2008高考山东数学文科试卷含详细解答(全word版)080718

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数 学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a = ，，， 的集合M 的个数是（ B ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：集合M 中必含有12,a a ,则{}12,M a a =或{}124,,M a a a =.选B. 2．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z = ，则zz等于（ D ） A ．iB ．i -C ．1±D ．i ±解：设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z zi z ±===±选D. 3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ A ）解：由ππ0cos 1ln cos 022x x x -<<⇒<≤⇒≤函数的最大值是0，选A. 4．给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ C ） A ．3B ．2C ．1D ．0解：易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 真命题有一个。

选C.5．设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ A ）xxA ．B ．C ．D ．A ．1516B ．2716-C ．89D ．18解：本小题主要考查分段函数问题。

正确利用分段函数来进行分段求值。

(2)4,f = 11115()1.(2)41616f f f ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭选A. 6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ D ） A ．9π B ．10πC ．11πD ．12π解：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。

从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面积为22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=选D 。

7．不等式252(1)x x +-≥的解集是（ D ） A ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，D ．(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，解：易知1x ≠排除B;由0x=符合可排除C;由3x =排除A, 故选D 。

（也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解.）8．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量1)=-，m (cos sin )A A =，n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ C ）A ．ππ63，B ．2ππ36， C ．ππ36，D ．ππ33，解： sin 0A A ⊥⇒-=m n 3A π⇒=；cos cos sin a B b A c C +=2sin cos sin cos sin ,A B B A C ⇒+=2sin cos sin cos sin()sin sin A B B A A B C C ⇒+=+==.2C π⇒=π6B ⇒=.选C. （本题在求角B 时,也可用验证法.） 9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ B ）俯视图 正(主)视图 侧(左)视图A B C．3 D．85解：100409060103,100x++++==2222121[()()()]nS x x x x x xn∴=-+-++-22221[202101301102]100=⨯+⨯+⨯+⨯1608,1005==S⇒=选B.10．已知πcos sin6αα⎛⎫-+=⎪⎝⎭7πsin6α⎛⎫+⎪⎝⎭的值是（ C ）A．B C．45-D．45解：3cos()sin sin62παααα-+=+=14cos25αα=，714sin()sin()cos.6625ππαααα⎫+=-+=-+=-⎪⎪⎝⎭选C.11．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y-=和x轴相切，则该圆的标准方程是（ B ）A．227(3)13x y⎛⎫-+-=⎪⎝⎭B．22(2)(1)1x y-+-=C．22(1)(3)1x y-+-=D．223(1)12x y⎛⎫-+-=⎪⎝⎭解：设圆心为(,1),a由已知得|43|11,2().52ad a-==∴=-舍选B.12．已知函数()log(21)(01)xaf x b a a=+->≠，的图象如图所示，则a b，满足的关系是（ A ）A．101a b-<<<B．101b a-<<<C．101b a-<<<D．1101a b--<<<解：由图易得1,a>101a-∴<<，取特殊点0x=1log0,ay b⇒-<=<11log log log10,a a aba⇒-=<<=101a b-∴<<<.选A.x二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．解：圆22:6480C x y x y +--+=，令20680,y x x =⇒-+=得圆C 与坐标轴的交点分别为(20),，(40),，则22,4,12,a c b ===所以双曲线的标准方程为221412x y -= 14．执行右边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 解：程序执行如下：1,0,0.8,n s p s p ===<成立；1,2,2s n s p ==<成立；11,3,24s n s p =+=<成立；111,4,248s n s p =++=<不成立，因此输出 4.n =15．已知2(3)4log 3233x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++ 的值等于 ． 解：22(3)4log 32334log 3233,x x f x =+=+2()4l o g 233,f x x ⇒=+8(2)(4)(8)(2)f f ff∴++++= 222282334(l o g22l o g 23l o g 28l o g 2)18641442008.⨯+++++=+= 16．设x y ，满足约束条件20510000x y x y x y ⎧-+⎪--⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≥≤≥≥ 则2z x y =+的最大值为 ．解：如图，可行域为一个四边形,其四个顶点分别为(0),，0(0),，2(20),，(35),，在顶点(35)，处2z x y =+取最大值11.三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数， 且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2． （Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，得到函数()y g x =的图象， 求()g x 的单调递减区间．解：（Ⅰ）())cos()f x x x ωϕωϕ+-+12)cos()2x x ωϕωϕ⎤=+-+⎥⎣⎦π2sin 6x ωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为()f x 为偶函数，所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立，因此ππsin()sin 66x x ωϕωϕ⎛⎫-+-=+-⎪⎝⎭． 即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ωϕωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得πsin cos 06x ωϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为0ω>，且x ∈R ，所以πcos 06ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又因为0πϕ<<，故ππ62ϕ-=．所以π()2sin 2cos 2f x x xωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 由题意得2ππ22ω= ，所以2ω=．故()2cos 2f x x =．因此ππ2cos 84f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以πππ()2cos 22cos 2663g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 当π2π22ππ3k x k -+≤≤（k ∈Z ），即π2πππ63k x k ++≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递减， 因此()g x 的单调递减区间为π2πππ63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 18．（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ， 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （Ⅰ）求1A 被选中的概率；（Ⅱ）求1B 和1C 不全被选中的概率．解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，，132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等， 因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个基本事件组成，因而61()183P M ==． （Ⅱ）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件，由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成， 所以31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． 解：（Ⅰ）证明：在ABD △中， 由于4AD =，8BD =，AB = 所以222AD BD AB +=．故AD BD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ， 又BD ⊂平面MBD ， 故平面MBD ⊥平面PAD．（Ⅱ）解：过P 作PO AD⊥交AD 于O ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．因此PO 为四棱锥P ABCD -的高， 又PAD △是边长为4的等边三角形．因此42PO == 在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，所以四边形ABCD 是梯形，在RtADB △中，斜边AB5=， 此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD的面积为24S ==． 故1243P ABCD V -=⨯⨯= ABC MPD AB CMPD O将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 解：（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-， 又12n n S b b b =+++ ，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--， 即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=，又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列． 由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++== ， 所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项，故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==-． 又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k k k k b q S k q k k k k --==-=--+-+ ≥．21．（本小题满分12分） 设函数2132()x f x x eax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．（Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小． 解：（Ⅰ）因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++，又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==，因此6203320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，，解方程组得13a =-，1b =-．（Ⅱ）因为13a =-，1b =-，所以1()(2)(e 1)x f x x x -'=+-， 令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =．因为当(2)x ∈-∞-，(01) ，时，()0f x '<； 当(20)(1)x ∈-+∞ ，，时，()0f x '>． 所以()f x 在(20)-，和(1)+∞，上是单调递增的；在(2)-∞-，和(01)，上是单调递减的． （Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e 3x f x x x x -=--， 故21321()()e(e )x x f x g x x x x x ---=-=-，令1()e x h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-．令()0h x '=，得1x =，因为(]1x ∈-∞，时，()0h x '≤，所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减．故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥； 因为[)1x ∈+∞，时，()0h x '≥，所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增． 故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥．所以对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()0h x ≥，又20x ≥，因此()()0f x g x -≥，故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥． 22．（本小题满分14分） 已知曲线11(0)xyC a b a b+=>>：所围成的封闭图形的面积为 曲线1C 2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．（1）若MO OA λ=（O为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．解：（Ⅰ）由题意得23ab ⎧=⎪⎨=又0a b >>，解得25a =，24b =．因此所求椭圆的标准方程为22154x y +=． （Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，()A A A x y ，．解方程组22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得222045A x k =+，2222045A k y k =+，所以22222222202020(1)454545A A k k OA x y k k k +=+=+=+++． 设()M x y ，，由题意知(0)MO OA λλ=≠，所以222MO OA λ=，即2222220(1)45k x y k λ++=+， 因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为1y x k =-，即x k y=-， 因此22222222222220120()4545x y x y x y x y x yλλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++ ， 又220x y +≠，所以2225420x y λ+=，故22245x y λ+=． 又当0k =或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M 的轨迹方程为222(0)45x y λλ+=≠． （2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得222045Ax k =+，2222045A k y k =+， 由221541x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2222054M k x k =+，222054M y k =+， 所以2222220(1)45A Ak OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，22220(1)54k OM k +=+． 解法一：由于22214AMB S AB OM = △2222180(1)20(1)44554k k k k++=⨯⨯++ 2222400(1)(45)(54)k k k +=++22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△． 当0k =，140229AMB S =⨯=>△． 当k 不存在时，140429AMB S ==>△． 综上所述，AMB △的面积的最小值为409． 解法二：因为222222111120(1)20(1)4554k k OA OM k k +=+++++2224554920(1)20k k k +++==+， 又22112OA OMOA OM + ≥，409OA OM ≥，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△．当0k =，140229AMB S =⨯=>△． 当k 不存在时，140429AMB S ==>△． 综上所述，AMB △的面积的最小值为409．。