圆柱圆锥侧面展开图
圆柱和圆锥的侧面展开图及计算方式
圆柱和圆锥的侧面展开图（四）2006-8-1 13:35页面功能【字体：大中小】【打印】【关闭】圆锥侧面展开图(扇形)中的各元素与圆锥的各元素之间的关系极为密切，即扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长。
因此我们要重视空间图形与平面图形的互相转化。
教学步骤（一）明确目标在小学，同学们除了学习圆柱之外还学习了一个几何体——圆锥，在生活中我们也常常遇到圆锥形的物体，涉及到这些物体表面积的计算．这些圆锥形物体的表面积是怎样计算出来的？这就是本节课“7.21圆锥的侧面展开图”所要研究的内容。
（二）整体感如和圆柱一样，圆锥也是日常生活或实践活动中常见物体，在学生学过圆柱的有关计算后，进一步学习圆锥的有关计算，不仅对培养学生的空间观念有好处，而且能使学生体会到用平面几何知识可以解决立体图形的计算，为学习立体几何打基础。
圆锥的侧面展开图不仅用于圆锥表面积的计算，而且在生产中常用于画图下料上，因此圆锥侧面展开图是本课的重点。
本课首先在小学已具有圆锥直观感知的基础上，用直角三角形旋转运动的观点给出圆锥的一系列概念，然后利用圆锥的模型，把其侧面展开，使学生认识到圆锥的侧面展开图是一个扇形，并能将圆锥的有关元素与展开图扇形的有关元素进行相互间的转化，最后应用圆锥及其侧面展开图之间对应关系进行计算。
（三）教学过程［幻灯展示生活中常遇的圆锥形物体，如：铅锤、粮堆、烟囱帽］前面屏幕上展示的物体都是什么几何体？［安排回忆起的学生回答：圆锥］在小学我们已学过圆锥，哪位同学能说出圆锥有哪些特征？安排举手的学生回答：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆的距离是圆锥的高。
［教师边演示模型，边讲解］：大家观察Rt，绕直线SO旋转一周得到的图形是什么？［安排中下生回答：圆锥］大家观察圆锥的底面，它是Rt 的哪条边旋转而成的？［安排中下生回答：OA］圆锥的侧面是Rt的什么边旋转而得的？［安排中下生回答，斜边］，因圆锥是Rt绕直线SO旋转一周得到的，与圆柱相类似，直线SO应叫做圆锥的什么？［安排中下生回答：轴］大家观察圆锥的轴SO应具有什么性质？［安排学生稍加讨论，举手发言：圆锥的轴过底面圆的圆心，且与底面圆垂直，轴上连接圆锥顶点与底面圆心的线段就是圆锥的高。
圆柱和圆锥的侧面展开图
圆柱和圆锥的侧面展开图教学目标1、使学生了解圆柱的特征，了解圆柱的侧面、底面、高、轴、母线、过轴的截面等概念，了解圆柱的侧面展开图是矩形．2、使学生会计算圆柱的侧面积或全面积．3、通过圆柱形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维能力和概括能力；4、通过圆柱侧面积的计算，培养学生正确、迅速的运算能力；5、通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问题中抽象出数学模型的能力．教学重点：(1)圆柱的形成手段和圆柱的轴、母线、高等概念及其特征；(2)会用展开图的面积公式计算圆柱的侧面积和全面积．教学难点：对侧面积计算的理解．教学过程：一、新课引入：在小学，大家已学过圆柱，在生活中我们也常常遇到圆柱形的物体，涉及到圆柱形物体的侧面积和全面积的计算问题如何计算呢？这就是今天“7．21圆柱的侧面展开图”要研究的内容．圆柱是生产、生活实际中常遇到的几何体，它是怎样形成的，如何计算它的表面积？为了回答上述问题，首先在小学已具有直观感知的基础上，用矩形旋转、运动的观点给出圆柱体有关的一系列概念，然后利用圆柱的模型将它的侧面展开，使学生认识到圆柱的侧面展开图是一个矩形，并能将这矩形的长与宽跟圆柱的高(或母线)、底面圆半径找到相互转化的对应关系．最后应用对应关系和面积公式进行计算．二、新课讲解：(幻灯展示生活中常遇的圆柱形物体，如：油桶、铅笔、圆形柱子等)，前面展示的物体都是圆柱．在小学，大家已学过圆柱，哪位同学能说出圆柱有哪些特征？(安排举手的学生回答：圆柱的两个底面都是圆面，这两个圆相等，侧面是曲面．)(教师演示模型并讲解)：大家观察矩形ABCD，绕直线AB旋转一周得到的图形是什么？(安排中下生回答：圆柱)．大家再观察，圆柱的上、下底是由矩形的哪些线段旋转而成的？(安排中下生回答：上底是以A为圆心，AD旋转而成的，下底是以B为圆心，BC旋转而成的．)上、下底面圆为什么相等？(安排中下生回答：因矩形对边相等，所以上、下底半径相等，所以上、下底面圆相等．)大家再观察，圆柱的侧面是矩形ANCD的哪条线段旋转而成的？(安排中下生回答：侧面由DC旋转而成的．)矩形ABCD绕直线AB旋转一周，直线AB叫做圆柱的轴，CD叫做圆柱的母线．圆柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．矩形的另一组对边AD、BC是上、下底面的半径．圆柱一个底面上任意一点到另一底面的垂线段叫做圆柱的高，哪位同学发现圆柱的母线与高有什么数量关系？(安排中下生回答：相等．)哪位同学发现圆柱上、下底面圆有什么位置关系？(安排中下生回答：平行)A、B是两底面的圆心，直线AB是轴．哪位同学能叙述圆柱的轴的这一条性质？(安排中等生回答：圆柱的轴通过上、下底面的圆心)哪位同学能按轴、母线、底面的顺序归纳有关圆柱的性质？(安排中上学生回答：圆柱的轴通过上、下底面的圆心，且垂直于上、下底，圆柱的母线平行于轴且长都相等，等于圆柱的高，圆柱的底面圆平行且相等．)(教师边演示模型，边启发提问)：现在我把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，观察这个侧面展开图是什么图形？(安排中下生回答，矩形)这个圆柱展开图——矩形的两边分别是圆柱中的什么线段？(安排中下生回答：一边是圆柱的母线，一边是圆柱底面圆的周长)．大家想想矩形面积公式是什么？哪位同学能归纳圆柱的面积公式？(安排中下生回答：S圆柱侧=底面圆周长×圆柱母线)大家知道圆柱的母线与高相等，所以圆柱的面积公式还可怎样表示？(安排中下生回答：S圆柱侧=底面周长×高)幻灯展示例1 如图7-181，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD．已知AD=18cm，AB=30cm，求这个圆柱形木块的表面积(精确到1cm2)．矩形的AD边是圆柱底面圆的什么？(安排中下生回答：直径．)题目中的哪句话暗示了AD是直径？(安排中上生回答：第一句，“把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD”．因圆柱轴过底面圆的圆心，矩形过轴则意味AD过底面圆圆心，所以AD是圆柱底面圆直径．)AB=30cm是告诉了圆柱的什么线段等于30cm？(安排中下生回答：圆柱的高等于30cm)什么是圆柱的表面积？哪位同学知道？(安排中上生回答：圆柱侧面积与两底面圆面积的和．)同学们请完成这道应用题．(安排一中上生上黑板做题，其余在练习本做)解：AD是圆柱底面的直径，AB是圆柱母线，设圆柱的表面积为S，则=162π+540π≈2204(cm2)．答：这个圆柱形木块的表面积约为2204cm2．幻灯展示例2 用一张面积为900cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的底面直径(精确到0.1cm)．请同学们任拿一正方形纸片围围看．哪位同学发现正方形相邻两边，一边是圆柱的什么线段，另一边是圆柱底面圆的什么？(安排中下生回答：一边是母线，另一边是底面圆周长．)此题要求的是底面圆直径，所以只要求出正方形的什么即可？(安排中下生回答：边长．)边长可求吗：(安排中下生回答：可求，因为已知中给了正方形的面积．)请同学们完成此题．(安排一中等生上黑板完成，其余在练习本完成)解：设正方形边长为x，圆柱底面直径为d．答：这个圆柱的底面的直径约为9.6cm．三、课堂小结：本节课学习了圆柱的形成、圆柱的概念、圆柱的性质、圆柱的侧面展开图及其面积计算．然后按总结顺序；依次提问学生，此过程应重点提问中下生．四、布置作业教材P．194练习1、2；P．199中2、3、4．。
扇形圆柱圆锥面积公式及计算
扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图［学习目标］1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。
2. 扇形面积公式：n是圆心角度数，R是扇形半径，l是扇形中弧长。
3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高r底面半径h圆柱高4. 圆锥侧面积圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。
侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。
5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。
6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。
7. 圆柱圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。
圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。
如图所示，若圆柱的底面半径为r，高为h，则：，。
8. 圆锥圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。
圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。
因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。
如图所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则。
［重点、难点］扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。
【典型例题】例1. 已知如图1，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积。
图1解：∵AB＝1，BC＝2，F点在以B为圆心，BC为半径的圆上，∴BF＝2，∴在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，∠ABF＝60°∴例2. 已知扇形的圆心角150°，弧长为，则扇形的面积为____________。
解：设扇形的面积为S，弧长为l，所在圆的半径为R，由弧长公式，得：∴由扇形面积公式，，故填。
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A版2
答：至少要用纸150cm2
练习
解析 设球 O 的半径为 r，则圆柱的底面半径为 r， 高为 2r，所以VV12＝π43rπ2·r23r＝32.
三、课堂小结:
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
1).圆柱 2).圆锥
S 2r 2 rl
S r 2 rl
如果圆台的上、下底面半径分别为ｒ和Ｒ，母线长为l，你能计算它的
表面积吗？
r O’
RO
圆台的侧面展开图是扇环
x x
r 'O’
rO
xl r x r' l rr' x r'
xl 1 r 1 x r'
x r' l r r'
∵圆台侧面展开图是一个扇环
S侧面积
1 2
2 r( x
l)
1 2
2 r
'
x
r( x l ) r ' x rx rl r ' x
A
B
D
C
A1 D1
B1 C1
变式 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、 3 ,求此球体的表面积 和体积。
分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们 中心重合，则长方体对角线与球的直径相等。
内切球问题
例题3 把直径为5cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸? 分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
解：一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478(m2) 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000 =423.9(kg).
扇形、圆柱、圆锥面积公式及计算
扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图
1.弧长公式：
n
Lπ
÷
=R
180
n是圆心角，R是扇形半径，L是扇形中圆心角所对应的弧长；
在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为L=nπR÷180。
2. 扇形面积公式：
3.圆柱
圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。
圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。
4.圆锥
圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。
圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形
的半径是圆锥的母线（把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线），扇形的弧长是圆锥底面的周长。
因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。
如图所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则。
圆锥侧面积和全面积
(2) h =3, r=4
5 则 a=_______ 6 则r=_______
(3) a = 10, h = 8
准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥 的侧面展开图． a h O r
图 23.3.7
问题1: 1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得 到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什 么关系？ 相等 问题2： 2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆 锥中的哪一条线段相等？ 母线
5.如图，若圆锥的侧面展开图 是半圆，那么这个展开图的圆 180 度； 心角是___ 圆锥底半径 r与母线a的比r ： a = ___ 1:2 .
A
S h O r B l
1.圆锥的侧面积和全面积
S 侧 S 扇形 rR
S全 S 侧 S 底 rR r 2
2. 展开图中的圆心角n与r、R之间的关系：
C. 28cm2
D. 15cm2
3.蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成 的.如果想用毛毡搭建1个底面积为 9 m2, 高为3m，外围高2 m的蒙古包，至少需要多 少平方米的毛毡?(结果精确到1m2).
(12 3 10 ) m
2
4、若圆锥的底面半径r =4cm，高线h =3cm， 288 则它的侧面展开图中扇形的圆心角是 —— 度。
S 侧 S 扇形
ra
S全 S 侧 S 底 ra r
2
2. 展开图中的圆心角n与r、a之间的关系：
r n 360 a
填空、根据下列条件求圆锥侧面积展开图的 圆心角 n （r、h、a分别是圆锥的底面半径、 高线、母线长） （1）a = 2，r = 1，则 (2) h=3， r=4，则
1 2 58 22.09 640 .61cm 2
圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
导学
探索新知
圆台的表面积
S 表面积 S上底面积 S下底面积 S 侧面积
2
2
S上底 =πr ，S下底 =πr .
r O′
l
r
O
(r′、r分别是上、下底面
半径，l是母线长)
圆台的侧面展开图是扇环
导学
圆台的表面积
探索新知
x
2πr
x
2πr
O′ r
l
O
r
(r′、r分别是上、
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台表面积和体积
预学
棱柱、棱锥、棱台的表面积：围成它们的各个面的
面积的和，即侧面积+底面积
那你认为圆柱、圆锥、圆台的表面积又是怎样的呢？
S
O'
r O
l
O'
l
r O
r'
l
rO
圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它们的各个面的
面积和,即 S 表 S 底 S 侧
导学
探索新知
1、 圆柱、圆锥、圆台表面积
圆锥的表面积
探索新知
S 表面积 S 底面积 S 侧面积
S底 =πr
S
l
2πr
2
1
扇形的面积公式 ： S扇形 = lr
2
(r是扇ห้องสมุดไป่ตู้所在圆半径，l是弧长)
r
O
(r是底面半径，l是
母线长)
S圆锥 =πr +πrl πr (r l )
2
互学
例题讲解
例1、将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆
圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 (
圆锥侧面展开图是什么图形
圆锥侧面展开图是什么图形
圆锥的侧面展开图为扇形。
扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长为圆锥的底面周长。
面积公式：圆锥侧面展开图S侧=πrl=（nπl^2）/360
拓展资料：
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
该直角边叫圆锥的轴。
（1）以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所（2）圆锥由一个顶点，一个侧面和一个底面组成，从顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
(3)圆锥有两个面，底面是圆形，侧面是曲面。
(4)让圆锥沿母线展开，是一个扇形。
圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥的体积的三倍是叫圆锥形。
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（2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，
再小组内集中讨论，没解决的问题组长记录
好，准备质疑。
自主、合作、探究 Network Optimization Expert Team
拿起粉笔，书写你的精彩！
（5分钟）
展示内容
展示目标
展示小组
例1
圆柱及其侧面展开图之间的相互转 1组
化以及元素之间的等量关系。
（1） a = 2，r=1，则 h=___3____ (2) h =3, r=4，则 a =___5____ (3) a = 10, h = 8，则r=____6___
ha r
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• 从旋转的角度看圆锥的形成
自主、合作、探究 Network Optimization Expert Team
课前准备：课本、导学案、练习本 ，双色笔
还有你的激情与目标！相信自己！
课前赠言： 1.我的课堂，你做主。 2.你是独一无二的，相信自己！ 3.提出问题比解决问题更重要。
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1.你能说出弧长公式吗？
l n 2r nr
例3 如何解决立体几何体中的最短距离问题。
3组
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• 从旋转的角度看圆柱的形成
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圆柱的侧面展开图（矩形）与圆柱元素之间的关系
矩形的一边长是圆柱的母线长（高）， 另一边长是圆柱底面圆的周长。
失败带给我的经验与收获，在于我已经知道这样做不会成功的证明 下一次我可以避免同样的错误了。
——爱迪生
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学习目标
1.了解圆柱、圆锥的有关概念，能画出它们的 侧面展开图，会计算它们的侧面积和全面积. 2.通过动手操作、合作探究、展示质疑，体会 转化思想的应用。 3.发展空间观念，体会数学来源于生活，服务 于生活。
圆锥的展开 得出公式
R S
S侧
1 2
lR=
1 2
2 r
a
ra
S全=S侧 S底 ra r2
a
l 其中r表示圆锥底面的半径, a
表示圆锥的母线长
A
Or
B
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点评质疑，分享小组的硕果！
点评内容
（20分钟）
达成目标
点评小组
基础知识 明确圆柱积。
例1 圆柱及其侧面展开图之间的相互转化以及
元素之间的等量关系。
5组
例2 圆锥及其侧面展开图之间的相互转化以及
元素之间的等量关系。会计算圆锥的侧面
积、全面积和体积。
圆锥的侧面展开图（扇形）与圆锥元素之间的关系
R
S
S
a
a
l
A
Or
B
A
扇形的半径是圆锥的母线， 弧长是圆锥底面圆的周长；
Or
B
提醒：圆锥的半 径与其侧面展开 所得的扇形的半
径不要混淆
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总 结：
圆锥的形成 可以看成 由直角三角形旋转而成
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总 结：
圆柱的形成 可以看成 由矩形旋转而成
圆柱的展开 得出公式 S侧 ch=2 rh 2 rh S全=S侧 S底 2rh 2r2
其中r表示圆柱底面的半径, h 表示圆柱的高
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山东省昌乐二中 丁继强
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美中不足：（学，然后知不足）
1.圆锥的底面半径与其侧面展开图的扇形的半 径混淆，导致计算出错； 2.不能很好的将平面图形与空间图形结合，相 互转化； 3.空间想象能力弱。
例2
圆锥及其侧面展开图之间的相互转 2组
化以及元素之间的等量关系，会计
算圆锥的侧面积、全面积和体积
例3
总结出如何解决立体几何中的最短 3组
距离问题。
要求：⑴口头展示，声音洪亮、清楚；书面展示要分层次、要 点化，书写要认真、 规范。
⑵非展示同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓展。
。 不浪费一分钟，小组长做好安排和检查 自主、合作、探究 Network Optimization Expert Team
如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的 高线长, a表示圆锥的母线长,那么r,h, a之 间有怎样的数量关系呢？
ha r
由勾股定理得：
r2+h2= a2
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填空: 根据下列条件求值（其中r、h、a 分别 是圆锥的底面半径、高线、母线长）
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合作实践探究，大声说出你的智慧！
内容：
（8分钟）
1.自主学习中遇到的疑问
2.通过动手操作实践，探究圆柱、圆锥的侧面展开
图，会计算圆柱、圆锥的全面积。
3.例题的疑惑，重点是例3，体会转化思想应用。
要求：
（1）人人参与，热烈讨论，大胆表达自己的想法。
请您欣 赏
自主、合作、探究 Network Optimization Expert Team
某工厂欲生产冰淇淋蛋糕包 装，该包装纸为圆锥形(如 图)PB=15cm，底面半径 r=5cm，生产这种包装纸1个 ，你能帮工厂算一算至少需 多少平方厘米的材料吗（不 计接缝用料和余料）？
P
l
A
O. r B
360
180
2.你能说出扇形的面积公式吗？
s n r 2 或s 1 lr
360
2
3.圆柱、圆锥的体积计算公式
V圆柱 r2h
V圆锥
1 r2h
3
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请您欣 赏
油桶
铅笔、 柱子
大厦
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