新教材高中数学4函数的奇偶性与简单的幂函数4-2简单幂函数的图象和性质课后习题北师大版必修第一册

4.2 简单幂函数的图象和性质A级必备知识基础练1.函数y=3xα-2的图象过定点()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.f(x)=x-1B.f(x)=x-2C.f(x)=x3D.f(x)=x 1 23.(多选题)下列说法错误的是()A.幂函数的图象不经过第四象限B.y=x0的图象是一条直线C.若函数y=1x 的定义域为{x|x>2},则它的值域为y y<12D.若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}4.当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是()A.(0,1)B.(-∞,0)C.(-∞,1)D.(1,+∞)5.幂函数y=x m与y=x n在第一象限内的图象如图所示,则()A.-1<n<0<m<1B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1D.n<-1,m>16.若(a+1)13<(3-2a)13,则a的取值范围是.7.已知幂函数f(x)=x m2-2m-3(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m= .8.已知函数y=(a2-3a+2)x a2-5a+5(a为常数).(1)当a为何值时,此函数为幂函数?(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?B 级关键能力提升练9.(多选题)已知函数f (x )=x α的图象经过点(4,2),则下列结论正确的有( ) A.函数f (x )为增函数 B.函数f (x )为偶函数 C.若x>1,则f (x )>1 D.若0<x 1<x 2,则f(x 1)+f(x 2)2<fx 1+x 2210.已知函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,若a ,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断11.已知幂函数f (x )=mx n的图象过点(√2,2√2),设a=f (m ),b=f (n ),c=f (-2),则( ) A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<aD.a<b<c12.(多选题)已知实数a ,b 满足等式a 12=b 13,则下列关系式可能成立的是( ) A.0<b<a<1 B.-1<a<b<0 C.1<a<bD.a=b13.已知幂函数f (x )=(m-1)2x m 2-4m+2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x-k.(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.14.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)x m+1为偶函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.C级学科素养创新练15.已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈Z,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.(2)若函数F(x)=2f(x)-4x+3在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.],若存在, (3)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为[-4,178求出q的值;若不存在,请说明理由.4.2 简单幂函数的图象和性质1.A2.C3.BCD 对于A,由幂函数的图象知,它不经过第四象限,所以A 对;对于B,因为当x=0时,x 0无意义,即在x=0无定义,所以B 错;对于C,函数y=1x 的定义域为{x|x>2},则它的值域为y 0<y<12,不是y y<12,所以C 错;对于D,定义域不一定是{x|-2≤x ≤2},如{x|0≤x ≤2},所以D 错.故选BCD .4.C 由幂函数的图象特征知α<1.5.B 由于y=x m在区间(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0<m<1.由于y=x n在区间(0,+∞)上单调递减,且在直线x=1的右侧时,y=x n的图象在y=x -1的图象的下方,故n<-1.故选B . 6.(-∞,23) 因为函数f (x )=x 13的定义域为R ,且为增函数,所以a+1<3-2a ,解得a<23. 7.1 因为幂函数f (x )=x m2-2m -3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称,所以函数f (x )是偶函数,所以m 2-2m-3为偶数.又因为f (x )在第一象限内单调递减,所以m 2-2m-3<0,即-1<m<3,又m ∈Z ,所以m=1. 8.解(1)由题意知a 2-3a+2=1,即a 2-3a+1=0, 解得a=3±√52. (2)由题意知{a 2-5a +5=1,a 2-3a +2≠0,解得a=4.(3)由题意知{a 2-5a +5=-1,a 2-3a +2≠0,解得a=3.9.ACD 因为函数f (x )=x α的图象经过点(4,2), 所以α=12.所以f (x )=x 12.显然f (x )在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A 正确;f (x )的定义域为[0,+∞),所以f (x )不具有奇偶性,所以B 不正确;当x>1时,√x >1,即f (x )>1,所以C 正确; 当0<x 1<x 2时,f(x 1)+f(x 2)22-[f(x 1+x 22)]2=√x 1+√x 222-(√x 1+x 22)2=x 1+x 2+2√x 1x 24−x 1+x 22=2√x 1x 2-x 1-x 24=-(√x 1-√x 2)24<0. 即f(x 1)+f(x 2)2<fx 1+x 22成立,所以D 正确.10.A 由已知函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,函数f (x )单调递增,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .11.B 幂函数f (x )=mx n的图象过点(√2,2√2),则{m =1,(√2)n =2√2⇒{m =1,n =3,所以幂函数的解析式为f (x )=x 3,且函数f (x )单调递增.又-2<1<3,所以f (-2)<f (1)<f (3),即c<a<b ,故选B .12.ACD 画出函数y=x 12与y=x 13的图象如图所示,设a 12=b 13=m ,作直线y=m. 从图象知,若m=0或m=1,则a=b ; 若0<m<1,则0<b<a<1; 若m>1,则1<a<b. 故其中可能成立的是ACD .13.解(1)依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f (x )=x 2,符合题设,故m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ]. ∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].14.解(1)由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3为奇函数,不符合题意,舍去. 故f (x )=x 2.(2)由(1)可知y=x 2-2(a-1)x+1, 函数y 的对称轴为直线x=a-1,由题意知函数y 在区间(2,3)上为单调函数, ∴a-1≤2或a-1≥3,解得a ≤3或a ≥4. ∴a 的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞). 15.解(1)由题意知(2-k )(1+k )>0,解得-1<k<2. 又k ∈Z ,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f (x )=x 2.(2)由已知得F (x )=2x 2-4x+3,对称轴为直线x=1.要使函数F (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,则2a<1<a+1,则0<a<12.即实数a 的取值范围是(0,12).(3)由已知,g (x )=-qx 2+(2q-1)x+1. 假设存在这样的正数q 符合题意,则函数g (x )的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为直线x=2q -12q=1-12q <1,因而,函数g (x )在区间[-1,2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得, 又g (2)=-1≠-4,从而g (-1)=2-3q=-4,解得q=2.此时,g (x )=-2x 2+3x+1,其图象的对称轴为直线x=34∈[-1,2],∴g (x )在区间[-1,2]上的最大值为g (34)=-2×(34)2+3×34+1=178,符合题意. ∴存在q=2,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为[-4,178].。