(完整版)高一函数大题训练带答案

(完整版)高一函数大题训练带答案一、解答题1．已知函数()f x 满足()()22f x f x +=，当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为-4. （1）求()0,2x ∈时函数()f x 的解析式；（2）是否存在实数b 使得不等式()x bf x x->+()()0,11,2x ∈时恒成立，若存在，求出实数b 的取值集合，若不存在，说明理由. 2．（附加题，本小题满分10分，该题计入总分）已知函数()y f x =，若在区间()2,2-内有且仅有一个0x ，使得0()1f x =成立，则称函数()f x 具有性质M ．（1）若()sin 2f x x =+，判断()f x 是否具有性质M ，说明理由； （2）若函数2()221f x x mx m =+++具有性质M ，试求实数m 的取值范围． 3．已知函数()()21f x x x a x R =--+∈. （1）当1a =时，求函数()y f x =的零点.（2）当30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数()y f x =在[]1,2x ∈上的最大值；（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()T a ，使()0,x T a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()1f x ≤，试求出这个正数()T a 的表达式.4．已知函数()y f x =，若存在实数(),0m k m ≠，使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对.（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化时，求证：()2f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同；（3）若12,m m R ∈，且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数()2cos f x x =的“平衡”数对.当04x π<≤时，求2212m m +的取值范围.5．已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不是常值函数.设011i i n a t t t t t b -=<<<<<<=，其中分点121n t t t -、、、将区间[],a b 任意划分成()*n n N ∈个小区间[]1,i i t t -，记{}()()()()()()01121,,n n M a b n t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-=-+-++-，称为()x ϕ关于区间[],a b 的n 阶划分“落差总和”.当{},,M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a b n .(1)已知()x x ϕ=，求{}1,2,2M -的最大值0M ；(2)已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b 的充要条件是()x ϕ在[],a b 上单调递增.(3)若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，求证：0n 是偶数，且00110i i n t t t t t -+++++=.6．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体；在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+．（1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．7．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，其中m n <，同时满足： ①()f x 在[],m n 内是单调函数：②当定义域为[],m n 时，()f x 的值域为[],m n ，则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”，区间[],m n 称为“保值区间”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）若函数()2112f x a a x=+-（,0a R a ∈≠）是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围；（3）对（2）中函数()f x ，若不等式()22a f x x ≤对1≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.8．定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个不同的实数12,x x ，均有：1212()()f x f x k x x -≤-成立，则称()f x 在D 上满足利普希茨(Lipschitz)条件．（1）试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数k 的值，并加以验证； （2）若函数()1f x x =+在[0,)+∞上满足利普希茨(Lipschitz)条件，求常数k 的最小值； （3)现有函数()sin f x x =，请找出所有的一次函数()g x ，使得下列条件同时成立： ①函数()g x 满足利普希茨(Lipschitz)条件；②方程()0g x =的根也是方程()0f x =的根，且()()()()g f t f g t =； ③方程(())(())f g x g f x =在区间[0,2)π上有且仅有一解． 9．已知函数11()(,0)f x b a b R a x a x a=++∈≠-+且. （1）判断()y f x =的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；（2）设()(1)g x b x =+，试讨论()()y f x g x =-的零点个数情况. 10．已知函数()y f x =的定义域D ，值域为A .（1）下列哪个函数满足值域为R ，且单调递增？（不必说明理由）①()1tan[()],(0,1)2f x x x π=-∈，②()1lg(1),(0,1)g x x x =-∈.（2）已知12()log (21),()sin 2,f x x g x x =+=函数[()]f g x 的值域[1,0]A =-，试求出满足条件的函数[()]f g x 一个定义域D ；（3）若D A ==R ，且对任意的,x y R ∈，有()()()f x y f x f y -=-，证明：()()()f x y f x f y +=+.11．已知函数()f x ，对任意a ，b R ∈恒有()()()f a b f a f b 1+=+-，且当x 0>时，有()f x 1>．(Ⅰ)求()f 0；(Ⅱ)求证：()f x 在R 上为增函数；(Ⅲ)若关于x 的不等式(()222f[2log x)4f 4t 2log x 2⎤-+-<⎦对于任意11x ,82⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围．12．已知平面直角坐标系xOy ，在x 轴的正半轴上，依次取点1A ，2A ，3A ，()*n A n N ⋯∈，并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点1B ，2B ，3B ，⋯，()*n B n N ∈，使得()*1k k k A B A k N -∈都为等边三角形，其中0A 为坐标原点，设第n 个三角形的边长为()f n ．⑴求()1f ，()2f ，并猜想()(f n 不要求证明)；⑵令()98n a f n =-，记m t 为数列{}n a 中落在区间()29,9m m 内的项的个数，设数列{}m t 的前m 项和为m S ，试问是否存在实数λ，使得2m S λ≤对任意*m N ∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由； ⑶已知数列{}n b满足：11n b b +={}n满足：111,n nc c +==，求证：12n n n b f c +π⎛⎫<< ⎪⎝⎭．13．若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域 D 上是“k -利普希兹条件函数”．（1）若函数()()14f x x ≤≤是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值； （2）判断函数()2log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若()()y f x x R =∈是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数12,x x ,都有()()121f x f x -≤．14．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.（1）已知函数()sin()3f x x π=+，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”，求是实数m 的最小值；（3）若22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围.15．若函数()f x 满足:对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．（1）试判断函数()21f x x =与()122f x x =是否是“L 函数”； （2）若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()12,2N*k kx k -∈∈，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭．【参考答案】一、解答题1．（1）f （x ）＝lnx －x ；（2）{1} 【解析】 【详解】试题分析：（1）由已知得：f （x ）＝2f （x ＋2）＝4f （x ＋4），设x ∈（－4，－2）时，则x ＋4∈（0，2），代入x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ＋ax （a ＜−12），求出f （x ＋4）＝ln （x ＋4）＋a （x ＋4），再根据当x ∈（－4，－2）时，f （x ）的最大值为－4，利用导数求得它的最大值，解方程即可求得a 的值，进而求得结论；（2）假设存在实数b 使得不等式()x bf x x ->+对于x ∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，由（1）可得：x ∈（0，1）∪（1，2）时，不等式()x bf x x->+恒成立，利用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，即可求得b 的值． 试题解析：（1）由已知，f （x ）＝2f （x ＋2）＝4f （x ＋4） 当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ＋ax （a ＜－12） 当x ∈（－4，－2）时，x ＋4∈（0，2）， ∴f （x ＋4）＝ln （x ＋4）＋a （x ＋4）∴当x ∈（－4，－2）时，f （x ）＝4f （x ＋4）＝4ln （x ＋4）＋4a （x ＋4）∴f '（x ）＝44x +＋4a ＝4a•144x a x +++， ∵a ＜−12，∴−4＜−1a−4＜−2，∴当x ∈（−4， −1a−4）时，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数， 当x ∈（−1a−4，−2）时，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数， ∴f （x ）max ＝f （−1a−4）＝4ln （−1a）＋4a （−1a）＝−4，∴a ＝－1 ∴当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx －x（2）由（1）可得：x ∈（0，1）∪（1，2）时，不等式()x bf x x->+即为ln x bx-> ①当x ∈（0，1）时，ln x bx- ⇒b ＞，令g （x ）＝，x ∈（0，1） 则g′（x ）＝令h （x ）＝， 则当x ∈（0，1）时，h′（x1x＜0 ∴h （x ）＞h （1）＝0，∴g ′（x＞0， ∴g （x ）＜g （1）＝1，故此时只需b≥1即可； ②当x ∈（1，2）时，ln x bx- ⇒b ＜，令φ（x ）＝lnx ，x ∈（1，2） 则φ′（x ）＝令h （x ）＝， 则当x ∈（1，2）时，h′（x1x＞0 ∴h （x ）＞h （1）＝0，∴φ′（x＞0， ∴φ（x ）＞φ（1）＝1，故此时只需b≤1即可， 综上所述：b ＝1，因此满足题中b 的取值集合为：{1}考点：利用导数研究函数的单调性，最值，函数的周期性，不等式恒成立问题，分类讨论．2．（Ⅰ）()f x 具有性质M ; （Ⅱ）23m ≤-或2m >或0m =【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）()sin 2f x x =+具有性质M ．若存在()022x ∈﹣，，使得()01f x =，解方程求出方程的根，即可证得；（Ⅱ）依题意，若函数()2221f x x mx m =+++具有性质M ，即方程2220x mx m ++=在()22﹣，上有且只有一个实根．设()222h x x mx m =++，即()222h x x mx m =++在()22﹣，上有且只有一个零点．讨论m 的取值范围，结合零点存在定理，即可得到m 的范围．试题解析：（Ⅰ）()sin 2f x x =+具有性质M ．依题意，若存在0x ∈(2,2)-，使0()1f x =，则0x ∈(2,2)-时有0sin 21x +=，即0sin 1x =-，022x k ππ=-，k Z ∈．由于0x ∈(2,2)-，所以02x π=-．又因为区间(2,2)-内有且仅有一个02x π=-，使0()1f x =成立，所以()f x 具有性质M 5分（Ⅱ）依题意，若函数2()221f x x mx m =+++具有性质M ，即方程2220x mx m ++=在(2,2)-上有且只有一个实根．设2()22h x x mx m =++，即2()22h x x mx m =++在(2,2)-上有且只有一个零点． 解法一：（1）当2m -≤-时，即2m ≥时，可得()h x 在(2,2)-上为增函数， 只需(2)0,{(2)0,h h -<>解得2,{2,3m m >>-交集得2m >．（2）当22m -<-<时，即22m -<<时，若使函数()h x 在(2,2)-上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：（ⅰ）0m =时，2()h x x =在(2,2)-上有且只有一个零点，符合题意． （ⅱ）当20m -<-<即02m <<时，需(2)0,{(2)0,h h -≤>解得2,{2,3m m ≥>-交集得∅．（ⅲ）当02m <-<时，即20m -<<时，需(2)0,{(2)0,h h ->≤解得2,{2,3m m <≤-交集得223m -<≤-．（3）当2m -≥时，即2m ≤-时，可得()h x 在(2,2)-上为减函数 只需(2)0,{(2)0,h h -><解得2,{2,3m m <<-交集得2m ≤-．综上所述，若函数()f x 具有性质M ，实数m 的取值范围是23m ≤-或2m >或0m = 14分 解法二： 依题意，（1）由(2)(2)0h h -⋅<得，(42)(64)0m m -+<，解得23m <-或2m >． 同时需要考虑以下三种情况： （2）由22,{0,m -<-<∆=解得0m =．（3）由20,{(2)0,m h -<-<-=解得02,{2,m m <<=不等式组无解． （4）由02,{(2)0,m h <-<=解得20,{2,3m m -<<=-解得23m =-． 综上所述，若函数()f x 具有性质M ，实数m 的取值范围是23m ≤-或2m > 或0m = 14分．考点：1．零点存在定理；2．分类讨论的思想．3．（1）零点为11；（2）max12,0,21()1,1,2354,1,2a a f x a a a ⎧<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩；（3）()a a T a a a ⎧≥⎪=⎨+<<⎪⎩【解析】 【分析】（1）将1a =代入，令()0f x =，去掉绝对值直接求解即可得出零点；（2）依题意，最大值在()()()1,2,2f f f a 中取得，然后分类讨论即可得出答案； （3）问题可转化为在给定区间内()1f x ≥-恒成立，分211a -+≤-及211a -+>-讨论得出答案． 【详解】（1）当1a =时，()2221,22121,2x x x f x x x x x x ⎧-++≥=--+=⎨-+<⎩，令2210-++=x x，解得：1x =1舍)； 令2210x x -+=，解得：1x =； ∴函数()y f x =的零点为11；（2）由题意得：()2221,221,2x ax x af x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩，其中()()021f f a ==，30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴最大值在()()()1,2,2f f f a 中取. 当021a <≤，即102a <≤时，()f x 在[]1,2上单调递减，()()max 12f x f a ∴==；当122a a <<<，即112a <<时，()f x 在[]1,2a 上单调递增，[]2,2a 上单调递减， ()()max 21f x f a ∴==；当122a a ≤<<，即12a ≤<时，()f x 在[]1,a 上单调递减，[],2a 上单调递增，()()(){}max max 1,2f x f f ∴=；()()()()122254230f f a a a -=---=-<，()()max 254f x f a ∴==-；综上所述：()max12,0211,12354,12a a f x a a a ⎧<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩；（3）()0,x ∈+∞时，0x -<，20x a -≥，()max 1f x ∴=， ∴问题转化为在给定区间内()1f x ≥-恒成立.()21f a a =-+，分两种情况讨论：当211a -+≤-时，()T a 是方程2211x ax -+=-的较小根，即a ≥()T a a =当211a -+>-时，()T a 是方程2211x ax -++=-的较大根，即0a <<()T a a =；综上所述：()a a T a a a ⎧⎪=⎨<<⎪⎩ 【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，函数的零点与方程根的关系，属于难题.4．（1）()sin f x x =是“可平衡”函数,详见解析（2）证明见解析（3）221218m m <+≤【解析】 【分析】(1)利用两角和差的正弦公式求解即可.(2)根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,再列式利用恒成立问题求解即可.(3)根据“平衡数对”的定义将12,m m 用关于x 的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）若1m =,则()sin m f x x ⋅=,()()()()sin sin f x k f x k x k x k ++-=++-2sin cos x k =,要使得()f x 为“可平衡”函数,需使故()12cos sin 0k x -⋅=对于任意实数x 均成立,只有1cos 2k =,此时23k n ππ=±,n Z ∈,故k 存在,所以()sin f x x =是“可平衡”函数.（2）()2f x x =及()2xg x a =+的定义域均为R ,根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,即22222mx x k =+,即()22220m x k --=对于任意实数x 恒成立,只有2m =,0k =,故函数()2f x x =的“平衡”数对为()2,0,对于函数()2xg x a =+而言,()222x x k x k m a a a +-⋅+=+++()2222x k k a -=+⋅+, 所以()()22222x x k km a a -⋅+=+⋅+,()()22220xkkm a m -⎡⎤⋅-++⋅-=⎣⎦,()2220k k m a m -⎧=+⎪⎨⋅-=⎪⎩, 即22m m ≥⎧⎨=⎩,故2m =,只有0k =,所以函数()2xg x a =+的“平衡”数对为()2,0, 综上可得函数()2f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同.（3）2221cos cos cos 22m x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以221cos 2sin m x x =,2222cos cos cos 44m x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22cos 1m x =,由于04x π<≤,所以21cos 12x ≤<,故(]212tan 0,2m x =∈,(]22sec 1,2m x =∈, ()22224121tan 4tan m m x x +=++()22222145tan 2tan 15tan 55x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭, 由于04x π<≤,所以20tan 1x <≤时,2116tan 555x <+≤, ()2212tan 238x <+-≤,所以221218m m <+≤.【点睛】本题主要考查了新定义的函数问题,需要根据题意列出参数满足的关系式,利用恒成立问题或表达出参数满足的解析式再分析求范围等.属于难题. 5．(1)3；(2)见解析；(3)见解析 【解析】 【分析】(1)直接利用题中给的定义求解即可；(2)利用函数的单调性和数列的信息应用求出充要条件；(3)利用函数的奇偶性和存在的最佳划分，进一步建立函数的单调区间，最后求出函数的关系式. 【详解】(1)()()()()010023M ϕϕϕϕ=--+-=； (2)若()x ϕ在[],a b 上单调递增，则{}()()()(){}11,,,,1ni i i M a b n t t b a M a b ϕϕϕϕ-==-=-=⎡⎤⎣⎦∑，故()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b若()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b ，倘若()x ϕ在[],a b 上不单调递增， 则存在[]()()121212,,,,x x a b x x x x ϕϕ∈<>.由()()()()()()()()1122a b a x x x x b ϕϕϕϕϕϕϕϕ-≤-+-+-（*）等号当且仅当()()()()()()11220,0,0a x x x x b ϕϕϕϕϕϕ-≥->-≥时取得，此时()()()()()()()()()()11220a b a x x x x b a b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-=-+-+-=-<，与题设矛盾，舍去，故（*）式中等号不成立，即：增加分点12,x x 后，“落差总和”会增加，故{},,M a b n 取最大值时n 的最小值大于1，与条件矛盾. 所以()x ϕ在[],a b 上单调递增；(3)由(2)的证明过程可知，在任间区间[],a b 上，若()x ϕ存在最佳划分{},,1a b ，则当()()a b ϕϕ=时，()x ϕ为常值函数（舍）；当()()a b ϕϕ<时，()x ϕ单调递增；当()()a b ϕϕ>时，()x ϕ单调递减，若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则此时在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=上均为最佳划分{}1,,1i i M t t -.否则，添加分点后可使()x ϕ在[],a b 上的“落差总和”增大，从而{}0,,M a b n 不是“落差总和”的最大值，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=上都是单调，若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则()x ϕ在相邻的两个区间[][]11,,i i i i t t t t -+、上具有不同的单调性，否则，()()()()()()11111i i i i i t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-+-+-=-+-，减少分点i t ，“落差总和”的值不变，而n 的值减少1，故n 的最小值不是0n ，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=上都单调，而()x ϕ是偶函数，故()x ϕ在y 轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当000,1,,2n i j n i ⎛⎫+== ⎪⎝⎭时，0i j t t +=，从而有00120n t t t t ++++=.【点睛】本题是信息给予题，考查了数学阅读能力，考查了函数和数列的综合应用能力，考查了数学运算能力.6．（1）不属于,理由详见解析；（2）[12-+；（3）详见解析. 【解析】（1）利用f （x ）＝3x +2，通过f （t +2）＝f （t ）+f （2）推出方程无解，说明f （x ）＝3x +2不属于集合M ；（2）由()22a f x lg x =+属于集合M ，推出()222622a a a lg lg lg x x =++++有实解，即（a ﹣6）x 2+4ax +6（a ﹣2）＝0有实解，对参数分类讨论，利用判断式求解即可；（3）当f （x ）＝2x +bx 2时，方程f （x +2）＝f （x ）+f （2）⇔3×2x +4bx ﹣4＝0，令g （x ）＝3×2x +4bx ﹣4，则g （x ）在R 上的图象是连续的，当b ≥0时，当b ＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有f （x ）∈M ． 【详解】解：（1）当()32f x x =+时，方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+ 此方程无解，所以不存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+， 故()32f x x =+不属于集合M ﹒ （2）由2()lg 2af x x =+，属于集合M ，可得 方程22lglg lg (2)226a a ax x =++++有实解()22(2)262a x x ⎡⎤⇔++=+⎣⎦有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解， 若6a =时，上述方程有实解；若6a ≠时，有21624(6)(2)0a a a ∆=---≥，解得1212a -≤≤+，故所求a 的取值范围是[12-+．（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔ 2222(2)24432440x+x x b x bx b bx ++=+++⇔⨯+-=，令()3244x g x bx =⨯+-，则()g x 在R 上的图像是连续的，当0b ≥时，(0)10g =-<，(1)240g b =+>，故()g x 在(0,1)内至少有一个零点当0b <时，(0)10g =-<，11320bg b ⎛⎫=⨯> ⎪⎝⎭，故()g x 在1,0b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少有一个零点故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x M ∈． 【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力． 7．（1）证明见详解；（2）32a <-或12a >；（3）112a <≤【解析】 【分析】（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按“保值函数”定义知()f m m =，()f n n =，转化为,m n 是方程2112x a a x+-=的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题.（1）函数()22g x x x =-在[]0,1x ∈时的值域为[]1,0-，不满足“保值函数”的定义， 因此函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”.（2）因为函数()2112f x a a x=+-在[],m n 内是单调增函数， 因此()f m m =，()f n n =， 因此,m n 是方程2112x a a x+-=的两个不相等的实根， 等价于方程()222210a x a a x -++=有两个不相等的实根.由()222240a a a ∆=+->解得32a <-或12a >.（3）()2212a f x a a x=+-，()22a f x x ≤()22a f x x⇔≤⇔21222a a x x+--≤≤， 即为22122,122,a a x x a a x x ⎧+≤+⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩对1≥x 恒成立.令()12h x x x=+，易证()h x 在[)1,+∞单调递增， 同理()12g x x x=-在[)1,+∞单调递减. 因此，()()min 13h x h ==，()()min 11g x g ==-.所以2223,21,a a a a ⎧+≤⎨+≥-⎩解得312a -≤≤.又32a <-或12a >，所以a 的取值范围是112a <≤. 【点睛】本题主要考查了新概念，函数的单调性，一元二次方程有解，绝对值不等式，恒成立，属于难题.8．（1）()f x x =,2k =，见解析；（2）min 12k =（3）11(),[,0)(0,]22g x kx k =∈-⋃ 【解析】（1）令()f x x =,可以满足题意，一次函数和常值函数都可以满足； （2）根据定义化简1212()()f x f x x x --12<，得出k 的最小值；（3）由于所有一次函数均满足（1）故设()()0g x kx b k t =+≠是()0g x =的根，推得0b =，若k 符合题意，则k -也符合题意，可以只考虑0k >的情形，分①若1k，②若112k <<，分别验证是否满足题意，可得k 的范围. 【详解】（1）例如令()f x x =,由12122x x x x -≤-知可取2k =满足题意（任何一次函数或常值函数等均可）． （2）()f x =[0,)+∞为增函数∴对任意12,x x R ∈有1212()()f x f x x x --12==<（当120,0x x =→时取到）所以min 12k =（3）由于所有一次函数均满足（1）故设()()0g x kx b k t =+≠是()0g x =的根()0bg t t k∴=⇒=-， 又(())(())(0)(0)0()f g t g f t f g b g x kx =∴=∴=∴=若k 符合题意，则k -也符合题意，故以下仅考虑0k >的情形． 设()(())(())sin sin h x f g x g f x kx k x =-=- ①若1k，则由sin sin 0h k kk πππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭且3333sin sin sin 02222k k h k k ππππ⎛⎫=-=+≥⎪⎝⎭所以，在3,2k ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦中另有一根，矛盾．②若112k <<，则由[]sin sin 0,2h k h k k ππππ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭sin 2sin 20k k ππ=-< 所以，在,2kππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦中另有一根，矛盾．102k ∴<≤以下证明，对任意1(0,],()2k g x kx ∈=符合题意．当(0,]2x π∈时，由sin y x =图象在连接两点()(0,0),,sin x x 的线段的上方知sin sin kx k x >()0h x ∴>当(,]22x kππ∈时，sin sinsin sin ()022k kx k k x h x ππ>≥≥∴>当,22x k ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0,sin 0,()0kx x h x >∴ 综上：()0h x =有且仅有一个解0x =，()g x kx ∴=在1(0,]2k ∈满足题意． 综上所述：11(),[,0)(0,]22g x kx k =∈-⋃, 故得解. 【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题.9．（1）()y f x =的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b ；（2）当0b >或22b a <-时，有3个零点；当220b a -≤≤时，有1个零点 【解析】 【分析】（1）设()()h x f x b =-，通过奇偶性的定义可求得()h x 为奇函数，关于原点对称，从而可得()f x 的对称中心，得到结论；（2）()()0y f x g x =-=，可知0x =为一个解，从而将问题转化为222b x a =-解的个数的讨论，即22222a b x a b b+=+=的解的个数；根据b 的范围，分别讨论不同范围情况下方程解的个数，从而得到零点个数，综合得到结果. 【详解】（1） 设()()11h x f x b x a x a=-=+-+ ()h x ∴定义域为：{}x x a ≠± ()()1111h x h x x a a x x a x a ⎛⎫-=+=-+=- ⎪---+-⎝⎭()h x ∴为奇函数，图象关于()0,0对称()y f x ∴=的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b （2）令()()110y f x g x bx x a x a=-=+-=-+ ()()20x b x a x a ⎡⎤∴-=⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，可知0x =为其中一个解，即0x =为一个零点 只需讨论222b x a =-的解的个数即可 ①当0b =时，222b x a =-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点②当0b >时 ，2220x a b =+> x ∴=222b x a =-的解()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 ③当0b <时，22222a bx a b b+=+=（i ）若220a b +<，即22b a <-时，220a bb+>x ∴=222b x a =-的解()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 （ii ）若220a b +=，即22b a =-时，222b x a =-的解为：0x = ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点（iii ）若220a b +>，即220b a -<<时，220a bb+<，方程222b x a =-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点 综上所述：当0b >或22b a <-时，有3个零点；当220b a -≤≤时，有1个零点 【点睛】本题考查函数对称性的判断、函数零点个数的讨论.解决本题中零点个数问题的关键是能够将问题转化为方程222b x a =-根的个数的讨论，从而根据b 的不同范围得到方程根的个数，进而得到零点个数，属于较难题. 10．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由正切函数与对数函数的性质可直接判断；（2）由()()[]12log 2sin211,0f g x x ⎡⎤=+∈-⎣⎦，得[]2sin211,2x +∈，进而利用正弦函数的性质列式求解即可；（3）利用反证法，假设存在,a b 使得()()()f a b f a f b +≠+，结合条件推出矛盾即可证得. 【详解】（1）()()1tan ,0,12f x x x π⎡⎤⎛⎫=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦满足.()()1lg 1,0,1g x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭不满足.（2）因为()()[]12log 2sin211,0f g x x ⎡⎤=+∈-⎣⎦，所以[]2sin211,2,x +∈ 即1sin20,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以][522,22,2,.66x k k k k k Z πππππππ⎡⎤∈+⋃++∈⎢⎥⎣⎦所以][5,,,,12122x k k k k k Z πππππππ⎡⎤∈+⋃++∈⎢⎥⎣⎦ 满足条件的0,12D π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）.（3）假设存在,a b 使得()()()f a b f a f b +≠+ 又有()()()()()(),f a f a b f b f b f a b f a =+-=+-， 所以()()()()()(),f a f a b f b f b f a b f a -=+--=+-，结合两式：()()(),0f a f b f a b =+=，所以()()()0f b f a f a b --=+=， 故()()()f a f b f a -==.由于()()()f a b f a f b +≠+知：()0f a ≠.又()()12222a a a f f a f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 类似地，由于()0f a -≠，()22a a f f a f ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()()11222a f f a f a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.所以()022a a f a f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与()0f a ≠矛盾，所以原命题成立. 【点睛】本题主要考查了复合函数的性质及反证法的证明，属于难题. 11．（Ⅰ）()f 01=； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）t 5<-. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题意，由特殊值法分析：令a b 0==，则()()f 02f 01=-，变形可得()f 0的值， (Ⅱ)任取1x ，2x R ∈，且设12x x <，则21x x 0->，结合()()()f a b f a f b 1+=+-，分析可得()()21f x f x >，结合函数的单调性分析可得答案；(Ⅲ)根据题意，原不等式可以变形为(()222f[2log x)2log x 4t 4f 0⎤-+-<⎦，结合函数的单调性可得2222(log x)2log x 4t 40-+-<，令2m log x =，则原问题转化为22m 2m 4t 40-+-<在[]m 3,1∈--上恒成立，即24t 2m 2m 4<-++对任意[]m 3,1∈--恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案． 【详解】(Ⅰ)根据题意，在()()()f a b f a f b 1+=+-中，令a b 0==，则()()f 02f 01=-，则有()f 01=；(Ⅱ)证明：任取1x ，2x R ∈，且设12x x <，则21x x 0->，()21f x x 1->，又由()()()f a b f a f b 1+=+-，则()()()()()()221121111f x f x x x f x x f x 11f x 1f x ⎡⎤=-+=-+->+-=⎣⎦， 则有()()21f x f x >， 故()f x 在R 上为增函数．(Ⅲ)根据题意，][(222f[2log x)4f 4t 2log x 2⎤-+-<⎦，即][(222f[2log x)4f 4t 2log x 11⎤-+--<⎦，则(222f[2log x)2log x 4t 41⎤-+-<⎦，又由()f 01=，则(()222f[2log x)2log x 4t 4f 0⎤-+-<⎦，又由()f x 在R 上为增函数，则2222(log x)2log x 4t 40-+-<，令2m log x =，11x ,82⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3m 1-≤≤-，则原问题转化为22m 2m 4t 40-+-<在[]m 3,1∈--上恒成立， 即24t 2m 2m 4<-++对任意[]m 3,1∈--恒成立， 令2y 2m 2m 4=-++，只需4t y <最小值，而2219y 2m 2m 42(m )22=-++=--+，[]m 3,1∈--，当m 3=-时，y 20=-最小值，则4t 20<-． 故t 的取值范围是t 5<-． 【点睛】本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，其中解答中合理利用函数的单调性和合理完成恒成立问题的转化是解答的关键，同时注意特殊值法的应用，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 12．⑴()11f =，()22f =,()f n n =；⑵3λ≤；⑶详见解析 【解析】 【分析】()()111f =，()22f =，进而猜想出()f n ． ()298n a n =-.由21218899899999m m m m n n --<-<⇒+<<+，可得191m n -=+，192m -+，⋯，219m -，21199.m m m t --=-利用等比数列的求和公式即可得出m S .根据2mS λ≤对任意*m N ∈恒成立即可得出λ范围．()13sin4b π=，记1sin ,4n n b πθθ==，可得()*11sin sin 22n n n n n N θπθθ++=⇒=∈，1tan 4c π=，记1tan ,4n n c πϕϕ==，可得()*11sec 1tan tan tan 22n n n n n n n N ϕϕπϕϕφ++-==⇒=∈，根据当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan x x x <<即可得出． 【详解】解：()()111f =，()22f = 猜想()f n n =()298n a n =-，由21218899899999m m m m n n --<-<⇒+<<+， 191m n -∴=+，192m -+，⋯，219m -21199m m m t --∴=-()()()()35221191999999m m m S --∴=-+-+-+⋯+-()()35212199991999m m --=+++⋯+-+++⋯+()()22129191991091191980m mm m +---⋅+=-=--2m S λ≤对任意*m N ∈恒成立()1min 283m S S λλ⇒≤==⇒≤⑶证明：1sin 4b π=，记1sin ,4n n b πθθ==，则()*11sin sin 22n n n n n N θπθθ++==⇒=∈ 1tan4c π=，记1tan ,4n n c πϕϕ==，则()*11sec 1tan tan tan 22n n n n n n n N ϕϕπϕϕφ++-==⇒=∈ 11sin,tan 22n n n n b c ππ++∴==，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan x x x <<可知：1111sin tan 2222n n n n n n b f c ππππ++++⎛⎫=<=<= ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了数列与函数的关系、等比数列的通项公式与求和公式及其性质、三角函数求值及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 13．(1)12；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）不妨设12x x >，则12k ≥恒成立．211114,42x x ≤≤≤∴<<，从而可得结果；（2）令1211,24x x ==，则()221111log log 1212424f f ⎛⎫⎛⎫-=-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得函数()2log f x x =不是“2-利普希兹条件函数”； （3）设()f x 的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[]0,2，内()(),f a M f b m ==，利用基本不等式的性质可证明()()()()12221f x f x M m f a f b a b -≤-=-+≤--<.试题解析：（1）若函数f （x ）=，（1≤x≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f （x1）﹣f （x2）|≤k|x1﹣x2|成立， 不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k 的最小值为 ．（2）f （x ）=log2x 的定义域为（0，+∞）， 令x1=，x2=，则f （）﹣f （）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f （x1）﹣f （x2）＞2|x1﹣x2|， ∴函数f （x ）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．（3）设f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内f （a ）=M ，f （b ）=m ， 则|f （x1）﹣f （x2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b ）≤|a ﹣b|． 若|a ﹣b|≤1，显然有|f （x1）﹣f （x2）|≤|a ﹣b|≤1． 若|a ﹣b|＞1，不妨设a ＞b ，则0＜b+2﹣a ＜1，∴|f （x1）﹣f （x2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b+2）≤|a ﹣b ﹣2|＜1． 综上，|f （x1）﹣f （x2）|≤1．14．（1）函数()sin()3f x x π=+是“M 类函数”；（2）54-；（3）[1,1)-.【解析】 【详解】试题分析：(1) 由()()f x f x -=-，得sin()sin()33x x ππ-+=-+整理可得02x R π=∈满足00()()f x f x -=-(2) 由题存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，即方程2220x x m -++=在[1,1]-上有解.令12[,2]2xt =∈分离参数可得11()2m t t =-+，设11()()2g t t t =-+求值域，可得m 取最小值54-(3) 由题即存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，分02x ≥，022x -<<，02x ≤-三种情况讨论可得实数m 的取值范围.试题解析：（1）由()()f x f x -=-，得：sin()sin()33x x ππ-+=-+0x = 所以存在02x R π=∈满足00()()f x f x -=-所以函数()sin()3f x x π=+是“M 类函数”，（2）因为()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”， 所以存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-， 即方程2220x x m -++=在[1,1]-上有解. 令12[,2]2xt =∈则11()2m t t =-+，因为11()()2g t t t =-+在1[,1]2上递增，在[1,2]上递减所以当12t =或2t =时，m 取最小值54-（3）由220x mx ->对2x ≥恒成立，得1m <因为若22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”所以存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-①当02x ≥时，02x -≤-，所以22003log (2)x mx -=--，所以00142m x x =- 因为函数142y x x=-（2x ≥）是增函数，所以1m ≥- ②当022x -<<时，022x -<-<，所以33-=，矛盾③当02x ≤-时，02x -≥，所以2200log (2)3x mx +=，所以00142m x x =-+因为函数142y x x=-+(2)x ≤-是减函数，所以1m ≥-综上所述，实数m 的取值范围是[1,1)-点睛:已知方程有根问题可转化为函数有零点问题，求参数常用的方法和思路有： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.15．（1）21()f x x =是“L 函数”. 2()f x 不是“L 函数”.（2）[1 1]-，（3）见解析 【解析】 【详解】试题分析：利用“L 函数”的定义判断函数21()f x x =符合要求，而2()f x 不符合要求（只需举一个反例说明）；函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，则()g x 满足“L 函数”的定义，当0,0t s >>时，()0,()0,()()()g s g t g s g t g s t >>+<+成立；根据要求可以求出a的范围 ；令s t =得(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅>，()()1 2,2N*k k x k -∈∈,则()112,2k k x--∈，利用(1)1f =，借助()()()1122k k f x f x f -->-+ 及()111122k k f f f x x --⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助不等关系证明.试题解析：（1）对于函数()21f x x =，当0,0t s >>时，()()22110,0f t t f s s =>=>，又()()()()22211120f t f s f t s t s t s ts +-+=+-+=-<，所以()()()111f s f t f s t +<+，故()21f x x =是“L 函数”.对于函数()2f x =1t s ==时，()()()2222f t f s f t s +==+，故()2f x =“L 函数”.（2）当0,0t s >>时，由()()3131x x g x a -=-+-是“L 函数”，可知()()31310t t g t a -=-+->，即()()3130t t a -->对一切正数t 恒成立， 又310t ->，可得3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤．由()()()g t g s g t s +<+，可得()+333133310s t s t s t s t a ------++--+>， 故()()()31313+0s t s t a +-->，又()()31310t s -->，故3+0s t a +>， 由3+0s t a +>对一切正数,s t 恒成立，可得10a +≥，即1a ≥-．综上可知，a 的取值范围是[]11-，．（3）由函数()f x 为“L 函数”， 可知对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知()()22f s f s >，即()()22f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有 ()()()()()()()()1122222222k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅>，对任意()()12,2N*k k x k -∈∈，可得()112,2k k x--∈，又()11f =， 所以()()()()()111122222122k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>， 同理()()()11111112222212k k k k k f f f f f x x x -----⎛⎫⎛⎫<--<≤=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()1f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ 22x x-． 【点睛】本题为自定义信息题，根据题目所提供的信息，要严格遵循“L 函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“L 函数”的定义，说明是“L 函数”，需要按定义严格证明，说明g x是“L函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒不是只需举一反例；第二步函数()成立条件和最值原理求出参数的范围.。