函数的基本性质练习(含答案)

函数的基本性质练习(含答案)基础训练A组1.若函数f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)，代入函数f(x)，得到：m-1)x^2+(m-2)x+(m^2-7m+12) = (m-1)(-x)^2+(m-2)(-x)+(m^2-7m+12)化简得到：(m-1)x^2+(m-2)x+(m^2-7m+12) = (m-1)x^2-(m-2)x+(m^2-7m+12)移项得到：4x=0，因此m=2，选B。

2.偶函数在[-∞,-1]上是增函数，说明在[1,+∞)上也是增函数，因此f(-3/2)<f(-1)<f(2)，选A。

3.因为f(x)是奇函数，所以在[-7,-3]上也是增函数，最小值为-5，因此选A。

4.F(x) = f(x) - f(-x)，代入f(-x)得到：F(x) = f(x) - (-f(x)) = 2f(x)因此F(x)是偶函数，选B。

5.对于y=x，有y'=1>0，在(0,1)上是增函数，选A。

6.化简得到f(x)=-x^2+x，因此在[0,1]上是减函数，但f(-x)=-f(x)，因此是奇函数，选B。

填空题1.因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，不等式化简得到f(x)<0，解为(-5,0)U(0,5)。

2.值域为(-∞,+∞)，因为2x+x+1可以取到任意大的值。

3.y=x+1，因此值域为(1,2]。

4.f(x)的导数为2(k-2)x+(k-1)，当x(k-1)/(2(k-2))时导数小于0，因此f(x)的递减区间为(-∞,-(k-1)/(2(k-2)))U((k-1)/(2(k-2)),+∞)。

5.命题(1)和(2)正确，命题(3)和(4)错误，因此正确的命题个数为2.解答题1.一次函数y=kx+b的单调性取决于k的符号，当k>0时单调递增，当k0时单调递减，当k0时开口向上，单调递增，当a<0时开口向下，单调递减。

2.因为定义域为(-1,1)，所以f'(x)=2x-1<0当x<1/2时，f(x)单调递减，因此f(x)在(-1/2,1/2)上取得最大值，最小值为f(1)=3.x0时，f(x)为正数。

因为f(x)是奇函数，所以当x0时，f(x)的值域为正实数区间，即f(x)>0.因为f(x)在定义域上单调递减，所以f(1-a)+f(1-a^2)a，即a1.3．对于函数y=x+1+2x，由于x的系数是正数，所以y随着x的增加而增加，即y为单调递增函数。

因此，值域为y的定义域的最小值到最大值，即y的值域为[2,正无穷)。

4．当a=-1时，f(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1，所以最小值为1，无最大值。

当f(x)在[-5,5]上为单调函数时，f'(x)=2x+2a，因为f(x)为减函数，所以f'(x)f(5)，即25-10a+2>25+10a+2，解得a3.二、填空题1．函数f(x)=x(x-1)的单调递减区间是(负无穷,1)和(1,正无穷)。

2．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)为正数。

因为f(x)是奇函数，所以当x0时，f(x)的值域为正实数区间，即f(x)>0.因此，f(x)的值域为(-正无穷,0)和(0,正无穷)。

1．已知函数f(x)=x+a-x-a(a≠0)，h(x)={-x+x2(x>0)，则f(x)为奇函数，h(x)为偶函数。

2．根据偶函数的性质，f(-x)=f(x)，又在[1,∞)上f(x)为减函数，所以f(-3)>f(1)，即f(-3)>f(5)。

根据奇函数的性质，f(a2+2a+5)=f(-(a2+2a+5))，又f(x)为减函数，在(-∞,-1]上单调递减，所以f(a2+2a+5)<f(-1)，即f(a2+2a+5)<f(1)。

综上所述，选项B正确。

3．y=x2+2(a-2)x+5在区间(4,∞)上是增函数，即当x>2-a 时，y单调递增。

因此，当x>2-a时，有x2+2(a-2)x+5>4a-7.又因为y为二次函数，其开口向上，所以a-2>0，即a>2.综上所述，选项C正确。

4．由奇函数的性质，f(-3)=-f(3)，又f(3)为正数，所以f(-3)为负数。

又因为f(x)在(0,∞)上是增函数，所以当x0，或x>0且f(x)<0.综上所述，选项B正确。

y的最小值为46.C二、填空题1.f(x)=-x(1-3x)。

当x(,0)时f(x)=x(1+3x)2.a>0,b<2-a3.f(1)+f(2)+f(4/3)+f(3)+f(8/5)+f(4)+f(16/13)=5/24.a=1/35.(-1,1]6.a=3/2三、解答题1.(1) f(x)单调递增，所以f(1)为最小值，即f(1)f(1)对于所有x>1成立。

所以f(x)>f(1)对于所有x成立。

2) 将f(x)改写为f(x)=x^3+x^3+1，即f(x)为两个奇次幂的和，所以f(x)为偶函数，即f(x)=f(-x)。

所以原不等式可以改写为f(x)+f(3-x)≥-2，即2x^3-3x^2+2≥-2，解得x(x-1)^2≥0，即x∈(-∞,0]∪[1,+∞)。

2.设g(x)=f(x)-x，即g(x)=x/(x+1)-x=(x^2-x)/(x+1)，则g(x)在[0,1]上单调递减，所以g(0)=0，g(1)=1/2-1/2=0，所以g(x)在[0,1]上恒为0，即f(x)=x。

3.f(x)=(x+1)/(x+2)，设g(x)=f(x)-1，即g(x)=x/(x+2)，则g(x)为奇函数，且g(xy)=g(x)+g(y)，所以g(x)=log|x+2|，所以f(x)=log|x+2|+1.4.设f(x)=-4x^2+4ax-4a-a^2，则f'(x)=-8x+4a，令f'(x)=0，得x=a/2，代入f(x)得f(a/2)=-a^2/4.又因为f(x)在[0,1]上有最大值-5，所以f(0)=-a^2-4a-4≤-5，解得a∈(-∞,-5]∪[-1,∞)。

又因为f(x)在[0,1]上有最大值-5，所以a>0，所以a∈(-∞,-5]∪(0,1/2]。

5.设f(x)=x/(x+2)，则f'(x)=2/(x+2)^2>0，所以f(x)在(0,1]上单调递增，所以f(1)=1/3，所以x的最大值不大于3/2，又因为f(x)在(0,3/2]上单调递增，所以f(3/2)=3/5，所以f(8/5)=8/13，所以f(16/13)=16/29，所以x的最大值不大于16/13.所以x的最大值不大于16/13.6.设f(x)=lnx，则f(xy)=ln(xy)=lnx+lny=f(x)+f(y)，又因为f(1)=0，所以f(x)满足条件。

所以f(x)=lnx。

设g(x)=f(x)/x，则g(xy)=f(xy)/xy=ln(xy)/(xy)=lnx/x+lny/y=g(x)+g(y)，又因为g(1)=1，所以g(x)满足条件，所以g(x)=lnx/x，所以f(x)=xlnx。

所以f(2)+f(3)=2ln2+3ln3，f(4)+f(6)=4ln4+6ln6，所以f(1)+f(2)+f(4/3)+f(3)+f(8/5)+f(4)+f(16/13)=5/2.6.经过调整和改写后：Af(-x) = x(-x-1--x+1) = x(x+1-x-1) = -f(x)f(x) =2x。

x>=1 or x<-12x。

0<=x<12x。

x<=-1f(x)是一个奇函数，并且是一个减函数。

二、填空题1.yXXX22.2-1,3]这个函数是一个增函数，当自变量最小时，函数值最小；当自变量最大时，函数值最大。

3.2.+∞)4.f(x) =kx^2 + 3.k-1<=x<kkx^2.k<=x<k+1这个函数由离散的点和两个不同的抛物线的两部分组成，不是一个抛物线。

5.1) 不存在2) 函数是一个特殊的映射3) 这个图像由三段直线组成三、解答题1.当k>0时，y=kx+b在R上是一个增函数；当k<0时，y=kx+b在R上是一个减函数。

当k>0时，在(-∞,0)和(0,+∞)上是一个减函数；当k<0时，在(-∞,0)和(0,+∞)上是一个增函数。

2.1) a=-1这个函数在[-2a。

+∞)上是一个减函数，在(-∞,-2a]上是一个增函数。

2) a>0这个函数在[-b/2a。

+∞)上是一个增函数，在(-∞,-b/2a]上是一个减函数。

3) a<0这个函数在(-∞,-b/2a)上是一个增函数，在[-b/2a。

+∞)上是一个减函数。

3.2x+1>=0.x>=-1/2所以y∈[-1.+∞)4.1)当x=1时，f(x)取到最小值1.2)对称轴是x=-a，所以当-a<=x<=a时，f(x)取到最小值0.当x=a时，f(x)取到最大值2a^2+2b+c。

2.0<y≤2，当x=1时，y=4.对称轴为x=1-a，1-a≥4，a≤-3.关于x轴对称，开口向下，递增区间为[-1,0]和[1,+∞)，对应法则不同。

A：（1）反例为f(x)=1；（2）a不一定大于0，开口向下也可以；（3）画出图像可知，递增区间有4个，对应法则不同。

B刚开始离学校最远，取最大值，先跑步，图像下降得快。

填空题：1.(-∞,-2)U(0,∞)2.图像在第二象限和第四象限，开口向下，对称轴为y=0，顶点为(0,11/2)。

3.f(x)=1/(x^2-1)，g(x)=x/(x^2-1)。

解答题：1.(1)定义域为[-1,0)∪(0,1]，且f(-x)=-f(x)，为奇函数。

(2)f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，即f(x)既是奇函数又是偶函数。

2.(1)设x1>x2，则x1-x2>0，而f(a+b)=f(a)+f(b)，f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)<f(x2)，即函数y=f(x)是R上的减函数；(2)由f(a+b)=f(a)+f(b)得f(x-x)=f(x)+f(-x)，即f(x)+f(-x)=f(0)，而f(0)=1，故f(-x)=1/f(x)，即函数y=f(x)是偶函数。

3.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=1/(x-1)，则f(-x)+g(-x)=1/(-x-1)，即f(x)-g(x)=-2/(x+1)，故f(x)=1/x^2-1，g(x)=x/(x^2-1)。

解析：1) 当a=0时，f(x)=x^2+|x|+1为偶函数，当a≠0时，f(x)=x^2+|x-a|+1为非奇非偶函数；2) 当x1/2时，f(x)=f(1/2)=a+3/4，当a≤1/2时，f(x)不存在；当x≥a时，f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a/4，当a>-1/2时，f(x)min=f(a)=a+1，当a≤-1/2时，f(x)min=f(-2)=-a+1/4.1) 当a=0时，函数f(x)=x^2+|x|+1是偶函数；当a≠0时，函数f(x)=x^2+|x-a|+1不是奇函数也不是偶函数。