概率论的基本概论(doc 22页)
概率论知识点总结精编WORD版
概率论知识点总结精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。
样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ⊇或B A ⊆。
相等关系：若A B ⊇且B A ⊆，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。
事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B 的和事件。
记为 A∪B。
事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。
事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件,记为 A－B。
用交并补可以表示为B-。
A=BA互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。
互斥时BA⋃可记为A＋B。
对立事件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为A。
对立事件的性质：ΩAA,。
B⋂B==⋃Φ事件运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC（4）对偶律（摩根律）：BA⋃BA⋂=BA⋃BA⋂=第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性：P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性： ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)（3）)(1)(A P A P -=（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为nk A P =)( 2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)()()(Ω=μμA A P假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B). 乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组，则P(B)=∑P(i A )P(B|i A )贝叶斯公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组,则第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立独立的性质：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
第一章概率论的基本概念
第⼀章概率论的基本概念第⼀章概率论的基本概念⼀、随机事件其运算1．随机试验、样本点和样本空间(1)随机试验随机试验具有如下特点的试验．1、在相同的条件下，试验可以重复进⾏．2、试验的所有可能结果是预先知道的，并且不⽌⼀个．3、每⼀次试验出现那⼀个结果事先不能确定． (2)样本点和样本空间随机试验的每⼀个可能的(不可分解的)结果，称为这个随机试验的⼀个样本点，记为ω．随机试验的所有样本点组成的集合，称为这个随机试验的样本空间，记为．Ω2．随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件在随机试验中，可能发⽣也可能不发⽣的事情称为该试验的随机事件，记为A ,B 等．随机试验的随机事件可以表⽰为它的⼀些样本点组成的集合．在⼀次试验中，若试验结果是随机事件A 中的⼀个样本点，则称在⼀次试验中事件A 发⽣．只包含⼀个样本点的事件称为基本事件．在任何⼀次试验中都发⽣的事件，称为必然事件，它就是Ω所表⽰的事件，因⽽⽤Ω表⽰必然事件．在任何⼀次试验中都不发⽣的事件，称为不可能事件，它就是由φ所表⽰的事件，因⽽⽤φ表⽰不可能事件．3．事件之间的关系和运算 (1)包含关系设A ,B 为⼆事件，若A 发⽣必导致B 发⽣，则称事件A 包含于事件B ，或事件B 包含事件A ，记为B A ?．B A ??A ∈?ω必有B ∈ω，见图1—1． (2)相等关系设A ,B 为⼆事件，若B A ?并且A B ?，则称A 与B 相等，记为B A =，见图1—2．(3)事件的并设A ,B 为⼆事件，称事件“A ,B ⾄少⼀个发⽣(A 发⽣或B 发⽣)”为A ,B 的并(或和)，记为．B A ∪B A ∪}|{B A ∈∈=ωωω或．见图1—3．(4)事件的交设A ,B 为⼆事件，称事件“A ,B 同时发⽣(A 发⽣且B 发⽣)”为A ,B 的交(或积)．记为或B A ∩AB ．AB }|{B A ∈∈=ωωω且．见图1—4． (5)事件的差设A ,B 为⼆事件，称事件“A 发⽣且B 不发⽣”为A 减去B 的差，记为B A ?．B A ? }|{B A ?∈=ωωω且．见图1—5．(6)互不相容关系设A ,B 为⼆事件，若A ,B 不能同时发⽣，称A ,B 互不相容或互斥，记为AB φ=． A ,B 互不相容?AB φ=，见图1—6． (7)对⽴事件设A 为⼀事件，称事件“A 不发⽣”为A 的余事件或A 的对⽴事件，记为A ．A =A ?Ω，即φ=Ω=+A A A A ，，见图1—7．(8)完备事件组构成完备事件组，若,,,,21n H H H )( 21j i H H H H H j i n ≠=Ω=++++φ，．换句话说，如果有限个或可数个事件两两不相容，并且“所有事件的和”是必然事件，则称它们构成完备事件组． ,,,,21n H H H 4．事件的运算法则对于任意事件，，有C B A ,, ,,,,21n A A A (1) 交换律 A B B A A B B A ∩∩∪∪==，．(2) 结合律 C B A C B A ∪∪∪∪)()(=；C B A C B A ∩∩∩∩)()(=．(3) 分配律；)()()(C A B A C B A ∩∪∩∪∩=)()()(C A B A C B A ∪∩∪∩∪=．() ∪∩∪∪∩∪∪∪∩)()(11n n A A A A A A A =． (4) 对偶律，；B A B A B A B A ∪∩∩∪==∩∩∩∪∪∪n n A A 11=；∪∪∪∩∩∩n n A A 11=．下列关系和运算要熟记：Ω??A φ；；B A B A B A ∪∩??)(或B B A A B A B A ==??∪∩且；A B A ??；φ=B A B A ；φφ=A ∩；A A =∪φ；φ=Ω；Ω=φ；A B B A ；AB A B A B A ?==?∩；)(A B A B A ∪∪=．【例1】写出下列随机试验的样本空间： (1)从袋中任取3个球，记录取球的结果．(2)从袋中不放回地接连取出3个球，记录取球的结果． (3)从袋中有放回地接连取出3个球，记录取球的结果．(4)从袋中不放回地⼀个⼀个地取球，直到取得⽩球为⽌录取球的结果．【例2】今有3个球、4个盒⼦．写出下列随机试验的样本空间：(1)将3个球任意地放⼊4个盒⼦中去、每个盒⼦放⼊的球数不限，记录放球的结果． (2)将3个球放⼊4个盒⼦中去，每个盒⼦⾄多放⼊1个球，记录放球的结果．【例3】写出下列随机试验的样本空间： (1)在上任取⼀点，记录其坐标． )1,0((2)将⼀尺之捶折成三段，记录三段的长度 (3)在上任取三点，记录三点的坐标．)1,0(【例4】写出下列随机试验的样本空间，⽤样本点的集合表⽰所述事件，并讨论它们之间的相互关系．(1)袋中有3个⽩球和2个⿊球，从其中任取2个球，令A 表⽰ “取出的全是⽩球”，B 表⽰“取出的全是⿊球”，表⽰“取出的球颜⾊相同”， (C i A 2,1=i )表⽰“取出的2个球中恰有i 个⽩球”，表⽰“取出的2个球中⾄少有1个⽩球”． D (2)袋中有2个正品和2个次品，从袋中有放回地接连抽取产品3次，每次任取1件，令 ()表⽰“第次取出的是正品”，i A 3,2,1=i i B 表⽰“3次都取得正品”． (3)从l，2，3，4这4个数字中，任取—数，取后放回，然后再任取⼀数．先后取了3次，令A 表⽰“3次取出的数不超过3”，B 表⽰“3次取出的数不超过2”，表⽰“3次取出的数的最⼤者为3”．C (4)将3个球任意地放⼊4个盒⼦中去，令A 表⽰“恰有3个盒⼦中各有1球”，B 表⽰“⾄少有2个球放⼊同1个盒⼦中”．【例5】设为3事件，试⽤表⽰下列事件： C B A ,,C B A ,,(1)⾄少有1个发⽣． C B A ,, (2)都不发⽣．C B A ,,(3)不都发⽣．C B A ,,(4)不多于1个发⽣． C B A ,,【例6】什么样的事件X 满⾜下列等式： (1)B A X A X =)()(∪∪∪． (2)．B A X A ∪∪=(3)． )()(C B C A X AB ∪∩∪∪=⼆、事件的概率及其性质1．事件概率的定义(1)古典概型满⾜下列条件的随机试验，称为古典概型．10 有限性：样本点的总数是有限的；20等可能性：所有基本事件是等可能的；①概率的定义：设随机试验为古典概型，样本空间为},,{1n ωω =Ω，A 是⼀个事件．},,{1r i i A ωω =，则事件的概率为含样本点的个数含样本点的个数Ω==A n r A P )(．②概率的性质：对于古典概型，事件的概率具有下列性质． 10． 1)(0≤≤A P 20．1)(=ΩP 30有限可加性：若两两互不相容，则n A A A ,,,21 ∑===ni i n i i A P A P 11)()(∪．(2)⼏何概型满⾜下列条件的随机试验，称为⼏何概型．10有限性：样本空间是直线、⼆维或三维空间中度量(长度、⾯积或体积)有限的区间或区域．20均匀性：样本点在样本空间上是均匀分布的(可通俗地称为是等可能的) ．①概率的定义：在⼏何概型中，Ω为样本空间，A 是⼀个事件，定义事件A 的概率)()()(Ω=L A L A P ．其中,分别是)(A L )(ΩL A ,的度量．Ω②概率的性质：对于⼏何概型，事件的概率具有下列性质． 10． 1)(0≤≤A P 20．1)(=ΩP 30若两两互不相容，则,,,,21n A A A ∑∞=∞==1)()(i i i i A P A P ∪．(3)事件的频率和性质以及概率的统计定义①事件的频率：将试验重复独⽴地进⾏次，若其中事件n A 发⽣了次，则称为A n A n A 在这n 次试验中出现的频数，称⽐值为n n A /A 在这次试验中出现的频率，记为，即．n )(A f n =)(A n f n n A /②频率的性质：事件的频率有如下性质： 101)(0≤≤A f n ． 20．1)(=ΩP 30 若两两互不相容，则m A A A ,,,21 ∑===mi i n m i i n A f A f 11)()(∪．2．概率的公理化定义及性质(1)概率的公理化定义设随机试验E 的样本空间为，以ΩE 的所有随机事件组成的集合(即的⼀些⼦集组成的集合)为定义域，定义⼀个函数(Ω)(A P A 为任意随机事件)，即任意⼀个随机事件A 与⼀个实数，且满⾜：)(A P 10．0)(≥A P 20．1)(=ΩP 30 可列可加性：若两两互不相容，则,,,,21n A A A ∑∞=∞==11)()(i i i i A P A P ∪．(2)概率的性质 100)(=φP ．20 有限可加性：若两两互不相容，则．n A A A ,,,21 ∑===ni in i iA P A P 11)()(可减性：如果B A ?，则)()()(A P B P A B P ?=?，)()(B P A P ≤?．（⽆条件等式)()()(AB P B P A B P ?=?） 40对于任意事件A ，有1)(≤A P ． 50⼀般加法公式：==)(1∪n i i A P ∑=ni i A P 1)(∑≤<≤?nj i j i A A P 1)( ++∑≤<<≤nk j i k j i A A A P 1)()()1(211n n A A A P ??+【例7】袋中有3个⽩球及5个⿊球，(1)从袋中任取4个球，求取得2个⽩球及2个⿊球的概率．(2)从袋中不放回地接连取出4个球，求取得2个⽩球及2个⿊球的概率． (3)从袋中有放回地接连取出 4个球，求取得2个⽩球及2个⿊球的概率．【例8】设有个⼈，每个⼈都等可能地被分配到个房间中的任⼀间()，求下列事件的概率：n N N n < 事件：某指定的间房中各有1个⼈． 1A n 事件：恰有间房各有1个⼈． 2A n 韦件：某指定的房间中有个⼈．3A k 事件：当4A N n =时，恰有⼀间房空着．【例9】编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的车⽪随机地发往三个地区,和的各2，3和4节，求发往同⼀地区的车⽪编号相邻的概率． 1E 2E 3E【例10】从0,1,2,…,9这10个数字中任取1个，取后放回，先后取了6个数字，求下列事件的概率：事件：6个数字全不相同． 1A 事件：不含0与9． 2A 事件：0恰好出现2次． 3A 事件：⾄少出现2个0．4A 事件：6个数字中最⼤的是6． 5A 事件：6个数字的总和是20．6A【例11】有5名插班⽣，其中有3名男⽣、2名⼥⽣．现将他们按每班1⼈任意地分配到编号为1—5的5个班中去，求下列事件的概率：事件：3名男⽣被分到班号相连的3个班中．1A 事件：⾄少有2个男⽣被分到的班号或2个⼥⽣被分到的班号相连． 2A【例12】从n 双尺码不同的鞋⼦中任取r 2 (n r ≤2)只，求下列事件的概率：事件：所取1A r 2只鞋⼦中只有2只成双事件：所取2A r 2只鞋⼦中⾄少有2只成双．事件：所取3A r 2只鞍⼦恰成r 双．【例13】在线段AB 上任取⼀点，该点将AB 分成两段，求下列事件的概率：事件：其中⼀段⼤于另⼀段的倍． 1A m 事件：其中每⼀段都⼩于另⼀段的倍．【例14】设只1个泊位的码头有甲、⼄两艘船停靠，2船各⾃可能在1昼夜的任何时刻到达．设两艘船停靠的时间分别为1⼩时和2⼩时，求下列事件的概率：事件：码头空闲超过2⼩时．1A 事件：⼀艘船要停靠必须等待⼀段时间． 2A【例15】在线段上任取3个点，求下列事件的概率： AC 321,,A A A 事件：位于与之间．1B 2A 1A 1A 事件：能构成1个三⾓形． 2B 321,,AA AA AA【例16】若,5.0)(=A P 4.0)(=B P ,3.0)(=?B A P ，求和)(B A P ∪)(B A P ∪.【例17】对于任意两个互不相容的事件A 与B ，以下等式中只有⼀个不正确，它是： (A) ；)()(A P B A P =?(B) )()(A P B A P =?1)(?+B A P ∪； (C) )()()(B P A P B A P ?=?； (D) ； (E) )())()((A P B A B A P =?∩∪)()()(BA P A PB A P ∪?=?.三、条件概率和乘法公式1．条件概率的定义及性质(1)条件概率的定义设为两个事件，，则称B A ,0)(>B P )()()|(B P AB P B A P =为B 发⽣的条件下A 的条件概率．(2)条件概率的性质条件概率满⾜： 10． 0)|(≥B A P 20．1)|(=ΩB P 30可列可加性：若两两互不相容，则,,,,21n A A A ∑∞=∞==11)|()|(i i i i B A P B A P ∪．2．关于条件概率的三个定理(1)乘法公式若，则0)(>A P )()()(A B P A P AB P =．推⼴若，则0)(21>n A A A P )()()()(12112121?=n n n A A A A P A A P A P A A A P ．(2)全概率公式设是样本空间的⼀个划分（或称为完备事件组），即两两不交：n B B B ,,,21 Ωn B B B ,,,21 j i B B j i ≠=,φ，且Ω=n B B B ∪∪∪21．则∑==ni i i B P B A P A P 1)()|()(．(3)贝叶斯公式设是样本空间Ω的⼀个划分，若事件n B B B ,,,21 A 满⾜：，则有0)(>A P n i B P BA PB P B A P A B P nj j ji i i ,,2,1,)()|()()|()|(1==∑=．)(i B P （），通常叫先验概率．，（n i ,,2,1 =)|(A B P i n i ,,2,1 =），通常称为后验概率．如果我们把A 当作观察的“结果”，⽽理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断．n B B B ,,,21【例18】在3重努利试验中，设5.0)(=A P ，若已知A ⾄少出现1次，求A ⾄少出现1次的概率．【例19】⼝袋个装有个⽩球、个⿊球，⼀次取出球，发现都是同⼀颜⾊的球，求它们都是⿊球的概率． 12?n n 2n【例20】假设⼀个⼈在⼀年内患感冒的次数X 服从参数为5的泊松分布；正在销售的⼀种药品A 对于75%的⼈可以将患感冒的次数平均降低到3次，⽽对于25%的⼈⽆效．现在有某⼈试⽤此药⼀年，结果在试⽤期患感冒两次，试求此药有效的概率α．【例21】对产品作抽样检验时，每100件为⼀批，逐批进⾏．对每批检验时，从其中任取1件作检查，如果是次品，就认为这批产品不合格；如果是合格品，则再检查下件．检验过的产品不放回．如此连续检查5件．如果检查5件产品都是合格品，则认为这批产品合格⽽被接受．假定⼀批产中有5％是次品，求这批产品被接受的概率．【例22】加⼯零件需要经过两道⼯序，第—道⼯序出现合格品的概率为0.9，出现次品的概今为0.1第⼀道⼯序加⼯出来的合格的，在第⼆道⼯序中出现合格品的概率为0.8，出现次品的概率为0.2；第⼀道⼯序加⼯出来的次品，在第⼆道⼯序出现次品或出现废品的概率都是0.5．分别求经过两道⼯序加⼯出来的零件是合格品、次品、废品的概率．【例23】在某⼯⼚中有甲、⼄、丙3台机器⽣产同样的产品，它们的产量各占25％，35％，40％，并且在各⾃的产品中．废品各占5％，4％，2％，从产品中任取1件，求它是废品的概率．若取出的是废品，分别求它是甲、⼄、丙机器⽣产的概率．【例24】乒乓球盒内有12个球，其中9个是新球．第⼀次⽐赛时任取3个使⽤，⽤后放回．第⼆次⽐赛时再任取3个球，求此3个球全是新球的概率．若第⼆次取出的3个球全是新球，求第⼀次取出使⽤的3个球也是新球的概率．【例25】袋中装有5个⽩球和2个⿊球，从中任取5个放⼊⼀个空袋中．再从这个袋的5个球做任取3个球放⼊另⼀个空袋个．最后从第三个袋中任取1球，求从第三个袋中取出⽩球的概率．若从第三个袋取出的是⽩球，分别求从第⼀个袋中取出放⼊第⼆个袋的5个球全是⽩球的概率、从第⼆个袋中取出放⼊第三个袋的3个球全是⽩球的概率．四、事件的独⽴性1．⼆事件的独⽴性定义设为⼆事件，若B A ,)()()(B P A P AB P =，则称相互独⽴． B A , 性质若，则相互独⽴的充要条件是)0(>A P B A ,)()|(B P A B P =．定理若相互独⽴，则B A ,A 与B ，A 与B ，A 与B 均独⽴． 2．三个或三个以上事件的独⽴性（1）三个事件相互独⽴设为三个事件，若满⾜： C B A ,,)()()(B P A P AB P =； )()()(C P A P AC P =；)()()(C P B P BC P =；)()()()(C P B P A P ABC P =，则称相互独⽴，简称独⽴.C B A ,,C B A ,,若只满⾜上⾯的前三个式⼦，称两两独⽴．两两独⽴，未必相互独⽴. C B A ,,C B A ,,（2）个事件相互独⽴如果n 个事件满⾜：n n A A A ,,,21 )()()(j i j i A P A P A A P =， n j i ≤<≤1，共个等式； 2nC )()()()(k j i k j i A P A P A P A A A P =， n k j i ≤<<≤1 共个等式； 3nC … … … … … … … … … … … … … … … … … …)()()()(2121n n A P A P A P A A A P = 共个等式 nn C 这等式成⽴，则称相互独⽴，简称独⽴．1232??=+++n C C C n nn n n n A A A ,,,21 n A A A ,,,21 若相互独⽴，是中的个事件，则相互独⽴．n A A A ,,,21 k i i i A A A ,,,21 n A A A ,,,21 k k i i i A A A ,,,21若相互独⽴，将任意n A A A ,,,21 m )1(n m ≤≤个事件换成它的对⽴事件后，所得个事件仍独⽴．n 若相互独⽴，则．n A A A ,,,21 ∏==??=ni in i iA P A P 11))(1(1)(∪3．独⽴试验序列概型贝努利试验对⼀个试验E ，如果只考虑两个结果A 和A ，且，p A P =)(q p A P =?=1)(，则称E 为贝努利试验．n 重贝努利试验将贝努利试验E 重复独⽴地做次，称为n 重贝努利试验．n ⼆项概率公式在n 重贝努利试验中，若⽤表⽰在n 次试验中k n A ,A 出现次，则k kn k k n k n q p C A P ?=)(,，，n k ,,1,0 =p q ?=1．【例26】设有两门⾼射炮，每—门击中飞机的概率都是0.6，求同时射击⼀发炮弹能击中飞机的概率．若欲以99％的概率击中飞机，求⾄少需要多少门⾼射炮同时射击．【例27】今有甲、⼄两名射⼿轮流对同⼀⽬标进⾏射击，甲命中的概率为，⼄命中的概率为，甲先射，谁先命中谁得胜，分别求甲、⼄获胜的概率． 1p 2p【例28】甲、⼄⼆⼈进⾏下棋⽐赛，假设每局甲胜的概率为α，⼄胜的概率为β，且1=+βα，在每局⽐赛中谁获胜谁得1分．如果谁的积分多于对⽅2分，谁就获得全场的胜利，分别求甲、⼄⼆⼈获得全场胜利的概率．【例29】检查产品质量时，从其中连续抽查若⼲件，如果废品不超过2件，则认为这批产品合格⽽被接收．现有⼀⼤批产品，其废品率为0.1． (1)若连续抽查10件．求这批产品被接收的概率．(2)为使这批产品被接收的概率不超过0.9．应⾄少抽查多少件产品．【例30】保险公司为某年龄段的⼈设计⼀项⼈寿保险，投保⼈在1⽉1⽇向保险公司交纳保险费10元，1年内若投保⼈死亡，家属可向保险公司领取5000元，已知在1年内该年龄段的⼈的死亡率为0.0005，(1)若有10000⼈投保，⽔保险公司获利不少于50000元的概率． (2)若有7000⼈投保，求保险公司亏损的概率．。
概率论与数理统计第一章概率论的基本概论.
A AB B
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§1.1随机现象与随机事件
n
推广 称A k为 n个事 A 1,A 2件 , ,A n的积 ; 事
k1
称A k为可列 A 1,个 A 2, 事 的件 积. 事
k1
和事件与积事件的运算性质
A A A , A , A A ,
王梓坤著 科学出版社
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第 一章 概率论的基本概念
3
第1章 概率论的基本概念
§1.1 随机现象与随机事件
一 随机现象与随机试验 自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象 在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实例 “太阳从东方升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
正面、反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现. 故为随机试验. 9
§1.1随机现象与随机事件
同理可知下列试验都为随机试验.
1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2. 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数. 3. 记录某公共汽车站每日 上午某时刻的等车人数.
4. 从一批灯泡中任取 一 只,测试其寿命.
1. 事件的包含与相等
若事件 A 发生必然导致 B 发生 , 则称事件 B 包含事件 A, 记作 BA 或 A B .
若事件A 包含事件B， 而且事件B 包含事件A， 则称事件A与事件B相等，记作 A=B.
图示 B 包含 A.
AB
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§1.1随机现象与随机事件
2. 事件的和 “事件A或事件B至少有一个发生”是一个事件 ,
结果: 弹落点会各不相同. 实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.
概率论与数理统计第一章 概率论的基本概念word资料25页
第一章概率论的基本概念在现实世界中发生的现象千姿百态，概括起来无非是两类现象：确定性的和随机性的.例如：水在通常条件下温度达到100℃时必然沸腾，温度为0℃时必然结冰；同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引等等，这类现象称为确定性现象，它们在一定的条件下一定会发生.另有一类现象，在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果，此类现象称为随机现象.例如：测量一个物体的长度，其测量误差的大小；从一批电视机中随便取一台，电视机的寿命长短等都是随机现象.概率论与数理统计，就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门基础学科.这里我们注意到，随机现象是与一定的条件密切联系的.例如：在城市交通的某一路口，指定的一小时内，汽车的流量多少就是一个随机现象，而“指定的一小时内”就是条件，若换成2小时内，5小时内，流量就会不同.如将汽车的流量换成自行车流量，差别就会更大，故随机现象与一定的条件是有密切联系的.概率论与数理统计的应用是很广泛的，几乎渗透到所有科学技术领域，如工业、农业、国防与国民经济的各个部门.例如，工业生产中，可以应用概率统计方法进行质量控制，工业试验设计，产品的抽样检查等.还可使用概率统计方法进行气象预报、水文预报和地震预报等等.另外，概率统计的理论与方法正在向各基础学科、工程学科、经济学科渗透，产生了各种边缘性的应用学科，如排队论、计量经济学、信息论、控制论、时间序列分析等.第一节样本空间、随机事件1. 随机试验人们是通过试验去研究随机现象的，为对随机现象加以研究所进行的观察或实验，称为试验.若一个试验具有下列三个特点：1°可以在相同的条件下重复地进行；2°每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以明确试验所有可能出现的结果；3°进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.则称这一试验为随机试验（Random trial），记为E.下面举一些随机试验的例子.E1：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况.E2：掷两颗骰子，观察出现的点数.E3：在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿命.E4：城市某一交通路口，指定一小时内的汽车流量.E5：记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度.2.样本空间与随机事件在一个试验中，不论可能的结果有多少，总可以从中找出一组基本结果，满足：1°每进行一次试验，必然出现且只能出现其中的一个基本结果.2°任何结果，都是由其中的一些基本结果所组成.随机试验E的所有基本结果组成的集合称为样本空间（Sample space），记为Ω.样本空间的元素，即E的每个基本结果，称为样本点.下面写出前面提到的试验E k(k=1,2,3,4,5)的样本空间Ωk:Ω1:{H,T}；Ω2:{(i,j)｜i,j=1,2,3,4,5,6}；Ω3:{t｜t≥0}；Ω4:{0,1,2,3,…}；Ω5:{(x,y)｜T0≤x≤y≤T1}，这里x表示最低温度,y表示最高温度，并设这一地区温度不会小于T0也不会大于T1.随机试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件（Random event），简称事件①，通常用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.例如，在掷骰子的试验中，可以用A表示“出现点数为偶数”这个事件，若试验结果是“出现6点”，就称事件A发生.特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.例如，试验E1有两个基本事件{H}、{T}；试验E2有36个基本事件{（1，1）}、{（1，2）}、…、{（6，6）}.每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件.样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，每次试验中都必然发生，故它就是一个必然事件.因而必然事件我们也用Ω表示.在每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件.空集∅不包含任何样本点，它作为样本空间的子集，在每次试验中都不可能发生，故它就是一个不可能事件.因而不可能事件我们也用∅表示.3．事件之间的关系及其运算事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的运算可以用集合之间的关系与集合的运算来处理.下面我们讨论事件之间的关系及运算.1°如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于事件B（或称事件B包含事件A），记作A⊂B(或B⊃A）.A⊂B的一个等价说法是，如果事件B不发生，则事件A必然不发生.若A⊂B且B⊂A，则称事件A与B相等（或等价），记为A=B.为了方便起见，规定对于任一事件A，有∅⊂A.显然，对于任一事件A，有A⊂Ω.2°“事件A与B中至少有一个发生”的事件称为A与B的并（和），记为A∪B.由事件并的定义，立即得到：对任一事件A，有A∪Ω＝Ω；Α∪∅=A.A=Y nii A1=表示“A1，A2，…，A n中至少有一个事件发生”这一事件.A=Y∞=1iiA表示“可列无穷多个事件A i中至少有一个发生”这一事件.3°“事件A与B同时发生”的事件称为A与B的交（积），记为A∩B或（AB）.由事件交的定义，立即得到：对任一事件A，有A∩Ω=A；A∩∅=∅.①严格地说，事件是指Ω中满足某些条件的子集.当Ω是由有限个元素或由无穷可列个元素组成时，每个子集都可作为一个事件.若Ω是由不可列无限个元素组成时，某些子集必须排除在外.幸而这种不可容许的子集在实际应用中几乎不会遇到.今后，我们讲的事件都是指它是容许考虑的那种子集.B=I nii B1=表示“B1，…，B n n个事件同时发生”这一事件.B=I∞=1iiB表示“可列无穷多个事件B i同时发生”这一事件.4°“事件A发生而B不发生”的事件称为A与B的差，记为A-B.由事件差的定义，立即得到：对任一事件A，有A-A=∅；A-∅＝A；A-Ω=∅.5°如果两个事件A与B不可能同时发生，则称事件A与B为互不相容（互斥），记作A∩B=∅.基本事件是两两互不相容的.6°若A∪B=Ω且A∩B=∅，则称事件A与事件B互为逆事件（对立事件）.A的对立事件记为A，A是由所有不属于A的样本点组成的事件，它表示“A不发生”这样一个事件.显然A=Ω-A.在一次试验中，若A发生，则A必不发生（反之亦然），即在一次试验中，A与A二者只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一.显然有A=A.对立事件必为互不相容事件，反之，互不相容事件未必为对立事件.以上事件之间的关系及运算可以用文氏（V enn)图来直观地描述.若用平面上一个矩形表示样本空间Ω，矩形内的点表示样本点，圆A与圆B分别表示事件A与事件B，则A与B的各种关系及运算如下列各图所示（见图1-1~图1-6）.图1-1 图1-2 图1-3图1-4 图1-5 图1-6 可以验证一般事件的运算满足如下关系：1°交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；2°结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C；3°分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；分配律可以推广到有穷或可列无穷的情形，即A∩（Y nii A1=）=)(1Y IniiAA=, A∪(1niiA=I)=I YniiAA1)(=;A∩（Y∞=1iiA）=)(1Y I∞=iiAA, A∪(1iiA∞=I)=I Y∞=1)(iiAA.4°A-B=A B=A-AB；5°对有穷个或可列无穷个A i，恒有例1.1 设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算式表示下列事件：（1） A 发生而B 与C 都不发生：A C B 或A -B -C 或A -（B ∪C ）. （2） A ，B 都发生而C 不发生：AB C 或AB -C .（3） A ，B ，C 至少有一个事件发生：A ∪B ∪C .（4） A ，B ，C 至少有两个事件发生：（AB ）∪（AC ）∪（BC ）.（5） A ，B ，C 恰好有两个事件发生：（AB C ）∪（AC B ）∪（BC A ）.（6） A ，B ，C 恰好有一个事件发生：（A C B ）∪（B C A ）∪（C B A ）.（7） A ，B 至少有一个发生而C 不发生：（A ∪B ）C .（8） A ，B ，C 都不发生：C B A I Y 或C B A .例1.2 在数学系的学生中任选一名学生.若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员.（1） 叙述AB C 的意义.（2） 在什么条件下ABC =C 成立？（3） 在什么条件下B A ⊂成立？解 （1） 该生是三年级男生，但不是运动员.（2） 全系运动员都是三年级男生.（3） 全系女生都在三年级.例1.3 设事件A 表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，求其对立事件A .解 设B=“甲种产品畅销”，C =“乙种产品滞销”，则A =BC ，故C B BC A Y ===“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.第二节 概率、古典概型除必然事件与不可能事件外，任一随机事件在一次试验中都有可能发生，也有可能不发生.人们常常希望了解某些事件在一次试验中发生的可能性的大小.为此，我们首先引入频率的概念，它描述了事件发生的频繁程度，进而我们再引出表示事件在一次试验中发生的可能性大小的数——概率.1.频率定义1.1 设在相同的条件下，进行了n 次试验.若随机事件A 在n 次试验中发生了k 次，则比值k /n 称为事件A 在这n 次试验中发生的频率（Frequency ），记为f n (A )= k /n . 由定义1.1容易推知，频率具有以下性质：1° 对任一事件A ，有0≤f n (A )≤1；2° 对必然事件Ω，有f n (Ω)=1；3° 若事件A ，B 互不相容，则f n (A ∪B )=f n (A )+f n (B )一般地，若事件A1，A2，…，A m两两互不相容，则事件A发生的频率f n(A)表示A发生的频繁程度，频率大，事件A发生就频繁，在一次试验中，A发生的可能性也就大.反之亦然.因而，直观的想法是用f n(A)表示A在一次试验中发生可能性的大小.但是，由于试验的随机性，即使同样是进行n次试验，f n（A）的值也不一定相同.但大量实验证实，随着重复试验次数n的增加，频率f n（A）会逐渐稳定于某个常数附近，而偏离的可能性很小.频率具有“稳定性”这一事实，说明了刻画事件A发生可能性大小的数——概率具有一定的客观存在性.（严格说来，这是一个理想的模型，因为我们在实际上并不能绝对保证在每次试验时，条件都保持完全一样，这只是一个理想的假设）.历史上有一些著名的试验，德·摩根（De Morgan）蒲丰（Buffon)和皮尔逊（Pearson)曾进行过大量掷硬币试验，所得结果如表1-1所示.表1-1试验者掷硬币次数出现正面次数出现正面的频率德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120190.5005可见出现正面的频率总在0.5附近摆动，随着试验次数增加，它逐渐稳定于0.5.这个0.5就反映正面出现的可能性的大小.每个事件都存在一个这样的常数与之对应，因而可将频率f n(A)在n无限增大时逐渐趋向稳定的这个常数定义为事件A发生的概率.这就是概率的统计定义.定义1.2设事件A在n次重复试验中发生的次数为k,当n很大时，频率k/n在某一数值p的附近摆动，而随着试验次数n的增加，发生较大摆动的可能性越来越小，则称数p 为事件A发生的概率，记为P（A）=p.要注意的是，上述定义并没有提供确切计算概率的方法，因为我们永远不可能依据它确切地定出任何一个事件的概率.在实际中，我们不可能对每一个事件都做大量的试验，况且我们不知道n取多大才行；如果n取很大，不一定能保证每次试验的条件都完全相同.而且也没有理由认为，取试验次数为n+1来计算频率，总会比取试验次数为n来计算频率将会更准确、更逼近所求的概率.为了理论研究的需要，我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出概率的公理化定义.2.概率的公理化定义定义1.3设Ω为样本空间，A为事件，对于每一个事件A赋予一个实数，记作P（A），如果P（A）满足以下条件：1°非负性：P（A）≥0；2°规范性：P（Ω)=1；3°可列可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1，A2，…，A n，…，有则称实数P（A）为事件A的概率（Probability）.在第五章中将证明，当n→∞时频率f n(A)在一定意义下接近于概率P（A）.基于这一事实，我们就有理由用概率P（A）来表示事件A在一次试验中发生的可能性的大小.由概率公理化定义，可以推出概率的一些性质.性质1P(∅)=0证令A n=∅ (n=1,2,…),则Y ∞=1n n A=∅,且A i A j =∅（i ≠j ,i ,j =1,2,…）. 由概率的可列可加性得P (∅)=∑∑∞=∞=∞===111)()(n n nn n P A P A P Y (∅), 而P （∅)≥0及上式知P （∅)=0.这个性质说明：不可能事件的概率为0.但逆命题不一定成立，我们将在第二章加以说明. 性质2 (有限可加性) 若A 1，A 2，…，A n 为两两互不相容事件，则有证 令A n +1=A n +2=…=∅，则A i A j =∅.当i ≠j ，i ,j =1,2,…时，由可列可加性，得 性质3 设A ，B 是两个事件，若A ⊂B ，则有);()()(A P B P A B P -=- 或 ()()P A P B ≤.证 由A ⊂B ,知B =A ∪(B -A ）且A ∩（B -A ）=∅.再由概率的有限可加性有P （B ）=P （A ∪(B -A ))=P (A )+P (B -A ),即 P （B -A ）=P （B ）-P （A ）；又由P (B -A ）≥0，得P （A ）≤P （B ）性质4 对任一事件A ，P （A ）≤1证 因为A ⊂Ω，由性质3得P （A ）≤P (Ω)=1性质5 对于任一事件A ，有 )(A P =1-P （A ）证 因为A ∪A =Ω，A ∩A=∅，由有限可加性，得1=P （Ω）=P （A ∪A ）=P （A ）+P （A ），即 P （A )=1-P (A )性质6（加法公式） 对于任意两个事件A ,B 有P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (AB )证 因为A ∪B =A ∪(B -AB )且A ∩（B -AB ）=∅.由性质2，3得P （A ∪B ) =P (A ∪(B -AB )) =P (A )+P (B -AB )=P (A )+P (B )-P (AB )性质6还可推广到三个事件的情形.例如，设A 1，A 2，A 3为任意三个事件，则有P (A 1∪A 2∪A 3) =P （A 1）+P （A 2）+P （A 3）-P （A 1A 2）-P （A 1A 3）-P （A 2A 3）+P （A 1A 2A 3）一般地，设A 1，A 2，…，A n 为任意n 个事件，可由归纳法证得P （A 1∪…∪A n ) =).()1()()()(211111n n n k j i kj i n i n j i j i i A A A P A A A P A A P A P ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+--≤<<≤=≤<≤∑∑∑例1.4 设A ，B 为两事件，P （A ）=0.5,P (B )=0.3,P (AB )=0.1，求：（1） A 发生但B 不发生的概率；（2） A 不发生但B 发生的概率；（3） 至少有一个事件发生的概率；（4） A ，B 都不发生的概率；（5） 至少有一个事件不发生的概率.解（1） P （A B ）=P （A -B ）=P （A -AB ）=P （A ）-P （AB ）=0.4；（2） P （A B ）=P （B -AB ）=P （B ）-P （AB ）=0.2；(3) P (A ∪B )=0.5+0.3-0.1=0.7；(4) P (B A )=P (B A Y )=1-P (A ∪B )=1-0.7=0.3；(5) P (A ∪B ）=P (AB ）=1-P (AB )=1-0.1=0.9.3. 古典概型定义1.4 若随机试验E 满足以下条件：1°试验的样本空间Ω只有有限个样本点，即Ω={ω1,ω2，…，ωn }；2°试验中每个基本事件的发生是等可能的，即P （{ω1}）=P （{ω2}）=…=P （{ωn }）,则称此试验为古典概型，或称为等可能概型.由定义可知{ω1},{ω2},…,{ωn }是两两互不相容的，故有1=P （Ω)=P ({ω1}∪…∪{ωn })=P ({ω1})+…+P ({ωn }),又每个基本事件发生的可能性相同，即P （{ω1}）=P （{ω2}）=…=P ({ωn })，故 1=nP ({ωi }),从而 P （{ωi })=1/n ,i=1,2,…,n设事件A 包含k 个基本事件即 A ={ωi 1}∪{ωi 2}∪…∪{ωik },则有P （A ）=P （{ωi 1}∪{ωi 2}∪…∪{ωik })=P ({ωi 1})+P ({ωi 2})+…+P ({ωik })=444344421Λ个k n n n /1/1/1+++=k /n 由此，得到古典概型中事件A 的概率计算公式为P （A ）=k /n =A 所包含的样本点数/Ω中样本点总数 (1.1)称古典概型中事件A 的概率为古典概率.一般地，可利用排列、组合及乘法原理、加法原理的知识计算k 和n ，进而求得相应的概率.例1．5 将一枚硬币抛掷三次，求：（1） 恰有一次出现正面的概率；（2） 至少有一次出现正面的概率.解 将一枚硬币抛掷三次的样本空间Ω={HHH ，HHT ，HTH ，THH ，HTT ，THT ，TTH ，TTT }Ω中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同.（1） 设A 表示“恰有一次出现正面”，则 A ={HTT ，THT ，TTH }，故有 P （A ）=3/8.（2） 设B 表示“至少有一次出现正面”， 由B ={TTT }，得P （B ）=1-P （B ）=1-1/8=7/8当样本空间的元素较多时，我们一般不再将Ω中的元素一一列出，而只需分别求出Ω中与A 中包含的元素的个数（即基本事件的个数），再由（1.1)式求出A 的概率.例1.6 一口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球.从袋中取球两次，每次随机地取一只.考虑两种取球方式：（a ） 第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再任取一球.这种取球方式叫做有放回抽取.（b ） 第一次取一球后不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球.这种取球方式叫做不放回抽取.试分别就上面两种情形求：（1） 取到的两只球都是白球的概率；（2） 取到的两只球颜色相同的概率；（3） 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.解 （a ）有放回抽取的情形：设A 表示事件“取到的两只球都是白球”，B 表示事件“取到的两只球都是红球”，C 表示事件“取到的两只球中至少有一只是白球”.则A ∪B 表示事件“取到的两只球颜色相同”，而C =B .在袋中依次取两只球，每一种取法为一个基本事件，显然此时样本空间中仅包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，因而可利用（1.1）式来计算事件的概率.第一次从袋中取球有6只球可供抽取，第二次也有6只球可供抽取.由乘法原理知共有6×6种取法，即基本事件总数为6×6.对于事件A 而言，由于第一次有4只白球可供抽取，第二次也有4只白球可供抽取，由乘法原理知共有4×4种取法，即A 中包含4×4个元素.同理，B 中包含2×2个元素，于是P （A ）= (4×4)/(6×6）=4/9，P （B ）= (2×2)/(6×6）=1/9由于AB = ，故P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=5/9，P （C ）=P （B ）=1-P （B ）=8/9.(b)不放回抽取的情形：第一次从6只球中抽取，第二次只能从剩下的5只球中抽取，故共有6×5种取法，即样本点总数为6×5.对于事件A 而言，第一次从4只白球中抽取，第二次从剩下的3只白球中抽取，故共有4×3种取法，即A 中包含4×3个元素，同理B 中包含2×1个元素，于是P （A ）= (4×3)/(6×5) =2624P P =2/5，P (B )=(2×1)/(6×5) =2622P P =1/15. 由于AB=Φ，故P (A ∪B )=P （A ）+P （B ）=7/15，P (C )=1-P （B ）=14/15.在不放回抽取中，一次取一个，一共取m 次也可看作一次取出m 个，故本例中也可用组合的方法，得P （A ）=2624C C =2/5， P （B ）=2624C C =1/15. 例1.7 箱中装有a 只白球，b 只黑球，现作不放回抽取，每次一只.（1） 任取m +n 只，恰有m 只白球，n 只黑球的概率（m ≤a ,n ≤b ）;(2) 第k 次才取到白球的概率（k ≤b +1）;（3） 第k 次恰取到白球的概率.解 （1）可看作一次取出m +n 只球，与次序无关，是组合问题.从a +b 只球中任取m +n 只，所有可能的取法共有n m b a ++C 种，每一种取法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.从a 只白球中取m 只，共有m a C 种不同的取法，从b 只黑球中取n 只，共有n b C 种不同的取法.由乘法原理知，取到m 只白球，n 只黑球的取法共有m a C n b C 种，于是所求概率为p 1=n m ba nb ma ++C C C . (2) 抽取与次序有关.每次取一只，取后不放回，一共取k 次，每种取法即是从a+b 个不同元素中任取k 个不同元素的一个排列，每种取法是一个基本事件，共有k b a +P 个基本事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.前k -1次都取到黑球，从b 只黑球中任取k -1只的排法种数，有1P -k b 种，第k 次抽取的白球可为a 只白球中任一只，有1P a 种不同的取法.由乘法原理，前k -1次都取到黑球，第k 次取到白球的取法共有11P P a k b -种，于是所求概率为p 2=k ba a kb +-P P P 11. (3) 基本事件总数仍为kb a +P .第k 次必取到白球，可为a 只白球中任一只，有1P a 种不同的取法，其余被取的k -1只球可以是其余a+b -1只球中的任意k -1只，共有11P --+k b a 种不同的取法，由乘法原理，第k 次恰取到白球的取法有111k a a b P P -+-种，故所求概率为 p 3=111k a a b k a b P P a P a b-+-+=+. 例1.7(3)中值得注意的是p 3与k 无关，也就是说其中任一次抽球，抽到白球的概率都跟第一次抽到白球的概率相同，为ba a +，而跟抽球的先后次序无关（例如购买福利彩票时，尽管购买的先后次序不同，但各人得奖的机会是一样的）.例1.8 有n 个人，每个人都以同样的概率1/N 被分配在N （n<N ）间房中的任一间中，求恰好有n 个房间，其中各住一人的概率.解 每个人都有N 种分法，这是可重复排列问题，n 个人共有N n 种不同分法.因为没有指定是哪几间房，所以首先选出n 间房，有nN C 种选法.对于其中每一种选法，每间房各住一人共有n !种分法，故所求概率为 p =n n NNn !C . 许多直观背景很不相同的实际问题，都和本例具有相同的数学模型.比如生日问题：假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，那么随机选取n (n ≤365)个人，他们的生日各不相同的概率为p 1=nn n 365!C 365, 因而n 个人中至少有两个人生日相同的概率为p 2=1-n n n 365!C 365. 例如n =64时p 2=0.997，这表示在仅有64人的班级里，“至少有两人生日相同”的概率与1相差无几，因此几乎总是会出现的.这个结果也许会让大多数人惊奇，因为“一个班级中至少有两人生日相同”的概率并不如人们直觉中想象的那样小，而是相当大.这也告诉我们，“直觉”并不很可靠，说明研究随机现象统计规律是非常重要的.例1.9 12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：（1） 每班各分配到一名优秀生的概率；（2） 3名优秀生分配到同一个班的概率.解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为（1） 设A 表示“每班各分配到一名优秀生”3名优秀生每一个班分配一名共有3！种分法，而其他9名学生平均分配到3个班共有3)!3(!9种分法，由乘法原理，A 包含基本事件数为 3！·3)!3(!9=2)!3(!9故有P （A ）=2)!3(!9/3)!4(!12=16/55 （2） 设B 表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数为!4!4!1!9C C C 444819=，故由乘法原理，B 包含样本总数为3·!4!4!1!9.故有 P （B ）=()2！4!9·3/()3！4!12=3/55 4．几何概型上述古典概型的计算，只适用于具有等可能性的有限样本空间，若试验结果无穷多，它显然已不适合.为了克服有限的局限性，可将古典概型的计算加以推广.设试验具有以下特点：（1） 样本空间Ω是一个几何区域，这个区域大小可以度量（如长度、面积、体积等），并把Ω的度量记作m （Ω）.（2） 向区域Ω内任意投掷一个点，落在区域内任一个点处都是“等可能的”.或者设落在Ω中的区域A 内的可能性与A 的度量m (A )成正比，与A 的位置和形状无关.不防也用A 表示“掷点落在区域A 内”的事件，那么事件A 的概率可用下列公式计算：P （A ）=m (A )/m (Ω)，称它为几何概率.例1．10 在区间（0，1）内任取两个数，求这两个数的乘积小于1/4的概率. 解 设在（0，1）内任取两个数为x ,y ，则0＜x ＜1,0＜y ＜1图1-7即样本空间是由点（x ，y ）构成的边长为1的正方形Ω，其面积为1.令A 表示“两个数乘积小于1/4”，则A ={（x ,y ）｜0＜xy ＜1/4,0＜x ＜1,0＜y ＜1}事件A 所围成的区域见图1-7，则所求概率P (A ) =2ln 2141d 414311d )411(11d d 114/114/111/411/4+=+-=--=-⎰⎰⎰⎰x x x x yx x 图1-8例1．11 两人相约在某天下午2∶00~3∶00在预定地方见面，先到者要等候20分钟，过时则离去.如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面的概率.解 设x ,y 为两人到达预定地点的时刻，那么，两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内，这个正方形就是样本空间Ω,而两人能会面的充要条件是｜x -y ｜≤20，即x-y ≤20且y-x ≤20.令事件A 表示“两人能会到面”，这区域如图1-8中的A .则P (A ) =.95604060)()(222=-=Ωm A m第三节 条件概率、全概率公式1. 条件概率的定义定义1.5 设A ，B 为两个事件，且P （B ）＞0,则称P （AB ）/P （B ）为事件B 已发生的条件下事件A 发生的条件概率，记为P （A |B ），即P （A ｜B )= P (AB )/P (B )易验证，P （A ｜B )符合概率定义的三条公理，即：1° 对于任一事件A ，有P (A ｜B )≥0;2° P (Ω｜B )=1;3°,)()(11∑∞=∞==i i i B A P B A P Y 其中A 1，A 2，…，A n ，…为两两互不相容事件.这说明条件概率符合定义1.3中概率应满足的三个条件，故对概率已证明的结果都适用于条件概率.例如，对于任意事件A 1，A 2，有P （A 1∪A 2|B ）=P （A 1|B ）+P （A 2|B ）-P （A 1A 2|B ）又如，对于任意事件A ，有P （A |B ）=1-P （A |B ）.例1.12 某电子元件厂有职工180人，男职工有100人，女职工有80人，男女职工中非熟练工人分别有20人与5人.现从该厂中任选一名职工，求：（1） 该职工为非熟练工人的概率是多少？（2） 若已知被选出的是女职工，她是非熟练工人的概率又是多少？ 解 题（1）的求解我们已很熟悉，设A 表示“任选一名职工为非熟练工人”的事件，则 P （A ）=25/180=5/36而题（2）的条件有所不同，它增加了一个附加的条件，已知被选出的是女职工，记“选出女职工”为事件B ，则题（2）就是要求出“在已知B 事件发生的条件下A 事件发生的概率”，这就要用到条件概率公式，有P （A ｜B ) =P (AB )/P (B )/=(5/180)/(80/180)= 1/16此题也可考虑用缩小样本空间的方法来做，既然已知选出的是女职工，那么男职工就可排除在考虑范围之外，因此“B 已发生条件下的事件A ”就相当于在全部女职工中任选一人，并选出了非熟练工人.从而ΩB 样本点总数不是原样本空间Ω的180人，而是全体女职工人数80人，而上述事件中包含的样本点总数就是女职工中的非熟练工人数5人，因此所求概率为P （A ｜B ）=5/80=1/16例1.13 某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的概率.解 设A 表示“活到20岁以上”的事件，B 表示“活到25岁以上”的事件，则有 P （A ）=0.7,P (B )=0.56且B ⊂A.得 P （B ｜A ）=P (AB )/P (A ) =P (B )/P (A ) =0.56/0.7=0.8.例1.14 一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到的也是正品的概率. 解 设A 表示“第一次取到正品”的事件，B 表示“第二次取到正品”的事件 由条件得P （A ）=(3×4)/(5×4)= 3/5，P (AB )= (3×2)/(5×4)= 3/10，故有 P （B ｜A ）=P （AB ）/P （A ）=(3/10)/( 3/5)= 1/2.此题也可按产品编号来做，设1，2，3号为正品，4，5号为次品，则样本空间为Ω={1，2，3，4，5}，若A 已发生，即在1，2，3中抽走一个，于是第二次抽取所有可能结果的集合中共有4只产品，其中有2只正品，故得P （B ｜A ）=2/4=1/2.2.乘法定理由条件概率定义P （B ｜A ）=P （AB ）/P （A ），P （A ）＞0,两边同乘以P （A ）可得P （AB ）=P （A ）P （B ｜A ），由此可得定理1.1（乘法定理） 设P （A ）＞0，则有P （AB ）=P （A ）P （B ｜A ）易知，若P （B ）＞0，则有P （AB ）=P （B ）P （A ｜B ）乘法定理也可推广到三个事件的情况，例如，设A ，B ，C 为三个事件，且P （AB ）＞0，则有P （ABC ）=P （C ｜AB ）P （AB ）=P （C ｜AB ）P （B ｜A ）P （A ）一般地，设n 个事件为A 1，A 2，…，A n ，若P （A 1A 2…A n -1)＞0,则有P （A 1A 2…A n ）=P （A 1）P （A 2｜A 1）P （A 3｜A 1A 2）…P （A n ｜A 1A 2…A n -1）.事实上，由A 1⊃A 1A 2⊃…⊃A 1A 2…A n -1，有P （A 1）≥P （A 1A 2）≥…≥P （A 1A 2…A n -1）＞0故公式右边的条件概率每一个都有意义，由条件概率定义可知P （A 1）P （A 2｜A 1）P （A 3｜A 1A 2）…P （A n ｜A 1A 2…A n -1)=P (A 1))()()()()()(1212121321121-⋅⋅⋅n n A A A P A A A P A A P A A A P A P A A P ΛΛΛ =P (A 1A 2…A n ) 例1.15 一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率.解 设A i (i =1,2,3)为第i 次抽到合格品的事件，则有)(321A A A P =)()()(21312A A A P A A P A P =10/100·9/99·90/98≈0.0083.例1.16 设盒中有m 只红球，n 只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k 只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.解 设R i (i =1,2,3,4)表示第i 次取到红球的事件，i R (i =1,2,3,4)表示第i 次取到白球的事件.则有例1.17 袋中有n 个球，其中n -1个红球，1个白球.n 个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第i （i =1,2,…,n ）人取到白球的概率.解 设A i 表示“第i 人取到白球”（i=1,2,…,n )的事件，显然P （A 1）=1/n.由21A A ⊃，故A 2=1A A 2，于是。
概率论的基本概论
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由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。
例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。
例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。
随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？这就要引入”概率”的概念。
概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。
§1.1 随机试验以上试验的共同特点是:1．试验可以在相同的条件下重复进行；2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发生哪一个可能结果在试验之前不能预言。
我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。
我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E。
§1.2样本空间与随机事件(一) 样本空间与基本事件E的一个可能结果称为E的一个基本事件，记为ω，e等。
E的基本事件全体构成的集，称为E的样本空间，记为S或,即：S={ω|ω为E的基本事件}，={e}.注意：ω的完备性，互斥性特点。
概率论基础讲义全
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
概率论的基础
概率论的基础概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的规律性和不确定性。
它在各个领域都有广泛的应用，例如统计学、金融学、物理学和生物学等。
本文将介绍概率论的基础概念和原理，以及它在现实生活中的应用。
一、随机事件和样本空间在概率论中，我们研究的对象是随机事件。
随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
样本空间是所有可能的结果组成的集合，每个结果称为一个样本点。
例如，投掷一个骰子，样本空间就是1到6的整数集合。
二、概率的定义和性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率具有以下性质：1. 非负性：对于任意事件A，有P(A)≥0。
2. 规范性：对于必然事件S，有P(S)=1。
3. 可列可加性：对于两个互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
三、条件概率和独立性条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
条件概率的计算使用了贝叶斯定理和乘法法则。
如果事件A和B的发生是相互独立的，那么P(A|B)=P(A)，即事件B的发生与事件A的发生无关。
四、概率分布和期望值概率分布描述了随机变量取值的可能性和相应的概率。
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数表示，连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数表示。
期望值是随机变量的平均值，它是每个取值乘以对应的概率后的总和。
五、大数定律和中心极限定理大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会趋向于其概率。
中心极限定理指出，独立同分布的随机变量的和的分布在试验次数趋向于无穷时近似服从正态分布。
概率论在现实生活中有许多应用。
例如，在医学诊断中，我们可以根据症状和概率分布来推断患者是否患有某种疾病。
在金融学中，概率论可以用于风险评估和投资决策。
在运输和物流中，我们可以利用概率论来优化路线规划和资源分配。
概率论是一门重要的数学工具，它帮助我们理解和描述随机事件的发生规律和不确定性。
概率论第一讲
§2.2 离散型随机变量
(一) 概率分布 (二)常设见离的散概型率随机分变布量X所有可能 取1的.(值0-为1x)分k(k布=1,2,···),X取各个值 的2概.二率项,即分事布件｛X=x費k｝的概率
为=为分下P任定p43离布两ko..意的iP几,散律条sok正非sln何i=i.型件Pom1s整负｛n,分s随C定2数 整:Xonk,机=布np理·数.xnk分·设变(·k1｝k布n量,p有p设nXn)=的nλ((λ12k＞)概),p则kk0率1则对是kppkek0分!k,称于常满k布1上任数足1或,式一2,如n,是固27
P( A)
在事件A发生条件下事件B发生的条 件概率.
16
2.乘法定理
§1.5
设P(A)＞0,则
全
概 有 P(AB)=P(B|A)P(A)
率
公 式
一般地,设A1,A2,···,An为n个事件
和 贝
(n≥2),且P(A1A2···An)>0,则有
叶
斯 P(A1A2···An)=P(An|A1···An-1)···P(A2|A1)P(A1)
f数n(值A1∪称A为2…事∪③件Ak对)A=出不fn现可(A的能1)概事+率f件n，(ΦA记2，)为+P…（P（+ΦfA）(）A=。k104)。
§1.4 概率
（一）概率 （定样二义本）空概间。设率对Ｅ性于是质Ｅ随的机每试一验个,Ｓ事是件它Ａ的赋
性性性性性性予函((12质 质 质质 质 质一数))对P456个Ｐ(123于Ｓ对 对 对(实则 设 有 P·每)()于 于 于=数A有 限 满一 1,任 任 任);，BP可 足个是 意 一 一记B加 下0事两 事 事两 为列性 件事 件 件A个 P条（AAA件事 ,,,件有PAＡ有P件 ,(P:BA）PB,(,()若 有A,Ａ)如1A).P果≥1A集0BP;,(合A).
第一章(1) 概率论的基本概念
3
故在这一次试验中，事件Ｂ发生了； A ， 故在这一次试验中，事件Ａ没有发生。
若再掷骰子一次，出现点数６，则在这一次试验中
事件Ａ发生了，而事件Ｂ未发生。
A
A
事件Ａ发生
事件Ａ未发生
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4、必然事件 S 每一次试验中必然会发生的事件。 ５、不可能事件 每一次试验中必然不会发生的事件。 ６、基本事件
（H H H），（T H H），（H T H），（T T H） } （H H T），（T H T），（H T T），（T T T）
E7：对目标进行射击，记录着弹点的位置。
S 7 {( ,观察两次试验结果。
第一次有6个可能的结果 第二次也有6个可能的结果
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随机现象
在个别试验中其结果呈现出不确定性，但重复试验中其 结果又具有一定的规律性的非确定性现象称为随机现象。
随机事件的发生具有偶然性, 机遇性，在一次试验中， 可能发生，也可能不发生。但在大量重复试验中，随机现象 常常表现出这样或那样的统计规律，称为随机现象的统计规 律性。 概率论与数理统计的研究对象：随机现象的统计规律性
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§2 样本空间、随机事件
一、样本空间 (Sampling space) １、样本空间： 把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为随机试验 E的样本空间，记为S（或）。 ２、样本点 (Sampling point): 样本空间的元素，即E的每个可能的结果称为样本点。
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不确定性现象都没有规律可循吗？
概率论的基本概念
事件A2----“恰好出现一次正面”,
A2={HTT,THT,TTH},
事件A3----“至少出现一次正面”，
A3={HHH，HHT，HTH，THH， HTT， THT，TTH}.
共有23=8个（2×2×2是重复排列）.
（三）事件间的关系与事件的运算
随机试验:(1) 可在相同的条件下重复试验;(2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果;(3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限多个或可列多个. 例 E1,E2等.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称这一事件发生.
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1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记作AB.若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
(1)以后考虑事件间关系和运算时, 参加比较或运算的事件都是同一样本空间的子集.
(2)设A,B,C为任意三个事件, 事件间的包含关系有下列性质: (a) AS; (b) AA(自反性); (c) 若AB且BC,则AC(传递性); (d) 若AB且BA, 则A=B(反对称性).
2.和事件:
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.
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概率论的基本概论(doc 22页)第一章概率论的基本概论确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。
由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。
例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。
例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。
随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？这就要引入”概率”的概念。
概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。
§1.1 随机试验以上试验的共同特点是:1．试验可以在相同的条件下重复进行；2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发生哪一个可能结果在试验之前不能预言。
我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。
我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E。
§1.2样本空间与随机事件(一) 样本空间与基本事件E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。
E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω,即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。
例：§1.1中试验 E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T}E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT }E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0≥t }E 7：S 7={()y x ,10T y x T ≤≤≤}（二） 随机事件我们把试验E 的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。
记为D C B A ,,,事件是由基本事件组成的，事件是样本空间的子集。
在一次试验中，事件A 发生的含义是，当且仅当A 中的某一个基本事件发生。
事件A 发生也称为事件A 出现。
必然事件：S 不可能事件：φ例1.(P4) 在E 2中事件A 1:”第一次出现是的H ”, 即：(三) 事件的关系与运算设E 的S ，A ，B ，A A A n ,,,211．B A ⊂2．A B B A B A ⊂⊂⇔=且3．""都发生与B A B A AB =⋂=4．"""发生或至少发生一个与A B A B A ==⋃5．""不发生发生而B A B A =-"""", .6互不相容与互斥或与称不能同时发生与即若B A B A B A AB φ=7．对立与称且若B A S B A AB ,=⋃=φ。
记AS A A B B A -===,或。
(常用的关系） 补充1．()B B A B A AB A B A -⋃==-=-2．B A B A B A B B A A B A ⋃⋃=⋃=⋃=⋃3．B A AB A ⋃=吸收律若B A ⊂，则A AB B B A ==⋃,特别注意：φ====AA AS A AA S S A A A A ,,,,德·莫根律（对偶公式）B A AB B A B A ==,推广：ni in i iA A 11===， ni in i iA A 11===。
例2：P6,在例1中…. 其它例子： 例3：3E ：设=A {甲中}，=B {乙中}，问AB 与B A 各表示什么事件？是否是相等事件？留为练习例4：一射手向目标射击3发子弹，iA 表示第i 次射击打中目标)3,2,1(=i 。
试用21,A A 及3A 其运算表示下列事件：（1）“三发子弹都打中目标”； （2）“三发子弹都未打中目标”； （3）“三发子弹至少有一发打中目标”； （4）“三发子弹恰好有一发打中目标”； （5）“三发子弹至多有一发打中目标”.留为练习§1.3 概率与频率(一） 事件的频率及其稳定性 设某试验E 的样本空间为S ，A 为E 的一个事件。
把试验E 重复进行了n 次，在这n 次试验中，A 发生的次数A n 称为A 的频数。
称nn A为事件A 在n 次试验中发生的频率，记作:nn A f An =)(。
频率的基本性质(1) 对任意事件A ，有1)(0≤≤A f n ；(2) 1)(=S f n ，0)(=φn f ；(3)若n A A A ,,,21是互不相容的，则)()(11∑===nk k n nk k n A f A f ，推论：对任一事件A ，有)(1)(A f A f n n -=。
实践证明：当试验次数n 很大时，事件A 的频率)(*A p 几乎稳定地接近一个常数p 。
频率的这种性质称为频率的稳定性，它是事件本身所固有的。
书上p8—9页例1，2.概率的频率定义定义 1.1 在一组不变的条件下，重复作n 次试验，记m 是n 次试验中事件A 发生的次数。
当试验次数n 很大时，如果频率nm 稳定地在某数值p 附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，则称数值p 为事件A 在这一组不变的条件下发生的概率，记作=)(A P p 。
补充：概率的几种度量方法事件A 的概率，记为P(A)，表示该事件发生的可能性大小，是事件的一个非负实值函数，满足某种概率进行代数运算的公理。
对概率P(A)有几种不同的度量方法： 前面给出了用频率度量概率的方法，也称为古典概率度量。
还是二种度量方法。
1. 几何概率度量的测度的测度Ω=g g A P )(g A表示”在区域Ω中随机取一点，而该点落在区域g 中”这一事件。
例：这时， 可以是整个园：测度为面积；也可以是整个园周：测度为长度。
2.主观概率度量对事件A的信念度称为这一事件的概率P(A).主观概率（信念度）是通过相对似然的概念来运算的。
例如：见朱手稿。
现通过例子说明此方法：例1：事件A”明天下午3点深圳市区有雨”，求P(A): 即求A的主观概率；现有一大转盘，标有红色区域，事件B：”指针落在红色区域”。
让你选择A发生还是B发生的可能性大，为了迫使你选择，有这样的将励机制，。
选择对的话，将10万元。
红色区域如果开始时，红色区域充满整个园，你当然要选B发生的可能性大，逐步调节红色区域的大小，渐渐缩小，。
等到选A或B都一样时停止，这时，可以由B的几何概率作为A的主观概率。
当你对选A或B谁发生的可能性大没有偏好时，。
例2. 假如你面临以下两种选择：1.如果事件A 发生，你将得到少量的报酬R ；否则没有报酬。
2.参加抽奖，你赢得一份小报酬R 的概率为P ，但是你输或者说你得不到报酬的概率为1-P 。
如果你对1，2两种选择没有偏好，那么你判断事件A 发生的概率为P.(主观)(二) 概率的公理化定义概率的公理化定义定义1.2 设试验E 的样本空间为S ，如果对每一个事件A 都有一个实数)(A P 与之对应，且满足下面三条公理：公理1（非负性）：对任一事件A ，有0)(≥A P ；公理2（规范性）：对必然事件S ，有1)(=S P ；公理3（完全可加性）若可列无穷多个事件,,,,21iA A A 互不相容，则∑∞=∞==11)()(k kk kA P A P，那么称)(A P 为事件A 的概率。
概率的性质(1)0)(=φP ;(2)有限可加性: 若n A A A ,,,21互不相容，则∑===nk kn k k A P A P 11)()( ;(3)对事件A,都有)(1)(A P A P -=;(4)若BA ⊂,则①)()()(A P B P A B P -=-;②)()(B P A P ≤；特别的，对任何事件A ，都有1)(≤A P ;(5) 对任何两个事件A,B ，都有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃;(6)对任何n 个事件n A A A ,,,21,都有 )()1()()1()()()(11111111212211nk kn nk k k k k m k nk k k nk knk kA P A A A P A A P A P A P m m=-≤≤≤≤-≤<≤==-+-++-=∑∑∑例10---12为第一版上的例子。
例10： A,B 是E 中二个事件，已知3.0)(=B P ，6.0)(=B A P ，求?)(=B A P解：)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=6.0)()()()(=-+=AB P B P A P B A P例11：在某城市的居民中订购报纸的情况是：订购A 报的占45%，订购B 报的占35%；订购C 报的占30%，同时订购A,B 的占10%，同时订购A,C 的占8%，同时订购B,C 的占5%，同时订购A,B,C 的占3%。
求下列事件的概率（百分率）（1）{只订购A 报纸的}；（2）{至少订一种报纸的}。
例12：在所有的两位数（即从10至99）中，任取一个数，求这个数能被2或者3整除的概率。
§1.4 等可能概型（古典概型）一、古典概率1．古典概型与计算公式 E 满足：① S 中基本事件ω个数是有限的n ； ② 每个基本事件发生是等可能的.称E 为古典概型。
E 中事件A 包含k 个基本事件，则A 发生的概率为nk 记P(A).2．古典概率的基本性质设E 是古典概型，其样本空间为{}ωωωn S ,,,21 =，A ，A 1，A2，…，A n 是E 中事件：①．0≤P （A ）≤1②．P （S ）=1，P （φ）=0③．若A 1，A 2，…，A n 是互不相容的事件，则有P ∑===n i ini iA P A 11)()(；推论： P （A ）=1- P （A ）。
例1． P13，将一枚硬币掷三次，。
P14---17 例2—7.照书上讲。
以下例4---9为第一版上的例子：例4：E 1中求任取一球的号码为偶数的概率。
解：设A={所取的球的号码为偶数}={ ω2，ω4，ω6 }即A 中基本事件数k=3，于是P （A ）=2163=.例5：（1.10）在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码10,,2,1 。
每次任取一个球，记录其号码后放回袋中，再任取下一个。
这种取法叫做“有放回抽取”。
今有放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。