(完整版)工程数学习题集复变函数积分变换
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
工程数学(复变函数 积分变换 场论).pdf
积 分
为正向的有向曲线称为 C 反向曲线，记为 C 。 除特
别声明外，有向曲线C 的正向总是指起点到终点的方 向，对一简单闭曲线总是指逆时针方向。
吴新民
-3-
第一节 复变函数积分的概念
定义 设函数 w f (z) 在区域 D 有定义，C 为
D内一条以 A 为起点 B 为终点的光滑的有向曲线，
复 变
k 1
由线积分存在定理得，当 0 上面的两个和式的极
函
数 限都是存在的，且有
的
积 分
f (z)dz udx vdy i vdx udy (3.1.2)
C
C
C
(3.1.2) 表明：
1）当 f (z) 是连续函数，C 是光滑曲线，则 f (z)dz
一定存在；
C (z z0 )n 0
三
章 复
r
i
n1
2 (cos(n 1) i sin(n 1) )d
0
0
变
即
函 数 的 积
C
(z
1 z0 )n
dz
2i
0
n1 n1
(3.1.5)
分
吴新民
- 15 -
第一节
三 积分的性质
复变函数积分的概念
1） f (z)dz f (z)dz
(3.1.6)
第
C
C
三 章
2） f (z)dz f (z)dz, ( 为常数) (3.1.7)
C
C
复 变
3） ( f (z) g(z))dz f (z)dz g(z)dz (3.1.8)
函
C
(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)
第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。
一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi,则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 .8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________. 9、设i z 21=，i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____。
10、设4i e 2z π=，则Rez=____________. Im()z = 。
z11、。
方程0273=+z 的根为_________________________________。
12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 . 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________.14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________，虚部=),(y x v _________。
15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部.16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. （ ）2、若z 为纯虚数，则z z ≠. （ ）3、若 a 为实常数，则a a = （ ）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。
《工程数学-复变函数与积分变换》吉林大学数学学院 习题详解
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）高等教育出版社 习题一（P12）1.1 对任何z ，22z z =是否成立？如果是，就给出证明。
如果不是，对哪些z 值才成立？解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+；若22z z =成立，则有22222x y xyi x y -+=+，即222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，解得0y =，即z x =。
所以，对任何z ，22z z =不成立，只对z 为实数时才成立。
1.2 求下列各式的值：（1）5(3)i -； （2）6(1)i +； （3）61- ； （4）13(1)i -。
解：（1）因为632ii eπ--=，所以5555566631(3)223232()16(3)22i i i i e e e i i πππ--⨯-⎛⎫-====--=-+ ⎪⎝⎭（2）因为412ii e π+=，所以63663442(1)2288i i i e e e i πππ⨯⎛⎫+====- ⎪⎝⎭（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以()166221cos sin cossin66k k k w i i ππππππ++=-=+=+，其中0,1k =；即031cossin6622w i i ππ=+=+，1cos sin 22w i i ππ=+=， 25531cossin 6622w i i ππ=+=-+，37731cos sin 6622w i i ππ=+=--，433cossin 22w i i ππ=+=-，5111131cos sin 6622w i i ππ=+=-。
（4）因为12cos()sin()44i i ππ⎡⎤-=-+-⎢⎥⎣⎦，所以11362244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,1,2k =；即1602cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，161772cos sin1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，162552cos sin 44w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。
复变函数与积分变换习题答案
复变函数与积分变换习题答案习题六1. 求映射1w z=下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：222211i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221x x u x y ax a===+,所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a=. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y ==-++ 222222x y kxu v x y x y x y ==-=-+++ v ku =-故1w z=将y kx =映成直线v ku =-.2. 下列区域在指定的映射下映成什么？（1）Im()0,(1i)z w z >=+；解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,.20.u x y v x y u v y =-=+-=-<所以Im()Re()w w >.故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0=. 解：设z =x +i y , x >0, 0i i i(i )i x y y x w z x iy x y x y x y -====+++++ Re(w )>0. Im(w )>0. 若w =u +i v , 则2222,u vy x u v u v==++ 因为0221101,()22u u v u v <<-+>+ 故i w z =将Re(z )>0, 00,Im(w )>0, 1212w > (以（12,0）为圆⼼、12为半径的圆)3. 求w =z 2在z =i 处的伸缩率和旋转⾓，问w =z 2将经过点z =i 且平⾏于实轴正向的曲线的切线⽅向映成w 平⾯上哪⼀个⽅向？并作图.解：因为w '=2z ,所以w '(i)=2i , |w '|=2, 旋转⾓arg w '=π2. 于是, 经过点i 且平⾏实轴正向的向量映成w 平⾯上过点-1，且⽅向垂直向上的向量.如图所⽰.→4. ⼀个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转⾓的不变性？映射w =z 2在z 平⾯上每⼀点都具有这个性质吗？答：⼀个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w =z 2在z =0处导数为零，所以在z =0处不具备这个性质.5. 求将区域06. 试求所有使点1±不动的分式线性变换. 解：设所求分式线性变换为az bw cz d+=+(ad -bc ≠0)由11-→-.得 1a bb acd c d-+-==+--+ 因为(1)a z c dw cz d ++-=+,即(1)(1)1a z c z w cz d++++=+,由11→代⼊上式，得22a ca d c d+=?=+. 因此11(1)(1)d cd cd c w z z cz d z +++=+=+?++ 令dq c =，得 1(1)(1)/()(1)(1)11(1)(1)/()2(1)(1)1w z q z q z q z a w z q z q z q z +++++++===?-+++---- 其中a 为复数.反之也成⽴，故所求分式线性映射为1111w z a w z ++=?--， a 为复数.7. 若分式线性映射，az bw cz d+=+将圆周|z |=1映射成直线则其余数应满⾜什么条件？解：若az b w cz d +=+将圆周|z |=1映成直线，则dz c=-映成w =∞. ⽽dz c=-落在单位圆周|z |=1,所以1d c -=,|c |=|d |.故系数应满⾜ad -bc ≠0,且|c |=|d |.8. 试确定映射，11z w z -=+作⽤下，下列集合的像. (1) Re()0z =; (2) |z |=2; (3) Im(z )>0. 解：(1) Re(z )=0是虚轴，即z =i y 代⼊得. 22222i 1(1i )12i i 1111y y y yw y y y y ----+===+?++++ 写成参数⽅程为2211y u y -+=+， 221yv y =+, y -∞<<+∞. 消去y 得，像曲线⽅程为单位圆,即u 2+v 2=1.(2) |z |=2.是⼀圆围，令i 2e ,02πz θθ=≤≤.代⼊得i i 2e 12e 1w θθ-=+化为参数⽅程.354cos u θ=+ 4sin 54cos u θθ=+ 02πθ≤≤ 消去θ得，像曲线⽅程为⼀阿波罗斯圆.即22254()()33u v -+=(3) 当Im(z )>0时，即11Im()011w w z w w ++=-?<--, 令w =u +i v 得221(1)i 2Im()Im()01(1)i (1)w u v v w u v u v +++-==<--+-+.即v >0,故Im(z )>0的像为Im(w )>0.9. 求出⼀个将右半平⾯Re(z )>0映射成单位圆|w |<1的分式线性变换. 解：设映射将右半平⾯z 0映射成w =0，则z 0关于轴对称点0z 的像为w =∞，所以所求分式线性变换形式为00z z w k z z -=?-其中k 为常数.⼜因为00z z w k z z -=?-,⽽虚轴上的点z 对应|w |=1,不妨设z =0，则i 00||1e ()z z w k k k z z θθ-=?==?=∈-R故000e (Re()0)i z z w z z z θ-=?>-.10. 映射e 1i z w zαα-=?-?将||1z <映射成||1w <,实数?的⼏何意义显什么？解：因为2i i 22(1)()()1||()e e (1)(1)z z w z z z ?αααααα-----'=?=?-?- 从⽽2i i 2221||1()e e (1||)1||w ?αααα-'=?=?-- 所以i 2arg ()arg e arg (1||)w ?αα?'=-?-= 故?表⽰i e 1z w zθαα-=?-在单位圆α处的旋转⾓arg ()w α'.11. 求将上半平⾯Im(z )>0,映射成|w |<1单位圆的分式线性变换w =f (z )，并满⾜条件(1) f (i)=0, arg (i)f '=0; (2) f (1)=1, f.解：将上半平⾯Im(z )>0, 映为单位圆|w |<1的⼀般分式线性映射为w =k z z αα-?-(Im(α)>0). (1) 由f (i)=0得α=i ，⼜由arg (i)0f '=,即i 22i()e (i)f z z θ'=?+,πi()21(i)e 02f θ-'==，得π2θ=，所以ii iz w z -=?+. (2) 由f (1)=1,得k =11αα--；由f ,得k α联⽴解得w =12. 求将|z |<1映射成|w |<1的分式线性变换w =f (z)，并满⾜条件： (1) f (12)=0, f (-1)=1. (2) f (12)=0, 12πarg ()2f '=, (3) f (a )=a , arg ()f a ?'=.解：将单位圆|z |<1映成单位圆|w |<1的分式线性映射，为i e1z w zθαα-=-?, |α|<1.(1) 由f (12)=0，知12α=.⼜由f (-1)=1，知 1i i i 2121e e (1)1e 1π1θθθθ--?=-=?=-?=+.故12221112zz z w z --=-?=--. (2) 由f (12)=0，知12α=，⼜i 254e (2)z w z θ-'=?- i 11224π()earg ()32f f θθ''=?==，于是π21i 2221e ()i 12zz z w z--==?--. (3) 先求=()z ξ?，使z =a 0ξ→=，arg ()a ?θ'=,且|z |<1映成|ξ|<1. 则可知 i =()=e 1z a z a zθξ?-?-?再求w =g (ξ)，使ξ=0→w =a , arg (0)0g '=,且|ξ|<1映成|w |<1. 先求其反函数=()w ξψ,它使|w|<1映为|ξ|<1,w =a 映为ξ=0，且arg ()arg(1/(0))0w g ψ''==,则=()=1w aw a wξψ--?.因此，所求w 由等式给出.i =e 11w a z aa w a zθ--?-?-?.13. 求将顶点在0，1，i 的三⾓形式的部映射为顶点依次为0，2，1+i 的三⾓形的部的分式线性映射.解：直接⽤交⽐不变性公式即可求得02w w --∶1i 01i 2+-+-=02z z --∶i 0i 1--2w w -.1i 21i +-+=1z z -.i 1i- 4z(i 1)(1i)w z -=--+.14. 求出将圆环域2<|z |<5映射为圆环域4<|w |<10且使f (5)=-4的分式线性映射. 解：因为z=5,-5,-2,2映为w=-4,4,10,-10,由交⽐不变性，有2525-+∶2525---+=104104-+--∶104104+- 故w =f (z )应为55z z -+∶2525---+=44w w +-∶104105+- 即 44w w +-=55z z --+20w z=-.讨论求得映射是否合乎要求，由于w =f (z )将|z |=2映为|w |=10，且将z =5映为w =-4.所以|z |>2映为|w |<10.⼜w =f (z )将|z |=5映为|w |=4，将z =2映为w =-10，所以将|z |<5映为|w |>4，由此确认，此函数合乎要求.15.映射2w z =将z 平⾯上的曲线221124x y ??-+= ??映射到w 平⾯上的什么曲线？解：略.16. 映射w =e z将下列区域映为什么图形. (1) 直线⽹Re(z )=C 1,Im(z )=C 2;(2) 带形区域Im(),02πz αβαβ<<≤<≤; (3) 半带形区域Re()0,0Im(),02πz z αα><<≤≤.解：（1）令z =x +i y , Re(z )=C 1, z =C 1+i y 1i =e e Cyw ??, Im(z )=C 2,则z =x +i C 22i =e e C x w ??故=e zw 将直线Re(z )映成圆周1e Cρ=；直线Im(z )=C 2映为射线2C ?=.（2）令z =x +i y ，y αβ<<,则i i =e ee e ,z x yx y w y αβ+==?<<故=e zw 将带形区域Im()z αβ<<映为arg()w αβ<<的⾓为βα-的⾓形区域. （3）令z =x +i y ，x >0，0 i =e e e (0,0)e 1,0arg z x yx w x y w αα=?><<<故=e zw 将半带形区域Re(z )>0,01, 0arg w α<<(02πα≤≤).17. 求将单位圆的外部|z |>1保形映射为全平⾯除去线段-1w z=将|z |>1映为|w 1|<1,再⽤分式线性映射. 1211i 1w w w +=-?-将|w 1|<1映为上半平⾯Im(w 2)>0, 然后⽤幂函数232w w =映为有割痕为正实轴的全平⾯，最后⽤分式线性映射3311w w w -=+将区域映为有割痕[-1,1]的全平⾯. 故221121132222132111111i 1111111()11211i 1111z z z z w w w w w z w w z w w ++--?- ? ?----=====+++?? ++-?++ ? ?--.18. 求出将割去负实轴Re()0z -∞<≤,Im(z )=0的带形区域ππIm()22z -<<映射为半带形区域πIm()πw -<<,Re(w )>0的映射.解：⽤1e zw =将区域映为有割痕(0,1)的右半平⾯Re(w 1)>0；再⽤1211ln1w w w +=-将半平⾯映为有割痕(-∞,-1]的单位圆外域；⼜⽤3w =⾯；再⽤43ln w w =将区域映为半带形00；最后⽤42i πw w =-映为所求区域，故e 1ln e 1z z w +=-.19. 求将Im(z )<1去掉单位圆|z |<1保形映射为上半平⾯Im(w )>0的映射. 解：略.20. 映射cos w z =将半带形区域00保形映射为∞平⾯上的什么区域. 解：因为 1cos ()2iz iz w z e e -==+ 可以分解为w 1=i z ，12e ww =，32211()2w w w =+由于cos w z =在所给区域单叶解析，所以（1） w 1=i z 将半带域旋转π2，映为0w =将区域映为单位圆的上半圆部|w 2|<1,Im(w 2)>0. （3） 2211()2w w w =+将区域映为下半平⾯Im(w )<0.。
工程数学-复变函数与积分变换吉林大学数学学院习题详解
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）高等教育出版社 习题一（P12）对任何z ，22z z =是否成立如果是，就给出证明。
如果不是，对哪些z 值才成立解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+；若22z z =成立，则有22222x y xyi x y -+=+，即222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，解得0y =，即z x =。
所以，对任何z ，22z z =不成立，只对z 为实数时才成立。
求下列各式的值：（1）5)i ； （2）6(1)i +； （3； （4）13(1)i -。
解：（162ii eπ-=，所以555556661)223232())2i i i i e e e i i πππ--⨯-⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭（2）因为41ii e π+=，所以63663442(1)288i i i e e e i πππ⨯⎫+====-⎪⎭（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以()1622cos sin cossin66k k k w i i ππππππ++==+=+，其中0,1,2,3,4,5k =；即01cossin6622w i i ππ=+=+，1cos sin 22w i i ππ=+=，2551cossin 662w i i ππ=+=+，3771cos sin 662w i i ππ=+=-，433cossin 22w i i ππ=+=-，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。
（4）因为1cos()sin()44i i ππ⎤-=-+-⎥⎦，所以11362244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,1,2k =；即1602cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，161772cos sin1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，162552cos sin 44w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
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第1次 复变函数（1）一、填空题。
1. 设(1)(2)(3)(3)(2)i i i z i i +--=++，则z =__________ 2.设z =, 3arg()4z i π-=,则z=________________ 3. 不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线_______________的内部。
4. 复数i 31-的三角表达式为 二、请计算i +1的值。
三、已知21z z 和是两个复数，证明)Re(2212221221z z z z z z ++=+四、下列坐标变换公式写成复数形式；1） 平移公式：1111x x a y y b =+⎧⎨=+⎩，2）旋转公式：1111cos sin sin cos x x y y x y αααα=-⎧⎨=+⎩五、指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围，并作图。
1）56z -=； 2）21z i +≥；3)314z z +++=。
4)312z z -≥-六、将下列方程（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出：1）(1)z t i =+； 2）t ib t a z sin cos += (b a ,为实常数)3）22i z t t=+。
4) it it z ae be -=+第2次 复变函数（2）一、填空题1. 241lim (12)z i z z →+++=________________ 2. 由映射2)(z z f =得到的两个二元实函数=),(y x u =),(y x v . 3. 函数zz z f =)( 在0→z 时极限为 4. 已知映射3z =ω, 则点i z =在该映射下在ω平面的象为 二、对于映射11()2w z z =+，求出圆周|z|=4的像。
三、函数1w z =把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎样的曲线？ 1）224x y +=； 2） y x =。
3) 1x =。
4) 22(1)1x y -+=.四、设函数()f z 在0z 连续且0()0f z ≠，那么可找到0z 的小邻域，在这邻域内()0f z ≠。
五、设1()(),(0)2z z f z z i z z=-≠. 试证当0z →时()f z 的极限不存在。
*六、设0lim ()z z f z A →=，证明函数()f z 在0z 的某一去心邻域内是有界的，即存在一个实常数0>M ，使在0z 的某一去心邻域内有()f z M ≤.第三次 解读函数（1）一、填空题1.设2.导函数在区域D 解读的充要条件为 3.设4. 已知函数52)2()(i z z f +=，则该函数的导数为二、讨论下面函数的可导性，如果可导，求出)(/z f .1） 22)(iy x z f +=2） )Im()(z z z f =三 如果是的解读函数，证明四、设为解读函数，试确定，，的值.五、证明柯西–黎曼方程的极坐标形式为.*六、设的解读函数，若记第四次 解读函数（2）一、填空题1） =212） i i 主值是.3） =->-ze z z 1lim 0 4） 函数)Re()Im()(z z z zf -=仅在点=z 处可导.5) 若函数)()(by x i ay x z f +++=在复平面上解读，则=a b =二、求出下列全部解；(1)；(2).三．解方程四、证明：当∞→y 时，趋于无穷大.五、求)3(i Ln -,)43(i Ln +-和它们的主值.六. 求，exp [(1+)/4]，和i i )1(+的值.第五次 复积分的概念、柯西－古萨定理一、填空题1） 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰c dz z _2__________。
2）设c 是椭圆2214y x +=，则dz z z C ⎰+2sin 。
3）设c 是i z e θ=，θ从π-到π的一周，则Re()cz dz =⎰。
4）设c 为正向圆周3=z ，则dz z z z c ⎰+_＝__________。
二、沿原点路线计算积分⎰+idz z 302（1） 自原点至3+i 的直线段；（2） 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至3+i ；（3） 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至3+i 。
三、求积分23C z dz ⎰的值，其中C 为：（1）从1i +到34i -的直线段；（2）圆周11z i --=的正向。
四、 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？C 是正向单位圆周1=z 。
（1）⎰++c z z dz 422（2）⎰-c z dz 21（3）dz ze c ⎰2（4）()⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛-c z i z dz 22五、证明2sin 2C z dz e z π≤⎰，其中C 是单位圆1z =的一周。
六、计算积分dz z z ⎰=--11211*七、设()f z 在原点的某邻域内连续，试证明200lim ()2(0)i r f re d f πθϕπ→=⎰第六次 复合闭路定理 原函数与不定积分柯西积分公式一、填空题：1 设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰dz i z e cz5)(π__________。
2 设c 为正向圆周1z =，则2cos 2231C z dz z z π++⎰__________。
3 积分20cos i z z dz π⎰的值为。
4 积分32i z ie dz ππ-⎰=。
5 设c 为正向圆周5z =，则23123C z dz z z ---⎰的值为__________。
二、沿指定曲线的正向计算下列积各积分(1);:,22a a z c a z dz c =--⎰ （2） .1:,5=⎰z c dz z e c z（3） 2,:3;(1)c dz c z z z =-⎰ （4） 2sin ,:22;9czdz c z i z -=+⎰三、 计算下列函数沿正向圆周的积分（1）,2314dz i z z c ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+++其中c ：4=z ；（2）,122dz z i c ⎰+其中 61:=-z c四、 计算积分2sin 4,1c z dz z π-⎰其中C 分别为： 1(1)12z -=； 1(2)12z +=； (3) 2.z =五、 计算下列各题（1）⎰10;sin zdz z （2）21(2)i iz dz +⎰*六、求积分,1dz z e z z⎰=从而证明πθθπθ=⎰d e )cos(sin 0cos第七次 高阶导数公式 解读函数与调和函数的关系一 填空题1）、设)(z f ＝ξξξπξd z ⎰=-2)2sin(，其中,2≠z 则=)3('f __________。
2）、设C 为负向圆周4=z ，则=-⎰dz i z e c z5)(π__________。
3）、设C 为任意实常数，那么由调和函数22u x y =-确定的解读函数()f z u iv =+是。
4）、若函数32(,)u x y x axy =+为某一解读函数的虚部，则常数a =。
二 计算下列积分（1）,cos 213dz z z c c c ⎰+=其中2:1=z c 为正向，3:2=z c 为负向；（2）2221,:2;(1)c z z dz c z z -+=-⎰（3）331,(1)(1)c dz z z -+⎰其中C 为复平面内不过1±的一条正向简单闭曲线。
三 下列各已知调和函数求解读函数()vi u z f +=(1) ()();422y xy x y x u ++-= (2) ();02,22=+=f yx y v四、证明2222,x u x y v x y =+=+都是调和函数，但是()f z u iv =+不是解读函数。
五、设,sin y ev px =求p 的值使v 为调和函数，并求出解读函数()iv u z f +=。
六、计算积分dz z C ⎰+21的值，并由此计算0cos 45cos 210=++⎰θθθπd第八次 复数项级数 幂级数一、填空题（1）若幂级数0()n nn c z i ∞=+∑在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的敛散性为。
（2）幂级数210(2)n n n i z∞+=∑的收敛半径R =。
（3）极限2lim 1n n ni ni→∞+=-。
（4）幂级数0(1)n n n z∞=+∑的和函数为。
二、下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限。
1）n n ia -+=)21(；2）1)1(++-=n i a n n ； 3）sin n i n a n =三、判别下列级数的绝对收敛性与收敛性。
1）∑∞=+08)56(n n n i ； 2）∑∞=02cos n n in3）02sin nn in ∞=∑；四、求下列幂级数的收敛半径。
1）∑∞=12)!(n n n z nn ； 2）∑∞=1/n n n i z e π ；3）1(1)n n n i z ∞=-∑； 4）21(34)n n n i z ∞=+∑五、把下列各函数展开成z 的幂函数，并指出它们的收敛半径。
1）311z +； 2）22)1(1z +；*六、求2(1)(2)n n n n i +∞-=-∑的值。
第九次 泰勒级数 洛朗级数一、填空题（1）函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为（2）函数zz e e 1+在+∞<<||0z 内的洛朗展开式为 （3）函数sin z e 在0=z 处泰勒展开式的收敛半径为（4）设1(1),11(1)n n n a z z z z +∞=-∞=-->-∑，则3a -= （5）函数1()z z i -在1z i <-<+∞内的洛朗展开式是 二、求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： 1）1,110=+-z z z ； 2）2,)2)(1(0=++z z z z ；3）1,102-=z z ； 4）i z z +=-1,3410三、把下列各函数在指定的圆环域内展开成罗朗级数。
1）1,0||1;2|2|(1)(2)z z z z z <<<-<+∞--；2）21,1||323z z z <<--3）1|1|0;1||0,)1(12<-<<<-z z z z ；四、设C 为正向圆周3z =，利用洛朗级数展开式计算下列积分： 1）21(1)C dz z z +⎰； 2）(1)(2)C z dz z z ++⎰。
第十次 留数（1）一、填空题：1． 设0z =为函数22sin z z -的m 级零点，那么m =2． 如果0z 是()f z 的(1)m m >级零点，那么0z 是()f z '的级零点。