复变函数与积分变换 学习笔记
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
复变函数与积分变换公式笔记
复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数1. 任何一个复数 z ≠0 有无穷多个辐角，如θ1是辐角，则有Arg z = 1+2kπ (k =0,±1,±2,…)表示 z 的全部辐角，其中满足-π＜ 0≤π的辐角 0称为辐角 Argz 的主值， 记为 0=arg z . 2. 棣莫弗公式：（cosθ + sinθ) =cosnθ + sin θ1. 柯西–黎曼方程：第二章 解析函数∂= ∂，∂= −∂ ∂∂∂∂2. 如果二元实函数 ( , )在区域 D 内有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程：∂2 ∂2∂ 2 + ∂ 2 = 0则称 ( , )为区域 D 内的调和函数。
3. 共轭调和函数公式：( , )( , ) = ∫ − ( 0, 0) ∂ ∂d + ∂ ∂d + C其中( 0, 0)为 D 内一个定点，( , )为 D 内任一点，C 为任意常数。
该积分与路径无关。
4. 指数函数的定义5. 指数函数的性质 = + = (cos + sin )2 = 16.ln ,称为 Ln z 的主值，于是有ln = ln | | + arg而其他各支可由下式表达：Ln = ln + 2 ( = ±1, ±2, … )7.余弦函数与正弦函数：cos =sin =8.双曲正弦函数和双曲余弦函数： sh =chz =+ −2 − −2− −2 + −2C C 01. 复积分的计算第三章 复变函数的积分∫ ( )d = ∫ [ ( )] ′( )dC2. 计算：C 为单位圆周| | = 1的上半部分从 1 = 1到 2 = −1的弧。
C 的参数方程为 = (0 ≤ ≤ )，d = d .3. 柯西积分公式：1( 0) = 2 ∮( ) − 0d4. 高阶导数公式:( )∮ C − 0 d = 2 ∙ ( 0)( )(0 !) =2 ( )∮ ( − ) +1d ( = 1,2, ⋯ ).( )∮ d = 2 ( )( ) ( = 1,2, ⋯ ). 0 C( − 0) +1 !1. 幂级数收敛半径公式为第四章级数∞∑=0R = lim ||.2. 幂级数基本展开公式：→∞ +111 −= 1 + + 2 + ⋯ + + ⋯ ，| | < 1； ∞11 += ∑(−1) ，| | < 1； =0 ∞= ∑ =0∞!，| | < +∞；2 +1 sin = ∑(−1) ，| | < +∞；(2 + 1)!=0∞cos = ∑ =0(−1) 2(2 )!，| | < +∞；3. 函数展开结果中可能不含 z 的负幂项，原因在于 ( )在 C 内是解析的。
复变函数与积分变换复习重点
复变函数与积分变换复习重点复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ?≥=+??<=-??；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
《复变与积分变换》讲义笔记【高斯课堂】
高斯课堂系列课程
考点 1.复数的表示、几何意义 2.复数的运算 3.复数的方根
官方公众号：蜂考
课时一 复数
蜂考——大学生备考集训营
重要程度 ★★★★
分值 6 12 34 38
常见题型 选择、填空 选择、填空 计算题、选择、填空
1.复数的表示、几何意义
（1） z x iy
x :实部， Re z
1. i 2 1 2. z x iy , z x iy
3. x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i y1 y2
4. x1 iy1 x2 iy2 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
5.
x1 iy1 x2 iy2
x1 iy1 x2 iy2 x2 iy2 x2 iy2
i 2 1
i3 i
i4 1
i5 i
z100 z75 z50 i425 i4183 i412 2 i0 i3 i2 1 i 1 i
... z1 r1ei1
z2 r2ei2
答案： B
cos 4 i sin 4 2
题 3.
复数
cos 3
i sin 3 3
的指数形式为
1. z1 z2 r1 r2ei12
A. 1
B.
2
C. 4
解： arctan1 4
arg z 4
答案: C
D.
y
4 O
x
i
z
题 2. 数 1 i 3 的指数形式为 22
，三角形式为
解： r z
x2 y2
1 2
2
3 2
2
1
arctan y
x3
3
z
rei
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22z x y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctany z x=； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换总结
复变函数与积分变换总结第一章小结一、复数及运算1.复数及代数运算2复数的几何表示复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定复数的两个概念为：模、辐角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图做出；几何运算：积商的模等于模的积商，幅角等于幅角和差；复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的乘幂及方根时较方便二、复数集概念：邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域三、复变函数1.对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两种方法1参考一元实变函数的研究方法在0连续，且f00，证明必存在0的一个邻域，使得在此邻域内f0f02证明：设imff0，则对任意的0,存在0使得当0时ff0f02f02,因此f0ff02,所以f02转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤1证明复数模的不等式关键步骤：1证明原不等式两端平方后的不等式2利用22.确定平面曲线的复数方程关键步骤：转化为求,满足的方程3确定复数方程对应图形关键步骤：利用复数差模的几何意义；转化为关于,的方程；转化为关于r,将平面上的图形映到w平面上的图形关键步骤：1写出wf对应的两个二元实变函数2的极限及连续性关键步骤：1将wf看成一些简单函数的运算2通过分析这些简单函数对应的两个二元实变函数得到这些简单函数的极限及连续性3利用极限及连续的一些运算法则得到原函数的极限及连续性扩展阅读：复变函数与积分变换重要知识点归纳复变函数复习重点一复数的概念1.复数的概念：i，,是实数,Re,Imi21注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2复数的表示1）模：22；2）幅角：在0时，矢量与轴正向的夹角，记为Arg（多值函数）；主值arg是位于,]中的幅角。
3）arg与arctan之间的关系如下：；当0,argarctan0,argarctan当0,0,argarctan；4）三角表示：coiin，其中arg；注：中间一定是“”号。
复变函数及积分变换重点公式归纳
复变函数及积分变换重点公式归纳复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和函数值都是复数。
复变函数可以表示为两个实变量的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)是实变量的函数。
复变函数的积分变换是指对复变函数进行积分变换，得到新的复变函数。
在复变函数的积分变换中，有一些重要的公式需要归纳，包括：1.度量公式：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其微分形式为dz=dx+idy。
根据度量公式，有dx=\frac{1}{2}(dz+d\bar{z})，dy=\frac{1}{2i}(dz-d\bar{z})。
2.柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，满足柯西-黎曼方程的充要条件是u_x=v_y和u_y=-v_x。
3.柯西-黎曼积分定理：对于一个闭合曲线C，如果复变函数f(z)在C内解析（即在C内柯西-黎曼方程成立），那么有\oint_C f(z)dz=0。
4.柯西积分公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式为\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz=2\pi i f(a)，其中C是D内包围点a 的闭合曲线。
5.柯西积分公式的推广：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式的推广形式为\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^n} dz=2\pi i \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}，其中C是D内包围点a的闭合曲线。
6.柯西积分公式的应用：柯西积分公式可以用于计算复变函数的积分，如计算围道上的积分或者在无穷远处的积分等。
7.柯西主值公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西主值公式为\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PV\frac{1}{2\pii}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PVf(a)+\frac{1}{2}f(a)，其中PV表示柯西主值。
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第二章 解析函数
一、复变函数的导数及微分
1、导数的定义
2、可导与连续
3、求导法则
实变函数的求导法则可以不加更改地推广到复变函数中来
4、微分的概念
与一元实变函数的微分概念完全一致
二、解析函数的概念
1、解析函数的定义
如果函数f （z ）在z 0及z 0的邻域内处处可导，那么称f （z ）在z 0解析。
如果函数f （z ）在区域D 内每一点解析，则称f （z ）在区域D 内解析。
或称f （z ）是区域D 内的一个解析函数（全纯函数或正则函数）
2、奇点的定义
如果函数f （z ）在z 0不解析，那么称z 0为f （z ）的奇点。
根据定义可知，函数在区域内解析和区域内可导是等价的。
但是，函数在一点处解析和一点处可导是不等价的，即在一点处可导，不一定在该点处解析。
函数在一点处解析比在该点处可导的要求高得多。
定理
（1）在区域D 内解析的两个函数f （z ）和g （z ）的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D 内解析。
（2）设函数h=g （z ）在z 平面上的区域D 内解析，函数w=f （h ）在h 平面上的区域G 内解析。
如果对于D 内的每个点z ，函数g （z ）的对应值h 都属于G ，那么复合函数w=f|g （z ）|在D 内解析。
根据定理可知：
（1）所有多项式在复平面内是处处解析的。
（2）任何一个有理分式函数P （z ）/Q （z ）在不含分母为零的点的区域内是解析的，使分母为零的点是它的奇点。
注意：复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上是完全一样的，它们的求导公式与求导法则也一样，然而复变函数极限存在要求与z 趋于零的方式无关，这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多。
第二节、函数解析的充要条件
一、主要定理
定理一：设函数f （z ）=u （x ，y ）+iv （x ，y ）定义在区域D 内，则f （z ）在D 内一点z=x+yi 可导的充要条件是：u （x ，y ）与v （x ，y ）在点（x ，y ）可微，并在该点满足柯西-黎曼方程：∂u ∂x =∂v ∂y ，∂u ∂y =−∂v ∂x 。
根据定理一，可得函数f （z ）=u （x ，y ）+iv （x ，y ）在点z=x+yi 处的导数公式：f ＇（z ）=∂u ∂x +i ∂v ∂x =1i ∂u ∂y +∂v ∂y 。
定理二：函数f （z ）=u （x ，y ）+iv （x ，y ）在其定义域D 内解析的充要条件是：u （x ，y ）
与v （x ，y ）在D 内可微，并满足柯西-黎曼方程。
解析函数的判定方法：
（1）如果能用求导公式与求导法则证实复变函数f （z ）的导数在区域D 内处处存在，则可根据解析函数的定义断定f （z ）在D 内是解析的。
（2）如果复变函数f （z ）=u+iv 中u ，v 在D 内各一阶偏导都存在、连续（因而u ，v （x ，y ）可微）并满足C-R 方程，那么根据解析函数的充要条件可以断定f （z ）在D 内解析。
参照视频内例题可进一步证明：
如果f （z ）在区域D 内解析，则以下条件彼此等价：
（1）f （z ）=恒取实值（2）f ′（z ）=0
（3）| f （z ）|=常数（4）f （z ）̅̅̅̅̅̅̅̅解析
（5）Re 【f （z ）】=常数（6）Im 【f （z ）】=常数
（7）v=u 2（8）arg f （z ）=常数
第三节、初等函数
一、指数函数
1、指数函数的定义
当函数f （z ）在复平面内满足以下三个条件：
（1）f （z ）在复平面内处处解析；
（2）f ′（z ）= f （z ）
（3）当Im （z ）=0时，f （z ）=e x ，其中x=Re （z ）
此函数称为复函数z 的指数函数，记为expz=e x （cos y +i sin y ）（expz 可用e z 来表示，e z 并没有幂的意义）
指数函数的定义等价于关系式：{|expz|=e x
Arg (expz )=y +2kπ
（其中k 为任何整数） 2、加法定理 exp z 1·exp z 2=exp （z 1+z 2）
根据加法定理，可以推出expz 的周期性，expz 的周期是2k πi ，即e z+2kπi =e z ·e 2kπi =e z 。
二、对数函数
1、定义
满足方程e w =z (z ≠0)的函数w=f （z ）称为对数函数，记w=Lnz=ln|z|+iArgz
由于Argz 为多值函数，所以对数函数w=f （z ）也是多值函数，而且每两值相差2πi 的整数倍。
如果将Lnz=ln|z|+iArgz 中Argz 取主值argz ，那么Lnz 为一单值函数，记为lnz ，称为Lnz 的主值
lnz=ln|z|+iargz
其余各值为Lnz=lnz+2k πi （k 为整数），对于每一个固定的k ，上式确定一个单值函数，称为Lnz 的一个分支，特殊地，当z=x>0时，Lnz 的主值lnz=lnx ，是实变数对数函数。
2、性质
（1）Ln （z 1·z 2）=Ln z 1+Ln z 2
（2）Ln z
1z 2= Ln z 1-Ln z 2 （3）在除去负实轴（包括原点）的复平面内，主值支和其他各分支处处连续可导，且（lnz ）′=1z ，（Lnz ）′=1z
三、乘幂a b与幂函数
1、乘幂的定义
设a是一个不为零的复数，b为任意一个复数，乘幂a b定义为e bLna，即a b=e bLna 注意：由于Lna=ln|a|+i（arga+2kπ）是多值的，因而a b也是多值的。
（1）当b为整数时，a b=e bLna=e b[ln|a|+i（arga+2kπ）]=e blna，具有单一的值。
（2）
特殊情况：
2、幂函数的解析性
四、三角函数和双曲函数（第七讲）。