数值计算论文
计算方法论文浅谈拉格朗日插值法
计算方法论文浅谈拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的数值计算方法，用于构造一个多项式来逼近一些已知的离散数据点。
它被广泛应用于插值问题，如图像处理、物理实验数据处理、曲线拟合以及信号处理等领域。
本文将从原理、计算步骤以及优缺点三个方面，对拉格朗日插值法进行探讨。
拉格朗日插值法的基本原理是利用多项式的线性组合来逼近函数。
假设已知n+1个数据点：(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，其中x0, x1, ... , xn是互不相同的。
我们的目标是通过已知的数据点构造一个多项式P(x)，使得在这n+1个数据点上有P(xi) = yi。
根据插值定理，只要这些数据点满足一定的条件，存在唯一的插值多项式。
下面我们来具体讨论拉格朗日插值法的计算步骤。
首先，我们需要构造一个基于已知数据点的拉格朗日基函数。
对于每个数据点(xi, yi)，我们定义一个拉格朗日基函数Li(x)，它满足在xi处取值为1，而在其他数据点xj上取值为0。
拉格朗日基函数的定义如下：Li(x) = Π(j=0, j≠i, n)(x - xj) / Π(j=0, j≠i, n)(xi - xj)其中，Π表示一系列数的乘积符号。
接下来，我们需要将基函数与其对应的函数值进行线性组合，得到插值多项式P(x)。
插值多项式的表达式如下：P(x) = Σ(i=0, n)Li(x) * yi最后，我们可以利用插值多项式来计算任意点的函数值。
拉格朗日插值法的优点在于相对简单和容易理解，它能够精确地通过已知的n+1个数据点来构造一个次数不超过n的多项式，实现对函数的逼近。
然而，拉格朗日插值法也存在一些缺点。
首先，拉格朗日插值法对于数据点的选择非常敏感，如果数据点的密度不均匀或者存在较大误差，那么插值结果可能会出现较大的误差。
此外，拉格朗日插值法在计算多项式系数时需要进行大量的乘法和除法运算，这在数据规模较大时可能会导致计算效率降低。
数值计算的信息意识
数值计算的信息意识数值计算是一种重要的信息意识，它在各个领域都有着广泛的应用。
无论是科学研究、工程设计还是商业决策，数值计算都扮演着至关重要的角色。
在当今信息爆炸的时代，如何正确并高效地进行数值计算，成为了人们亟待解决的问题。
数值计算的精确性是至关重要的。
在进行数值计算时，我们需要保证所使用的算法和方法是准确无误的。
任何一点的误差都可能导致整个计算结果的偏差，甚至是错误。
因此，我们需要对数值计算的方法进行充分的了解和评估，确保所采用的方法是可靠的，能够给出准确的结果。
数值计算的效率也是一个不可忽视的因素。
随着计算机技术的不断发展，我们可以利用各种高效的算法和工具来进行数值计算。
在处理大规模数据或复杂计算时，高效的算法可以大大节约时间和资源，提高计算效率。
因此，我们需要不断学习和掌握最新的数值计算技术，以提高计算效率，更快地得到结果。
数值计算的可靠性也是一个重要的考量因素。
在实际应用中，我们往往需要对计算结果进行验证和检验，以确保其符合实际情况。
通过对计算结果的敏感性分析和误差估计，我们可以评估计算结果的可靠性，为决策提供可靠的依据。
因此，在进行数值计算时，我们需要谨慎对待计算结果，不可轻信盲从，要有批判性思维和质疑精神。
数值计算还需要考虑到计算成本的问题。
在进行数值计算时，我们需要综合考虑时间、资源和成本等因素，选择最适合的计算方法和工具。
有时候，我们可能需要进行折中和权衡，以在有限的资源下获得最优的计算结果。
因此，在进行数值计算时，我们需要全面考虑各种因素，以实现最佳的计算效果。
数值计算是一种重要的信息意识，它在各个领域都有着广泛的应用。
在进行数值计算时，我们需要保证精确性、效率、可靠性和成本等方面的考量，以获得最优的计算结果。
只有这样，我们才能更好地应对复杂的计算问题，推动科学技术的发展，实现更多的创新和突破。
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数值计算在期权定价中的应用摘方程是一些特殊的微分方程(如:线性方程、可分离变量方程等)，则可以通过解析法求出其通解，再根据初始条件确定通解中的任意常数，得到初值问题解的解析表达式．然而在实际问题和科学研究中所遇到的微分方程往往比较复杂，很多情况下不可能求出它的解析解．鉴于上述情况，数值解法就是十分必要的．在现实中已有许多利用数值解法解决复杂问题的例子．本文以期权定价为例，采用传统方法和数值解法中的有限差分法求解并加以比较．关键词：有限差分法；可分离变量方程；期权定价Abstractengineering and scientific research. If the equations are special ones (such as linear equations, detachable variable equations etc). We can obtain its general solution through its analytical method, then according to its initial conditions, the general solution of arbitrary constants can be identified, at last, we can get the analytical expression of the initial problem. However, the differential equations that we meet in the practical problems and scientific research are very complex, and we can’t obtain its analytical solution in such cases. According to the above, the numerical solution is necessary. In reality, there are many examples that solve the complex problems by using the numerical solution. Take the Option Pricing for example, we can solve it by using the traditional method and the finite difference in the numerical solution, and then compared.Key words:finite difference method；detachable variable equations；option pricing1.1有限差分法微分方程和积分微分方程数值解的方法．续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解．然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解．有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组]1[．此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性．对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求．另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念．此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性．因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关．前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的．只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解．关于差分格式的构造一般有以下3种方法．最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等．另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示．此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式．1.2 现代金融理论金融市场经济在现代社会经济中扮演了极其重要的角色，而现代金融理论又是支撑这一庞大市场有效运行的基础．现代金融理论是指在金融经济学中大量运用数学工具来研究金融风险的防范与控制、资本市场的运营、资本资产的结构和衍生证券的定价等理论所取得的成果．在现代金融市场中，金融衍生工具扮演了极其重要的角色．金融衍生工具（derivative instruments，以下简称衍生工具）又称为金融衍生品或金融衍生证券，它是一类新型的金融工具．其价格或投资回报最终取决于另一种资产，即所谓的标的资产的价格]2[．金融衍生工具的价值是由其标的资产价值衍生而成的．其中，用来作为标的资产的可以是债券、股票、货币等原生金融工具，可以是其他实物资产，也可以是金融衍生工具本身．远期合同、期货合同和期权合同是三种最基本的衍生工具．金融市场上还存在着各种各样的金融衍生工具，那些以各种形式对资产所有权进行重新包装的金融工具都可归入其中，如金融互换、按揭抵押证券、资产抵押证券、结构化债券、可转换证券等．金融衍生工具的基本功能在于实现风险的转移，为投资者提供套期保值的有效工具．各种风险的价格可以得到量化，从而使风险与投资收益相分离，成为一种特殊的商品．通过一定的价格，投资者可以将自己不愿意承担的风险，转交给那些对特定风险有深入研究的专家，或者是那些追求风险收益的投机者．套期保值就是衍生工具风险转移功能的直接体现．金融衍生市场，作为金融衍生产品交易的市场，由于具有风险规避以及效率促进的经济功能，现已成为现代金融市场体系中最有活力、最具潜力的市场形态．期权定价理论是目前金融工程、金融数学所研究的前沿和热点问题．以B-S模型为核心的期权定价理论是现代金融领域最杰出的成就之一，二十多年来一直是金融理论探索的源泉．不过，B-S模型对市场作了许多不切实际的假设．例如在现实当中利率是时间的函数或随机变量；波动率也是随机变量；存在交易费用；标的资产价格运动不遵循随机游动模型〔Random Walk〕等等]3[．文章在深入研究了期权特性及其价格影响因素的基础上，首先从著名的布莱克—斯科尔斯期权定价公式（B—S定价公式）入手，详细地描述了衍生证券所服从的B—S偏微分方程的推导过程，以及由B—S方程推出B—S定价公式的方法，并分析了这个定价公式的不足之处．针对这个不足，本文在改变B--S定价公式中一个基本假设的基础上，采用数值差分算法推导出另一种期权定价模型．1.3 现代金融理论的发展趋势主要表现随机最优控制理论，鞅理论，脉冲最优控制理论，智能优化等[4]．八十年代以前的期权定价研究一般都假设期权所依赖的标的资产价格为一个连续随机过程，市场也是“完善”的，在这些比较理想化假设条件下，导出了各种期权定价模型．近十多年来，由于计算机技术的快速发展，期权定价理论研究在以下几个方面得到深化，而取得了大量的研究成果：一是在不完善市场条件下，如何确定期权价格问题；二是认为期权所依赖的标的资产的价格是一个连续随机过程假设条件过于理想化，将这个假设条件进行改进来研究期权的定价问题．1.4 本文的创新点本文主要运用差分算法，在B-S模型基础上将有关参数离散化，用数值计算预期期权价格．第二章Black—Scholes期权定价模型2.1 期权简介金融衍生产品包括远期合约、互换、期货、期权等[5]．其中，期权无论是从在衍生市场上所占的份额，还是从其普及程度来讲，都可以说是最重要的衍生产品．期权是指在未来一定时期可以买卖的权力，是买方向卖方支付一定数量的金额后拥有的在未来一段时间内或未来某一特定日期以履约价格向卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权力，但不负有必须买进或卖出的义务．从形式上看，期权是一种由交易双方签订的，按约定价格，约定时间来买卖约定数量标的物的合约，与一般的合约有本质的区别，即卖方在规定的交割时间有权选择是否执行这一期权，而卖方只能被动的接受．在合约签订之时买方要赋予卖方一定数量的金钱作为获得这项权利的代价，这部分金钱就是期权的价格，也叫期权费．期权按权利划分包括看涨期权、看跌期权和双向期权三种．[6]看涨期权是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格买进某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必须买进的义务．看跌期权是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格卖出某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必须卖出的义务．双向期权是指期权的买方既享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格买进某一特定数量的相关商品期货合约的权利，又享有在商定的有效期限内按同一敲定价格卖出某一特定数量的相关商品期货合约的权利．按期权执行期限的不同可以分为欧式期权和美式期权，欧式期权只能在合约到期日才能执行，而美式期权可以在期权有效期内的任何一天执行．美式期权在设计方面比欧式期权简单，并且美式期权的执行日期并不确定．因此，在理论研究方面，欧式期权要比美式期权简单得多，著名的B—S期权定价模型的研究对象就是欧式股票期权．2.2 Black—Scholes期权定价模型2.2.1 模型简介1973年，美国芝加哥大学学者f ·布莱克与m ·肖莱斯提出了布莱克－肖莱斯期权定价模型，对股票期权的定价作了详细的讨论．为了构建其期权定价模型，布莱克与肖莱斯提出了如下假设：第一，作为基础商品的股票价格是随机波动的，且满足几何维纳过程(geometric wiener process)．这意味着：(1) 基础商品价格波动是独立的，将来的价格水平只与现在的价格相关，与过去的价格无关．(2) 基础商品价格不能停止变动，且这种波动是连续的．(3) 在极短时间内，基础商品价格只能有微小的波动，不会出现跳跃． 用数学公式来表示，即为[][][][][]ds t ms t d t s t d z σ=+，（2.1）其中[]s t 表示股票价格，m 为瞬时期望收益．σ为无风险连续收益率的标准差，dz 为标准维纳过程，是期望值为0，标准差为1的标准正态分布变量．第二，股价服从于对数正态分布，这是几何维纳过程所隐含的一个条件，表示股价的对数满足正态分布．这一分布具有两个特点：(1) 非对称性．即变量对均值上升与下跌相同幅度的概率不一样，一般股价上升100％的概率与下降50％的概率相当．正因为如此，保证了股价的非负性．(2) 从概率分布图向两翼，特别是向右的扩展可以看出，股票价格较大幅度地偏离均值的概率也是不容忽视的，但总体上股票价格在均值附近窄幅波动的情况更普遍．第三，资本市场完善．即不存在交易手续费、税收及保证金等因素． 第四，市场提供了连续交易机会．即假定所有的股票都是无限可分的，交易者能在无交易成本情况下，不断调整股票与期权的头寸状况，得到无风险组合．第五，存在一无风险利率．在期权有效期内，投资者可以此利率无限制地存款或贷款．第六，股票不派发股息，期权为欧洲期权． 第七，基础商品价格波动的离散度为一常数．在上述假设条件下，Black 和Scholes 推导出了看涨期权的定价模型，以股票为基础资产[7]．对看涨期权而言，其在到期日的价值为⎩⎨⎧>-≤=-=XS XS X S X S C T T T T T ,,0)0,m a x ( （2.2）其中T S 代表对应资产到期日的价格，X 代表期权的交割价格．()0()()()()() X T T T T T T XT T T T TXXE C f S dS S X f S dS S f S dS Xf S dS A XB ∞-∞∞∞=⋅+-=-=-⎰⎰⎰⎰（2.3）令0()t n S Y l S =，可知20~(,),YT Y N t t S S eμδ=，从而有2222212222112100ln()()20ln()()220ln()0ln()01()()()((YYT X T T T XS Y t YtX S Y t t t t tX S t t X t trtS A S f S dS S e f Y S e dYYS edYS edY S ed Se N d μσμσμσσμσξμσξξ∞∞---∞---∞+∞+---∂==⋅∂=====⎰⎰⎰⎰⎰令) (2.4)其中220111,{()()}22n S r d l r t Xμσσσ=+=++。
弹性力学论文：关于圣维南原理的数值计算
关于圣维南原理的数值计算——基于艾里应力函数的平面应力问题的差分解法摘要本文通过应力函数的方法，结合数值方法，求解受端部集中力作用下的平板拉伸问题，评估基于圣维南原理的解与数值解相比带来的误差及其分布，并将此与J.N. Goodier的理论分析对比。
关键词弹性力学，圣维南原理，平面应力问题，有限差分法0引言圣维南原理（局部性原理）是弹性力学的一般原理之一，常用于在边界力系无法精确描述时的等效替代，其一种表述[1]为：“若把作用在物体局部边界上的面力，用另一组与它静力等效（即有相同的主矢量和主矩）的力系来替代，则在力系作用区域的附近应力分布将有明显的改变，但在远处所受的影响可以不计”。
作为一条经验定理[5]，这一原理的提出为材料力学和弹性力学问题的求解提供了大量的便利，但是对于这一原理的精确度，直到1937年，J.N. Goodier才从理论的角度给出评估，他指出圣维南原理的影响范围和外力作用的区域大致相近。
本文将以平面应力问题为例，借助数值计算的方法对比圣维南原理简化前与简化后的计算结果，验证Goodier对于圣维南原理影响范围的理论值，并给出在不同精度要求下的影响范围的精确结果。
1问题的描述考虑长方形平板的拉伸问题。
如下图所示，长度为a，宽度为b，在两边中点施加大小为F的集中点力。
2方程的建立2.1解法的选择应力解法和位移解法是弹性力学中的两种基本方法。
在平面问题中，应力解法可以通过应力函数的引入，将问题归结为关于应力函数的双调和方程的边值问题，与位移解法的偏微分方程组相比，更加适用于解析求解。
但是对于多连体问题，位移解法涉及到衔接条件的引入，会使问题更加复杂[3]。
但是本题只涉及到简单的单连通体，所以选择应力函数的求解方式。
若将应力函数记为，那么双调和方程可以写成。
2.2有限差分法在双调和方程中，应力函数是一个平面标量场，通过将的平板划分成的网格，连续函数离散为一个矩阵，矩阵中的元素记为。
利用中心差分公式化简偏导数项，结果如下。
导数的数值计算方法[文献综述]
![导数的数值计算方法[文献综述]](https://img.taocdn.com/s3/m/354956b75a8102d276a22fb6.png)
毕业论文文献综述信息与计算科学导数的数值计算方法一、 前言部分导数概念的产生有着直觉的起源，与曲线的切线和运动质点的速度有密切的关系．导数用于描述函数变化率，刻画函数的因变量随自变量变化的快慢程度．比如说，物理上考虑功随时间的变化率（称为功率），化学上考虑反应物的量对时间的变化率（称为反应速度），经济学上考虑生产某种产品的成本随产量的变化率（称为边际成本）等等，这些变化率在数学上都可用导数表示．导数由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，导数是研究函数的切线、单调性、极值与最值等问题的有力工具；运用它可以简捷地解决一些实际问题，导数的概念是用来研究函数在一点及其附近的局部性质的精确工具，而对于函数在某点附近的性质还可以应用另一种方法来研究，就是通过最为简单的线性函数来逼近，这就是微分的方法．微分学是数学分析的重要组成部分，微分中值定理作为微分学的核心，是沟通导数和函数值之间的桥梁， Rolle 中值定理， Lagrange 中值定理， Cauchy 中值定理， Taylor 公式是微分学的基本定理， 统称为微分学的中值定理，这四个定理作为微分学的基本定理，是研究函数形态的有力工具]1[．在微分学中，函数的导数是通过极限定义的，但当函数用表格给出时，就不可用定义来求其导数，只能用近似方法求数值导数]2[．最简单的数值微分公式是用差商近似地代替微商，常见的有[3]．()()()'f x h f x f x h+-≈，()()()'f x f x h f x h--≈，()()()'2f x h f x h f x h+--≈．需要注意的是微分是非常敏感的问题，数据的微小扰动会使结果产生很大的变化]4[．二、主题部分数学中研究导数，微分及其应用的部分称为微分学，定积分及其应用的部分称为积分学．微分学与积分学统称为微积分学．微积分学是高等数学最基本，最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界，探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一． 恩格斯(1820-1895)曾指出:“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”． 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观，科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材．积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生，从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业，农业，航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代．而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展．生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学，天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展．在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生: (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值．这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题．导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题:已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的]5[．下面我们就来研究几种推导数值微分公式的常用方法． （一）利用差商表求导数[67]，最简单的数值微分公式是用向前差商近似代替导数： ()()()000'f x h f x f x h+-≈． （1．1）类似地，也可用向后差商近似代替导数()()()000'f x f x h f x h--≈． （1．2）或用中心差商近似代替导数()()()000'2f x h f x h f x h+--≈． （1．3）数值微分示意图在几何图形上，这3种差商分别表示弦AB ，AC 和BC 的斜率．将这3条弦同过A 点的切线AT 相比较，从上图可以看出，一般地说以BC 的斜率更接近于切线AT 的斜率()0'f x ，因此就精确度而言，以式（1．3）更为可取．称 ()()()002f x h f x h D h h+--= （1．4）为求()0'f x 的中点公式．现在来考察用式（1．4）代替()0'f x 所产生的截断误差．首先分别将()0f x h ±在0x 处作Taylor 展开，有()()()()()()()2344000000''''''2!3!4!h h h f x h f x hf x f x f x f x ±=±+±+±()()5505!h f x +L ． 然后代入中点公式（1．4），得()()()()()245000''''3!5!h h D h f x f x f x =+++L ．所以截断误差()()()()()245000''''3!5!h h f x D h f x f x -=--+L （1．5）由此可以得到：从截断误差的角度来看，步长h 越小，计算结果越准确．但从计算角度看，h 越小，()0f x h +与()0f x h -越接近，直接相减会造成有效数字的严重损失，因此从舍入误差的角度看步长h 不宜去的太小．怎样选取合适的步长呢？可采用二分步长及误差事后估计法，即比较二分前后所得值()D h 与2h D ⎛⎫⎪⎝⎭，若()2h D h D ε⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2h 为所需的合适的步长且()0'2h D f x ⎛⎫≈⎪⎝⎭． （二）插值型求导公式 对于列表函数()y f x =x0x 1x … n xy0y 1y…n y应用插值原理，可以建立插值多项式()n p x 作为()f x 的近似．由于多项式的求导比较容易，因此可以取()'n p x 的值作为()'f x 的近似值，这样建立的数值公式()()''n f x p x ≈ （2．1）统称为插值型求导公式[8,9]．()'n p x 的截断误差可由()n p x 的截断误差求导数得到．因为()()()()()()111!n n n f f x p x W x n ξ++-=+式中，[],a b ξ∈且依赖于x ；()()10nn j j W x x x +==∏-．于是()'n p x 的截断误差为()()()()()()()()()()1111'''1!1!n n n n n f W x df x p x W x f n n dxξξ++++-=+++．（2．2）由于ξ是x 的位置函数，因此求()()1n d f dxξ+较麻烦，一般都限定求某个节点k x 上的导数值，此时（2．2）右端的第2项由于()10n k W x +=而变为零，这时()'n p x 的截断误差为 ()()()()()()11'''1!n k n k n k f f x p x W x n ξ++-=+ ． （2．3）由于以上的原因，以下仅考察节点处的导数值，为简化讨论，假定所给节点是等距的]11,10[．1．一阶两点公式()1n =()()()()01011011''',,2hf x y y f x x h ξξ=--∈， ()()()()11022011''',,2hf x y y f x x h ξξ=-+∈．2．一阶三点公式()2n =()()()()2001211021'34''',,23h f x y y y f x x h ξξ=-+-+∈．()()()()210222021'''',,26h f x y y f x x h ξξ=-+-∈．()()()()2201233021'43''',,23h f x y y y f x x h ξξ=-++∈．利用插值多项式()n p x 作为()f x 的近似函数，还可建立高阶导数数值微分公式()()()()k k n f x p x ≈ ()1,2,...k =我们对它不作深入讨论，但要指出的是，尽管()n p x 与()f x 的值相差不多，其各阶导数的值()()k np x 与真值()()k f x 仍然可能差别很大，因此要注意误差分析]12[．数值微分的插值型公式，应用难度在于步长h 的选取．h 过大，截断误差变大；h 过小，舍入误差变大．因此，在实际计算时，恰当地选取步长h 是关键]13[．（三）理查森外推法[14]理查森外推法是科学计算领域提高算法精度的重要方法，广泛应用于数值积分，有限元和偏微分方程数值解等领域[15]． 理查森外推法是一种对低阶收敛方法进行适当的组合，从而产生较高阶收敛精度的一种方法．首先先引进数值微分公式： ()()()1'2f x f x h f x h h≈+--⎡⎤⎣⎦． （3．1） 它由泰勒定理的两种情况导出：()()()()()231''''''23!h h f x h f x hf x f x f ξ+=+++ ，（3．2）()()()()()232''''''23!h h f x h f x hf x f x f ξ-=-+- ． （3．3）我们现在就引入理查森外推的过程，并介绍如何利用它来巧妙地改进数值公式的精度．把（3．2）式和（3．3）式扩展到具有高阶项．假设()f x 用它的泰勒级数表示为()()()01!k k k f x h h f x k ∞=+=∑， （3．4）()()()()011!kk k k f x h h f x k ∞=-=∑- ． （3．5） 如果第一个等式减去第二个等式，则消去了所有k 是偶数的项，得()()()()()()535222''''3!5!f x h f x h hf x h f x h f x +--=+++L ． 重新整理得()()()1'2f x f x h f x h h=+--⎡⎤⎣⎦ ()()()()()()3572461113!5!7!h f x h f x h f x ⎡⎤-+++⎢⎥⎣⎦L． 这个等式具有形式()246246L h a h a h a h ϕ=++++L （3．6）其中L 表示()'f x ，()h ϕ表示数值微分公式（3．1）；即()()()12h f x h f x h h ϕ=+--⎡⎤⎣⎦． 其中x 是指定的数值，下面设计的数值过程用于估计L ．对于0h >，可计算函数ϕ的值，但不能计算0h =，级数的项2424a h a h ++L 给出了误差．假设20a ≠，可以看出当h 充分小时，第一阶22a h 大于其他项．因此要设法消去这一占优项22a h ．我们的分析仅仅是建立在（3．6）式地基础上，并且它可应用于其他数值过程．用2h 替换（3．6）式中的h 得到()24624621664L h a h a h a h ϕ=++++L ． （3．7）（3．6）式减去4倍的（3．7）式，可消去误差级数中的第一项22a h ．结果如下：()246246L h a h a h a h ϕ=++++L ，()()()2462464646442416342341516L h a h a h a h L h h a h a h ϕϕϕ=++++=----LL．因此我们有()()464641251633L h h a h a h ϕϕ=----L ． （3．8）式（3．8）表达了理查森外推的第一步．它表明()h ϕ和()2h ϕ的一个简单组合提供了一个计算L 的方法．还有一种情况，对（3．6）式所完成的过程现在可以用于（3．8）式（做适当地修改）．相应的做法如下：在（3．8）式中令()()()41233h h h ψϕϕ=-．则()4646L h b h b h ψ=+++L ， ()464621664L h b h b h ψ=+++L ．此时()4646L h b h b h ψ=+++L ， ()()()4646661616241516234L h b h b h L h h b h ψψψ=+++=---LL． 因而，我们有()()661612201515L h h b h ψψ=---L ． （3．9） 再一次重复这个过程，在（3．9）式中令()()()16121515h h h θψψ=-． 使得()6868L h c h c h θ=+++L ．用上述相同的方法可得()()88641232526363L h h c h θθ=---L ． 事实上，可执行任意多步来得到不断增加精确度的公式．下面是完整的算法，即允许执行M 步的理查森外推算法：1. 选取一个方便的h 值（例如1h =）并且计算1M +个数()(),02n D n h ϕ= ()0n M ≤≤2. 用下列公式计算()()()41,,11,14141k k k D n k D n k D n k =------（3．10） 这里1,2,,,,1,,k M n k k M ==+L L ． （四）将微分问题转化为积分问题]3[微分是积分的逆运算，因此可借助于数值微分来计算数值积分． 设f 是一个充分光滑的函数，其导数为ϕ．由积分定义有()()xxf x f x t dt ϕ∧∧⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ ． （4．1） 其中x ∧为任意指定的数．设()00,1,i x x ih i n =+=L 为一组等距节点，并设()k k y f x =．在公式（4．1）中取11,,k k x x x x ∧-+==于是式（4．1）变为()()()1111k k x k k x f x f x t dt ϕ+-+-=+⎰()1,2,,1k n =-L （4．2）对上式右端的积分采用不同的求积公式就得到不同的数值微分公式． （1）对积分采用中点公式()()()()11322''24k k x k k x h t dt h x ϕϕϕξ+-=+⎰，从而得到中点微分公式()()()()()211''''26k k k k k f x f x h f x x f h ϕξ+--==-， （4．3） 其中()111,2,,1k k k x x k n ξ-+≤≤=-L ．（2）如果对式（4．2）中的积分采用辛普森求积公式，则有()()()()()()1155114390k k x k k k k x h h t dt x x x f ϕϕϕϕξ+--+=++-⎡⎤⎣⎦⎰ （4．4） 其中1k k k x x ξ-≤≤．如果记k ϕ为()'k f x 的近似值，且在上式中略去高阶项，那么从式（4．2）可得到辛普森数值微分公式()111134k k k k k y y hϕϕϕ+--+-++=()1,2,,1k n =-L 三、总结部分本文首先介绍了导数产生的背景及发展历程和方向，让大家对导数有了初步认识．总体来说，导数主要用于描述函数变化率，刻画函数的因变量随自变量变化的快慢程度．因此被广泛地应用于物理化学以及经济各个领域中．然后本文着重讲了几种推导数值微分公式的常用几种方法，如差商法，插值多项式求导法，理查森外推法，以及将微分问题转化为积分问题．还归纳总结了常用的数值微分公式，如中点公式，两点公式和三点公式等．此外，因为微分是非常敏感的问题，数据的微小扰动会使结果产生很大的变化，所以本文对于步长的选取以及截断误差的分析也进行了进一步的说明．随着导数的被广泛应用，对于导数精确度的提高也不容忽视．在将来的日子里除了继续不断寻求更简便的方法推导数值微分公式外，对于误差分析的研究也将越来越被重视．四、参考文献[1]石文．微分中值定理的应用实例[J]．高等函授学报(自然科学版)．2009，22(6):54-58．[2]Jeffery J．Leader． Numerical Analysis and Scientific Computation[M]．影印版．北京:清华大学出版社，2008．5:328．[3]现代应用数学手册编委会．现代应用数学手册——计算与数值分析卷[M]．北京:清华大学出版社，2005:245－246．[4]Michael T．Heath． Scientific Computing: An Introductory Survey[M]．第2版影印版．北京:清华大学出版社，2001．10:365．[5]华东师范大学数学系编．数学分析．上册[M]．第3版．北京:高等教育出版社，2001．6:87-101．[6]Curtis F．Gerald，Patrick O．Wheatley著，吕淑娟译．应用数值分析[M]．北京:机械工业出版社，2006．8:212-213．[7]方春华．双曲线方程的组合差商算法研究[J]．湖南理工学院学报(自然科学版)．2008．12，21(4):7-10．[8]孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初．计算方法与实习[M]．南京:东南大学出版社，2005．7(2009．2重印):93-153．[9]蒋长锦．科学计算和C程序集[M]．合肥:中国科学技术大学出版社，1998．9:257-260．[10]周小清，邬云雯，戴薇，黄国盛．数值求导算法研究[J]．吉首大学学报(自然科学报)．2001．3，22(1):64-65．[11]封建湖，车刚明，聂玉峰．数学分析原理[M]．北京:科学出版社，2001．9:128．[12]孙志忠，袁慰平，闻震初．数值分析[M]．南京:东南大学出版社，2002．1:226．[13]李桂成．计算方法[M]．北京:电子工业出版社，2005．10:172-186．[14]David Kincaid，Ward Cheney著，王国荣，俞耀明，徐兆亮译．数值分析[M]．第3版．北京:机械工业出版社，2005．9:376-380．[15]杨小远，周渝志，林柏洪．N阶导数值计算的外推算法研究[J]．河南科学．2010，28(7):762-766．。
数值分析小论文
基于ABAQUS软件的混凝土柱的有限元分析摘要：有限元法是工程分析中广泛应用的数值计算方法，由于它的通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视。
ABAQUS 软件是国际上公认的最好的CAE大型通用分析软件之一。
本文对有限单元法进行简单介绍并采用ABAQUS软件分析一混凝土柱的受力问题。
关键词：ABAQUS，混凝土柱，有限元分析1 有限元理论概述1.1 有限元法基本思想有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。
由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解区域。
有限元法作为数值分析方法的一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数，分片地表示全求解域上待求的未知场函数，单元内的近似函数通常由未知场函数或其导数在单元的各个节点的数值和其插值函数表达。
这样，一个问题的有限元分析中，未知场函数或其导数在各个节点上的数值就成为新的未知量（即自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
一经求解出这些未知量，就可通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。
显然，随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
1.2 有限元法分类1.2.1 线弹性有限元法线弹性有限元法以理想弹性体为研究对象，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应变与位移也是线性关系。
线弹性有限元问题归结为求解线性方程组问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力分析与线弹性动力分析两个主要内容。
学习这些内容需具备材料力学、弹性力学、结构力学、数值方法、矩阵代数、算法语言、振动力学、弹性动力学等方面的知识。
数值积分方法比较论文素材
数值积分方法比较论文素材在数值计算领域，数值积分方法是一种常用的数值计算技术。
它通过将函数转化为离散的数值点来近似计算函数的积分值。
数值积分方法有多种不同的算法和技巧，各有优劣之处。
本文将介绍几种常见的数值积分方法，并对它们进行比较分析。
一、矩形法（Rectangle Method）矩形法是最简单的数值积分方法之一。
它的基本思想是将积分区间分为若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为函数积分的近似值。
具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \]其中，n表示分割的矩形数量，x_i是每个矩形的横坐标，Δx是每个矩形的宽度。
矩形法的主要优点是计算简单、直观，适用于函数变化较平缓的情况。
然而，由于它只利用了函数在各个矩形端点的函数值来进行近似，所以精度较低，对于曲线变化剧烈的函数不适用。
二、梯形法（Trapezoid Method）梯形法是另一种常用的数值积分方法。
它的思想是将积分区间分割为若干个小梯形，计算这些梯形的面积之和作为函数积分的近似值。
具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (f(x_{i-1})+f(x_i)) \Delta x \]梯形法相对于矩形法的优势在于，它不仅利用了函数在端点的取值，还考虑了函数在每个小梯形的中点的取值。
因此，梯形法的精度比矩形法更高，适用于更多种类的函数。
三、辛普森法（Simpson's Method）辛普森法是一种更为精确的积分方法，它通过将积分区间分割为若干个小的三角形形状，计算这些三角形的面积之和来近似函数的积分值。
具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{1}{6} \sum_{i=1}^n (f(x_{i-1}) +4f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right) + f(x_i)) \Delta x \]辛普森法相比于矩形法和梯形法，在积分近似值的计算上更为准确。
Androidstudio计算bmi论文
Android Studio 计算BMI论文1. 引言计算身体质量指数（Body Mass Index，简称BMI）是一种常用的衡量人体肥胖程度的方法。
BMI值是根据个体的身高和体重计算得出的一个数值。
在健康管理和体重控制中，BMI 是一个重要的参考指标。
本文将介绍使用Android Studio开发一个计算BMI值的应用程序，并说明其原理和实现过程。
2. BMI的计算方法BMI值是根据个体的身高和体重计算得出的。
计算公式如下：BMI = 体重（kg） / （身高（m） * 身高（m））根据计算结果，我们可以分为以下几个BMI范围：•BMI < 18.5：体重过轻•18.5 ≤ BMI < 24：正常范围•24 ≤ BMI < 28：超重•BMI ≥ 28：肥胖3. Android Studio开发环境搭建在开始开发BMI计算应用程序之前，我们首先需要搭建Android Studio的开发环境。
以下是搭建步骤：1.下载并安装Android Studio2.配置Android开发环境3.创建一个新的Android项目4. BMI计算应用的需求分析在开发BMI计算应用之前，我们需要明确应用的功能需求。
以下是应用的功能需求：•提供输入框，用户可以输入身高和体重•提供计算按钮，用户点击按钮后可以计算BMI值，并在界面上显示结果•根据计算结果，显示对应范围的BMI等级5. BMI计算应用的设计与实现5.1 用户界面设计BMI计算应用的用户界面设计如下：•使用垂直线性布局，将输入框和计算按钮垂直排列•在输入框旁边添加单位提示文本，如“身高（m）”和“体重（kg）”•在计算按钮下方添加一个文本框，用于显示计算结果和对应的BMI等级5.2 逻辑设计与实现BMI计算应用的逻辑设计如下：1.获取输入框中的身高和体重数值2.根据计算公式，计算BMI值3.根据计算结果，判断BMI等级4.在界面上显示计算结果和对应的BMI等级在Android Studio中，我们可以使用Java编写应用程序的逻辑代码。
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数值计算论文
摘要：数值计算方法是一门介绍科学计算思想的理工科基础课程，本文从教材选择、实验安排及教学方式等三方面对数值计算方法课程教学进行了探讨。
关键词：数值计算；教学；思考
thinking about numerical calculation methods teaching
qu wenzhu ting
(jiangxi university of science and
technology,applied science
college,ganzhou341000,china)
abstract:the numerical method is an introductory scientific computing ideological foundation courses in science and technology,in this paper, materials selection,experimental design and teaching methods,etc,three points of numerical calculation methods coursesteaching are discussed.
keywords:numerical calculation;teaching;thinking 数值计算方法是应用数学的一个分支（也称数值分析、计算方法），是研究用数字计算机求解各种数学问题的数值方法及理论的一门学科，是进行科学研究的一种重要手段。
随着数字计算机的飞速发展和广泛应用，数值计算方法不仅在自然科学得到了广泛的应用，而且还渗透到包括生命科学、经济科学和社会科学的多个领域[1]。
作为高校部分理工科专业本科生的基础课程，数值计算方法着重研究各种数学问题的数值解法，在培养学生解决实际问题的能力上有着重要的作用。
然而，该课程在实际的教学中还存在着一些问题：1.本课程包含大量的公式证明，理论论证，包括方法的收敛性、稳定性和误差分析等，但课程教学学时普遍有限，导致部分内容无法深入介绍，教学效果受到影响。
2. 传统的教学方式过于注重课程的理论分析，忽视了实践上机环节的教学，使得学生解决实际问题的能力未能得到提高。
针对存在的这些问题，本文对数值计算方法的教学提出了一些思考：
一、教材的选择
不同专业的学生对课程的需求不同，课程的侧重点也应该不同。
例如，工科类学生的学习重点应该是对各种数值方法的应用和实践，所以这类学生在选择教材时，应选择侧重方法讲解和实践的教材。
而对于理科类学生，对数学理论要求较高，应选择侧重于理论推导和定理证明的教材。
二、注重实验，提高学生的应用能力
数值计算方法是一门理论与实际联系紧密的课程，因此
实验环节能够让学生更好的理解具体的方法在实际生活中的应用。
在实验方面可以安排两部分的上机内容：一是让学生针对书本上的经典算法进行上机，要求学生按照算法画出相应的流程图，动手编制程序，并上机调试，最终形成实验报告。
对于一类问题，数值计算方法中可能存在多种解决方法，而各种方法本身都具有优缺点，因此要求学生对同一问题采用不同的算法进行上机调试，进一步掌握各种算法的特点。
例如对于非线性方程的数值解法，有简单迭代、加权迭代、埃特金迭代、斯蒂芬森迭代、牛顿迭代和弦截法等多种数值解法，可以要求学生采用多种算法进行上机调试，以观察各种迭代法的收敛性和收敛速度；另一方面，对同一个迭代函数选取不同的初值，以观察不同初值对迭代速度的影响。
通过大量的实验后，学生自然能体会到各种数值解法的特性，并掌握收敛性、收敛速度及误差分析等理论知识。
二是在相应的章节结束后，让学生独立完成一些综合性的实验，例如数学建模中的数值计算方法建模，贷款问题、种群繁殖问题、零件加工问题与导弹追踪问题等等，这些都是典型的基于数值计算方法的建模问题。
学生通过完成这些问题，需要查阅资料，建立数学模型，设计算法，上机实践，分析实验结果。
通过这一系列的步骤，可以体会到初级科研的整个过程，从而培养学生真正解决实际问题的动手能力。
三、适当引入多媒体教学
数值计算方法课程的教学手段很多还是采用传统的板书教学，而这门课程的特点决定了教学时涉及大量的公式定理证明、算法分析及程序流程图，大量的板书一方面使得学生学习的主动性和积极性受到限制，另一方面也使得原本就不多的课时更加紧张，教师在教学时受课时限制无法延伸其他内容。
因此，数值计算方法课程的教学有必要适当引入多媒体形式。
将计算机多媒体教学形式引入数值计算方法课堂，利用现代教学方式与传统板书方式相结合，优势互补，有助于提高教学效率和教学效果。
老师将公式定理证明推导、程序流程图等通过课件形式向学生演示，就省去了大量板书和画图的时间，把精力更多的放在讲透基本概念、基本原理和算法分析上。
同时多媒体教学能形象直观地展示一些数值计算过程，以生动形象的图示和动画吸引学生的注意力，达到板书难以实现的教学效果。
但是多媒体教学容易加快教学速度，淡化教师与学生的交流，变成单纯的“放映员”。
因此，在数值计算课堂教学中应适当引入多媒体教学，将传统教学和现代教学方式相结合。
即对于基本概念、计算技巧和理论证明等以传统板书教学为主，而将程序流程图、复杂计算应用和函数图形等以多媒体课件形式来演示，既能提高教学效率
和教学效果，也能让学生对所学内容有更直观的认识。
本文从3个方面探讨了目前的数值计算方法的教学，力求通过选择适当教材、加强实践教学和运用现代教学手段，使学生能了解和掌握科学计算的基本原理，增强学生解决实际问题的能力，提高学生的学习热情和兴趣，以创造良好的学习氛围。
参考文献：
[1]马东升,雷勇军.数值计算方法[m].北京:机械工业出版社l,2008:1-296
[2]杜延松.关于《数值分析》课程教学改革研究的综述和思考[j].大学数学,2007,23（2）:8-15。