工程数学考研题库及答案
工程数学练习题及答案
工程数学练习题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 极限的概念中，函数在某点的极限值是该点的（）。
A. 函数值B. 函数值的极限C. 函数值的近似值D. 函数值的导数2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + 1B. f(x) = x^3 - xC. f(x) = x^2 - x + 1D. f(x) = x^3 + x^23. 积分中的基本定理指出，函数的定积分等于（）。
A. 被积函数的原函数在积分区间的差值B. 被积函数的原函数在积分区间的和值C. 被积函数的导数在积分区间的差值D. 被积函数的导数在积分区间的和值4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...D. 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...5. 矩阵A的行列式为0，这意味着矩阵A（）。
A. 可逆B. 不可逆C. 行向量线性相关D. 列向量线性无关二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1的导数为_________。
7. 函数f(x) = e^x的不定积分为_________。
8. 函数f(x) = sin(x)的原函数为_________。
9. 函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分为_________。
10. 矩阵A = [1, 2; 3, 4]的行列式为_________。
三、解答题（每题10分，共20分）11. 计算极限lim(x->0) [sin(x)/x]，并说明其意义。
12. 证明函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是凹函数，并求其最小值。
四、证明题（每题15分，共30分）13. 证明：对于任意实数x和y，有|f(x) - f(y)| ≤ M|x - y|，其中M为常数，f(x)为连续函数。
工程数学(线性代数与概率统计)答案(1章)
工程数学（线性代数与概率统计）习题一一、 1.5)1(1222112=-⨯-⨯=-；2.1)1)(1(111232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x ；3.b a ab bab a 2222-=4.53615827325598413111=---++=5.比例）第一行与第三行对应成(,000000=dc ba6.186662781132213321=---++=。
二．求逆序数 1. 551243122=↓↓↓↓↓τ即 2. 5213423=↓↓↓↓τ即3. 2)1(12)2()1(12)1(01)2()1(-=+++-+-=-↓↓-↓-↓n n n n n nn n ΛΛτ即 4.2)1(*2]12)2()1[()]1(21[24)22()2()12(31012111-=+++-+-+-+++=--↓↓-↓-↓-↓↓↓n n n n n n n n n n n ΛΛΛΛτ三．四阶行列式中含有2311a a 的项为4234231144322311a a a a a a a a +- 四．计算行列式值1.07110851700202145900157711202150202142701047110025102021421443412321=++------r r r r r r r r2.310010000101111301111011110111113011310131103111301111011110111104321-=---⋅=⋅=+++c c c c3.abcdef adfbce ef cf bf de cd bdae ac ab4111111111=---=--- 4.dcdcba dcb a1010111011110110011001--------按第一行展开 ad cd ab dc dadc ab+++=-+---=)1)(1(1111115.ba c cbc a b a a c b a c c b c a b a a b b a c c c b c a b b a a a ba c c cbc a b b a a c b a --------------=------202022202022222222222222 其中)3)(()(3522)(22)(12221222122)(2202022202022222220222200222202222222222222ac ab a c a b a ab abc ba c c aa c ab b a a b a abc ba c c aa c a bc c b b a aa cc b b a ac cc b b b aa ab ac c b c b aa b a c c b a b a a b a c c c b b b a a a b a c c c b c a b b a a a ++++++=--+-+-=--+---=--------=----其余同法可求。
工程数学复习题(含答案)
工程数学复习题1．00110212=-k k的充分条件是（ C ） （A ） k ＝2 （B ）k ＝0 （C ）k ＝－2 （D ）k ＝3 2．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=，那么=1D （ B ） （A ） 8 （B ）－12 （C ）24 （D ）－24 3．已知矩阵333231232221131211a a a a a a a a a A =，那么能左乘A （在A 的左边）的矩阵是（ B ）（A ） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡323122211211b b b b b b （B ）[]131211b b b （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡312111b b b （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211b b b b 4．设A ，B ，C 均为n 阶矩阵，下列运算不是运算律的是（ Ｄ ）（A ） （Ａ+Ｂ）+Ｃ＝（Ｃ+Ａ）+Ｂ （B ） （Ａ+Ｂ）Ｃ＝ＡＣ+ＡＢ （Ｃ） Ａ（ＢＣ）＝（ＡＢ）Ｃ （Ｄ） Ａ（ＢＣ）＝（ＡＣ）Ｂ 5．已知A ，B ，C 均为n 阶矩阵，且ABC ＝I ，则下列结论必然成立的是（C ） （A ）ACB ＝I （B ）BAC ＝I （Ｃ）BCA ＝I （Ｄ）CBA ＝I6．设有向量组)1,0,0(),0,0,1(21==αα，若β是2,1αα的线性组合，则β可以等于（ B ） （A ）)2,1,0( （B ）)4,0,3(- （Ｃ）)0,1,1( （Ｄ）)0,1,0(- 7．n 维向量组()n s s ≤≤3,...,,21ααα线性无关的充分必要条件是（ D ） （A ）存在一组不全为零的数s k k k ,...,,21，使0...2211≠+++s s k k k ααα； （B ）s ααα,...,,21中任意两个向量都线性无关；（Ｃ）s ααα,...,,21中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示； （Ｄ）s ααα,...,,21中任意一个向量都不能由其余向量线性表示； 8．已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ C ）也线性无关（A ）14433221,,,αααααααα++++ （B ）14433221,,,αααααααα---- （Ｃ）14433221,,,αααααααα-+++ （Ｄ）14433221,,,αααααααα--++9．设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111111111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=15042-1-321B ，求A 23AB -及T AB .10．已知行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，求331332123111132312221121131211252525333a a a a a a a a a a a a a a a ---+++ 解：331332123111132312221121131211252525333a a a a a a a a a a a a a a a ---+++＝331332123111232221131211252525333a a a a a a a a a a a a ---+331332123111131211131211252525333a a a a a a a a a a a a --- ＝331332123111232221131211252525333a a a a a a a a a a a a ---+0 ＝131211232221131211555333a a a a a a a a a －333231232221131211222333a a a a a a a a a ＝0－32⨯333231232221131211a a a a a a a a a＝－232⨯⨯ ＝－12 11．设132λλ=D ，问当λ为何值时0=D ？解：132λλ＝λλ32-由λλ32-＝0解得01=λ或32=λ12．计算三阶行列式140053101-解：140053101-＝1405)1(111+-⨯+1410)1(312--⨯+＝5+12＝1713．计算四阶行列式2013133251411021---解：2013133251411021---14131232r r r r r r --+5050131061601021-----32r r ↔ －5050616013101021-----242356r r r r -+015000170023101021--341715r r + 00000170023101021-＝014．计算四阶行列式2410223211511312---解：2410223211511312---21r r ↔ －2410223213121151---131222r r r r -- －241000130311101151---32r r ↔ 13⨯24103111000101151---242311r r r r +- 13⨯2400310000101151--344r r - 13⨯14000310000101151--＝1411113⨯⨯⨯⨯＝18215．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=864297510213A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=612379154257B ，且B X A =+2，求X 解：由B X A =+2得()A B X -=21＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------2721224444642116．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=114021A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=102312B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=213421C ，求()C B A 23-. 解：()C B A 23-＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-114021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21342121023123 ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-114021⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯120114＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----214480151 17．用矩阵的初等变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=523012101A 的逆矩阵1-A解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001523012101−−→−+-131232r r r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---103012001220210101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-21127012001100210101127012001200210101323212r r r−−→−+-32312r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21127115211251000100011-A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----211271152112518．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101212001A ，如A 可逆，求1-A解： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100010001101212001−−−→−++13122rr r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101012001100210001 −−−→−-322r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101210001100010001−−→−-2r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101210001100010001可见A 可逆，1-A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10121000119．判断向量组()2,0,11=α，()1,1,12=α，()5,1,33=α是否线性相关？解：由512110311132r r -110110311--＝0，所以321,,ααα线性相关20．考察向量组（1）)6,3(1-=α，)4,2(2-=α；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211α，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112α的线性关系.解：（1）)6,3(1-=α，)4,2(2-=α04623=--，所以21,αα线性相关（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211α，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112α 031121≠=-，所以21,αα线性无关21．证明：如果向量组γβ,,α线性无关，则向量组βα+，γβ+，αγ+也线性无关. 证：设有一组数321,,k k k 使 ()()()οαγγββα=+++++321k k k则有()()()ογβα=+++++322131k k k k k k由γβ,,α线性无关，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （*） 因 02110011101≠=故方程组（*）只有零解，即只有当0321===k k k 时()()()οαγγββα=+++++321k k k 才成立，因此βα+，γβ+，αγ+也线性无关.22．设n 阶矩阵A 满足0422=--I A A ，证明A 可逆，并求1-A .证：由0422=--I A A I I A A =-⇒242 ⇒I I A A =⎪⎭⎫⎝⎛-24根据逆矩阵的定义可得1-A ＝24I A - 23．设有向量()2,3,11=α，)1,2,3(2=α，)1,5,2(3--=α，)3,11,4(=β，向量β可由向量组线性表示，则β＝32102ααα-+24．求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1293397225431A 的秩()A γ. 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----00001140543133120114054311293397225431231312332r r r r r r 故()2=A r25．已知向量组[]T12011=α，[]T10212=α，[]T03123=α，[]T 41524-=α，试用321,,ααα线性表示4α.解：设有321,,x x x 使4332211αααα=++x x x即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4152031210211201321x x x ，得线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4152011302120211321x x x 解此线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-4011130251202211−−−−−−→−若干次行初等变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000110030101001得⎪⎩⎪⎨⎧-===131321x x x ，因此，32143αααα-+= 26．求5R 中向量[]T 20101-=α，[]T14210=β的夹角.解题过程见课本18页27．在4R 中，设[]11111--=α，[]T 11152=α，[]T31333--=α，求321,,ααspan 中的一个标准正交基{}321,,εεε 解题过程见课本19页。
工程数学试题A及答案
工程数学试题A及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)的导数是：A. \( 3x^2 - 6x \)B. \( 3x^2 - 6x + 2 \)C. \( x^3 - 3x^2 + 2 \)D. \( 3x^2 - 6x + 3 \)答案：A2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是：A. 0B. 1C. \( \pi \)D. \( \infty \)答案：B3. 函数\( y = e^x \)的不定积分是：A. \( e^x + C \)B. \( \ln x + C \)C. \( x e^x + C \)D. \( \frac{1}{x} + C \)答案：A4. 微分方程\( y' + 2y = 0 \)的通解是：A. \( y = Ce^{-2x} \)B. \( y = Ce^{2x} \)C. \( y = C\sin(2x) \)D. \( y = C\cos(2x) \)答案：A5. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式是：A. 5B. -2C. 2D. -5答案：B6. 函数\( f(x) = x^2 \)在区间\( [1, 2] \)上的定积分是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C7. 函数\( y = \ln x \)的二阶导数是：A. \( \frac{1}{x^2} \)B. \( \frac{1}{x} \)C. \( x \)D. \( x^2 \)答案：A8. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)的逆矩阵是：A. \( \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \)答案：C9. 函数\( y = x^3 \)的不定积分是：A. \( \frac{x^4}{4} + C \)B. \( \frac{x^3}{3} + C \)C. \( \frac{x^2}{2} + C \)D. \( \frac{x}{3} + C \)答案：B10. 函数\( y = \sin x \)的不定积分是：A. \( \cos x + C \)B. \( \sin x + C \)C. \( -\cos x + C \)D. \( -\sin x + C \)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的极小值点是 \( x =\_\_\_\_\_ \)。
工程数学复习题及答案.doc
工程数学（一）一、、计算下列行列式： 1、29092280923521534215 =100028092100034215 =10002809206123 =61230002、D n =n 333333333233331 解：D n =n 333333333233331 (把第三列的-1倍加到其余各列) =3n 3030003100302=3n 0030000100002=6(n -3)! (n 3) 二、已知X=AX+B ，其中A= 101111010, B=350211，求X解：(E -A)X=B X=(E -A)-1BE -A= 100010001- 101111010= 201101011,(E -A)-1= 11012312031X= 11012312031 350211=1102133133063931 三、求向量组 1=(1,-2,3,-1,2), 2=(3,-1,5,-3,-1), 3=(5,0,7,-5,-4), 4=(2,1,2,-2,-3)的一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组线性表示出其它向量。
解：令A=( 1T , 2T , 3T , 4T )=~34122531275310122531~242000004840510502531000000000000121025311, 2,为一极大线性无关组，且 3= - 1+2 2, 4=- 1+ 2四、求方程组0x x 0x 0x x 41241的一个基础解系。
解：A= 100100101001~ 200000101001~100000100001 同解方程组是： 0x x x 0x 0x 43321 所以基础解系是：0100五、已知线性方程组 2x x 3x 3x 4x 5b x 6x 2x 2x 0x 3x x x 2x 3ax x x x x 5432154325432154321，问a,b 为何值时,方程组有解?并求其通解。
工科考研数学试题及答案
工科考研数学试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数是（）。
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 若矩阵A和B满足AB=E，其中E为单位矩阵，则矩阵A和B（）。
A. 互为逆矩阵B. 互为转置矩阵C. 互为伴随矩阵D. 互为正交矩阵答案：A4. 曲线y=x^3-3x+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D5. 微分方程y''-3y'+2y=0的通解是（）。
A. y=c1e^x+c2e^(2x)B. y=c1e^x+c2e^(-x)C. y=c1e^(2x)+c2e^(-2x)D. y=c1e^(2x)+c2e^(-x)答案：B6. 函数f(x)=x^2+2x+1在区间[-1,1]上的最大值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D7. 级数1+1/2+1/4+1/8+...的和是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B8. 曲线y=x^2与直线y=2x所围成的面积是（）。
A. 1/3B. 2/3C. 1D. 2答案：B9. 函数f(x)=x^3-3x在x=0处的导数是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 3答案：A10. 曲线y=ln(x)的拐点坐标是（）。
A. (1,0)B. (0,1)C. (1,1)D. (0,0)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(x)=x^2-4x+3，则f'(x)=________。
答案：2x-42. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2+1)的值是________。
答案：03. 若矩阵A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}，则|A|=________。
天津大学硕士研究生工程数学课后答案全版
+
a xn−1 n−1
++
a2 x2
+
a1 (x
−1).
由上可知,(x −1, x2 , x3 ,, xn )是W的一个基,故 dimW = n.
6. (1“) ⇒ ”:因为T是线性的,故有T (0) = 0.于是,若T (x) = 0,则由T −1存在知T是单射,从而有x = 0. “ ⇐ ”:要证T −1存在,只需证明T是单射：
+
dE22 ,即σ
E20
=
0
b
0
d )T ,
a 0 b 0
∴ A =0
a
0
b
.
c 0 d 0
0
c
0
d
4
习题二
A
一、判断题
1.√；2.×；3.√；4.√；5.×；6.√；7.×；8.×；9.√；10.√；11.×；12.×.
二、填空题
2 0 0 2 0 0 1. x ；2. n ；3. λ, (λ −1)2 , λ + i, λ − i ；4. λ −1, λ +1 ；5. 0 0 −4 ；6. 0 2 0 ；7. O ；
f : x x2 ,取A =[−2, 0], B =[−1, 3],则A ∩ B =[−1, 0]. 于是f ( A ∩ B) = f ([−1, 0]) = [0, 1], 而
f (A) ∩ f (B) = [0, 4] ∩[0, 9] = [0, 4]. 从而有
.
[ ] [ ] 2. 证（1） ∀n ∈ N ,有 −2 + 1 , 2 − 1
, ∃k ∈ N
,使得
x
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西安交大西工大 考研备考 工程数学试题及答案解析
《工程数学二》期终试卷（A 卷）题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得 分 评阅人一、选择题（每题3分，共15分）得 分1、若，则(A) 3 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2、若函数，则(A)处处不可导 (B)仅在原点可导 (C)处处解析 (D)仅在虚轴上解析 3、幂级数的收敛半径为(A) (B) (C) (D) 4、是函数的(A) 一级极点 (B) 二级极点 (C) 可去奇点 (D) 本性奇点 5、(A) (B) (C) (D)密封线密封线内不准答题专业 姓名： 学号：二、填空题（每空3分，共15分）得分1、方程的解为。
2、。
3、设为函数的级极点，则＝___ ___。
4、设，则。
5、已知，则__ _。
三（每题5分，共25分）计算积分1、2、，其中n为整数且，C为任意闭曲线。
3、，其中为正向圆周：4、，其中为正向圆周：5、四（每题4分，共12分）判断下列级数的收敛性，若收敛，是否绝对收敛1、2、3、五 (6分)设v是区域D内u的共轭调和函数，证明uv是D内的调和函数。
六(10分)将函数在以为中心的各个圆环域内展开为洛朗级数。
七（7分）求指数衰减函数的傅氏变换及其积分表达式。
八(10分)利用Laplace变换求解微分方程满足初始条件（其中C为常数）的解。
一、选择题1、C2、A3、A4、C5、B二、填空题1、() ,2,1,0322ln ±±=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=k k i z ππ 2、 i -3、 24、 1 t e --5、 arctan 21 ⎪⎭⎫⎝⎛-s s π三、计算积分1、解：由于z 2sin 在整个复平面解析，故)2sin(212sin 212122cos 1sin 2i i z z dz z zdz iiii ii ππππππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=---⎰⎰ 或者结果写为i sh ⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ2212、解：若0≥n ，由柯西－古萨定理知：0)(=-⎰Cn dz a z若0<n ，若a 在闭曲线C 外部，由柯西－古萨定理知：0)(=-⎰Cndz a z 若a 在闭曲线C 内部，由于1-≠n ，故 0)(=-⎰Cn dz a z综上所述，0)(=-⎰Cn dz a z3、解：令()()()311)(10--+=z z i z z f ，则()()(){}101010)3(0)3(212 ]),([Re ]3),([Re 231i ii i z f s z f s i z z i z dzC+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-=∞+-=--+⎰πππ4、解：若10<<r ，则()()()()()()43211!22121121033iz z i dz z z z z z z dzz CCππ-="⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+=-+=⎰⎰若21<<r ，在C 内分别以1,0-为圆心作两个互不相交互不包含的圆周21,C C ，()()()()()()()()12212211!22 112112112113033321iz z i z z i dz z z zdz z z z z z z dz z z C C Cπππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+"⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-+-+=-+-==⎰⎰⎰若2>r ，在C 内分别以2,1,0-为圆心作三个互不相交互不包含的圆周321,,C C C ，()()()()()()()()()(12212211!22 111112112112131303333321=⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+"⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+++-+-+=-+-==⎰⎰⎰⎰z z C C C Cz z i z z i z z i z z z dz z z z dz z z z z z z dz πππ5、解：令θi e z =，则2cos zz +=θ，故⎰⎰⎰⎰====++-=++-=+-112212202()1()(11cos 21z z z azdz a z a az ia z z a dziza a d πθθ由于10<<a ，故原式21121211a az i i dz a z az i a z z -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--===⎰ππ 四、判断下列级数的收敛性1、解：∑∑∑∞=∞=∞=+-+=+11112)1(11n n n n n n i n n i ，由于∑∞=11n n发散，故原级数发散 2、解：11!)1()!1(lim 1<=⋅+++∞→en n n n n n n ，故级数收敛3、解：nni ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+226251，而0226lim ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→nn ，故级数发散 五、证明：因为v 是区域D 内u 的共轭调和函数，故x y y x v u v u -==,则v u uv uv x x x +=)(，vu uv v u v u v u uv v u v u uv uv xx xx x x x x xx xx x x x x x xx ++=+++=+=2)()(同理v u uv v u uv yy yy y y yy ++=2)(，则v u uv v u uv v u v u uv v u uv uv xx xx yy yy y y xx xx x x yy xx ++=+++++=+22)()( 由于0,0=+=+yy xx yy xx v v u u ，则0)()()()(=+++=+yy xx yy xx yy xx u u v v v u uv uv故uv 是D 内的调和函数。
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工程数学考研题库及答案
工程数学考研题库及答案
工程数学是应用数学的一个分支，广泛应用于工程领域的建模、分析和解决问题。
对于工程数学考研的考生来说，掌握一套全面的题库及答案是非常重要的。
本文将为大家介绍一些常见的工程数学考研题型及其答案。
一、线性代数
线性代数是工程数学的基础，也是考研中的重点内容之一。
常见的线性代数题
型包括矩阵的运算、矩阵的特征值和特征向量、线性方程组的解等。
例如，以下是一道关于矩阵的题目：
已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的特征值和特征向量。
答案：首先，我们需要求解矩阵A的特征值。
特征值满足方程|A-λI|=0，其中I
是单位矩阵，λ是特征值。
计算可得特征值λ1=15，λ2=-1，λ3=0。
接下来，我们需要求解每个特征值对应的特征向量。
将特征值代入方程(A-
λI)X=0，其中X是特征向量。
计算可得特征向量X1=[1; -2; 1]，X2=[1; 0; -1]，
X3=[1; 1; 1]。
二、微积分
微积分是工程数学的另一个重要内容，也是考研中的常见题型。
常见的微积分
题型包括函数的极限、导数和积分等。
例如，以下是一道关于函数极限的题目：
已知函数f(x) = (2x^2 + 3x - 1)/(x^2 + x - 2)，求lim(x→1)f(x)。
答案：根据极限的定义，我们需要求解lim(x→1)f(x) = lim(x→1)(2x^2 + 3x -
1)/(x^2 + x - 2)。
首先，我们可以通过因式分解得到f(x) = (2x - 1)(x + 1)/(x -
1)(x + 2)。
由于分母(x - 1)(x + 2)在x=1处为0，我们可以通过消去分母的方式来求解极限。
将x=1代入分子(2x - 1)(x + 1)，可得lim(x→1)f(x) = lim(x→1)(2x - 1)(x + 1) = 3。
三、概率论与数理统计
概率论与数理统计是工程数学中的一门重要课程，也是考研中的必考内容。
常
见的题型包括概率计算、随机变量的分布和参数估计等。
例如，以下是一道关于概率计算的题目：
已知事件A和事件B相互独立，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，求P(A∪B)。
答案：由于事件A和事件B相互独立，我们可以利用概率的加法规则来求解
P(A∪B)。
根据加法规则，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
由于A和B相互独立，P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.4 × 0.3 = 0.12。
代入公式可得
P(A∪B) = 0.4 + 0.3 - 0.12 = 0.58。
总结：
工程数学考研题库涵盖了线性代数、微积分、概率论与数理统计等多个领域的
题目。
掌握这些题目的解题方法和答案对于考研的准备非常重要。
希望本文的
介绍能够帮助到正在准备工程数学考研的考生们。
加油！。