2020年北京市高考数学压轴试卷(含答案解析)
2020年北京市高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设复数z满足，则A. B. C. D.2.设集合0，1，2，，，则A. B. 1， C. 2， D. 1，2，3.已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，则A. B. C. D.4.函数其中e为自然对数的底数图象的大致形状是A. B.C. D.5.已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆相切，则满足条件的直线l有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条6.函数的单调递增区间是A. B.C. D.7.某三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为A. 10B. 20C. 30D. 608.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为A. B. C. D.9.已知，则“”是“”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件10.已知随机变量的分布列为：x yP y x则下列说法正确的是A. 存在x，，B. 对任意x，，C. 对任意x，，D. 存在x，，二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为______．12.函数的最小正周期等于______．13.在中，若，，，求的面积______．14.已知是各项均为正数的等比数列，，，则的通项公式______；设数列的前n项和为，则______．15.已知函数，下列命题正确的有______写出所有正确命题的编号是奇函数；在R上是单调递增函数；方程有且仅有1个实数根；如果对任意，都有，那么k的最大值为2．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知函数为常数，且．在下列条件中选择一个______使数列是等比数列，说明理由；数列是首项为2，公比为2的等比数列；数列是首项为4，公差为2的等差数列；数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．在的条件下，当时，设，求数列的前n项和．17.在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．18.已知函数Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ当时，若在上有零点，求实数a的取值范围．19.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．20.已知椭圆C：．求椭圆C的标准方程和离心率；是否存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.对于，定义一个如下数阵：，其中对任意的，，当i能整除j时，；当i不能整除j时，设．Ⅰ当时，试写出数阵并计算；Ⅱ若表示不超过x的最大整数，求证：；Ⅲ若，，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由，得，，则．故选：A．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：B解析：解：解得，，或；，或；；1，．故选：B．解不等式即可得出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及一元二次不等式的解法，补集、交集的运算．3.答案：B解析：解：根据题意，函数为奇函数且满足，则，又由当时，，则；则有，故选：B．根据题意，由函数的奇偶性和周期性分析可得，结合函数的解析式求出的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质应用，涉及函数的周期，属于基础题．4.答案：B解析：【分析】本题考查了函数图象的判断，考查函数奇偶性的应用，属于中档题．判断的奇偶性，再根据在上的函数值的符号得出答案．【解答】解：，．为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当时，，，，排除D，故选：B．5.答案：A解析：【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．设出直线l：，再根据点到直线距离为2和直线与圆相切列方程组成方程组解得，只有一解．【解答】解：显然直线l有斜率，设l：，则，即，又直线l与圆相切，，联立，，，所以直线l的方程为，故选：A．6.答案：C解析：解：对于函数，令，求得，故函数的单调增区间为，，故选：C．由题意利用正弦函数的的单调性，求得结果．本题主要考查正弦函数的的单调性，属于基础题．7.答案：A解析：解：由题意可知几何体是底面是直角三角形的三棱锥，顶点在底面的射影与底面三角形组成长方形，底面三角形的直角边长为：3，5，棱锥的高为4，射影几何体的体积为：．故选：A．判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．8.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．利用点在抛物线C：的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率．【解答】解：点在抛物线C：的准线上，，，直线AF的斜率为．故选：C．9.答案：C解析：解：，由，，反之也成立．“”是“”的充要条件．故选：C．：，由，可得，化简即可判断出关系．本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：由随机变量的分布列得：x，，且，对任意x，，，由此排除A和B；取时，则，，排除D．故选：C．对任意x，，，由此排除A和B；取时，求出，，排除D．本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查排除法、特殊值法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.答案：2解析：解：曲线的导数为，曲线的一条切线的斜率是3，切点的横坐标为n，则，解得，故答案为：2．求出函数的导数，通过切线的斜率，转化求解切点的横坐标即可．本题考查导数的运用：求切线方程，正确理解函数导数的几何意义以及转化求解是解题的关键．12.答案：解析：解：因为函数；故最小正周期等于．故答案为：先根据二倍角的余弦公式将函数化简为的形式，再由得到答案．本题主要考查三角函数最小正周期的求法，一般先将函数化简为的形式，再由可解题．13.答案：或解析：解：在中，设，由余弦定理可得，，，或．当时，的面积为，当时，的面积为，故答案为或．设，由余弦定理可得，解出x的值，代入的面积为，运算求得结果．本题考查余弦定理的应用，求得BC的长度或，是解题的关键．14.答案：解析：解：设等比数列的公比为q，由题知，，，；，．故填：，．先由，求出公比q，再求与，最后求．本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和的求法，属于基础题．15.答案：解析：解：根据题意，依次分析4个命题：对于、，定义域是R，且，是奇函数；故正确；对于、若，则，故在R递增；故正确；对于、，令，令可得，，即方程有一根，，，则方程有一根在之间，故错误；对于、如果对任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立，若，即恒成立，而，若有，故正确；综合可得：正确；故答案为：．根据题意，依次分析4个命题，对于、由奇函数的定义分析可得正确；对于、对函数求导，分析可得，分析可得正确；对于、，分析可得，即方程有一根，进而利用二分法分析可得有一根在之间，即方程至少有2跟，故错误，对于、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得正确，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，以及方程的根与恒成立问题的综合应用，关键是利用二分法．16.答案：解析：解：不能使数列是等比数列，可以．由题意，即，可得，且，，由常数且，可得为非零常数，则是为首项、为公比的等比数列；由可得，当时，，，可得，前n项和．选，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．17.答案：证明：如图所示，0，，0，，0，，2，，1，，1，，2，，1，，由，，；Ⅱ解：，，．异面直线PC与BQ所成角的余弦值为．解析：建立空间直角坐标系，只要证明，即可证明结论．Ⅱ，，，利用向量夹角公式即可得出．本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ函数的定义域为，．由，可得或，当时，在上恒成立，的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，由，解得，函数单调递增，由，解得，函数单调递减，的单调递减区间是，单调递增区间是．当时，由，解得，函数单调递增，由，解得，函数单调递减，的单调递减区间是，单调递增区间是．Ⅱ当时，的单调递减区间是，单调递增区间是．在上有零点的必要条件是，即，．而，若，在是减函数，，在上没有零点．若，，在上是增函数，在上是减函数，在上有零点等价于，即，解得综上所述，实数a的取值范围是．解析：Ⅰ先求出函数的定义域，再求导，分类讨论，即可求出函数的单调区间，Ⅱ在上有零点等价于，解得即可本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查了运算能力和转化能力和分类讨论的能力，属于中档题．19.答案：解：在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为．所有的可能取值为1，2，3，；；．所以X的分布列为X123P所以X的数学期望为．在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．解析：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．利用古典概型概率个数求解即可．求出X的可能值，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，然后求解即可．20.答案：解：椭圆C：，即有标准方程为，可得，，，；假设存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为，联立椭圆方程，可得，，即，设，，可得，，由，可得，即，即，将代入可得，，消去，可得，解得，故存在这样的直线l，且方程为或．解析：将椭圆方程化为标准方程，可得a，b，c，由离心率公式可得所求值；假设存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为，联立椭圆方程，消去x可得y的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ依题意可得，．Ⅱ由题意可知，是数阵的第j列的和，因此是数阵所有数的和．而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的，不超过n的倍数有1i，2i，，．因此数阵的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．所以．Ⅲ证明：由的定义可知，，所以所以．考查定积分，将区间分成等分，则的不足近似值为，的过剩近似值为所以．所以所以．所以．解析：Ⅰ依题意可得，．Ⅱ由题意可知，是数阵的第j列的和，因此是数阵所有数的和．而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的，不超过n的倍数有1i，2i，，因此数阵的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为从而得到结果．Ⅲ由的定义可知，，所以所以再考查定积分，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．本小题主要考查高阶矩阵、矩阵的应用、定积分等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．。
2020年高考数学专题+一+第一关+以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题 (4)
2020年高考数学专题一 压轴选择题第五关 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题 【名师综述】近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理.平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.类型一 平面向量与解三角形的结合典例 1 ． 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>，a ，则b c +的取值范围是（ ） A ．31 , 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13 , 22⎛⎫⎪⎝⎭ D ．13( , ]22 【答案】B【解析】∵bc a c b =-+222，由余弦定理可得2122cos 222==-+=bc bc bc a c b A ，因为C 是三角形内角，∴ 60=A ，23sin =A ．0AB BC ⋅>，∴()0o s >-=⋅B π，∴B 是钝角．由正弦定理可得B B Aab sin sin sin =⨯=，同理C C sin =．三角形ABC 中，3π=A ，∴32π=+B C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-+=+=+6sin 3cos 23sin 32)32sin(sin sin sin ππB B B B B C B c b ，∵ππ322<<B ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+55,326πππB ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+23,236sin 3πB ，∴c b +的取值范围为：32⎫⎪⎪⎝⎭，故选项为B ．【名师指点】由余弦定理可得角A 的大小，平面向量数量积向量式是实现向量和三角形边、角转化的桥梁，而正弦定理又是进行三角形边角转化的工具．最值将的取值范围问题转化为三角函数的值域问题处理．【举一反三】已知O 是ABC 所在平面内一点，若对m R ∀∈，恒有()1O A m O C m O BO B O A +--≥-，则ABC 一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】B【解析】由题知： ()1OA m OC mOB OB OA +--≥-化简得到CA mBC BA +≥， 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，两边平方可得，22222cos b m a mab C c +-≥即22222cos 0m a mab C b c -+-≥， 由题意可得2220cos 0c b b C ≤⇒≤-≤ ， 即为c≤bsinC ，由正弦定理可得sinC≤sinBsinC ，则sinB≥1，但sinB≤1，则sinB=1，可得B=90°． 即三角形ABC 为直角三角形． 故答案为：B 。
2024届北京师大附中高三压轴卷数学试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A1BCD2．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．143．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．784．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 5．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++- 1+有极值点，则B 的范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭6．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ）A ．32B ．12C ．78 D ．987．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-8．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π9．记集合(){}22,16A x y xy =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( ) A ．14πB ．1πC ．12πD ．24ππ- 10．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．250x y ±=B ．250x =C 520x y ±=D 50x y ±=11．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β12．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市2020年高考文科数学压轴卷含解析
3．若变量 x, y 满足约束条件 ⎨x ≥ 1, ,则 z = 2 x + y 的最大值为（）⎪ y ≥ 0北京市 2020 年高考文科数学压轴卷（含解析）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知 (1+ b i)i = -1 + i(b ∈ R) ，则 b 的值为（）A. 1B. -1C. iD. -i2．下列函数中，值域为 R 的偶函数是（ ）A ．y=x 2+1B ．y=e x ﹣e ﹣xC ．y=lg|x|D ． y = x 2⎧x + y ≤ 2, ⎪⎩A ． 0B ． 2C ． 3D ． 44. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为 1，则输出的 a 值为（）开始输入否是输出结束A. 1B. 2C. 3D. 55.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A ．27B ．30C ．32D ．3613.若 0 < a < b < 1 ， x = a b ， y = b a ， z = log a ，则 x ， y ， z 有小到大排列为．6 ) + 1 的最小正周期是，最小值是．10．已知 cos α = ， α ∈ 0, ⎪ ，则 cos + α ⎪ = ______．6. “ ab = 4 ”是直线 2x + ay -1 = 0 与直线 bx + 2 y - 2 = 0 平行的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知点 Q (2 2,0) 及抛物线 x 2 = 4 y 上一动点 P( x , y) ，则 y + | PQ | 的最小值是（）A ．1B ．1C ．2D ． 328. 设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 D ， 如 果 存 在 正 实 数 m ， 使 得 对 任 意 x ∈ D ， 都 有f ( x + m ) > f ( x ) ，则称 f ( x ) 为 D 上的“ m 型增函数”，已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f ( x ) = x - a - a （ a ∈ R ）．若 f ( x ) 为 R 上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是（）A ． a > 0B ． a < 5C ． a < 10D ． a < 20二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，满分 30 分.把答案填在题中的横线上．）9.函数 y = 2sin(2 x +π3 ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ 5 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 3 ⎭11. 如果平面直角坐标系中的两点 A(a - 1,a + 1) ， B(a, a ) 关于直线 l 对称，那么直线 l 的方程为_.12.在平面向量 a,b 中，已知 a = (1,3) ， b = (2,y) ，.如果 a ⋅ b = 5 ，那么 y = _____；如果a +b = a -b ，那么 y = ______b1 = 1 ， a + + L + <2 . , ⎥ ，都有 f (x ) ≥ -3 ．(Ⅱ)求证：对于任意的 x ∈ ⎢- 14.数列{a } 满足： ann -1+ an +1> 2a (n > 1,n ∈ N * ) ，给出下述命题：n①若数列{a } 满足： a > a ，则 a > an21n n -1(n > 1, n ∈ N * ) 成立；②存在常数 c ，使得 a > c (n ∈ N * ) 成立；n③若 p + q > m + n (其中p , q , m , n ∈ N *) ，则 a + a > a + a ；p qmn④存在常数 d ，使得 a > a + (n - 1)d (n ∈ N * ) 都成立．n1上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共 6 小题，共 80 分。
2020年北京市高考数学试卷-解析版
2020年北京市高考数学试卷-解析版2020年北京市高考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={−1,1,2}，A={A|0<A<3}，则A∩A=()A.{−1,1}B.{0,1}C.{−1,1,2}D.{1,2}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则A⋅A=()A.1+2AB.−2+AC.1−2AD.−2−A3.在(√A−2)的5的展开式中，A²的系数为()A.−5B.5C.−10D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6+√3B.6+2√3C.12+√3D.12+2√35.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.76.已知函数A(A)=2A−A−1，则不等式A(A)>的解集是()A.(−1,1)B.(−∞,−1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(−∞,0)∪(1,+∞)7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为A。
A是抛物线上异于O的一点，过P作AA⊥A于Q，则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{AA}中，A1=−9，A5=−1.记AA=A1A2…AA(A=1,2，…)，则数列{AA}()A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知A，A∈A，则“存在A∈A使得A=AA+(−1)AA”是“AAAA=AAAA”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(AAAA)。
历史上，求圆周率A的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家___的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2A的近似值。
2020北京市高考数学试题逐题解析
=
|3−√2∙0|
√1+2
1
√3
1
=
，渐进线： = ，即 − √2 = 0，
√2
√6
√2
= √3.
（2020 北京高考 13）★★★☆☆
⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 (
⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗ )，则|
⃗⃗⃗⃗⃗ | =_______；
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅
⃗⃗⃗⃗⃗ =_______．
（Ⅱ）∵ = − 1 ， ∈ (0, )， ∴ = √1 − 2 = 4 3 ，
7
7
√
8
7
√3
由正弦定理得 = ， ∴ 4√3 = ， ∴ = 2 ，
7
1
1
√3
= 2 = 2 (11 − 8) × 8 × 2 = 6√3.
1
函数() = +1 + 的定义域是________．
>0
解：由题意{
，∴ > 0，定义域是(0, +∞).
+1≠0
（2020 北京高考 12）★★☆☆☆
2
2
已知双曲线: 6 − 3 = 1，则的右焦点的坐标为______；的焦点到其渐近线的距离是______．
解： = √6， = √3， = √6 + 3 = 3，右焦点(3,0)， =
（2020 北京高考 1）☆☆☆☆☆
已知集合 = {−1,0,1,2}, = {|0 < < 3}，则⋂ =
（）{−1,0,1}
（）{0,1}
（）{−1,1,2}
（）{1,2}
解：选.
2020年北京市普通高等学校招生全国统一考试高考压轴卷数学试题及答案解析
绝密★启用前2020年北京市普通高等学校招生全国统一考试高考压轴卷数学试题一、 选择题（本大题共10小题. 每小题45分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（ ）A ．1010B ．5C ．5D ．102．设集合{}1,0,1,2,3A =-，2{|20},B x x x =->则()R A B =I ð（ ）A ．{}1,3-B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,33．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当01x ≤≤时,3()f x x =,则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．278- B ．18- C ．18 D ．2784．函数()21cos 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．5．已知坐标原点到直线l 的距离为2,且直线l 与圆()()223449x y -+-=相切,则满足条件的直线l 有（ ）条A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()sin(2)6f x x π=+的单调递增区间是（ ） A ．()2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．(),,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．(),,2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦7．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．60 8．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上,记C 的焦点为F,则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 9．已知1a =r ,则“()a a b ⊥+r r r ”是“1a b ⋅=-r r ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 10．已知随机变量ξ的分布列,则下列说法正确的是( )A ．存在x ,y ∈(0,1),E (ξ)>12B ．对任意x ,y ∈(0,1),E (ξ)≤14。
2020年北京市高考数学试卷(pdf详细解析版)
的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外 切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2π的近似值。按照阿尔卡西的 方法， π 的近似值的表达方式是
（A） 3n(sin 30 tan 30)
n
n
答案： (0, )
解析：要使
x
1
1
有意义，则有
x
1
0
，即
x
1
，要使
ln
x
有意义，则
x
0
，所以函数的定义域是
(0,
)
（12）已知双曲线 C : x2 y2 1，则 C 的右焦点的坐标为________； C 的焦点到其渐近线的距离是________． 63
答案：（3，0）， 3
解析：设双曲线的焦距为 2c，则有 c2 6 3 9 ，故 c=3，则 C 的右焦点的坐标为（3，0）.易知 C 的焦点到其渐
（7）设抛物线的顶点为 O ，焦点为 F ，准线为 l ，P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 做 PQ ⊥ l 于 Q ，则线段 FQ
的垂直平分线
（A）经过点 O
（B）经过点 P
第 3页 / 共 17页
（C）平行于直线 OP
答案：B
（D）垂直于直线 OP
解析：如图，连接 PF，由抛物线的定义可知， PF PQ ，所以线段 FQ 的垂直平分线经过点 P，故选 B
（5）已知半径为 1 的圆经过点 (3,4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为
（A）4 （C）6 答案：A
（B）5 （D）7
解析：由已知，圆心在以点 A(3, 4) 为圆心，1 为半径为圆上，当圆心在下图点 B 位置时，圆心到原点的距离最 小，所以圆心到原点的距离的最小值为 OB OA 1 32 42 1 5 1 4 ，选 A
2020届高考数学压轴必刷题 专题09平面解析几何(文理合卷)(含答案)
2020届高考数学压轴必刷题专题09平面解析几何(文理合卷)1．【2019年全国新课标2理科11】设F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：如图，由题意，把x代入x2+y2＝a2，得PQ，再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，∴，解得e．故选：A．2．【2018年新课标1理科11】已知双曲线C：y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）A．B．3 C．2D．4【解答】解：双曲线C：y2＝1的渐近线方程为：y，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F （2，0）的直线为：y，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|3．故选：B．3．【2018年新课标2理科12】已知F1，F2是椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），代入直线AP：c（2c+a），整理得：a＝4c，∴题意的离心率e．故选：D．4．【2018年新课标3理科11】设F1，F2是双曲线C：1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1||OP|，则C的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：双曲线C：1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y x，∴点F2到渐近线的距离d b，即|PF2|＝b，∴|OP|a，cos∠PF2O，∵|PF1||OP|，∴|PF1|a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c4c2﹣3b2＝4c2﹣3（c2﹣a2），即3a2＝c2，即a＝c，∴e，故选：C．5．【2018年天津理科07】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（）A． 1 B． 1C． 1 D． 1【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y，即bx﹣ay＝0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF3，EF b，所以b＝3，双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a．则双曲线的方程为：1．故选：C．6．【2017年新课标1理科10】已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y＝x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，∴|DE|•|y1﹣y2|8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为θ，根据焦点弦长公式可得|AB||DE|∴|AB|+|DE|，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．7．【2017年新课标3理科10】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，∴原点到直线的距离a，化为：a2＝3b2．∴椭圆C的离心率e．故选：A．8．【2017年上海16】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1和C2：x21．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且w}，则Ω中元素个数为（）A．2个B．4个C．8个D．无穷个【解答】解：椭圆C1：1和C2：x21．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α，β＜2π，则6cosαcosβ+6sinαsinβ＝6cos（α﹣β），当α﹣β＝2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，则Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2＝36，9u2+v2＝9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）＝324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv＝9nu，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．9．【2016年新课标2理科11】已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则丨MF1丨，丨MF2丨，∴sin∠MF2F1，∴，可得：2b4＝a2c2，即b2＝ac，又c2＝a2+b2，可得e2﹣e0，e＞1，解得e．故选：A．10．【2016年浙江理科07】已知椭圆与双曲线C2：y2＝1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1【解答】解：由题意可得m2﹣1＝n2+1，即m2＝n2+2，又m＞1，n＞0，则m＞n，由e12•e22••＝11，则e1•e2＞1．故选：A．11．【2016年新课标3理科11】已知O为坐标原点，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y＝k（x+a），令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH＝k BM，即为，化简可得，即为a＝3c，可得e．另解：由△AMF∽△AEO，可得，由△BOH∽△BFM，可得，即有即a＝3c，可得e．故选：A．12．【2015年新课标2理科11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设M在双曲线1的左支上，且MA＝AB＝2a，∠MAB＝120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，1，可得a＝b，c a，即有e．故选：D．13．【2015年浙江理科05】如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x＝﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF＝BD，AF＝AE，则|BM|＝|BD|﹣1＝|BF|﹣1，|AN|＝|AE|﹣1＝|AF|﹣1，则，故选：A．14．【2014年新课标1理科10】已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF 与C的一个交点，若4，则|QF|＝（）A．B．3 C．D．2【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|＝d，∵4，∴|PQ|＝3d，∴不妨设直线PF的斜率为2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y＝﹣2（x﹣2），与y2＝8x联立可得x＝1，∴|QF|＝d＝1+2＝3，故选：B．15．【2014年新课标2理科10】设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由y2＝2px，得2p＝3，p，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y（x），即x y．联立，得4y2﹣12y﹣9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝3，y1y2．∴S△OAB＝S△OAF+S△OFB|y1﹣y2|．故选：D．16．【2014年上海理科17】已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y＝kx+1的斜率存在，∴k，即a1≠a2，并且b1＝ka1+1，b2＝ka2+1，∴a2b1﹣a1b2＝ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1＝a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x＝b2﹣b1，即（a1﹣a2）x＝b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．17．【2013年浙江理科09】如图F1、F2是椭圆C1：y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第A．B．C．D．【解答】解：设|AF1|＝x，|AF2|＝y，∵点A为椭圆C1：y2＝1上的点，∴2a＝4，b＝1，c；∴|AF1|+|AF2|＝2a＝4，即x+y＝4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴，即x2+y2＝（2c）212，②由①②得：，解得x＝2，y＝2，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m＝|AF2|﹣|AF1|＝y﹣x＝2，2n＝2c＝2，∴双曲线C2的离心率e．故选：D．18．【2012年浙江理科08】如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：线段PQ的垂直平分线MN，|OB|＝b，|OF1|＝c．∴k PQ，k MN．直线PQ为：y（x+c），两条渐近线为：y x．由，得Q（）；由得P．∴直线MN为，令y＝0得：x M．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝x M，∴3a2＝2c2解之得：，即e．故选：B．19．【2012年天津理科08】设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1，1] B．（﹣∞，1]∪[1，+∞）C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，得到圆心坐标为（1，1），半径r＝1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d1，整理得：m+n+1＝mn，设m+n＝x，则有x+1，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4＝0的解为：x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．20．【2010年新课标1理科12】已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k＝k PN＝1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2＝﹣24，y1+y2＝﹣30得，从而k 1即4b2＝5a2，又a2+b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故选：B．21．【2010年浙江理科08】设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0 C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0【解答】解：依题意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|＝24b根据双曲定义可知4b﹣2c＝2a，整理得c＝2b﹣a，代入c2＝a2+b2整理得3b2﹣4ab＝0，求得∴双曲线渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0故选：C．22．【2019年新课标1理科16】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，•0，则C的离心率为．【解答】解：如图，∵，且•0，∴OA⊥F1B，则F1B：y，联立，解得B（，），则，，∴4c2，整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，∴，e．故答案为：2．23．【2019年浙江15】已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是．【解答】解：椭圆1的a＝3，b，c＝2，e，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得|PF'|＝2|AO|＝4，设P的坐标为（m，n），可得3m＝4，可得m，n，由F（﹣2，0），可得直线PF的斜率为．故答案为：．24．【2018年新课标3理科16】已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝．【解答】解：∵抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），∴过A，B两点的直线方程为y＝k（x﹣1），联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2＝1，∴y1+y2＝k（x1+x2﹣2），y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]＝﹣4，∵M（﹣1，1），∴（x1+1，y1﹣1），（x2+1，y2﹣1），∵∠AMB＝90°，∴•0∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2＝0，∴1+242＝0，即k2﹣4k+4＝0，∴k＝2．故答案为：225．【2018年浙江17】已知点P（0，1），椭圆y2＝m（m＞1）上两点A，B满足2，则当m＝时，点B横坐标的绝对值最大．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），2，可得﹣x1＝2x2，1﹣y1＝2（y2﹣1），即有x1＝﹣2x2，y1+2y2＝3，又x12+4y12＝4m，即为x22+y12＝m，①x22+4y22＝4m，②①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）＝﹣3m，可得y1﹣2y2＝﹣m，解得y1，y2，则m＝x22+（）2，即有x22＝m﹣（）2，即有m＝5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．26．【2018年上海12】已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2，则的最大值为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1，y1），（x2，y2），由x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2，可得A，B两点在圆x2+y2＝1上，且•1×1×cos∠AOB，即有∠AOB＝60°，即三角形OAB为等边三角形，AB＝1，的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1＝0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y＝1平行，可设AB：x+y+t＝0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d，可得21，解得t，即有两平行线的距离为，即的最大值为，故答案为：．27．【2018年北京理科14】已知椭圆M：1（a＞b＞0），双曲线N：1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．【解答】解：椭圆M：1（a＞b＞0），双曲线N：1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），解得e．同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为e2．故答案为：；2．28．【2017年江苏13】在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2＝50上．若20，则点P的横坐标的取值范围是．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02＝50，（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）＝（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）＝12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5＝0以及直线上方的区域，联立，解可得x0＝﹣5或x0＝1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．29．【2017年新课标2理科16】已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝．【解答】解：抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|＝2|FM|＝26．故答案为：6．30．【2017年北京理科14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3．（1）记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是．（2）记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是．【解答】解：（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1＝A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2＝A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3＝A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案为：Q1，p231．【2016年江苏10】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1（a＞b＞0）的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是．【解答】解法一：设右焦点F（c，0），将y代入椭圆方程可得x＝±a±a，可得B（a，），C（a，），由∠BFC＝90°，可得k BF•k CF＝﹣1，即有•1，化简为b2＝3a2﹣4c2，由b2＝a2﹣c2，即有3c2＝2a2，由e，可得e2，可得e，解法二：设右焦点F（c，0），将y代入椭圆方程可得x＝±a±a，可得B（a，），C（a，），（a﹣c，），（a﹣c，），•0，则c2a2十b2＝0，因为b2＝a2﹣c2，代入得3c2＝2a2，由e，可得e2，可得e．解法可得FH＝HC a，在直角三角形OHF中，OF2+OH2＝FH2，即有c2a2十b2＝0，因为b2＝a2﹣c2，代入得3c2＝2a2，由e，可得e2，可得e．故答案为：．32．【2016年新课标3理科16】已知直线l：mx+y+3m0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝．【解答】解：由题意，|AB|＝2，∴圆心到直线的距离d＝3，∴3，∴m∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|4．故答案为：4．33．【2015年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，因为点P到直线x﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1＝0与直线x﹣y＝0的距离，即．故答案为：．34．【2014年新课标2理科16】设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．35．【2014年浙江理科16】设直线x﹣3y+m＝0（m≠0）与双曲线1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|P A|＝|PB|，则该双曲线的离心率是．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，则与直线x﹣3y+m＝0联立，可得A（，），B（，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|P A|＝|PB|，∴3，∴a＝2b，∴b，∴e．故答案为：．36．【2014年上海理科14】已知曲线C：x，直线l：x＝6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得，则m的取值范围为．【解答】解：曲线C：x，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[﹣2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x＝6，∴m∈[2，3]．故答案为：[2，3]．37．【2013年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2，则椭圆C的离心率为．【解答】解：如图，准线l：x，d2，由面积法得：d1，若d2，则，整理得a2﹣ab0，两边同除以a2，得（）0，解得．∴e．故答案为：．38．【2013年浙江理科15】设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于．【解答】解：由题意设直线l的方程为my＝x+1，联立得到y2﹣4my+4＝0，△＝16m2﹣16＝16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2＝4m，∴2m，∴x0＝my0﹣1＝2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2＝4x得焦点F（1，0）．∵|QF|＝2，∴，化为m2＝1，解得m＝±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．39．【2012年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，整理得：（x﹣4）2+y2＝1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y＝kx﹣2的距离为d，则d2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k．∴k的最大值是．故答案为：．40．【2012年浙江理科16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y＝x2+a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a ＝．【解答】解：圆x2+（y+4）2＝2的圆心为（0，﹣4），半径为，圆心到直线y＝x的距离为2，∴曲线C2：x2+（y+4）2＝2到直线l：y＝x的距离为2．则曲线C1：y＝x2+a到直线l：y＝x的距离等于，令y′＝2x＝1解得x，故切点为（，a），切线方程为y﹣（a）＝x即x﹣y a＝0，由题意可知x﹣y a＝0与直线y＝x的距离为，即解得a或．当a时直线y＝x与曲线C1：y＝x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．41．【2011年浙江理科17】设F1，F2分别为椭圆y2＝1的焦点，点A，B在椭圆上，若5；则点A的坐标是．【解答】解：方法1：直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B'又∵由椭圆的对称性，得设A（x1，y1），B'（x2，y2）由于椭圆的a，b＝1，c∴e，F1（，0）．∵|F1A||x1|，|F1B'||x2|，从而有：|x1|＝5|x2|，由于x1，x2，∴x1＞0，x2＞0，即55．①又∵三点A，F1，B′共线，∴（，y1﹣0）＝5（x2，0﹣y2）∴．②由①+②得：x1＝0．代入椭圆的方程得：y1＝±1，∴点A的坐标为（0，1）或（0，﹣1）方法2：因为F1，F2分别为椭圆的焦点，则，设A，B的坐标分别为A（x A，y A），B（x B，y B），若；则，所以，因为A，B在椭圆上，所以，代入解得或，故A（0，±1）．方法k＝tanθ，由，即可得到A（0，±1）．故答案为：（0，±1）．42．【2011年北京理科14】曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．其中，所有正确结论的序号是．【解答】解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：⇔[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]＝a4（1）将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②，把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积a2sin∠F1PF2，a2，所以③正确．故答案为：②③．43．【2010年上海理科13】如图所示，直线x＝2与双曲线Γ：1的渐近线交于E1，E2两点，记，，任取双曲线上的点P，若（a，b∈R），则a、b满足的一个等式是．【解答】解：依题意可知：E1（2，1），E2（2，﹣1）∴（2a+2b，a﹣b），∵点P在双曲线上∴（a﹣b）2＝1，化简得4ab＝1故答案为4ab＝144．【2010年北京理科14】如图放置的边长为1的正方形P ABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则f（x）的最小正周期为；y＝f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为．【解答】解：从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：故其与x轴所围成的图形面积为．故答案为：4，π+11．【2019年新课标2文科12】设F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：如图，由题意，把x代入x2+y2＝a2，得PQ，再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，∴，解得e．故选：A．2．【2019年新课标1文科12】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．y2＝1 B． 1C． 1 D． 1【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|，∴|AF2|＝a，|BF1|a，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得0，解得a2＝3，∴a．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C的方程为：1．故选：B．3．【2018年新课标2文科11】已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（）A．1B．2C．D． 1【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），解得e．故选：D．4．【2018年天津文科07】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（）A． 1 B． 1C． 1 D． 1【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y，即bx﹣ay＝0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF3，EF b，所以b＝3，双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a．则双曲线的方程为：1．故选：A．5．【2017年新课标2文科12】过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．3【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y（x﹣1），过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l可知：，解得M（3，2）．可得N（﹣1，2），NF的方程为：y（x﹣1），即，则M到直线NF的距离为：2．故选：C．6．【2017年新课标1文科12】设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），设A（﹣a，0），B（a，0），M（x，y），y＞0，则a2﹣x2，∠MAB＝α，∠MBA＝β，∠AMB＝γ，tanα，tanβ，则tanγ＝tan[π﹣（α+β）]＝﹣tan（α+β），∴tanγ，当y最大时，即y＝b时，∠AMB取最大值，∴M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO tan60°，解得：0＜m≤1；当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，当M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO tan60°，解得：m≥9，∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞）故选A．故选：A．7．【2017年新课标3文科11】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，∴原点到直线的距离a，化为：a2＝3b2．∴椭圆C的离心率e．故选：A．8．【2016年新课标3文科12】已知O为坐标原点，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y＝k（x+a），令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH＝k BM，即为，化简可得，即为a＝3c，可得e．另解：由△AMF∽△AEO，可得，由△BOH∽△BFM，可得，即有即a＝3c，可得e．故选：A．9．【2014年新课标2文科12】设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[，] C．[，] D．[，]【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN＝1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．10．【2014年北京文科07】已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO AB＝m，故有m≤6，11．【2014年天津文科06】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y＝2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A． 1 B． 1C． 1 D． 1【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y＝0，可得x＝﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c＝5，∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y＝2x+10，∴2，∵c2＝a2+b2，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为1．故选：A．12．【2011年新课标1文科09】已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．48【解答】解：设抛物线的解析式为y2＝2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，∴|AB|＝2p＝12∴p＝6又∵点P在准线上∴DP＝（||）＝p＝6∴S△ABP（DP•AB）6×12＝36故选：C．13．【2011年北京文科08】已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2＝0点C到直线AB的距离为：d，有三角形ABC的面积为2可得：|a+a2﹣2|＝2得：a2+a＝0或a2+a﹣4＝0，显然方程共有四个根，可知函数y＝x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故选：A．14．【2015年新课标1文科16】已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为．【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长＝|AF|+|AP|+|PF|＝|AF|+|AP|+|PF′|+2≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），直线AF′的方程为与x21联立可得y2+6y﹣96＝0，∴P的纵坐标为2，∴△APF周长最小时，该三角形的面积为12．故答案为：12．。
2020高考数学最后十天压轴题 专题1.5 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题(解析版)
2
AD
63
4.【山东省聊城市第一中学 2019 届高三上学期期中考试】已知 M 是△ABC 内的一点，且
，
，若△MBC，△MCA 和△MAB 的面积分别为 1， ， ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．8 C．6 D．3
5. 【湖北省宜昌市示范高中协作体 2019 届高三上学期期中联考】已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边
长分别为 a、b、c，向量 =(a＋c，a－b)， =(b，a－c)，若 ∥ ，则∠C=(
)
A． B． C． D．
6. 【2019·山东高三期末（理）】过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 作直线 l ，交抛物线于点 M ， N ，交
抛物线的准线于点 P ，若 PM 2PN ，则直线 l 的斜率为( )
C．垂心
D．重心
【 举 一 反 三 】【 江 西 省 赣 州 市 十 四 县 （ 市 )2019 届 高 三 上 学 期 期 中 联 考 】 在
中,
,是
的内心,若
,其中
,动点 的轨迹所覆
盖的面积为( )
A．
B．
C．
D．
类型三 向量与三角函数的结合
典例 4． （多选题）（2019·山东高三期中）已知向量 m (sin x, 3) ， n cos x, cos2 x ，函数
uuur uuur 两点，且 AE EB ， AD 2DC ， BD 与 CE 交于点 O ，则下列说法正确的是（ ）
A． AB CE 1
B． OE OC 0
C． OA OB OC
3
2
7
D． ED 在 BC 方向上的投影为 6
2.（多选题）（2019·山东菏泽一中高三月考）下列命题中，是真命题的是（ ）
全国卷Ⅱ2020届高三高考压轴卷数学试题(文)(含解析)
【详解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；
∴A∩B＝{0，1}． 故选：A． 2. 答案 A
解析
，则 ，则复数 的虚部是 z
=
1− i 1+ 2i
=
(1− i)(1− 2i) (1+ 2i)(1− 2i)
=
−1− 3i 5
=
−
1 5
−
3i 5
z =−1+3i 55
z
3
.
5
故选：A. 3. 答案 D
命题 ，使 的否定是： 均有 C. “∃x∈ R x2 + x −1 < 0 ”
“ ∀x ∈ R x2 + x −1 > 0 ”
D. 命题“若 x = y ，则sin x = sin y ”的逆否命题为真命题
D. − 3 i 5
sin (α −π ) + cos(π −α )
角4. α 的终边在直线 y = 2x 上，则 sin (π +α ) − cos(π −α ) = （ ）
线方程．
23. （本小题 10 分）
设函数 f (x) = x +1 − x 的最大值为 m.
（1）求 m 的值；
（2）若正实数 ，a b 满足 a + b = m，求 a2 + b2 的最小值. b+1 a +1
6 / 17
2020 新课标 2 高考压轴卷数学（文）Word 版含解析
参考答案
1. 答案 A 解析 可解出集合 A，然后进行交集的运算即可．
（）
A.
B.
C.
D.
2 / 17
11.双曲线
C：