平行四边形的性质2
平行四边形的概念和定义
平行四边形的概念和定义
平行四边形是一种特殊的四边形，它具有特定的几何属性和定义。
下面是平行四边形的概念和定义：
1.定义：平行四边形是一个四边形，其对边两两平行。
2.性质：
•对边平行性质：平行四边形的对边两两平行，即相对的两边是平行的。
•对角线性质：平行四边形的对角线相互平分，并且相交点将对角线分成相等的两部分。
•边长性质：平行四边形的相邻边长度相等，即相邻边是相等的。
•内角性质：平行四边形的内角相邻补角，即相邻内角的和为180度。
•对边长度比例：平行四边形的对边长度比例相等，即相对的两条边的长度比相等。
3.特殊情况：
•矩形是一种特殊的平行四边形，它的四个角都是直角，对边相等。
•正方形是一种特殊的矩形和平行四边形，它的四边长度相等，四个角都是直角。
•菱形是一种特殊的平行四边形，它的四条边长度相等，对角线互相垂直，且相互平分。
平行四边形是几何学中重要的概念，它的定义和性质可以用于解决各种几何问题和证明定理。
在实际应用中，平行四边形的概念也经常被用于建筑设计、工程测量、图形绘制等领域。
平行四边形的性质(2)
课题：§19.1.1平行四边形的性质（第2课时）【学习目标】1． 探究平行四边形对角线互相平分的性质；2． 能应用平行四边形的性质解决一些简单的问题．【活动方案】活动一 探究平行四边形对角线的性质 1．如右图，猜想平行四边形的对角线之间有怎样的关系?你能用已经学过的知识证明以上猜想吗?已知：求证： 证明：2．通过以上证明可以得到平行四边形性质： 文字表述： ．符号语言：∵如图，四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ．思考：平行四边形的性质有哪些?这些性质的证明都是运用了什么知识解决的?活动二 平行四边形性质的运用例1 如图，已知□ABCD 的周长为30cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△AOD 的周长大5cm ，求这个平行四边形各边的长．变式 如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，□ABCD 的周长是30cm ，△AOB 与△AOD 的周长之和是42cm ，且AC :DB = 2:1，求AC 和BD 的长．例2． 如图，□ABCD 中，AB=10，AD=8，AC ⊥BC ，求□ABCD 的面积及BD 的长．A D CB OA D CB O O D O例3．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB 、CD 分别相交于点E 、F ．（1）求证：OE=OF（2）若△COF 的面积为2，△BOE 的面积为4，求□ABCD 的面积．例4．如图，AC 是□ABCD 的对角线，点E 、F 在AC 上，且四边形EBFD 也是平行四边形．求证：AE=CF【检测反馈】1．如图，在□ABCD 中，AD=10cm ，AC=8cm ，BD=14cm ，则△BOC 的周长为 cm ．2．如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为 ．(第1题) (第2题)3．如图，在□ABCD 中，AB=8，∠D 与∠A 的平分线交BC 于F 、E ，EF=6，求BC 的长．F E OB ACD B A C DF E A D C B OF C D B AE18.1平行四边形的性质（第2课时）（每日一练）姓名________________1．平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边平行B．对角线互相垂直C．对边相等D．对角线互相平分2．已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于O点，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB的长度是（）A．8cm B．15cm C．18cm D．19cm3．□ABCD的对角线AC，BD交于点O，△OBC的周长是59㎝，AD的长是28㎝，BD－AC=14㎝，那么对角线AC，BD的长分别是（）A．12cm、19cm B．24cm、38cmC．8.5cm、22.5cm D．15.5cm、29.5cm4．如图，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的（）A．B．C．D．第4题第5题第6题5．如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边AD、BC分别交于点E、F，若BF=DE，则图中的全等三角形最多有（）A．8对B．6对C．5对D．4对6．如图，在□ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为．7．在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=6，BD=10，则AD取值范围是．8．如图，E是□ABCD内任一点，若S□ABCD=6，则图中阴影部分的面积为．9．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S1和S2，则S1与S2的大小关系为．第8题第9题10．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O，并与AD，BC边交于E，F两点，若AB=4，BC=5，OE=1.5，求四边形EFCD的周长．AB C DE FO11．如图，在□ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF 的关系，并证明你的结论．12．如图，在□ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求四边形DEBF的周长和面积．13．如图，在□ABCD中，AC交BD于点O，AE⊥BC垂足为E，AB=3，AC=2，BD=4，求AE的长．14. 如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，（1）若AB=3，BC=4，则22AC BD+的值是多少？（2）拓展：若AB=a，BC=b，求22+的值（用a、b表示）AC BDA DOB C。
平行四边形的性质 (2)
平行四边形的性质的教学设计概述
_______谢煌开
一、概述
这一节课是八年级数学下册第十八章平行四边形的性质，这节课需两节课时这是第一节课。
这节课学习平行四边形的定义及其边角的特性，第二节课是学习对角线相互平分。
二、教学目标分析
先从生活中去认识平行四边形。
然后归纳出其对边相等对角相等的性质，初步体会研究几何的一般思路与方法。
三、教学策略选择与设计
用类比的学习方法：与三角形类比学，其中也贯穿着转化化归的重要数学思想，平行四边形转化成三角形来研究。
四、教学资源与工具设计
应用多媒体来进行辅助教学
五、教学过程
从生活中可见我们生活周围有许多平行四边形的例子，抽象出平行四边形的定义，从定义出发得出它可转化成三角形来研究，分成两个全等三角形来研究，从而得出平行四边形的性质：对边相等，对角相等。
这性质不但会文字叙述还要用数学语言来写出其推理格式。
并在证明题中会灵活应用这些性质。
最后归纳出学习研究几何图形是怎么样进行的。
八年级数学人教版下册第十八章平行四边形平行四边形的性质——对角线
14．根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是( )
13．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝10，CD＝m，那么m的取值范围是
50°
B．40°
3．如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC＋BD＝16，则△AOD的周长为______．
第2课 平行四边形的性质(2)——对角线
目录
8＜m＜10
B．2＜m＜18
13．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝10，CD＝m，那么m的取值范围是
(1)平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
边：平行四边形的对边______________； (1)求证：OE＝OF；
三级拓展延伸练
13．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且
AC＝8，BD＝10，CD＝m，那么m的取值范围是
(D) A.8＜m＜10
B．2＜m＜18
C.4＜m＜5
D．1＜m＜9
14．根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规 律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是( B )
三级检测练
8＜m＜10
B．2＜m＜18
50°
B．40°
温故知新
1．平行四边形的性质： 边：平行四边形的对边__平__行__且__相__等____； 角：平行四边形的对角__相__等____，邻角__互__补____．
新课学习
知识点1 平行四边形的性质 平行四边形的性质：平行四边形的对角线_互__相__平__分_． 几何语言 ∵如图，四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC＝12 AC，_O_B_＝__O__D_＝__12__B_D___．
人教版八年级数学下《平行四边形的性质-第2课时：平行四边形的对角线互相平分》精品教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
2.已知▱ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O， △AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边 的长.
D
C 提示：平行四边形被对角线分成
四个小三角形，相邻两个三角形
O
的周长之差的绝对值等于邻边边
A
B
长之差的绝对值.
F分别是AO，CO的中点，试判断线段BE，DF的关系并证
明你的结论.
D
C
解：BEDF，BE//DF.理由如下：
F
∵四边形ABCD是平行四边形，
EO
∴OAOC，OBOD.
A
B
∵点E，F分别是AO，CO的中点， ∴ OEOF， 在△OFD和△OEB中， OEOF，∠DOF∠BOE，ODOB. ∴△OFD≌△OEB. ∴BEDF，∠DFO∠BEO. ∴BE//DF.
O B
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
D
∴AB//CD，OAOC.
∵∠EAO∠FCO
F
在△AOE和△COF中，
C
∠AOE∠COF
改变直线EF的位置， OEOF还成立吗？
OAOC ∠EAO∠FCO ∴△AOE≌△COF.
∴OEOF.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
探究
如图，▱ABCD中，连接AC、
A
D
BD，并设它们相交于点O，OA与OC，
OB与OD有什么关系？
O
B
C
操作
1.任意画一个平行四边形，如上图； 2.尝试用自己的方法找OA与OC，OB与OD的关系.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
平行四边形的定义,性质及判定方法
一【2 】.平行四边形常识构造及要点小结平行四边形界说：有两组对边分离平行的四边开形是平行四边形. 性质：1.平行四边形的两组对边分离平行.2.平行四边形的两组对边分离相等3.平行四边形的两组对角分离相等4.平行四边形的两条对角线互相等分.剖断办法：1.两组对边分离平行的四边形是平行四边形.2.两组对边分离相等的四边形是平行四边形.3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.4.两条对角线互相等分的四边形是平行四边形.5.两组对角分离相等的四边形是平行四边形.三角形中位线界说：衔接三角形双方中点的线段叫三角形的中位线. 定理;三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.二.解题办法及技能小结：证实线段相等或角相等的问题用曩昔所学的全等常识也可完成,但相比较而言,运用平行四边形的性质求证较为简略.别的平行四边形对角线是很主要的根本图形,运用它的性质解题可开拓新的门路.特别的平行四边形常识构造及要点小结矩形：界说：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：1.具有平行四边形的所有性质.2.矩形有四个角都是直角.3.矩形有对角线相等.4.矩形是轴对称图形,有两条对称轴.剖断办法：1.界说2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.菱形：界说：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.性质;1.具有平行四边形所有性质.2.菱形有四条边都相等.3.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线等分一组对角4.菱形是轴对称图形.剖断办法：1.界说2.对角线互相垂直的平行四边形3.四边相等的四边形正方形：界说;一组邻边相等的矩形性质：具有平行四边形.矩形.菱形的所有性质剖断：1.界说2.有一个内角是直角的菱形3.对角线相等的菱形4.对角线互相垂直的矩形解题办法及技能小结菱形.矩形.正方形都是特别的平行四边形.它们的性质既有差别又有接洽,它们的剖断办法固然不同,但有很多类似之处,是以要用类比的思惟,将学到的常识总结出相干纪律.。
平行四边形判定的数学公式
平行四边形判定的数学公式一、平行四边形的性质：1.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
2.对边等长：平行四边形的对边长度相等。
3.各个角度对应相等：平行四边形的对应角相等。
下面我们将介绍一些判定平行四边形的数学公式。
二、判定平行四边形的数学公式：1.利用坐标判定：设平行四边形的四个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。
首先判断对边AB是否平行，可以通过计算斜率来判断：如果两条线段AB和CD的斜率相等，则它们是平行的。
斜率的计算公式为：斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)计算斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)计算斜率k2=(y4-y3)/(x4-x3)如果k1=k2，则对边AB和CD平行。
同理，可以判断对边BC和AD是否平行，以及对边AC和BD是否平行。
如果对边AB、BC、CD、DA都平行，则四边形ABCD为平行四边形。
2.利用向量判定：设平行四边形的四个顶点分别为A,B,C,D。
定义向量AB、BC、CD、DA，分别为：AB=(x2-x1,y2-y1)BC=(x3-x2,y3-y2)CD=(x4-x3,y4-y3)DA=(x1-x4,y1-y4)如果向量AB与CD平行且向量BC与DA平行，则四边形ABCD为平行四边形。
向量平行的判断公式为：向量a与向量b平行，当且仅当两个向量的比例相等，即：a/b=k(k为常数)对于向量AB与CD，如果（x2-x1）/（x4-x3）=（y2-y1）/（y4-y3），则向量AB与CD平行。
对于向量BC与DA，如果（x3-x2）/（x1-x4）=（y3-y2）/（y1-y4），则向量BC与DA平行。
如果AB与CD平行且BC与DA平行，则四边形ABCD为平行四边形。
3.利用斜率判定：设平行四边形的四个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。
先计算斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)再计算斜率k2=(y3-y2)/(x3-x2)再计算斜率k3=(y4-y3)/(x4-x3)再计算斜率k4=(y1-y4)/(x1-x4)如果k1=k3且k2=k4，则四边形ABCD为平行四边形。
平行四边形所有公式大全
平行四边形所有公式大全一、基本概念1. 平行四边形的定义平行四边形是一个具有两组对边平行的四边形。
即四边形的两对对边都是平行的。
2. 平行四边形的性质（1）对边相等：平行四边形的对边长度相等。
（2）对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即对角线互相平分对角。
3. 平行四边形的面积公式平行四边形的面积公式为：S = 底边 × 高。
4. 平行四边形的周长公式平行四边形的周长公式为：P = 2 × (底边 + 侧边)。
5. 平行四边形的对角线公式平行四边形的对角线长度公式为：d = √(a^2 + b^2 + 2abcosθ)。
其中a和b为平行四边形的两条对边的长度，θ为它们之间的夹角。
以上是平行四边形的一些基本概念和公式，下面我们将分别介绍其面积、周长和对角线的详细计算方法。
二、平行四边形的面积计算平行四边形的面积计算方法非常简单，只需要用底边乘以高即可。
例如，如果一个平行四边形的底边长为5cm，高为3cm，则其面积为：S = 5cm × 3cm = 15cm²。
三、平行四边形的周长计算平行四边形的周长计算方法也很简单，只需要将底边和侧边的长度相加后乘以2即可。
例如，如果一个平行四边形的底边长为5cm，侧边长为3cm，则其周长为：P = 2 × (5cm + 3cm) = 16cm。
四、平行四边形的对角线计算平行四边形的对角线长度可以通过两对对边的长度和它们之间的夹角来计算。
具体计算公式为：d = √(a^2 + b^2 + 2abcosθ)。
其中a和b为平行四边形的两条对边的长度，θ为它们之间的夹角。
下面我们将通过一个例子来演示平行四边形对角线长度的计算方法。
假设平行四边形的两对对边分别为5cm和8cm，夹角为60°，则对角线的长度为：d = √(5^2 + 8^2 +2×5×8×cos60°) = √(25 + 64 + 80) = √(169) = 13cm。
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平行四边形有哪些 性质
例题
例：已知：如图，A1B1∥AB,C1A1∥CA,B1C1∥BC 求证：∠ABC=∠ B1 ，∠CAB=∠ A1 ，∠BCA=∠C1
C1
A
B1
B
C
A1
A
平行四边形的对角相等. D
平行四边形的对边相等
B C
DG E
O
AH
C F
B
如图，DC∥ EF ∥ AB，DA∥ GH∥ CB，图
AB与CD的距离呢？３ 2
△ＭＣＤ的面积呢？ ６ 2
……
多想出智慧!
猜一猜、证一证：
A 7
1
35 BE
A 17
35
B
E
Ａ
F 64
2 8
C F 64
82 C
Ｆ
D
ABCD中，若点Ｅ、Ｆ分别是边 ＢＣ、ＡＤ上的点，且ＡＥ∥ＣＦ， 根据以上条件，你能得到什么结论？
D
ABCD中，当点Ｅ、Ｆ分别是边ＢＣ、 ＡＤ的中点时，你会得到什么结论？
上的点，且AF//CE
求证：DE=BF
A
E
ABCD的边AD、BC D
B
F
C
例2：已知：过△ABC的三个顶点，分别作对边的 平行线，这三条直线两两相较，得△A`B`C`。 求证：△ABC三个顶点分别是△A`B`C`三边的中点
A
C`
B`
C B
A`
练一练：
1、如图,在 ABCD中,AB与CD的距离为_1_c_m_
E，BC=5，AB=3，则ED的长为
。
A
ED
B
C
想一想、算一算：
A
6
D
4 M
22 ３2
4
450 B 6E
CF
如图,已知平行四边形两邻边的比为G 2:3,周长为20. □这个平行四边形的四条边长分别是多少? 4、4、6、6
□若∠Ｂ＝450，则ＡＤ与ＢＣ的距离是多少？ 2 2
此时平行四边形ＡＢＣＤ的面积是多少？ 12 2
4cm、10cm、4cm、10cm
2、如图,在 ABCD中,已知AC=3cm，△ABC的周
长8cm，则平行四边形的周长为__1_0_c_m_ A
D
B
C
３、已知一个平行四边形周长为20cm,且较长边是较短
边的2倍少2cm,求平行四边形的各边长。
4cm、６cm、4cm、６cm
如图，直线l1 //直线 l2, AB, A'B'是夹在l1与l2之 间的平行线段. AB 与A'B'相等吗？请说明理由.
夹在两条平行线间的垂线段相等。
平行四边形的对边相等.
B A
推广?
A CE
D C
文字描述?
特殊?
B DF
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线间的距离 夹在两条平行线间的垂线段相等. （平行线间的距离处处相等）
如图：在笔直的铁轨上夹在两根铁轨之间 的枕木是否一样长？
夹在两条平行线间的垂线段相等。
例1:已知:如图，E、F分别是
D FE C
A
B
例：已知：如图，E、F分别是平行四边形 ABCD的边AD、BC上的点，且AF//CE。 求证：DE=BF。
A
ED
BF
C
练习： 如图平行四边形ABCD中，F是AC延长
线上一点，E是CA延长线上一点，且AE＝CF，
BE与DF相等吗？请说明理由。
E
A
D
B
CF
1、在 ABCD中， ∠B的平分线BE交AD于
ABCD
(2)若AB=4cm，则AB和DE间的距离为 __1_3__cm D CE
A 4B 利用三角形面积求两平行线间的距离
能力冲浪
1.已知：如图， ABCD中， E， F分别是AＢ上 的点，且ＤE=ＢF.求证：AE＝CF.
Ｄ
E
Ｃ
Ａ
F
Ｂ
２、如图，在 ABCD中，AB=8cm，AD=5cm， ∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD 于点F，求线段EF的长。
D
O
B
C
Ｄ
ABCD中,若ＡＥ、ＣＦ分别平分∠BAD ∠ BCD呢？
Ｂ
Ｅ
Ｃ
……
试一试
3、已知点A（3，0）、B（-1，0）、 C（0，2），以A、B、C为顶点画平 行四边形，你能求出第四个顶点D吗？
例：如图,在 ABCD中,已知对角线AC,BD相交于点
O,AB⊥AC,AB=3cm,AD=5cm，求BD的长 A
中的平行四边形有＿＿9个，它们是＿＿A＿H＿O＿E ＿
＿＿＿BH＿O＿F ＿＿D＿E＿OG＿＿＿C＿FO＿G＿＿＿A＿B＿FE＿＿
＿＿＿CD＿E＿F ＿＿A＿H＿G＿D ＿＿B＿H＿GC＿＿＿A＿B＿CD＿。
练一练： 平行四边形的两组对边分别相等
1、已知平行四边形两邻边的比为2:5，周长为28cm， 求这个平行四边形的四条边长.
D
C
45O A
2cm
B
构成直角三角形求两平行线间的距离
练一练：
2、已知 ABCD中，AB=20，AD=16，AB和
CD之间的距离为8，则AD和BC之间的距离为
___1_0__
D
C
AE
BF
利用面积相等求两平行线间的距离
练一练： 3、如图，E是直线CD上的一点。已知 的面积为52cm2， (1)△ABE的面积为 __2_6___cm2
Ａ
A'
l1 证明:
∵ l1 ∥ l2,AB∥A'B'. ∴四边形ABCD是平行四边形.
Ｂ
l2 ∴AB=A'B'.
B'
夹在两条平行线间的平行线段相等。
如图，已知直线a//b。
aP
b
M
两条平行线中，一条直线 上任意一点到另一条直线 的距离叫做这两条平行线 间的距离
垂线段PM的长度就是平行线a、b之间的距离