+=上方程为, r a=而D被夹在2πθθ==与之间, 故22320000d)d d d.a ay x y x r r π+=图9－37 3．用极坐标计算下列各题：22(1) d,x yDeσ+D由圆周224x y+=所围成；(2) ,Dσ{}2222(,);D x y a x y b=≤+≤(3) arctan d,Dyxσ2222D x y x y y y x+=+===由、、和所围成的第I象限部分；224 , :.DD x y Rx σ+≤（）解 (1) 积分区域D 如图9－38所示.令cos sin x r y r θθ=??=?{}(,)02,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故222220d d d x y r De e r rσθ+=图9－382224012d (1)2re r e ππ==-?.(2) 积分区域D 如图9－39所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(){},,02D r a r b θθπ=<<≤≤则,故图9－39223333d d 22().33baDr rb a b a πσθππ=-=?=?-?(3) 积分区域D 如图9－40所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),12,04D r r πθθ??=≤≤≤≤??则,故图9－40 2224401013arctan d d d d d .64D y r r r r x ππσθθθθπ===(4) 积分区域D 如图9－41所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),0cos ,22D r r R ππθθθ??=≤≤-≤≤??则, 故图9－41 ()cos 202cos 20322220 d d 2d d cos 2 d 03R DR r rr rR R r πθππθπσθθθθ-==??=--33332024 (sin )d ()333R R R πθθπ=--=-?.4．选择适当的坐标系，计算下列各题：()22(1) ()d d 30Dx y x y D y x y x a y a y a a +==+==>??，由、、、所围成;222(2) d d :,00;D y x y D x y a x y +=≥≥??，、 (3) d d 212D x y x y D y x y x x y x y ====??，由、、与围成 ()2(4) d d :1,2,,2.Dx xy x y D x y x y y x y x ++=+===??，解 (1) 令,y x u y v -=??=?得变换式x v uy v =-??=?则新积分区域D’由u = 0、u = a 、v = a 及v = 3a 所围成. D ’如图9－42所示.因为11(,)101(,)x y J u v -?===-?()22222'322032230 ()d d 1d d d (22)d 2(1882)d 14.3DD aaa x y x y v u u u vu v vu u va a u au u u a ??+=-+?-??=-+=-+-=故图9－42（2）积分区域D 如图9－43所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),0,02D r r a πθθ??=≤≤≤≤??则，故32d d d sin d .3aDa y x y r r r πθθ==图9－43（3）令y u xxy v ?==?.得变换式x y ?==?则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v =1、 v = 2所围成.D’如图9－44所示.因为()(,)1,2x y J u v u===-图9－44故'2211113d d d d d d ln 2.224DD v xy x y v u v u v u u =-=?=（4）令x y u y v x +==??，得变换式11u x vuv y v ?=??+??=?+? 则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v = 1、v =2所围成. D’如图9－44所示.因为 ()()()()()222111,,111uv v x y uJ v u u v v v v -++?===+++()'22()d d d d 11D D u ux xy x y u u v v v +=??++故 () 322233111525d d d .72961u u v u u v ===+ 5．试求区域D 的面积，其中D 为()()12,.r ?θ?θαθβ≤≤≤≤解积分区域D 如图9－45所示.21()()d d d d .D DS x y r r βθαθθ==图9－45习题 9－51．计算下列广义二重积分：{}()20(1) d d . (,),0 (2)d d x yy Dx yxe x y D x y y x x e x y-+-≤≤=≥≥解（1）积分区域D 如图9－46所示.2200 d d d d 1 d .2y y xDx xe x y x xe yxe x +∞+∞--+∞-===故（2）积分区域D 如图9－47所示. 图9－46 ()()020d d d d 1 d .2x yx y xDx e x y x e ye x +∞+∞-+-++∞-===故2．用极坐标计算下列广义积分：(){}2222()()22221224(1) d d (2) cos()d d d d (3) ,1.()x y x y De x y e x y x y x y D x y xy x y +∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+=+≤+，图9－47解 (1)cos sin x r y r θθ=??=?令(){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故22222()1d d d d d .2x y re x y e r r ππθθπ+∞+∞+∞-+--∞-∞===(2)cos sin x r y r θθ=??=?令(){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故2222()222200222020cos()d d d cos d 1 sin cos d 041 d .42x y r r e x y x ye r r re r r πππθθπθ+∞+∞-+-∞-∞+∞--+=+∞=-==??(3) 积分区域D 如图9－48所示.cos sin x r y r θθ=??=?令(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故图9－4821210224d d 24 d d d 33()Dx yr r x y ππθθπ=?==+??.3.计算下列广义积分：()()224452(1) d (2)1d x x x ex x x e x+∞+∞-++--∞-∞++?解()()22445214(1) d d x x x ex ex+∞+∞-++-+--∞-∞=()2221441d(21)2121d ()212x t e e x t x e e t e +∞-+--∞+∞---∞-=+=+=??由普阿松积分()222222222212332 (2) 1d d d d d ,d ,d 0.x x x x x x x x x e x x e x xe x e x I x e x I xe x I exI I +∞+∞+∞+∞-----∞-∞-∞-∞+∞+∞+∞----∞-∞-∞++=++=====?。
二重积分部分练习题
题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分)一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰ (其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为（A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）14答 ( )(3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰=（A ）0； （B ）323 （C ）643（D ）256 答 ( )(3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴和直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x y dxdy ⎰⎰（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）12答 ( )(3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分11(,)x dx f x y dy -+⎰(A)112111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)1101(,)y dy f x y dx --⎰⎰(C)11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)21(,)dy f x y dx -⎰⎰答 ( )(3分)[6]设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰可化累次积分为(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)210(,)y dy f x y dx ⎰答 ( )(3分)[7]设f (x ,y )为连续函数，则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)1010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)11210002(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰(C)1(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰答 ( )(3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分212201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰可交换积分次序为 (A)12201(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(B)2122001(,)(,)x xdy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(C)120(,)y dy f x y dx -⎰(D)2120(,)xxdy f x y dx -⎰⎰答 ( )(4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 0(,)d F r dr πθθθ⎰⎰(B)2cos 0(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(C)2cos 202(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(D)2cos 202(,)d F r dr πθθθ⎰⎰其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r . 答 ( )(3分)[10]若区域D 为x 2+y 2≤2x，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰(B)2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(C)2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(D)2cos 32022(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰答 ( ) (4分)[11]设777123[ln()],(),sin ()DDDI x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中D 是由x =0,y =0,12x y +=,x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序是 (A)I 1＜I 2＜I 3; (B)I 3＜I 2＜I 1; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2. 答 ( ) (5分)[12]设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则I 满足 (A)223I ≤≤ (B)23I ≤≤ (C)12D I ≤≤ (D)10I -≤≤答 ( ) (4分)[13]设12x y +=其中D 是由直线x =0,y =0,和x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为(A)I 3＜I 2＜I 1; (B)I 1＜I 2＜I 3; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2. 答 ( )(3分)[14]设有界闭域D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1∩D 2=φ,f (x ,y )是定义在D 1∪D 2上的连续函数，则二重积分2(,)Df x y dxdy =⎰⎰(A)122(,)D f x y dxdy ⎰⎰(B)224(,)D f x y dxdy ⎰⎰(C)124(,)D f x y dxdy ⎰⎰(D)221(,)2D f x y dxdy ⎰⎰ 答 ( )(3分)[15]若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则cos()sin()xy Dxexy dxdy =⎰⎰(A) e; (B) e －1;(C) 0; (D)π. 答 ( )(4分)[16]设D ：x 2+y 2≤a 2(a ＞0),当a =___________时，222.Da x y dxdy π--=(A)1答 ( )二、填空 (6小题,共21.0分)(4分)[1]设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界，把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限1lim (,)ni i i i f λξησ→=∆∑(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。
重积分复习题word版
重积分复习题一.二重积分1.交换积分顺序2111d (,)d x x f x y y --⎰⎰(011d (,)d d (,)d y f x y x y f x y x -=+⎰⎰⎰)2.交换积分顺序2113(3)201d (,)d d (,)d xx x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰(1320d (,)d y y f x y x -=⎰)3.计算112111224d d d d y y xxyy e x y e x +⎰⎰⎰⎰(=3182e -)4.求二重积分66cos d d yx y x x ππ⎰⎰(=12) 5.计算二重积分2d d Dx y x y ⎰⎰,D由221x y -=,0y =,1y =围成(21)15-.6.计算d d D yx y x⎰⎰，D 由2,,4,2y x y x x x ====围成(=9).7.计算22d d D xx y y⎰⎰，D 由2,,1x y x xy ===围成(=94). 二.极坐标下的二重积分1.化二重积分为极坐标形式20d (,)d Ry f x y x⎰⎰（2sin 20d (cos ,sin )d R f πρθρθρθρρ=⎰⎰）2.化二重积分为极坐标形式22d ()d Rx f x y y +⎰⎰(20()dRf πρρρ=⎰)3.利用极坐标计算sin d Dx y ⎰⎰，D ：22224x y ππ≤+≤(26π-)，4.利用极坐标计算(123)d d Dx y x y --⎰⎰，D 为圆222x y R +=围成(2R π)5.利用极坐标计算d Dx y ⎰⎰，D 由22x y Rx +=围成.三.二重积分的应用1.计算由曲面24z x =-、坐标面及平面24x y +=所围的立体的体积(403=).2.计算由221,0z x y z =--=所围立体的体积(13π=)3.求锥面z =被柱面22z x =所割下部分的面积(=)4.求球面2221x y z ++=为平面11,42z z ==所夹部分的面积(2π=)5.设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问R 为何值时,∑在定球面内部的那部分的面积最大?四.三重积分1.利用直角坐标计算3d d d (1)x y zx y z Ω+++⎰⎰⎰,Ω是0,0,0,1x y z x y z ===++=所围成的四面体(=15(ln 2)28- 2.利用直角坐标计算3d d d ()x y zx y z Ω++⎰⎰⎰,Ω:12,12,12x y z ≤≤≤≤≤≤(=73ln 2ln522-) 3.用柱面坐标计算22d d d 1x y zx y Ω++⎰⎰,Ω由222x y z +=及1z =围成(=(ln 22)2ππ-+.4.用柱坐标计算22()d d d x y x y z Ω+⎰⎰⎰,Ω由222x y z +=,2z =围成(=163π).5.计算22()dV x y z Ω++⎰⎰⎰,Ω由曲线220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与4z =所围成.(2563π)6.利用球面坐标计算d d d xyz x y z Ω⎰⎰⎰,Ω由0x =,0y =,0z =及2221x y z ++=所围在第一卦限内的区域.(=148)7. 利用球面坐标计算22()d d d x y x y z Ω+⎰⎰⎰,Ω由z z ==及0z =所围成.(=12415π)8.计算()dV x z Ω+⎰⎰⎰,Ω由z =与z =围成(=8π)（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
第十章二重积分练习题
D
D
A I1 I2
B I1 I2
C I1 I2
D 以上都不对
4.设
f ( x2 y2 )d tet ，则 f (x) （ ）
x2 y2 t2
A
1 2
xe x
B
1 2
(1
1 )ex x
C
1 2
(1
1 )ex x
D
1 2
(1
x)ex
5.设 D 是由上半圆周 y 2ax x 2 和 x 轴所围成的闭区域,则 f (x, y)d ( )
0
0
8.旋转抛物面 z 1 x 2 y 2 在1 z 2 部分的曲面面积 S 为（ ）
2
(A) 1 x2 y2 dxdy； x2 y22
(B) 1 x 2 y 2 dxdy ； x2 y22
(C) 1 x2 y2 dxdy ； x2 y24
(D) 1 x 2 y 2 dxdy 。 x2 y24
d
2cos f (r cos ,r sin )rdr ，则将该二次积分化为直角坐标形式为（
0
）
4
1
A. dx
2xx2 f (x, y)
x2 y2 dy
0
x
1
2 x x2
B. dx
f (x, y)dy
0
x
C.
2
dx
2xx2 f (x, y) x2 y2 dy
0
x
2
2 x x2
D. dx
D
x
9. I ex xydxdy ，其中 D 为以双曲线 x2 y2 1的右支及直线 y 0, y 1所围成。 D
10. I x2 y2 dxdy ， D {(x, y) | 0 y x, x 2 y 2 2x} 。
二重积分计算习题
将所有小矩形区域的积分结果相加，得到整个区域的积 分值。
常见数值方法介绍及比较
• 矩形法：将二重积分区域划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积乘以被积函 数在该矩形中心点处的函数值，然后将所有小矩形的面积相加得到整个区域的 积分值。该方法简单易行，但精度较低。
• 梯形法：将二重积分区域划分为若干个小梯形，每个小梯形的面积乘以被积函 数在该梯形上、下底中点处的函数值的平均值，然后将所有小梯形的面积相加 得到整个区域的积分值。该方法精度较矩形法高。
典型例题解析与技巧总结
例题：计算二重积分$iint_Dfrac{x-y}{x+y}dxdy$，其 中$D$是由直线$x+y=1$，$x=0$和$y=0$所围成的 三角形区域。 技巧总结
注意变量替换后雅可比行列式的计算。
解析：选择变量替换$u=x+y$，$v=x-y$，则原二重 积分转化为$iint_{D'}frac{v}{u}dudv$，其中$D'$是由 直线$u=1$，$v=-u$和$v=u$所围成的三角形区域。 计算得到结果为$frac{1}{2}ln2$。 选择适当的变量替换，简化被积函数和积分区域。
技巧总结
在求解二重积分时，首先要确定被积 函数和积分区域，然后根据积分区域 的形状和位置选择合适的坐标系进行 求解。对于矩形区域，可以直接使用 直角坐标系下的二重积分公式进行计 算。
复杂函数在直角坐标系下求二重积分方法
换元法
对于复杂的被积函数，可以通过换元法将其化简为简单的形式，然后再进行求解。例如， 对于极坐标下的二重积分，可以通过极坐标与直角坐标的转换公式将其转换为直角坐标系 下的二重积分进行计算。
根据直角坐标系下二重积分的计算公 式，有$iint_{D} (x+y) dsigma = int_{0}^{1} dx int_{0}^{1} (x+y) dy = int_{0}^{1} dx (xy + frac{1}{2}y^{2})|_{0}^{1} = int_{0}^{1} (x + frac{1}{2}) dx = (frac{1}{2}x^{2} + frac{1}{2}x)|_{0}^{1} = 1$。
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二重积分自测题 （一）选择题
1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域， 记：⎰⎰σ+=
D
d y x I )ln(1，⎰⎰σ+=D
d y x I
)(ln 22
，则（ ）
A ．21I I <
B ．21I I >
C ．122I I =
D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分⎰⎰=σD
yd （ ）
A ．
6π B ．4π C ．3π D ．2
π 3．设积分区域D 由2
x y =和2+=x y 围成，则=σ⎰⎰D
d y x f ),(（ ）
A ．⎰
⎰-+2
1
22),(x x
dy y x f dx B ．⎰⎰-21
2
),(dy y x f dx
C ．
⎰
⎰-+1
2
22),(x x
dy y x f dx D ．⎰⎰+10
2
2),(x x
dy y x f dx
4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分⎰
⎰
=4
2),(x
x
dy y x f dx （ ）
A ．
⎰⎰
40
4
12),(y
y dx y x f dy B ．⎰⎰
-4
412),(y y
dx y x f dy
C ．
⎰
⎰4
4
1),(y dx y x f dy D ．⎰⎰40
2
1
2
),(y y dx y x f dy
5．累次积分⎰
⎰=-2
2
2
x
y dy e dx （ ）
A ．
)1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3
1
2--e 6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若⎰⎰σ+=D d y x I 2211，⎰⎰σ+=D
d y x I )(2
22， ⎰⎰σ+=D
d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（ ）
A ．321I I I <<
B ．231I I I <<
C ．132I I I <<
D ．123I I I <<
7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则
=⎰⎰D
xy
xydxdy xe sin cos （ ） A ．0 B ．e C ．2 D ．2-e
8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且
⎰
⎰=1
1
)()(x
dx x xf dx x f ，
则
⎰⎰=D
dxdy x f )(（ ）
A ．2
B ．0
C ．2
1
D ．1 9．若
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
-+-=+0
1
10
10
10
1
)
()
(21),(),(),(x
x
y x y x dx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx ，则（ ）
A ．1)(1-=y y x ，0)(2=y x
B ．1)(1-=y y x ，y y x -=1)(2
C ．y y x -=1)(1，1)(2-=y y x
D ．0)(1=y x ，1)(2-=y y x
（二）填空题
1．设D 是由直线x y =,x y 21
=,2=y 所围成的区域，则⎰⎰=D
dxdy ．
2．已知D 是由b x a ≤≤，10≤≤y 所围成的区域，且
⎰⎰=D
dxdy x yf 1)(，则
⎰
=b
a
dx x f )( ．
3．若D 是由1=+y x 和两坐标轴围成的区域，且
⎰⎰
⎰ϕ=D
dx x dxdy x f 1
)()(，那么
=ϕ)(x ．
4．交换积分次序：⎰
⎰-+=2
1
2
2),(y y
dx y x f dy ．
5．设D 由1422
≤+y x 确定，则=⎰⎰D
dxdy ． 6．交换积分次序：⎰
⎰
π
=0
sin 0
),(x
dy y x f dx ．
7．交换积分次序：dy y x f dx x
x ⎰
⎰2
),(10
= ．
8. 交换积分次序
⎰
⎰y
y dx y x f dy 220
2
),(= .
（三）计算题
1．选择适当的坐标系和积分次序求下列二重积分
（1）
⎰⎰D
ydxdy x cos 2
， 其中D 由21≤≤x ，2
0π
≤≤y 确定， （2）⎰⎰
+D
dxdy y x )(， 其中D 由x y x 222≤+确定， （3）
⎰⎰
+D
dxdy y x 22，其中D 是圆环形闭区域：412
2≤+≤y x
（4）⎰⎰D
xydxdy ，其中D 是由抛物线
2y x =及y=x 所围成的闭区域.
2．计算下列积分 （1）⎰⎰
ππ60
6cos y
dx x
x
dy ，
（2）⎰
⎰
3
1
3
ln 1
y
dx x
y dy ，。