2016_2017学年高中数学第二章概率2.2超几何分布学案

2.2 超几何分布

1．了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．(重点)

2．会利用超几何分布的概念判断一个实际问题是否属于超几何分布，从而利用相关公式解题．(难点)

[基础·初探]

教材整理 超几何分布的概率及表示 阅读教材P 53～P 55，完成下列问题．

一般地，若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －r

N －M

C n N

，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l

＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布，记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C r M C n －r

N －M

C n N

记为H (r ；

n ，M ，N )．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)超几何分布的总体中只有两类物品．( )

(2)在产品检验中，超几何分布描述的是有放回抽样．( ) (3)若X ～H (n ，M ，N )，则n ≤M .( )

(4)超几何分布X ～H (n ，M ，N )中n 是随机一次取出的样本容量，M 是总体中不合格产品的总数，N 是总体中的个体总数．( )

【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√

2．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X 的分布列为P (X ＝r )＝________.

【解析】 P (X ＝r )＝C r 5C 4－r

5

C 410

，r ＝0,1,2,3,4.

【答案】 C r 5C 4－r

5

C 4

10

，r ＝0,1,2,3,4 3．从有3个黑球，5个白球的盒中取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是________. 【导学号：29440038】

【解析】 由题意，这是一道超几何分布题，其中N ＝8，M ＝5，n ＝2.所以P (X ＝1)＝C 15C 1

3C 2

8

＝1528

. 【答案】

1528

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X ，求X 的概率分布； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X ，求X 的概率分布；

(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X ，求X 的概率分布；

(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X ，求X 的概率分布；

(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X ，求X 的概率分布．

【精彩点拨】 总体是否由两类个体构成→

随机变量是否为样本中一类个体的个数→是否为不放回抽样

【自主解答】 (1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题． (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X 表示抽取n 件样本，某类样本被抽取的件数，是超几何分布．

(5)中没有给出不合格品数，无法计算X 的概率分布，所以不属于超几何分布问题．

1．判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．

2．超几何分布中，r ，n ，M ，N 均为有限数，且r ≤min(n ，M )．

[再练一题]

1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)

①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为

X ；

②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X 表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；

③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X . 【解析】 根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X 服从超几何分布．②中随机变量X 服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X 不服从超几何分布．

【答案】 ①②

现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为1

7.

(1)求7名学生中甲班的学生数；

(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率． 【精彩点拨】 (1)利用古典概型求解． (2)借助超几何分布的概率公式求解． 【自主解答】 (1)设甲班的学生人数为M ，则 C 2

M C 27＝17

. 即M 2－M －6＝0，解得M ＝3或M ＝－2(舍去)． ∴7名学生中甲班的学生共有3人．

(2)由题意可知，ξ～H (2,3,7)， ∴P (ξ≥1)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2) ＝C 13C 1

4C 27＋C 23C 0

4C 27 ＝47＋17 ＝57

.

求解此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布模型求解，否则借助相应概率公式求解.

[再练一题]

2．高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在5张卡片上印有“奖”字．游戏者从10张卡片中任意抽取5张，如果抽到2张或2张以上印有“奖”字的卡片，就可获得一件精美的小礼品；如果抽到的5张卡片上都印有“奖”字，除精美小礼品外，还可获赠一套丛书．一名同学准备试一试，那么他能获得精美小礼品的概率是多少？能获赠一套丛书的概率又是多少？

【解】 设X 表示抽取5张卡片中印有“奖”字的卡片数，则X 服从参数为N ＝10，M ＝5，n ＝5的超几何分布．

X 的可能取值为0,1,2,3,4,5，则X 的分布列为

P (X ＝r )＝C r 5C 5－r

5

C 510

(r ＝0,1,2,3,4,5)．

若要获得精美小礼品，只需X ≥2，故获得精美小礼品的概率为P (X ≥2)＝1－P (X <2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－C 05C 5

5C 510－C 15C 4

5C 510＝113

126

.

若要获赠一套丛书，必须X ＝5，故获赠一套丛书的概率为P (X ＝5)＝C 55C 0

5C 510＝1

252

.

[探究共研型]

探究1 正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？

【提示】 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使