高中数学2.1.3两点分布与超几何分布课件新人教A选修23
1 3－8a
解析：(1)因为成功率为23，失败率为13，所以 P(ξ＝1)＝23. (2)由离散型随机变量的性质，可得
9a2－a＋3－8a＝1， 0≤9a2－a≤1， 解得 0≤3－8a≤1.
a＝13.
栏 目
所以随机变量 ξ 的分布列为：
链 接
ξ0
1
P
2 3
1 3
规律方法：两点分布的适用范围：(1)研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律；(2) 研究某一随机事件是否发生的概率分布规律．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否 为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等．
栏
解析：(1)X 符合两点分布，P(X＝0)＝37，P(X＝1)＝47，分布列如下表：
目 链
X0
1
接
P
3 7
4 7
(2)ξ 符合两点分布，P(ξ＝0)＝CC2327＝17，P(ξ＝1)＝C03C24C＋72C13C41＝67，分布列如下表：
ξ0
1
P
பைடு நூலகம்
1 7
6 7
题型2 超几何分布
例 2 在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品．从这 10 件产品中任
►变式训练 1．一个袋子中有形状大小完全相同的 3 个黑球和 4 个白球．
(1)从中任意摸出一球，用 0 表示摸出黑球，用 1 表示摸出白球，即 X＝01，，摸摸出出黑白球球，，
求 X 的分布列．
(2)从中任意摸出两个球，用“ξ＝0”表示两个球全是黑球，用“ξ＝1”表示两个球不全
是黑球，求 ξ 的分布列．
X0
1
2
3
P
7 24
21 40
7 40
1 120
(2)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A，“恰好取出 1 件
一等品和 2 件三等品”为事件 A1，“恰好取出 2 件一等品”为事件 A2，“恰好取出 3 件一等 品”为事件 A3，则 A＝A1∪A2∪A3，且 A1，A2，A3 为两两互斥事件．
►变式训练
2．从一批含有 13 件正品、2 件次品的产品中，不放回地任取 3 件，求取得次品数为 ξ
的分布列．
解析：设随机变量 ξ 表示取出次品的件数，则 ξ 服从超几何分布，其中 N＝15，M＝2，
n＝3，ξ的可能的取值为 0，1，2，相应的概率依次为
P(ξ＝0)＝CC02C315313＝2325，P(ξ＝1)＝CC12C315213＝3152，
栏 目 链
P(ξ＝2)＝CC22C315113＝315，分布列如下：
接
ξ0
1
2
P
22 35
12 35
1 35
又 P(A1)＝C13C·310C23＝430，P(A2)＝P(X＝2)＝470，
P(A3)＝P(X＝3)＝1120.
栏 目 链
所以，取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋ 接
P(A3)＝430＋470＋1120＝13210.
规律方法：超几何分布的理解：(1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中 的参数是 M，N，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中 的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．
2．1.3 两点分布与超几何分布
题型1 两点分布
例1 某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 ξ 描述 1 次试验的成功次数，
则 P(ξ＝1)等于( )
栏
A．0
1 B.2
1 C.3
2 D.3
目 链 接
(2)若离散型随机变量 ξ 的分布列为：
ξ P 求常数 a 及相应的分布列．
0 9a2－a
取 3 件，求：
(1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列；
(2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
栏
解析：(1)从 10 件产品中取出 3 件，这 3 件产品中恰有 k 件一等品的概率 P(X＝k)＝ 目
Ck3·C13C0 37－k(k＝0，1，2，3)．
链 接
所以，随机变量 X 的分布列是：
二项分布与超几何分布 课时2 超几何分布(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
[解析] 设所得金额为 元，则 的可能取值为3, , . ， ， .故 的分布列为
3
7
11
巩固训练
探究2 超几何分布的期望
根据国家工信部关于全面推行中国特色企业新型学徒制，加强技能人才培养的通知，我区明确面向各类企业全面推行企业新型学徒制培训，深化产教融合，校企合作，学徒培养以符合企业岗位需要的中、高级技术工人.2022年度某企业共需要学徒制培训200人，培训结束后进行考核，现对考核取得相应岗位证书进行统计，统计情况如下表：
随堂检测·精评价
2.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选3人中女生的人数，则 ( ).
A. B. C. D.
D
[解析] ．
3.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用 表示所选的4人中的团员人数，则 _ __.
岗位证书
初级工
中级工
高级工
技师
高级技师
人数
20
60
60
40
20
情境设置
问题1：现从这200人中采用分层随机抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团，则交流团中取得技师类（包括技师和高级技师）岗位证书的人数是多少？
[答案] 从200人中采用分层随机抽样的方式选出10人，故抽样比是 ，故技师和高级技师一共应该抽取的人数是 ．
新知运用
例1 一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1， ， ；黑球有2个，编号为1， ；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．
（1）求取出的3个球的颜色都不相同的概率；
课件1 ：2.1.3超几何分布
1 15
例3.一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是 绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个 球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒
中取出一球所得分数ξ的分布列。
在求分布列时，要认真 审题，看清是否服从超 几何分布。
例3.一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小 球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球 个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球 得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该
第二章 概率
§2.1.3超几何分布
高中数学选修2-3·同步课件
一、教学目标： 1、通过实例，理解超几何分布及其特点； 2、掌握超几何分布列及其导出过程； 3、通过对实例的分析，会进行简单的应用。 二、教学重难点： 重点：超几何分布的理解；分布列的推导。 难点：具体应用。 三、教学方法：讨论交流，探析归纳 四、教学过程
解： (1)依题意，X可能取的值为0，1，2，服从超几 何分布。
X=0的意思是选取的3个球中没有黑球
X=1的意思P(是X 选 0取 ) 的CC833C13个 020 球17中 5 恰有1个黑球
P( X
1)
C82C21 C130
7 15
X=2的意思是选取的3个球中恰有2个黑球
P( X
2)
C81C22 C180
P(至少两个黑球) C32C51 C33 2
C83
7
（四）、应用举例
例2.袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次， 每次取1个球，求： (1)不放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列； (2)有放回抽样时，取的黑球的个数Y的分布列。
高中数学第二章概率2超几何分布课件选修23高二选修23数学课件
12/9/2021
第七页，共二十三页。
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 盒中装有15个羽毛球,其中10个新的,5个旧的(用过就是旧
的).从盒中任取3个使用,用完后放回盒中,求此时盒中旧球的个数X的分布
列.
解:取出的3个球中旧球的个数Y的可能取值为0,1,2,3,且Y服从参数(cānshù)
为N=15,M=5,n=3的超几何分布.随机变量Y的值分别为0,1,2,3时,随机变量X
4
5
6
4.盒中有 4 个白球,5 个红球,从中任取 3 个球,则取出 1 个白球和 2
个红球的概率是(
)
37 17 10 17
A. 42 B. 42 C. 21 D. 21
C14 C25
10
解析:P= 3 = 21.
C9
答案:C
12/9/2021
第十九页，共二十三页。
1
2
3
4
5
6
5.从分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的 9 张卡片中任取 2 张,则所取卡
2
12
35
1
35
故至少取得一件次品的概率为 P(ξ=1)+P(ξ=2)=
第六页，共二十三页。
12
1
+
35 35
=
13
.
35
题型一
题型二
题型三
反思解决此类问题的关键是先判断出所给问题是否属于超几何分布
问题,建立超几何分布列的关键是求得P(ξ=k)的组合关系式,利用(lìyòng)超几何
分布的概率公式进行验证,然后利用公式求出取其他值的概率,从而建立ξ的分
§2 超几何(jǐ hé)分布
超几何分布-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第三册)
n
N
C C
P( X = k ) =
C
, k = m , m + 1, m + 2 , , r .
其中n，M，N∈N*，m＝max{0，n-N+M}，r=min{n , M}.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式, 那么称随机
变量X服从超几何分布.
公式中字母的含义: N—总体中的个体总数;
, k = 0 , 1, 2 , 3 .
10
C 30
至少有1件不合格的概率为
P(X ≥1)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.7192.
也可以按如下方法求解：
0 10
C 3 C 27
0.7192 .
P(X≥1)=1−P(X=0) = 1 10
C 30
探究！服从超几何分布的随机变量的均值是什么?
(2)分别就有放回和不放回摸球, 用样本中黄球的比例估
计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.
分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯
努利试验，摸出20个球，采用有放回摸球，各次实验结果
相互独立，X~B(20，40); 而采用不放回摸球，各次实验结
果不独立，X服从几何分布.
例6 一袋中有100个大小相同的小球, 其中有40个黄球、
k
20
k
20- k
, k = 0, 1, 2, , 20.
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超
几何分布，X的分布列为 k 20- k
p2 k
C 40C 60
= P( X = k ) =
, k = 0 , 1, 2 , , 20.
20
两点分布和超几何分布PPT课件
思考：若将这个游戏的中奖概率控制在 55%左右，应如何设计中奖规则？
游戏规则可定为至少摸到2个红球就中奖.
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12
练习1：从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运 会火炬接力活动。若随机变量ξ表示所选3人中女 生的人数，求ξ的分布列及P（ξ <2）。
9
超几何分布;
一般地, 在含有M件次品的N件产品中, 任取n件,
其中恰有X件次品数, 则事件X k发生的概率
为
PX
k
C
k M
C
nk NM
C
n N
,
k
0,1, 2, , m
, 其中 m
minM , n, 且n N , M N , n, M , N N .称分布列
X
0
1
3
P
C
0 M
C
n0 N M
败”，这样就得到了描述该随机试验的服从两点分布的随
机变量。（两点分布还称伯努利分布）
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5
如果随机变量X的分布列由下表 给出，它服从 两点分布吗？
X 2 5 两点分布又称
P 0.3 0.7
0－1分布
不服从两点分布，因为X的取值不是0或1。
令 Y = ìïïíïïî10,, XX==52 ，则Y服从两点分布.
C
n N
பைடு நூலகம்
C
1 M
C
n 1 N M
C
n N
C C m n m M NM
C
n N
为 超几何分布列.如果随机变量X的分布列为
超几何分布列, 则称随机变量X服从超几何分
选修23超几何分布 ppt课件
【课标要求】 1．要了解两种常见的概率分布：两点分布和超几何分 布． 2．能通过实例，理解超几何分布及其推导过程． 3．要会用超几何分布解决一些实际问题． 【核心扫描】
1．理解超几何分布及其推导过程．(重点) 2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点、难
点)
1．超几何分布
自学导引
解 由题意知，X 服从参数为 N＝10，M＝3，n＝5 的超几 何分布． 其中 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，分布列为 P(X＝k)＝Ck3CC51570－k(k＝0,1,2,3)．
规律方法 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否满足 超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何 分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决，但利 用超几何分布概率公式简化了对每一种情况的具体分析，因此 要简单一些．
＝n7n×－61，
2
(2 分)
整理得 n2－n－6＝0，解得 n＝3 或 n＝－2(舍去)．
即 7 个学生中，有甲班 3 人．
(4 分)
【题后反思】 解决本题时应注意以下几点： (1)通过古典概型概率公式列出方程求出甲班学生数是整个 题目的关键点，体现了方程思想与概率知识的结合； (2)分析题意，得出X服从超几何分布是第二问的切入点， 比利用古典概型求解要简单一些； (3)概率知识与其他知识的结合在各地模拟题及高考题中已 有出现，这将成为一个热点．
2．求超几何分布列的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布列，并确定参数N，M， n； (2)确定X的所有可能取值； (3)计算P(X＝k)； (4)写出分布列(用表格或式子表示).
题型一 求超几何分布列
【例1】设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5 件，求抽得次品件数X的分布列． 题中的X服从超几何分布．确定参数N， M[思，路n探后索由]公式求概率即可．
二项分布与超几何分布课件高二下学期数学人教A版选修2-3
连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验。用 表示第i次掷得针尖向上的事件，用 表示“仅出现一次针尖向上”
的事件，则
由于事件
彼此互斥，由概率加法
公式得
所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率 是
思考 上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求出了连
续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类似地，连续掷3 次图钉，出现 k（0≤k≤3)次针尖向上的概率是多少？你能发现 其中的规律吗？
A. B. C. D.
答案：(1)
X
0
1
2
3
P
答案：(1)
X
0
1
2
3
4
P
超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品 的次品数，只要知道N、M和n就可以根据公式：
求出X取不同值k时的概率.学习时，不能机械地去记忆公 式，而要结合条件以及组合知识理解M、N、n、k的含义.
1.抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功， 求在30次试验中成功次数X的均值和方差，
(1)P(A+B)= P(A)+ P(B) (当A与B互斥 时);
(3)P(AB)= P(A)P(B) (当A与B相互独立 时 那)么求概率还有什么模型呢?
分析下面的试验，它们有什么共同特点? (1)投掷一个骰子投掷5次;
(2)某人射击1次，击中目标的概率是0. 8,他射击10 (次3;)实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3 胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛) (4)一个盒子中装有5个球(3个红球和2个黑球)，有放回地依 次从中抽取5个球; (5)生产一种零件，出现次品的概率是0. 04,生产这种零件4件.
高中数学(新人教A版)选择性必修二：超几何分布【精品课件】
C10
C23 C06
C210
3
= 45 =
C11 C13
C210
1
3
= 45 = 15.
P(Y=20)=
P(Y=60)=
2
6
= 45 = 15,
因此随机变量Y的分布列为
Y
P
0
1
3
10
2
5
20
1
15
50
2
15
60
1
15
方法点睛解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其
超几何分布的综合应用
典例在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值
50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖
品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列;
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,
①求顾客乙中奖的概率;
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元,求Y的分布列.
球.
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;
(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
解 (1)从袋中一次随机抽取 3 个球,所有取法的总数 n=C63 =20,取出的 3 个球
的颜色都不相同包含的样本点的个数为C31 C21 C11 =6,所以取出的 3 个球的颜色
6
3
都不相同的概率为 P=20 = 10.
4
C90
A.1- 4
C100
C110
C. 4
C100
答案 D
)
0 4
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新人教A版：2.1离散型随机变量、两点分布,超几何分布
授课主题离散型随机变量、两点分布、超几何分布教学目标1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量、概率分布的概念．2．知道随机变量的某些函数也是随机变量，随机变量的一次函数也是随机变量．3．进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.4．理解两点分布和超几何分布，运用两点分布、超几何分布研究有关随机变量的概率．教学内容1．随机变量(1)定义：在一个对应关系下，随着实验结果变化而变化的量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．2．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．例如：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量. 其值域是{0,1,2,3,4}，{X＝0}表示抽出0件次品；{X＝1}表示抽出1件次品；{X＜3}表示抽出0或1或2件次品．3．概率分布列一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．4．离散型随机变量的分布列的性质(1)p i ≥ 0，i＝1,2,3，…，n；(2)1......21=++++iPPP.5．两点分布如果随机变量X的分布列为X 1 0Ppq其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布．两点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足点分布．X 1 0 P0.80.2两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． 6．超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．题型一 用随机变量描述随机现象例1 ①某座大桥一天经过的小轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③④解析：③中一天内的温度不能把其取值一一列出，不是离型随机变量． 答案：B点评：随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．巩 固 下列命题中，正确的个数是( )①15秒内，通过某十字路口的汽车的辆数是随机变量；②在一段时间内，候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由随机变量的概念知四个命题都正确，故选D.答案：D题型二离散型随机变量的判断项例2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；(4)某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差．解析：(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．点评：该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出．巩固指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)节能灯的寿命ξ；(2)老张通常在早晨6：30－6：50之间出门乘地铁上班，那么老张出门上班的时间ξ；(3)佛山市西江水位监测站所测水位在(0,35]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；(4)某班有23名男生，17名女生，从中选出5人参加学校的某项活动，其中所含女生的人数ξ.解析：(1)节能灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以ξ不是离散型随机变量．(2)老张在6：30－6：50之间的任何时间都可能出发，所以出门上班时间不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0,35]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．(4)是离散型随机变量．从40人中选出5人，所得的结果有以下几种：5个男生；4个男生和1个女生；3个男生和2个女生；2个男生和3个女生；1个男生和4个女生；5个女生．即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．题型三随机变量的取值例3写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X；(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.分析：(1)任取5个球时可能0白5红，1白4红，2白3红，3白2红；(2)任取3球最大号码可能为3,4,5.解析：(1)X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．(2)X＝3表示取出的球编号为1,2,3；X＝4表示取出的球编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.点评：本题容易忽视共3个白球，出现4白1红等情况．随机变量与试验所产生的随机事件是一种对应关系，因此准确地列出随机试验所产生的所有随机事件是正确写出随机变量取值的前提．巩固请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η.(2)从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ．解析：(1)ξ可取1,2,3.{ξ＝i}表示取出i支白粉笔，3－i支红粉笔，其中i＝1,2,3.η可取0,1,2.{η＝i}表示取出i支红粉笔，3－i支白粉笔，其中i＝1,2,3.(2)ξ可取3,4,5,6,7.其中，{ξ＝3}表示取出分别标有1,2的两张卡片；{ξ＝4}表示取出分别标有1,3的两张卡片；{ξ＝5}表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；{ξ＝6}表示取出分别标有2,4的两张卡片；{ξ＝7}表示取出分别标有3,4的两张卡片．题型四随机变量的确定例4在对电灯泡的寿命测试中，若规定寿命在1 500小时以上的灯泡为一等品，寿命在1 000到1 500之间的为二等品，寿命在1 000小时之下的为不合格品，如果按灯泡是否为合格品，应如何定义随机变量？若按是否为一等品，二等品或不合格品，应如何定义随机变量？如果我们只关心灯泡的使用寿命，应如何定义随机变量？解析：当关心“灯泡是否为合格品”时，可定义随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，灯泡为不合格品，1，灯泡为合格品.当关心“灯泡是否为一等品，二等品或不合格品”时，可定义随机变量Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，灯泡为一等品，2，灯泡为二等品，3，灯泡为不合格品 .当关心“灯泡的使用寿命”时，可定义随机变量Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，寿命＜1 000小时，1，1 000小时≤寿命≤1 500小时，2，寿命＞1 500小时.点评：灯泡的使用寿命是连续变量不是随机变量，而将使用寿命分为几个时间段，则可以用随机变量表示了．对于“灯泡是否合格”，设X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，灯泡为不合格品，1，灯泡为合格品.其含义是，灯泡为不合格品时，取X ＝0；灯泡为合格品时，取X ＝1.也可以表示为X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，灯泡为不合格品，2，灯泡为合格品.巩 固 在掷骰子试验中，随机变量的值域是什么？如果我们仅关心掷出的点数是否为偶数，应如何定义随机变量？解析：随机变量的值域为{1,2,3,4,5,6}． 可以这样定义随机变量Y ＝01⎧⎨⎩，点数为奇数，点数为偶数题型五 离散型随机变量的分布列的性质用例5 设随机变量X 的概率分布P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a 的值； (2)求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； (3)求P ⎝⎛⎭⎫110＜X ＜710. 分析：根据概率分布列的第二条性质求出a ，再根据随机变量取值表示的事件是互斥事件求出P ⎝⎛⎭⎫X ≥35及P ⎝⎛⎭⎫110＜X ＜710. 解析：(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)因为X 的概率分布列为P ⎝⎛⎭⎫X ＝k 5＝115k (k ＝1,2,3,4,5)， ∴P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)因110＜X ＜710，只有X ＝15，25，35时满足，故P ⎝⎛⎭⎫110＜X ＜710＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＝115＋215＋315＝25. 点评：概率分布列的有关性质是对求概率分布列进行检验或对有关参数进行求值的依据，P (x 1＜X ＜x 2)表示在(x 1，x 2)内X 所有取值的概率的和．巩 固 随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck (1＋k )，k ＝1,2,3，其中c 为常数，则P (ξ≥2)＝( )A.89B.23C.13D.29解析：由P (ξ＝k )＝c k (1＋k )，k ＝1,2,3，可知c 2＋c 6＋c 12＝1，解得c ＝43.故P (ξ≥2)＝1－P (ξ＝1)＝1－c 2＝1－12×43＝13，故选C.答案：C题型六 求离散型随机变量的分布列例6 一个正四面体玩具的四个面分别标有数字1,2,3,4，将这个玩具连续抛掷两次，记与桌面接触的面的数字之和为ξ，求ξ的分布列．解析：ξ的可取的值为2,3,4,5,6,7,8.将这个玩具连续抛掷两次，所以可能事件总数有4×4＝16个，根据古典概率的计算公式得P (ξ＝2)＝116，P (ξ＝3)＝216＝18，P (ξ＝4)＝316，P (ξ＝5)＝416＝14，P (ξ＝6)＝316，P (ξ＝7)＝216＝18，P (ξ＝8)＝116.所以，所求的ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6 7 8 P (ξ)116183161431618116点评：(1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X 取每个值的概率，最后列出分布列．(2)求离散型随机变量X 的分布列的步骤是：①确定X 的所有可能的取值；②求相应的概率P (X ＝x i )＝p i ；③列成表格的形式．巩 固 将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列.解析：将一颗骰子连掷两次共出现6×6＝36(种)等可能的基本事件，其最大点数ξ可能取的值为1,2,3,4,5,6. P (ξ＝1)＝136，用(x ，y )表示第一枚骰子点数为x ，第二枚骰子点数为y ，则ξ＝2包含三个基本事件(1,2)，(2,1)，(2,2)，则P (ξ＝2)＝336＝112.同理可求P (ξ＝3)＝536，P (ξ＝4)＝736，P (ξ＝5)＝936＝14，P (ξ＝6)＝1136.故ξ的分布列为：ξ 1 2 3 4 5 6 P136112536736141136题型七 两点分布例7 袋内有10个白球，5个红球，从中摸出两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红，1，两球非全红，求X 的分布列．解析：由题设可知X 服从两点分布，P (X ＝0)＝25215C C ＝221，∴P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1－221＝1921.∴X 的分布列为：X 0 1 P2211921点评：两点分布的适用范围：(1)研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律；(2)研究某一随机事件是否发生的概率分布规律．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等．巩 固 一个袋子中有形状大小完全相同的3个黑球和4个白球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出黑球，用1表示摸出白球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出黑球，1，摸出白球，求X 的分布列．(2)从中任意摸出两个球，用“ξ＝0”表示两个球全是黑球，用“ξ＝1”表示两个球不全是黑球，求ξ的分布列解析：(1)X 符合两点分布，P (X ＝0)＝37，P (X ＝1)＝47，分布列如下表：X 0 1 P3747(2)ξ符合两点分布，P (ξ＝0)＝C 23C 27＝17，P (ξ＝1)＝C 03C 24＋C 13C 14C 27＝67，分布列如下表： ξ 0 1 P1767题型八 超几何分布例8 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解析：(1)从10件产品中取出3件，这3件产品中恰有k 件一等品的概率P (X ＝k )＝337310k kC C C -⋅(k ＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X 的分布列是：X 0 1 2 3 P72421407401120(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3，则A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3为两两互斥事件．又P (A 1)＝C 13·C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120.所以，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120．点评：超几何分布的理解：(1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M ，N ，n .(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．巩 固 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.解析：(1)ξ可能取的值为0,1,2.P (ξ＝k )＝C k 2C 3－k 4C 36，k ＝0,1,2，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515(2)由(1)知“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.A 组1．随机变量X 的分布列如下，则m ＝( )X1234P14m13 16A.13B.12C.16D.14 答案：D2．如果ξ是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( ) A ．ξ取每个可能值的概率是非负实数 B ．ξ取所有可能值的概率之和为1C ．ξ取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D ．ξ取某2个可能值的概率大于分别取其中每个值的概率之和 答案：D3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k，k ＝1,2,3，则m 的值为( ) A.1718 B.2738 C.1719 D.2719解析：P (X ＝1)＝2m 3，P (X ＝2)＝4m 9，P (X ＝3)＝8m27，由离散型随机变量的分布列的性质知P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X＝3)＝1，即2m 3＋4m 9＋8m 27＝1，解得m ＝2738.故选B.答案：BB 组一、选择题1．若随机变量ξ的概率分布列如下表所示，则表中a 的值为( )ξ 1 2 3 4 P121616aA.1B.12 C.13 D.16答案：D2．下列A ，B ，C ，D 四个表，其中能成为随机变量ξ的分布列的是( ) A.ξ 0 1 P0.60.3B.ξ 0 1 2 P0.902 50.0950.002 5C.ξ 0 1 2 … nP121418…12n ＋1D.ξ 0 1 2 … n P1313·2313⎝⎛⎭⎫232…13⎝⎛⎭⎫23n解析：对于表A ，由于0.6＋0.3＝0.9＜1，故表A 不能成为随机变量ξ的分布列；仿上可知，对于表C ，有12＋14＋18＋…＋12n ＋1＝1－12n ＋1＜1，故表C 不能成为随机变量ξ的分布列；对于表D ，知13＋13·23＋13·⎝⎛⎭⎫232＋…＋13·⎝⎛⎭⎫23n ＝13·⎣⎡⎦⎤1＋23＋⎝⎛⎭⎫232＋…＋⎝⎛⎭⎫23n ＝1－⎝⎛⎭⎫23n ＋1＜1，故表D 不能成为随机变量ξ的分布列；对于表B ，由于0.902 5＋0.095＋0.002 5＝1，故表B 可以成为随机变量ξ的分布列． 答案：B3．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任抽两件，则出现2件次品的概率为( ) A.2245B.949C. 47245D. 以上都不对解析：P (X ＝2)＝C 25C 250＝5×450×49＝2245.故选A.答案：A4．已知离散型随机变量X 的分布列如图所示，则常数c 为( )X 0 1 P9c 2－c3－8cA.13B.23C.13或23D.14解析：根据离散型随机变量分布列的两条基本性质可得，⎩⎪⎨⎪⎧0≤9c 2－c ≤1，0≤3－8c ≤1，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13.故选A.答案：A5．某12人的兴趣小组中， 有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于3357612C C C ⋅的是( ) A ．P (ξ＝2) B ．P (ξ＝3) C ．P (ξ≤2)D ．P (ξ≤3) 答案：B二、填空题6．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于10的概率为________．解析：两次点数之和等于10的有3种：4＋6,5＋5,6＋4，所以两次点数之和等于10的概率为P (ξ＝10)＝336＝112，所以两次点数之和不等于10的概率为1－P (ξ＝10)＝1112.答案：11127.一盒中有12个大小、形状完全相同的小球，其中9个红的，3个黑的，从盒中任取3球，x 表示取出的红球个数，P (X ＝1)的值为________．解析：由题意知，取出3球必是1个红球2个黑球，故P (X ＝1)＝C 19C 23C 312＝27220.答案：272208. 随机变量ξ等可能取值为1,2，…，n ，n ∈N *，若P (ξ<4)＝0.3，则n ＝________. 解析：P (ξ<4)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝3n ＝0.3，解得n ＝10.答案：10三、解答题9．将一枚骰子掷两次，第一次掷出点数减去第二次掷出点数的差为ξ，求ξ的分布列．分析：分第一次掷出的点数和第二次掷出的点数，有先后顺序，故ξ可能的取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，求出对应的概率值，列表即可．解析：由题意，第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差依次为：－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，则P(ξ＝－5)＝136，P(ξ＝－4)＝236＝118，…，P(ξ＝5)＝136.故其分布列为：ξ－5－4－3－2－101234 5P136118112195361653619112118136 10．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列．解析：根据题意可知随机变量ξ的取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝2235110CC=；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两球的编号只能在编号为1,2,3的三只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝2335310CC=；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两球的编号为1,2,3,4的四只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝243563105CC==可得ξ的分布列为：ξ34 5P11031035A组1．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于C122C14＋C222C226的是()A．P(0<X≤2) B．P(X≤1)C．P(X＝1) D．P(X＝2)解析：P(X＝0)＝C222C226，P(X＝1)＝C122C14C226，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝P(X≤1)，故选B.答案：B2．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝( ) A ．0.8B ．0.2C ．0.4D ．0.1解析：因为Y ＝3X －2，所以X ＝13(Y ＋2)，当Y ＝－2时，X ＝0，所以P (Y ＝－2)＝P (X ＝0)＝0.8.故选A.答案：A3．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品解析：设取到一等品的件数是ξ，则ξ＝0,1,2，P (ξ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝610，P (ξ＝2)＝C 23C 02C 25＝310，因为P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝710，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”．故选D.答案：DB 组一、选择题1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中不放回每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )A ．1,2,3，…，6B ．1,2,3，…，7C ．0,1,2，…，5D ．1,2，…，5答案：B2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13k ，k ＝1,2，…，则P (1<X ≤3)＝( )A.427B.79C.1327D.1627解析：P (1<X ≤3)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝132＋133＝427.故选A.答案：A3．已知随机变量ξ的概率分布列如下：ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P12122123124125126127128129m则P (ξ＝10)＝( )A.1210B.511512C.129D.1 0231 024解析：∵12＋122＋…＋129＋m ＝1，∴12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1291－12＋m ＝1.∴m ＝⎝⎛⎭⎫129＝129. 答案：C4．用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，这些数被2整除的概率是( ) A.15B.14C.25D.35解析：所求概率为：14245525C A A ⋅=. 答案：C5．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ＞8)，P (6＜ξ≤14)的值分别是( )A. 34，34B.23，23C.34，23D.23 ，34解析：P (ξ>8)＝112×8＝23，P (6<ξ≤14)＝112×8＝23.故选B.答案：B二、填空题6．随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 5 P192157458451529则ξ为奇数的概率为________．解析：ξ为奇数的概率为：P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝215＋845＋29＝815. 答案：8157．已知随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3 4 5 P0.10.20.40.20.1若η＝2ξ－3，则η的分布列为_________________________________________________． 解析：η －1 1 3 5 7 P0.10.20.40.20.18．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布列为：ξ 0 1 2 P解析：P (ξ＝0)＝2225C C ＝110，P (ξ＝1)＝113225C C C ⋅＝35，P (ξ＝2)＝2325C C ＝310. 答案：0.1 0.6 0.3 三、解答题9．从一批有10件合格品与3件次品的产品中，一件一件地抽取产品，每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品，直到取出合格品为止，求抽取次数ξ的分布列．解析：ξ的值取为1,2,3，…，n ，…当ξ＝1时，即第一次就取到合格品，故P (ξ＝1)＝1013；当ξ＝2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故P (ξ＝2)＝313×1013；当ξ＝3时，即第一、二次均取到次品，而第三次取到合格品，故P (ξ＝3)＝313×313×1013＝⎝⎛⎭⎫3132×1013；类似地，当ξ＝n 时，即前n －1次均取到次品，而第n 次取到合格品，故P (ξ＝n )＝⎝⎛⎭⎫313n －1×1013，n ＝1,2,3，… 可得ξ的分布列为：ξ 1 2 3 … n … P1013313×1013⎝⎛⎭⎫3132×1013 …⎝⎛⎭⎫313n －1×1013…10. 盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ξ的概率分布．解析：(1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.(2)由题意ξ可能的取值为2,3,4,5，所以P (ξ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130，P (ξ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215， P (ξ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310，P (ξ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815. 所以随机变量ξ的概率分布为ξ 2 3 4 5 P130215310815。
新人教A版数学选修2-3课件：第二章2.1-2.1.2第2课时两点分布与超几何分布
1，针尖向上， 0，针尖向下，
如果针尖向上的概率为0.8，随机变量X
的分布列为________．
解析：随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＋P(X
＝1)＝1，由P(X＝1)＝0.8，可得P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
故可写出X的分布列．
答案：
X
0
1
P
0.2
0.8
类型 1 两点分布(自主研析)
所以P(X＝0)＝CC06C13034＝310，P(X＝1)＝CC16C13024＝330， P(X＝2)＝CC26C13014＝12，P(X＝3)＝CC36C13004＝130. 所以X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
1 30
3 10
1
1
2
6
(2)由(1)知他能及格的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝
则 2 张都能中奖的概率是( )
1
1
1
A.50
B.25
C.825
解析：依题意 P＝CC212400＝8125.
答案：C
1 D.4 950
3．若随机变量 X 服从两点分布，且 P(X＝0)＝0.8， P(X＝1)＝0.2.令 Y＝3X－2，则 P(Y＝－2)＝( )
A．0.8 B．0.2 C．0.4 D．0.1 解析：因为 Y＝3X－2，所以 X＝13(Y＋2)，当 Y＝－ 2 时，X＝0，所以 P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8. 答案：A
(2)依题意得，X1的分布列为：
X1 1 2 3
P
139 25 50 10
X2的分布列为：
X2 1.8
2.9
P
1 10
9 10