积分学小结——二重积分、三重积分,线积分、面积分
二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分
二重积分三重积分曲线积分曲面积分二重积分二重积分的概念二重积分是微积分中的重要概念之一，它是对二元函数在一个有界闭区域上的积分运算。
二重积分可以看作是对一个平面区域的面积进行加权求和，其中权重由函数值决定。
二重积分的计算可以通过分割区域，将区域内的小面积元素加权求和的方式进行。
二重积分的计算方法二重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的面积法和极坐标系下的面积法。
在直角坐标系下，二重积分可以通过将区域分割成小矩形，计算每个小矩形的面积乘以函数值的和来近似计算。
在极坐标系下，可以通过将区域分割成小扇形，计算每个小扇形的面积乘以函数值的和来近似计算。
二重积分的应用二重积分在物理学、统计学、经济学等领域有广泛的应用。
在物理学中，二重积分可以用来计算平面分布的物理量，如电荷密度、质量分布等。
在统计学中，二重积分可以用来计算二维随机变量的概率密度函数。
在经济学中，二重积分可以用来计算两个变量之间的相关性。
三重积分三重积分的概念三重积分是对三元函数在一个有界闭区域上的积分运算。
它可以看作是对一个空间区域的体积进行加权求和，其中权重由函数值决定。
三重积分的计算可以通过分割区域，将区域内的小体积元素加权求和的方式进行。
三重积分的计算方法三重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的体积法和柱面坐标系下的体积法。
在直角坐标系下，三重积分可以通过将区域分割成小立方体，计算每个小立方体的体积乘以函数值的和来近似计算。
在柱面坐标系下，可以通过将区域分割成小柱体，计算每个小柱体的体积乘以函数值的和来近似计算。
三重积分的应用三重积分在物理学、流体力学、电磁学等领域有广泛的应用。
在物理学中，三重积分可以用来计算空间分布的物理量，如电荷密度、质量分布等。
在流体力学中，三重积分可以用来计算流体的质量、动量和能量等。
在电磁学中，三重积分可以用来计算电场和磁场的分布。
曲线积分曲线积分的概念曲线积分是对向量场沿曲线的积分运算。
七大积分总结范文
七大积分总结范文积分是微积分的一个重要概念，它在数学、物理及工程学等领域中具有广泛的应用。
在微积分中，积分被认为是导数的逆运算，可以用来求函数的面积、弧长、体积等。
在数学中，有七大积分，包括定积分、不定积分、曲线积分、曲面积分、重积分、线积分和路径积分。
下面将对这七大积分进行详细总结。
定积分是微积分中最基本的积分形式，它可以用于计算曲线下面积。
定积分被表示为∫f(x)dx，在区间 [a,b] 上计算函数 f(x) 的定积分，可以得到曲线 f(x) 和 x 轴之间的面积。
定积分的计算有很多方法，如牛顿-莱布尼茨公式、Riemann 可积性等。
定积分广泛应用于计算几何、物理学、经济学等领域。
不定积分是定积分的逆运算，表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x) 是函数 f(x) 的原函数，C 是常数。
不定积分求解的过程中，要确定函数 f(x) 的原函数 F(x)，然后加上一个常数 C。
不定积分在微积分中有着广泛应用，如求函数的原函数、求定积分中的不定系数等。
曲线积分是一种沿曲线或曲线段对给定函数进行积分的方法。
它可以用来计算沿曲线运动的物体的工作量、流量、质心等。
曲线积分有两种形式：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第一类曲线积分表示为∫Cf(x,y) ds，第二类曲线积分表示为∫C Pdx + Qdy。
曲线积分的计算可以通过参数方程、向量法、Green 公式等方法进行。
曲面积分是对给定曲面上的函数进行积分的方法。
它可以用来计算质量、重心、通量等。
曲面积分有两种形式：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分表示为∫∫S f(x,y,z) dS，第二类曲面积分表示为∫∫S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy。
曲面积分的计算可以通过参数方程、向量法、高斯公式等方法进行。
重积分是对多元函数在给定区域上进行积分的方法。
它可以用来计算体积、质量、质心、惯性矩等。
重积分可以分为二重积分和三重积分。
二重积分与三重积分
二重积分与三重积分积分是微积分的重要概念之一，是对函数的求和运算。
在微积分中，有两种常见的积分形式，即二重积分和三重积分，它们在不同维度下对函数进行求和。
本文将对二重积分和三重积分的概念、计算方法和应用进行介绍。
一、二重积分二重积分主要用于平面区域上的函数求积问题。
设有函数 f(x, y) 在平面区域 D 上连续，则二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dxdy其中，D 表示平面上的某个闭区域，f(x, y) 是定义在 D 上的函数，dxdy 表示对平面区域 D 进行积分求和。
计算二重积分的方法主要有直接积分和换元积分。
直接积分是将二重积分化为一重积分的连加，依次对 x 和 y 进行积分。
换元积分则是通过变量代换，将二重积分转化为更简单的形式进行计算。
二重积分在几何学、物理学、经济学等领域具有广泛的应用。
例如，可以用二重积分计算平面图形的面积、计算质量分布在平面上的物体的质量、计算曲线围成的平面区域内的曲线积分等。
二、三重积分三重积分主要用于三维空间内的函数求积问题。
设有函数 f(x, y, z)在空间域 V 上连续，则三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，V 表示空间中的某个闭区域，f(x, y, z) 是定义在 V 上的函数，dV 表示对三维空间域 V 进行积分求和。
计算三重积分的方法类似于二重积分，可以使用直接积分和换元积分。
通过将三重积分转化为更简单的形式，可以进行计算求解。
三重积分在物理学、工程学、天文学等领域有重要的应用。
例如，可以用三重积分计算物体的体积、计算物体的质心位置、计算电荷分布在空间中的电场等。
总结：二重积分和三重积分是微积分中的重要概念，它们分别适用于平面区域和三维空间中的函数求积问题。
通过不同的计算方法，可以对函数在给定区域内的求和进行精确计算。
二重积分和三重积分在各个领域都有广泛的应用，为解决实际问题提供了有效的数学工具。
对于深入理解和应用积分概念，掌握二重积分和三重积分的计算方法和应用是非常重要的。
积分学小结——二重积分、三重积分,线积分、面积分
2 (1 r ) 3
2 3
另由几何意义：
D
31 2 2 0
1 2 1 x y d (单位球体积) 2 3
2 2
重积分的应用
(1)体积
以曲面 z f ( x, y) 为顶，以区域 D 为底的柱体 的体积为
V f ( x , y )dxdy.
D
曲线积分 当 R2上平面曲线L时, f ( M )d f ( x , y )ds.
L
曲线积分 当 R 上空间曲线时, f ( M )d f ( x , y, z )ds. 3
曲面积分
当 R3上曲面S时, f ( M )d f ( x , y , z )dS .
1 1 xa dx ln | | C x2 a2 2a xa
(18)
tan xdx ln | cos x | C
(19)
cot xdx ln | sin x | C
积分概念的联系
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
定积分 当 R1上区间 [a, b]时, f ( M )d f ( x )dx.
a
b
二重积分 当 R2上区域D时, f ( M )d f ( x , y )d . 三重积分 当 R3上区域时, f ( M )d f ( x , y, z )dv
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y 2 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则 D : y x 2
I
2
二重积分与多重积分及其应用总结
二重积分与多重积分及其应用总结知识要点。
（1） 二重积分（2） 三重积分（3） 多重积分的应用。
（4） 三重积分的总结。
一、二重积分(1) 直角坐标系下的二重积分。
（重点）直角坐标系下的二重积分，积分区域为二维平面。
⎰⎰=Ddxdy y x f I ),(。
这种形式的积分要让x 、y 取遍所有D 上的点（Ω为积分区域）。
所以要先让x 为常量，取遍y ，然后在上面的基础上再取遍x 。
或者先让y 为常量，取遍x ，然后在上面的基础上再取遍y 。
（点动成线，线动成面。
与这类似。
）针对不同的题目选择不同的方式。
而这其中的关键就是要找对积分区域D 和正确的目标函数表达式),(y x f 。
（2） 极坐标系下的二重积分。
（理解，计算是重点）极坐标系下的二重积分，积分区域同样为二维平面。
⎰⎰=Dd d f I θθ ),(。
这种形式的积分要先取长度 的线，然后变角度，就像是扫地一样。
或者是角度确定，变长度 一样就像是水波的扩散一样。
两种不同的方式一样可以取遍积分区域D 上的所有点。
但是单独拿出来的很少理解即可。
（3）直角坐标系下的二重积分与极坐标系下的二重积分之间的转换（重点）。
积分区域D 为圆或圆的一部分是，直角坐标下的积分有时候很难计算，但是化为极坐标会很简单。
这就需要极坐标与直角坐标的相互转换。
转换公式如下：ϑcos =x ϑsin =y ⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f ϑϑϑ )sin ,cos (),(额略长。
不过这是省掉积分上下限的。
如果在圆域内（尤其是那种圆的一部分），在直角坐标下积分的上下限异常麻烦，而且计算量相当之大。
但在极坐标系下将很容易。
3/16.二、三重积分(1) 直角坐标系下的三重积分。
（重点）。
直角坐标系下的三重积分，积分区域为三维立体。
⎰⎰⎰=Ddxdydz z y x f I ),,( 。
计算方式与二重积分无异。
就是先固定两个动一个。
再固定原先固定的一个，动另一个。
积分定积分曲线积分二重积分三重积分曲面积分
在 Li 上任取一点 (ξi ,ηi ) ( i = 1, 2, …, n ), 若极限
||T || 0
lim
f ( , )s
i 1 i i
L
n
i
存在，则称此极限为 f (x, y ) 在 L 上的第一型 曲线积分，记为 f ( x , y ) ds
面的交线 , 求其形心 .
R L2 解 如图所示 , 交线长度为 2 R 3 R L 3 l 3 ds 3 R o L1 2 4 y 由对称性 , 形心坐标为 R L1 x 1 z yx x ds l L1 L2 L3 2 1 x ds x ds x ds x d s L2 L3 l L1 l L1
i k
i
c
i 1
k
f i ( x , y ) d s ci f i ( x , y ) d s
i 1 L
2. 若曲线 L 由曲线段 L1 , L2, …, Lk首尾相接而成，
且
Li
f ( x , y ) d s i = 1, 2, …, k 都存在，则 L f ( x , y ) d s
则
ds
( 2 sin )
2
( 2 sin ) 2 d 2d
9 2 I 2 d 18 2 0
内容小结
1 定义
L
f ( x, y ) d s
f ( x, y, z ) d s
L
ds l
L
( l 曲线 L 的长度)
2
计算
• 对光滑曲线弧
高等数学《重积分的概念与性质》
f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D
性质5 （二重积分估值定理）
设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的最
大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M
D
性质6 （二重积分中值定理）
设函数 f ( x, y)在闭区域 D 上连续， 为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,) 使得
D
D
三、比较下列积分的大小:
1、 ( x 2 y 2 )d与 ( x y)3 d ,其中D 是由圆
D
D
( x 2)2 ( y 1)2 2所围成 .
2、 ln( x y)d与[ln( x y)]2 d ,其中D 是矩形
D
闭区域:3 x 5,0 y 1 .
四、估计积分I ( x 2 4 y 2 9)d 的值,其中D 是圆
( k ) max P1P2 P1,P2 k
令
max 1 k n
( k )
n
V
lim
0 k1
f (k , k ) k
f (k , k )
D (k ,k ) k
2. 平面薄片的质量
有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D ,其面密
度为
计算该薄片的质量 M .
设D 的面积为 ,则
设 f ( x, y, z)是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域V1，
V2,, Vn ，其中Vi 表示第i 个小闭区域，也
表示它的体积, 在每个Vi 上任取一点(i ,i , i ) 作乘积 f (i ,i , i ) Vi ，(i 1,2,, n)，并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于
二重积分与三重积分
二重积分与三重积分积分是微积分中的一项重要内容，它在求解曲线、曲面或立体的面积、体积以及求解某些重要物理量时发挥着重要的作用。
在本文中，我们将介绍二重积分和三重积分的概念、计算方法以及应用。
一、二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。
它的计算方法可以通过将给定区域分割为许多小区域，并在每个小区域上计算函数值的累加来实现。
表示二重积分的一种常见形式是：∬f(x,y)dA其中f(x,y)是被积函数，dA是面积元素。
为了计算二重积分，我们可以使用直角坐标系或极坐标系进行变换，并选择合适的积分顺序，例如先对y进行积分再对x进行积分。
具体计算步骤可以参考积分换元法、定积分和累加的相关知识。
二重积分在几何学、物理学、经济学等领域都有广泛的应用。
例如，通过计算一个平面图形所占的面积可以使用二重积分来解决；在物理学中，通过计算质点在区域上的分布情况可以得到质量、重心等物理量。
二、三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算。
与二重积分类似，三重积分的计算方法也可以通过将给定区域分割为许多小区域，并在每个小区域上计算函数值的累加来实现。
表示三重积分的一种常见形式是：∭f(x,y,z)dV其中f(x,y,z)是被积函数，dV是体积元素。
为了计算三重积分，我们可以使用直角坐标系或柱坐标系、球坐标系进行变换，并选择合适的积分顺序，例如先对z进行积分再对y进行积分最后对x进行积分。
三重积分在几何学、物理学、天文学等领域都有广泛的应用。
例如，在几何学中，可以通过计算一个立体图形的体积来应用三重积分；在物理学中，通过计算电荷密度在区域上的分布情况可以得到电量、质心等物理量。
综上所述，二重积分和三重积分在数学和实际应用中都具有重要的地位。
通过适当选择变量的次序和合适的坐标系进行转换，我们可以有效地计算和应用二重积分和三重积分。
在实际问题中，我们常常需要对更高维度的积分进行求解，这也是进一步拓展积分概念和技巧的研究方向。
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z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz].
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
例1. 计算三重积分 xd xd yd z , 其中 为三个坐标
0 z 1 x 2y 解: : 0 y 1 (1 x) 2 0 x 1
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解：将D看作X - 型区域, 则 D : 1 x 2
y
x 2 2 x 1 I d x x yd y 2 x y d x 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 8
2
2y x 1
则
f ( ( y ), y )
c
d
1 y 2 ( x) d x
例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: L : y x 2 ( 0 x 1 )
x x 1 4 x 2 dx
0 0 1
1
y
B(1,1)
Dxy
1 z x z y dxdy
( dS面元素(曲))
2
2
R( x , y , z )dxdy f [ x , y , z ( x , y )]dxdy D
xy
(dxdy面元素(投影))
其中
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
0 0
2
1
d 1 r rdr
2 0 0
2
1
1 1 2 2 2 [ 1 r d (r )] 2 0
D1
d
2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin )rdr .
例3.求
D
1 x 2 y 2 dxdy , 其中D：x2+y2 1
解： 一般 , 若 D 的表达式中含有 x2+y2 时，考虑用
极坐标.
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
y x2 L
1 (1 4x 2 ) 12 1 ( 5 5 1) 12
rR
2 0
( x 2 y 2 z 2 )d xd yd z
0 4 sin d
4
d
R 4 r dr 0
x
o
y
1 R 5 (2 2) 5
dv r 2 sin dr d d
曲线积分
对弧长的曲线积分
定 义 联 系
对坐标的曲线积分
L
f ( x , y )ds lim f ( i , i )si
O
1 x2 x
Y－型区域为：
c yd D ( x, y ) y 1 ( y) x y 2 ( y)
y
特点：平行于x轴的直线与区域边界交点不多于两个.
d
x=y1(y)
x=y2(y)
c
x
y
y 2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y ) d x
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
Pdydz Qdzdx Rdxdy
( P cos Q cos R cos )dS
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系（牛顿--莱布尼茨公式）
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
( F ( x ) f ( x ))
2.二重积分与曲线积分的联系（格林公式）
1 ( x ) y 2 ( x ).
特点： 平行于y轴的直线与区域边界交点不多于两个.
y y=2(x)
y=1(x) o a x b x
f ( x , y )dxdy a dx ( x )
D
1
b
2 ( x)
f ( x , y )dy .
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
cos xdx sin x C
(12)
ax (13) a dx C ln a
x
(14)
1 1 x dx arctan C a2 x2 a a
(15)
(16 )
(17 )
1 a2 x2
dx arcsin
x C a
1 1 ax dx ln | | C a2 x2 2a ax
f ( x, y, z )dxdydz
2 f ( r sin cos , r sin sin , r cos ) r sindrdd .
例. 计算三重积分
与球面
其中
所围立体.
z
解: 在球面坐标系下
0r R : 0 4 0 2
过点 ( x , y ) D 作直线, 从 z1 穿入，从 z2 穿出．
x
b
z
z z2 ( x , y )
z2 S 2
z1
S1
z z1 ( x , y )
a
o
( x, y)
D
y
y y2 ( x )
y y1 ( x )
F ( x, y )d dxdy[
D D
z2 ( x , y )
dv rdrddz,
f ( x, y, z )dv
f ( r cos , r sin , z )rdrddz.
(３) 球面坐标
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
dv r 2 sindrdd ,
Q P ( )dxdy Pdx Qdy (沿L的正向) L x y D
3.三重积分与曲面积分的联系（高斯公式）
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z
取的外侧
X-型区域：a x b,
0
i 1
n
定积分 当 R1上区间 [a, b]时, f ( M )d f ( x )dx.
a
b
二重积分 当 R2上区域D时, f ( M )d f ( x , y )d . 三重积分 当 R3上区域时, f ( M )d f ( x , y, z )dv
基本积分表
(1)
kdx kx C
( k 是常数)
(7)
sin xdx cos x C
1 dx x 2 ( 8 ) sec xdx tan x C ( 2) x dx C ( 1) 2 cos x 1 dx dx 2 ( 9 ) csc xdx cot x C ( 3) ln | x | C 2 sin x x
f ( x , y , z )dz , (dV体元素)
L
f ( x , y )ds f [ x , y( x )] 1 y 2 dx , (ds线元素(曲))
a
b
L f ( x, y )dx a
b
f [ x , y( x )]dx , (dx线元素(投影))
f ( x, y, z )dS f [ x, y, z( x, y)]
LPdx Qdy
[ P (, y ) Q(, y )y]dt
三代一定
( )
二代一定 (与方向有关)
各种积分之间的联系
计算 曲线积分 计算 二重积分 定积分
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分
1 1 xa dx ln | | C x2 a2 2a xa
(18)
tan xdx ln | cos x | C
(19)
cot xdx ln | sin x | C
积分概念的联系
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
2 (1 r ) 3
2 3
另由几何意义：
D
31 2 2 0
1 2 1 x y d (单位球体积) 2 3
2 2
重积分的应用
(1)体积
以曲面 z f ( x, y) 为顶，以区域 D 为底的柱体 的体积为
V f ( x , y )dxdy.
x d x d y d z
x d x
0 1
1 (1 x ) 2
0
0
1 x 2 y
dz
(1 x 2 y )d y
1 1 1 2 3 ( x 2 x x )d x 4 0 48
(２) 柱面坐标
x r cos , y r sin , z z.
例2
改变积分 dx
0
1
1 x
0
f ( x , y )dy的次序.
解 积分区域如图
y 1 x
原式 dy
0
1
1 y
0
f ( x , y )dx .