人教版高中数学选修2-3 1.2.1组合 PPT课件
人教a版数学【选修2-3】1.2.2《组合1》ppt课件
第一章
1.2
1.2.2
第1课时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
3． 从 5 本不同书中取出 2 本并成一组和取出 3 本并成一组 的组合数相同吗？为什么？ 4．从含有元素 a 的 n＋1 个不同元素中取出 m 个元素的组
m 合数 Cn ＋1，可以分成两类：一类不含元素 a，从剩余的 n 个元
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组合数公式
思维导航 2．组合的本质是取出的 m 个元素不讲究顺序，也就是说 元素没有位置的要求，因此这 m 个元素的全排列数只对应组合
m 数中的一个， 由此你能得出求 Cn 的计算公式吗？你能不用列举
数数的方法求出前面 3 个问题中的票价种数、积的个数、线段 条数吗？
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
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牛刀小试 1．C2 n＝10，则 n 的值为( A．10 C．3
[答案] B
) B．5 D．4
nn－1 [解析] 由题意得 2 ＝10， 解得 n＝5 或 n＝－4(舍去)，故选 B.
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
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2．从 9 名学生中选出 3名参加“希望英语”口语比赛，有
( )种不同选法．( A．504 C．84 [答案] C
[解析] 只需从 9 名学生中选出 3 名即可，从而有 C3 9＝ 9×8×7 ＝84 种选法． 3×2×1
人教版高中数学选修2-3课件 组合与组合数公式
8
5．7 个朋友聚会，每两人握手 1 次，共握手________次． 解析：组合问题，共握手 C72＝21 次． 答案：21
9
课堂探究 互动讲练 类型一 组合的有关概念 [例 1] 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)10 人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手 多少次？ (2)10 名同学分成人数相同的两个学习小组，共有多少种分法？ (3)从 1,2,3，…，9 九个数字中任取 3 个，然后把这三个数字相 加得到一个和，这样的和共有多少个？ (4)从 a，b，c，d 四名学生中选 2 名，去完成同一件工作，有 多少种不同的选法？
1
【课标要求】 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用 组合数公式进行计算. 3.会解决一些简单的组合问题.
2
自主学习 基础认识 1．组合的定义 从 n 个不同元素中取出 m(n≥m)个元素合成一组，叫做从 n 个
不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE， ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
17
方法归纳 (1)此类列举所有从 n 个不同元素中选出 m 个元素的组合，可 借助本例所示的“顺序后移法”(如方法一)或“树形图法”(如方 法二)，直观地写出组合做到不重复不遗漏． (2)由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐 步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出 ab 后，不必再 交换位置为 ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶 层及下枝的排列思路．防止重复或遗漏.
高中数学 1.2.2.1 组合与组合数公式课件 新人教A版选修23
2.题(2)证明的关键是什么？
第十九页，共43页。
【探究提示】1.选用组合数公式的乘积式，
即
Cmn
A mn A mm
n(n－1)(n－2)…(n－m 1) . m!
2. 有关组合数恒等式的证明，关键是化简，应先考虑利用组合数
的阶乘( jiē chénɡ)式形式作答.
第二十页，共43页。
【自主(zìzhǔ)解答】(1)原C式140－＝A37＝140392－8717×6×5 ＝210－210＝0.
【证明】右边=
n n－m
Cm n－1
n n－m
n－1! m! n－1－m
!
n!
m!n－m
!
Cnm
,
左边= Cmn ,所以左边=右边,所以原式成立.
第二十二页，共43页。
【方法技巧】关于组合数公式的选取技巧
(1)涉及具体数字的可以直接用
n n－m
Cm n－1
n n－m
n－1! m! n－1－m !
第十三页，共43页。
知识点2 组合数与组合数公式 1.组合数公式的两种形式的适用范围
形式
适用范围
乘积式
含具体数字的组合数的求值
要注阶意乘性式质(xìngzhì)含字母的组合的数顺的用有、关逆变用形、变及形证用明.顺用是将一
个组合数拆成两Cmn个1 ；C逆nm用 则Cnm是－1“合二为一”；变形式
=
(2)
C18 20
C220
20 19 21
190.
答案：190
(3)
C399
C929＝C1300
100 99 98 3 21
161
700.
答案：161 700
数学：1.2.1《排列》课件(4)(新人教A版选修2-3)
m n
An- 1 =
An
有什
An
= ( n - m )A
m n
思考3 ( 思考3：n
- 1)( n - 2) L ( n - m + 1)( n - m ) m 用排列数符号如何表示？ 用排列数符号如何表示？它与 A n 有什
思考3 思考3：将排列数公式变形为 n ( n - 1) L ( n - m + 1) ( n - m ) L 2 1 m An = (n - m ) L 2 1 m 进一步用阶乘如何表示 A n ？
A
m n
n! = (n - m ) !
m n
思考4 思考4：当m＝n时，公式 A 成立吗？对此怎样处理？ 成立吗？对此怎样处理？ 规定： ！＝1 规定：0！＝1
么关系？ 么关系？ A m = n - m A m n- 1 n n 思考4 思考4：考察恒等式 n(n－1)(n－2)…(n－ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) [(n－m)＋m](n－1)(n－2)…(n－ ＝[(n－m)＋m](n－1)(n－2)…(n－m＋1) (n－1)(n－2)…(n－ 1)(n－m)＋ ＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n－m)＋ m(n－1)(n－2)…(n－ 1)， m(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，用排列数 表示可得什么结论？ 表示可得什么结论？ m = A m + m A m - 1 A
3.排列数公式源于分步乘法计数原理， 3.排列数公式源于分步乘法计数原理， 排列数公式源于分步乘法计数原理 对排列数公式作进一步的变形与拓展， 对排列数公式作进一步的变形与拓展， 可以得出排列数的一些基本性质. 可以得出排列数的一些基本性质.
人教A版高中数学选修2-3全册ppt课件
[一题多变] 1．[变条件]若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数， 那么这样的两位数有多少个．
解：当个位数字是 8 时，十位数字取 9，只有 1 个． 当个位数字是 6 时，十位数字可取 7,8,9，共 3 个． 当个位数字是 4 时，十位数字可取 5,6,7,8,9，共 5 个． 同理可知，当个位数字是 2 时，共 7 个， 当个位数字是 0 时，共 9 个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 1＋3＋5 ＋7＋9＝25(个)．
用计数原理解决涂色(种植)问题
[ 典例 ] 如图所示，要给“优”、
“化”、“指”、“导”四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色 使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色， 有多少种不同的涂色方法？
[解] 优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步．
第 1 步，涂“优”区域，有 3 种选择． 第 2 步，涂“化”区域，有 2 种选择．
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
分步乘法计数原理的应用
[典例]
从 1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复数字的整
数，则分别满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位数的偶数．
[解] (1)三位数有三个数位， 百位 十位 个位
故可分三个步骤完成： 第 1 步，排个位，从 1,2,3,4 中选 1 个数字，有 4 种方法； 第 2 步， 排十位， 从剩下的 3 个数字中选 1 个， 有 3 种方法；
2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2 且 a3<a2，则称这样的 三位数为凸数(如 120,342,275 等)，那么所有凸数个数是多少？ 解：分 8 类，当中间数为 2 时，百位只能选 1，个位可选 1、0， 由分步乘法计数原理，有 1×2＝2 个； 当中间数为 3 时，百位可选 1,2，个位可选 0,1,2，由分步乘法计 数原理，有 2×3＝6 个；同理可得： 当中间数为 4 时，有 3×4＝12 个； 当中间数为 5 时，有 4×5＝20 个； 当中间数为 6 时，有 5×6＝30 个； 当中间数为 7 时，有 6×7＝42 个； 当中间数为 8 时，有 7×8＝56 个； 当中间数为 9 时，有 8×9＝72 个． 故共有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240 个．
人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合(教师版)
人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合（教师版）排列组合_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m nC 表示.3.排列数公式与组合数公式： (1)排列数公式：(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ，n *∈N ，且m ≤n .(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示. ○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列.○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.nnAn =○3由此排列数公式(1)(2)(1)m nA n n n n m =---+所以!.()!m nn An m =-(3)组合数公式:!.!()!m nn Cm n m =-(4)组合数的两个性质: 性质1：.m n m nn CC -= 性质2：11.m m m n n n CC C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关.(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.(2)第一问不是第二问是.若方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线22221x y a b-=中，不管a >b 还是a <b ，方程22221x y a b-=均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？[解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式. (1)57;A(2)212;A(3)77.A[解析] [答案] (1)57A =7×6×5×4×3=2520； (2)213A =13×12=156；(3)77A =7×6×5×4×3×2×1=5040.练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( ) A.2mAB.21m AC.2020m A +D.2120m A +[答案] D[解析] 排列的顺序为由小到大，故n =m +20，而项数是21故可表示为2120.m A+例4：计算98100C[答案]98100982100100100100994950.21C C C -⨯====⨯练习2：计算972959898982C C C ++ [答案]原式1231223298989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3399100161700.C C +== 类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634320A A⋅=种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有36A 种不同排法，因此共有535614400A A⋅=种不同的排法.练习1：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有2656A A ⋅=14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生的排法2636A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636000A A A-⋅=种不同的排法.类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有1288C C+36=种方案.练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有210C 种选法，第二步满足乙任务有18C 种选法，第三步满足丙任务，有17C 种选法，故共有21110872520C C C =种不同选法.类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？[答案] 362880[解析] 从10名男运动员中选3名有310C 种，从9名女运动员中选3名有39C 种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A ，B ，C ；先让A 选择女运动员，有3种不同选法；B 选择女运动员的方法有2种；C 只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为33A ，根据分步计数原理，共有33310936362880CC A ⨯⨯=种不同参赛方法.练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A.36个B.24个C.18个D.6个 [答案] Ａ[解析] 由各位数字之和为偶数，可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成，由乘法原理，各位数字之和为偶数的数共有21332336CC A ⋅⋅=个．1.89×90×91×…×100可表示为( )A.10100A B.11100AC.12100AD.13100A[答案] C 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( ) A.5B.6C.7D.8[答案] C３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( )A.36B.120C.720D.140[答案] C４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种 [答案] C ５.若266,x C C =则x 的值是( )A.2B.4C.4或2D.0[答案] C６.1171010r r CC +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个 [答案] B7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( ) A.222574CC C ++ B.222574C C CC.222574AA A ++D.216C[答案] A8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种 B .180种 C.270种 D.540种 [答案] D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )A.10人B.8人C.6人D.12人 [答案] Ａ2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( ) A.1334A AB.2343C AC.3242C AD.132442C C C[答案] Ｂ3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( ) A.3538A AB.5354A AC.5355A AD.5356A A[答案] Ｃ4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片. [答案] 565.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种.[答案]864006.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.[答案]3007.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.[答案]1268.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.[答案]140能力提升1.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A.144个B.120个C.96个D.72个[答案]B2.方程22a b c∈--，且,,a b c互不相ay b x c=+中的,,{3,2,0,1,2,3}同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A.60条B.62条C.71条D.80条[答案]B3. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24[答案] D4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个[答案]Ｃ5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)【答案】９６6. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________种.[答案]３６7. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．[答案] 1208.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a ，只能从1，3，5，7中选一个，有14A 种，然后从余下的4个数中任选两个作b 、c ，有24A 种.所以由分步计数原理，共组成一元二次方程：124448A A⋅=个.方程更有实根，必须满足240.bac -≥分类讨论如下：当c =0时，a ，b 可在1，3，5，7中任取两个排列，有24A 个；当c ≠0时，分析判别式知b 只能取5，7.当b 取5时，a ，c 只能取1，3这两个数，有22A 个；当b 取7时a ，c 可取1，3或1，5这两组数，有222A 个，此时共有22222AA +个.由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有：2224222AA A ++=18个.。
2019-2020年人教A版高中数学选修2-3：1.2排列与组合1.2.1排列课件 (共29张PPT)
[自主梳理] 1．排列的有关概念 (1)定义：一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫作从 n 个 不同 元素中取出 m 个元素的一个排列． (2)相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 完全相同 ，且元素的 排列顺序 也相同．
2．排列数与排列数公式
后面，则他可选的密码个数共有( )
A．A66
B．A68
C．A35＋A33
D．A35·A33
解析：分两步．第一步选 3 个数字安排在后三位，有 A35种方法，第二步把 3 个字母
安排在前三位，有 A33种方法，故共有 A35·A33个密码．
答案：D
探究三 “在”与“不在”的问题 [典例 3] 7 位同学站成一排． (1)若甲站在中间的位置，则共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ (4)甲不能站排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？ [解析] (1)先考虑甲站在中间，有 1 种排法，再在余下的 6 个位置排另外 6 位同学， 共 A66＝720 种排法． (2)先考虑甲、乙站在两端，有 A22种排法，再在余下的 5 个位置排另外 5 位同学，有 A55种排法，共 A22A55＝240 种排法．
1.2 排列与组合 1.2.1 排 列重点：排列的概念；排列数公
2.了解排列数的概念．
式；用排列知识解决简单的实
3.掌握排列数公式的推导方法．
际问题．
4.能用排列知识解决简单的实际问题. 难点：排列数公式的推导方法.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要 表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法 主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．
数学：1.2.2《组合》PPT课件(新人教A版-选修2-3)
小结：至多至少问题常用分类的或排除法. 小结：至多至少问题常用分类的或排除法.
从数字1,2,5,7中任选两个 例2 从数字 中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和 6个 可以得到多少个不同的和? (2)可以得到多少个不同的差 12个 可以得到多少个不同的差? 可以得到多少个不同的差 有不同的英文书5本 不同的中文书 不同的中文书7本 练习 有不同的英文书 本,不同的中文书 本, 从中选出两本书. 从中选出两本书 (1)若其中一本为中文书 一本为英文书 若其中一本为中文书,一本为英文书 若其中一本为中文书 一本为英文书. 问共有多少种选法? 问共有多少种选法 35种 (2)若不限条件 问共有多少种选法 若不限条件,问共有多少种选法 若不限条件 问共有多少种选法? 66种
练一练
1.写出从 写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 写出从 组合
c a b b c c d d d
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc abd acd bcd abc acb abd adb
排列 bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
3 4 3
4
3
43 34 33
3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的 排列数，可以分为以下2步 排列数，可以分为以下 步： 先求出从这n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个 第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个 m 元素的组合数 C． n 2步 求每一个组合中m个元素的全排列数 第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 An ． m m m An = Cn ⋅ Am 根据分步计数原理，得到： 根据分步计数原理，得到：
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归纳总结
1、组合的意义与组合数公式； 2、解决实际问题时首先要看是否与顺序有关， 从而确定是排列问题还是组合问题， 必要时要利用分类和分步计数原理.
王新敞
奎屯 新疆
作业布置
课本27页:
习题1.2 A组 9、10、11、12题
变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
课堂练习
1、课本25页，练习 1、2、3、4题 2、多媒体投影。
3 3 3 由分步计数原理得： A4 = C4 ? A3
3 A4 C 3 ，所以： A3 3 4
（2）求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 A ， m m m 由分步乘法计数原理： An = Cn ? Am
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1) C m 所以： Am m!
例1．判断下列问题是组合还是排列 （1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上， 有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ （2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛 （3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员 三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动 有多少种不同的选法？ （4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合
例5．(1)平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点 的线段共有多少条？ (2)平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点 的有向线段共有多少条？
例6．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品． 从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？ (2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
m n
。
m n
，或
m Cn =
n! m!(n - m)!
0 C 规定: n 1
例2．计算：（1）C7
4
7 （2）C10
例3．求证：
m Cn =
m +1 m +1 ?Cn n- m
例题精讲
例4． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前 没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球 队的上场队员是11人．问： (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员， 那么教练员有多少种方式做这件事情？1.2.2组 合复习引入
1、分类加法计数原理和分步乘法计数原理； 2、排列的概念：从 n 个不同元素中，任取 m (m n) 个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排 成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列.
3、提问： ①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一 项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学 参加下午的活动，有多少种不同的选法？ ②从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动， 有多少种不同的选法？
2、组合数的概念：从 n 个不同元素中取出 m (m n) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号Cnm 表示 3、组合数公式的推导： 3 （1）从4个不同元素 a, b, c, d 中取出3个元素的组合数 C 4 是 多少呢？
启发：由于排列是先组合再排列，因此，求从4个不同元素中 3 取出3个元素的排列数 A4 ，可以分如下两步：①取；②排，
引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定 的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与 顺序无关的。引出课题：组合
新课讲授
1、组合的概念：从 n 个不同元素中，任取 m (m n) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个组合.
说明：（1）不同元素； （2）“只取不排”——无序性； （3）相同组合：元素相同。