高电压技术7.1

图7-3 行波运动
即
x 2 − x1 = v(t 2 − t1 )
v 恒大于0，且由于(t2＞t1)，则 ( x2 − x1 ) > 0 ，可见 x x u f ( t − )表示前行波； u b (t + ) 表示沿x反方向行进 v v 的电压波，称为反行波。(7-9)和 (7-10)可写成
i = i f + ib
，
∑
i = 0
∑
u = 0
∂u ∂i i = C 0 dx + i + dx ∂t ∂x
图7-2 均匀无损的单导线
∂i ∂u u = L0 dx + u + dx ∂t ∂x
整理得
∂i ∂u + C0 =0 ∂x ∂t
（7-1） （7-2）
∂u ∂i + L0 =0 ∂x ∂t
由式(7-1)对x再求导数，由式(7-2)对t再求导数，然 后消去i，并用类似的方法消去u得。
波动方程解的物理意义：对式(7-10)，电压u的第一个分 量 u f (t − x ) ，设任意电压波沿着线路x传播，图7-3示， v 假定t＝t1时线路上任意位置x1点的电压值为ua，当时间 t=t2时刻时(t2＞t1)，电压值为ua的点到达x2．则应满足
x1 x2 t1 − = t 2 − v v
(7-9)、 (7-10)就是均匀无损单导线波动方程的解。
7.1.3 波速和波阻抗
在波动方程中定义v为波传播的速度 对于架空线路
1 v= µ 0ε 0
v=
1 L0 C0
沿架空线传播的电磁波波速等于空气中的光速v为 8 8 v ≈ 1 . 5 × 10 m/s ， 3×10 m/s ,而一般对于电缆，波速 低于架空线，因此减小电缆介质的介电常数可提高 电磁波在电缆中传播速度。 定义波阻抗
+ U b ( S )e
+ I b ( S )e
S x v
（7-7） （7-8） （7-9） （7-10）
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I ( x, S ) = I f ( S ) e
−S x v
S x v
将以上频域形式解变换到时域形式为
x x i ( x, t ) = i f (t − ) + ib (t + ) v v
x x u ( x, t ) = u f (t − ) + u b (t + ) v v
∂ 2U ( x, S ) 2 − R ( S )U ( x, S ) = 0 2 ∂x
（7-5） （7-6）
∂ 2 I ( x, S ) 2 − R ( S ) I ( x, S ) = 0 2 ∂x
其中
S R( S ) = ± v
令v=
1 L0 C 0
，则有
−S x v
U ( x, S ) = U f ( S ) e
。
图7-1 均匀无损的单导线 (a)单根无损线首端合闸 （b）等效电路
合闸后，在导线周围空间建立起电场，形 成电压。靠近电源的电容立即充电，并向相邻 的电容放电，由于线路电感的作用，较远处的 电容要间隔一段时间才能充上一定数量的电 荷，并向更远处的电容放电。这样沿线路逐渐 建立起电场，将电场能储存于线路对地电容 中，也就是说电压波以一定的速度沿线路x方 向传播。
uf if
= Z
ub = −Z ib
分布参数线路的波阻抗与集中参数电路的电 阻有相同的量纲，但物理意义上有着以下几点本 质的不同： �波阻抗表示向同一方向传播的电压波和电流波之间 比值的大小；电磁被通过波阻抗为Z的无损线路时， 其能量以电磁能的形式储存于周围介质中，而不像 通过电阻那样被消耗掉。 �为了区别不同方向的行波，Z的前面应有正负号。
7.1 均匀无损单导线上的波过程
为揭示线路波过程的物理本质和基本规律，可 暂时忽略线路的电阻和电导损耗，首先研究均匀无 损单导线中的波过程。
7.1.1 波传播的物理概念 7.1.2 波动方程解 7.1.3 波速和波阻抗 7.1.4 前行波和反行波
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7.1.1 波传播的物理概念
假设有一无限长的均匀无损的单导线，见图7-1(a)， t=0时刻合闸直流电源，形成无限长直角波，单位长度 线路的电容、电感分别为C0、L0，线路参数看成是由 无数很小的长度单元 ∆x 构成，如图7-1(b)所示
Z = u
f
if
ub = − = ib
L0 C0
Ω
波阻抗Z表示了线路中同方向传播的电流波与电压波的 数值关系，但不同极性的行波向不同的方向传播，需要规定 一定的正方向。根据习惯规定：沿x正方向运动的正电荷相 应的电流波为正方向。在规定行波电流正方向的前提下，前 行波与反行波总是同号，而反行电压波与电流波总是异号， 即
u = u f + ub
（7-11） （7-12）
线路中传播的任意波形的电压和电流传播的前行波 和反方向传播的反行波，两个方向传播的波在线路中相 遇时电压波与电流波的值符合算术叠加定理。
小 结
�波传播的物理概念：电压波和电流波沿线路 的传播过程实质上就是电磁波沿线路传播的 过程。 �波动方程解，波速和波阻抗计算 �线路中传播的任意波形的电压和电流传播的 前行波和反方向传播的反行波，满足算术叠 加定理。 （本节完）
∂ 2u ∂ 2u = L0 C 0 2 2 ∂x ∂t
∂ 2i ∂ 2i = L0 C 0 2 2 ∂x ∂t
（7-3） （7-4）
L0、C0 ——单位长度电感和电容。
通过拉普拉斯变换将u(x,t)变换成U(X,S)，i (x,t) 变换成I (X,S)，并假定线路电压和电流初始条件为 零，拉氏变换的时域导数性质，将式(7-3)、式(7-4) 变换成
� 如果导线上有前行波，又有反行波，两波相遇时， 总电压和总电流的比值不再等于波阻抗， 即是：
u f + ub u u f + ub = =Z ≠Z i i f + ib u f − ub
� 波阻抗的数值Z只与导线单位长度的电感L0和电容 C0有关，与线路长度无关。
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7.1.4 前行波和反行波
随着线路的充放电将有电流流过导线的电 感，即在导线周围空间建立起磁场，因此和电 压波相对应，还有电流波以同样的速度沿，方 向流动。综上所述，电压波和电流波沿线路的 传播过程实质上就是电磁波沿线路传播的过 程，电压波和电流波是在线路中传播的伴随而 行的统一体线路上任—点的距离。线路每一单元 长度dx具有电感L0dx和电容C0dx，如图7-2所示，线路上 的电压和电流都是距离和时间的函数。 根据 可知
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