(人教版)高中数学选修2-3课件：1.3.1
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人教A版高中数学选修2-3课件3、1-3-1
[点评] 二项式的展开式的某一项为常数项，就是这 项不含“变元”，一般采用令通项Tr＋1中的变元的指数为 零的方法求得常数项．
[例 5] (1)在(x－ 3)10 的展开式中，求 x6 的系数． (2)求(1＋x)2·(1－x)5 的展开式中 x3 的系数．
[解析] (1)(x－ 3)10 的展开式的通项是 Tk＋1＝Ck10x10－k(－ 3)k. 令 10－k＝6，∴k＝4. 由通项公式可知含 x6 项为第 5 项，即 T4＋1＝C140x10－4(－ 3)4＝9C410x6. ∴x6 的系数应为 9C410.
[解析]
原
式
＝
C
0 n
·2n·10
－
C
1 n
2n
－
1·11
＋
…
＋
(
－
1)k·C
k n
2n
－
k
＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.
[点评] 解决这类问题要注意分析其结构特点，a的指 数是从高到低，b的指数是从低到高，且a、b的指数和等于 二项式的次数n，正负相间是(a－b)n的形式，本例中，二项 式中的每一项只有两项的乘积，故需添加“1”凑成二项展 开式的形式．
[例 2] 设 n 为自然数，化简 Cn0·2n－C1n·2n－1＋…＋(－ 1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①展开式中“＋”与“－”相间隔； ②2的指数最高为n，依次递减至0且每一项的指数等于 对应的组合数的下标与上标的差． 解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定理求 解．
展开．
[解析] 解法 1：(直接法)
3
x＋
1 x
1.3.1 二项式定理 课件(人教A选修2-3)
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)x2＋2
1
10
x
的展开式的第
5
项为
T5＝C410·(x2)6·21 x4＝C410·124·x12· 1x4＝1805x10.
(2)设第 k＋1 项为常数项，
则
Tk
＋
1
＝
C
k 10
2．相关概念
(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． (2)各项的系数 Ckn(k∈{0，1，2，…，n}) 叫做二项式系数． (3)展开式中的 Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1 ， 它表示展开式的第 k＋1 项．
(4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式 (1＋x)n＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn.
()
A．10
B．－10
C．40
D．－40
解析：二项式(2x2－1x)5 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr5(2x2)5
－r(－1x)r＝Cr5·25－r×(－1)rx10－3r，当 r＝3 时，含有 x，其系数
为 C35·22×(－1)3＝－40. 答案：D
4．已知二项式x2＋21 x10. (1)求展开式中的第 5 项；
＋C44·( 1x)4 ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
法二：(3 x＋ 1x)4＝3x＋ x2 14 ＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2 ＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
2016-2017人教版高中数学选修2-3课件：第一章1.3-1.3.1二项式定理
第二十二页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
(2) 逆 用 二 项 式 定 理 更 要 注 意 二 项 展 开 式 的 结 构 特 点，如果项的系数是正负相间，则是(a－b)n 的形式．
第二十三页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
[变式训练] (1)二项式(x＋2y)4 的展开式为______； (2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－… ＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn的结果是________． 解析：(1)(x＋2y)4＝C04x4＋C14x3(2y)＋C24x2(2y)2＋C34 x(2y)3＋C44(2y)4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.
答案：(1)12 (2)－84
第十九页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
类型 2 二项式定理的正用、逆用
[典例 2] (1)二项式3 x－ 1x4的展开式为_______．
(2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋ 5(x－2)＝________．
解析：(1)3 x－ 1x4＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3－ 1x＋
第二十八页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
设(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为第(r＋1)项，则 Tr＋1 ＝Crnx4－r(－ 2)r.
由 4－r＝2，得 r＝2. 故(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为 T3＝C24x2(－ 2)2＝ 12x2. 答案：12x2
第二十九页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
[类题尝试] 二项式2x2＋1x5的展开式中第 3 项的二 项式系数是____________，第 4 项的系数是________．
(2) 逆 用 二 项 式 定 理 更 要 注 意 二 项 展 开 式 的 结 构 特 点，如果项的系数是正负相间，则是(a－b)n 的形式．
第二十三页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
[变式训练] (1)二项式(x＋2y)4 的展开式为______； (2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－… ＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn的结果是________． 解析：(1)(x＋2y)4＝C04x4＋C14x3(2y)＋C24x2(2y)2＋C34 x(2y)3＋C44(2y)4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.
答案：(1)12 (2)－84
第十九页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
类型 2 二项式定理的正用、逆用
[典例 2] (1)二项式3 x－ 1x4的展开式为_______．
(2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋ 5(x－2)＝________．
解析：(1)3 x－ 1x4＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3－ 1x＋
第二十八页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
设(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为第(r＋1)项，则 Tr＋1 ＝Crnx4－r(－ 2)r.
由 4－r＝2，得 r＝2. 故(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为 T3＝C24x2(－ 2)2＝ 12x2. 答案：12x2
第二十九页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
[类题尝试] 二项式2x2＋1x5的展开式中第 3 项的二 项式系数是____________，第 4 项的系数是________．
(人教版)高中数学选修2-3课件：1.3.1
合作探究 课堂互动
4．求( 3 x＋ 3 2 )100展开所得x的多项式中，系数为有理数
的项数．
解析：
Tr＋1＝C
r 100
(
r·31002－r·23r，
3
x)100－r·(
3 2
)r＝C
r 100
x100－
依题意有1002－r，3r ∈Z，所以r为3和2的倍数，即为6的倍
数，
数学 选修2-3
第一章 计数原理
合作探究 课堂互动
即n2－3n－4＝0，解此方程并舍去不合题意的负值，得
n＝4.
8分
设(x－ 2)4展开式中含x2的项为第k＋1项，
则Tk＋1＝Ck4x4－k(－ 2)k，
10分
由4－k＝2，得k＝2，即(x－ 2)4展开式中含x2的项为
T3＝C24x2(－ 2)2＝12x2.
12分
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第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
[规律方法] 求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所 指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求 解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．
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第一章 计数原理
二项式通项
Tr＋1＝__C_nr_a_n_－_rb_r_______
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第一章 计数原理
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对二项展开式的几点认识 (1)二项展开式的特点 ①项数：n＋1项； ②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到 0，同时，字母b的指数由0递增到n； ③二项式系数：下标为n，上标由0递增到n. (2)易错点 ①通项Tr＋1＝Cnr an－rbr指的是第r＋1项，不是第r项； ②某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念．
人教版高中数学选修2-3全套课件
1． 现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座， 每名 同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种类是( A．56 5×6×5×4×3×2 C. 2 B．65 D．6×5×4×3×2 )
• (2)特殊优先，一般在后 • 解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般 应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考 虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主 次思想． • (3)分类讨论，数形结合，转化与化归 • 分类讨论就是把一个复杂的问题，通过正确划 分，转化为若干个小问题予以击破，这是解决计 数问题的基本思想． • 数形结合，转化与化归也是化难为易，化抽象 为具体，化陌生为熟悉，化未知为已知的重要思 想方法，对解决计数问题至关重要．
两个计数原理在解决计数问题中的方法
应用两个计数原理应注意的问题
• 1．分类要做到“不重不漏 ____________”，分类后再 对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求 和，得到总数． 步骤完整 • 2．分步要做到“ ________”——完成了所有步 骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独 立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分 步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘， 得到总数．
• [提示] 分六类，每类又分两步，从一班、二 班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、 三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、 四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从 二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法； 从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选 法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同 的选法，所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋ 7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
这样要求的抛物线的条数可由 a，b，c 的取值来确定： 第一步：确定 a 的值，有 3 种方法； 第二步：确定 b 的值，有 3 种方法； 第三步：确定 c 的值，有 1 种方法. 10 分
1.3.1二项式定理课件-高二数学人教A版选修2-3
2 x
6
的展开式的常数项是
240
2.
1
1 x
10的展开式中含
1 x3 项的系数是
120
五、课堂小结
思想共鸣 经验共享
你
1.二项式定理
学
到
了
a b n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn n N *
什
么
2.二项展开式的通项
Tk1 Cnk ankbk，k 0,1, 2,…, n
C
0 3
a
3
C
1a
3
2b
C 32ab 2
C
3 3
b
3
思想共鸣 经验共享
请同学们类比 (a+b)2 ，(a+b)3的展开式的特
征及方法，你能直接写出 (a+b)4 的展开式
吗？
第 二
（ （ a a+ b ) b4 ） = 2( a + Cb ) 20( a a+ 2 b ) ( Ca + 21ab （ b) a + Cb 2) 2b2
恰有1个括号取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个括号取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+b2
对(a+b)3展开式的分析：
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
项的形式： a 3 a 2b ab2 b3
探
（a b）3= C 4 0 Ca 4 30+ aC 3 4 1 a 3 Cb + 31aC 24 2 ba 2 b 2 C+ 3C 2a4 3 a bb 23 + C C4 4 3b 3b4 3
高中数学 1.3.1《二项式定理》课件 新人教A版选修2-3
1 5 1、求(2 x − ) 的展开式 x 2、求（ + 2 x) 7的展开式第4项的系数 1 1 7 3、求（x − ) 的展开式中x 3的系数 x
破解疑惑： 破解疑惑： 今天是星期五,再过2 天后是星期几, 今天是星期五,再过22007 天后是星期几, 你知道吗？ 你知道吗？
解： = 8670 × 2 22011 = 2(7 +1)670
0 1 669 670 = 2(C670767010 + C670766911 + ...+ C670 711669 + C670 701670)
发现被7整除余 ，故相当过2天后是星期几是一样的 天后是星期几是一样的。 发现被 整除余2，故相当过 天后是星期几是一样的。 整除余 故是周日
拓 展 提 高 (x2+3x+2)5展开式中 的系数为 展开式中x的系数为 _____. 方法1 方法 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5
在展开式中只有 C 1 (x 2 + 2)4 ⋅ 3x才存在 x的项 , 5 其系数为 5C 4 2 4 ⋅ 3 = 240 4
方法2 方法 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
在展开式中只有 C 1 x(x + 3) ⋅ 2 4 才存在 x的项 , 5 其系数为 C 1 ⋅ 3 ⋅ 2 4 = 240 5
1 x
)10 的展开式中是否包含常数项? 的展开式中是否包含常数项?
分析:取通项来分析, 分析:取通项来分析, 常数项即 x 项.
0
Tr +1 = C ⋅ ( 3 x
r 10
2
)
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
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数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
1.3 二项式定理 1．3.1 二项式定理
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第一章 计数原理
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第一章 计数原理
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1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式． 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
第一章 计数原理
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[规律方法] 求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所 指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求 解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．
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第一章 计数原理
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2．二项式x－ 1x8的展开式中的第6项为(
)
A．－28x12
B．28x12
C．－56x12
D．56x12
解析： T6＝C58x8－5－ 1x5＝－56x12. 答案： C
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3.x＋21x8的展开式中x2的系数为________．
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即n2－3n－4＝0，解此方程并舍去不合题意的负值，得
n＝4.
8分
设(x－ 2)4展开式中含x2的项为第k＋1项，
则Tk＋1＝Ck4x4－k(－ 2)k，
10分
由4－k＝2，得k＝2，即(x－ 2)4展开式中含x2的项为
T3＝C24x2(－ 2)2＝12x2.
12分
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第一章 计数原理
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1．在(x－ 3)10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27C610
B．27C610
C．－9C610
D．9C610
解析： x6的系数为C410·(－ 3)4＝9·C410＝9·C610. 答案： D
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第一章 计数原理
第一章 计数原理
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(x－ 2)n展开式的第二项与第四项分别为
T2＝C1nxn－1·(－ 2)＝－ 2·nxn－1，
2分
T4＝C3nxn－3·(－ 2)3＝－2 2C3nxn－3.
4分
－ 依题意得－2
22nC3n＝12，
6分
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第一章 计数原理
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的项数．
解析：
Tr＋1＝C
r 100
(
r·31002－r·23r，
3
x)100－r·(
3 2
)r＝C
r 100
x100－
依题意有1002－r，3r ∈Z，所以r为3和2的倍数，即为6的倍
数，
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又因为0≤r≤100，r∈N，所以r＝0,6，…，96，构成首项 为0，公差为6，末项为96的等差数列，
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方法二：3 x＋ 1x4＝3x＋x 14＝x12(1＋3x)4 ＝x12[1＋C14·3x＋C24·(3x)2＋C34(3x)3＋C44(3x)4] ＝x12(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝x12＋1x2＋54＋108x＋81x2.
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第一章 计数原理
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第一章 计数原理
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(2)方法一：3
x＋
1 4 x
＝(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2 1x2＋C34(3 x)· 1x3＋C44
1 4 x
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
数学 选修2-3
第一章 计数原理
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－
1 2x
＋
1 16x2.
方法二： x－21 x4＝22x－x14＝161x2(2x－1)4
＝161x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
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第一章 计数原理
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[规律方法] 熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问 题的关键，方法二相对方法一来说显得更加简单，我们在解较 复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变 形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．
【错解】 第三项的系数为C2n，依题意得C2n＝36，化简得
n2－n－72＝0，可得n＝9，设(x－ 6 )9的展开式中x2项为第r＋
1项，则Tr＋1＝C
r 9
x9－r(－
6 )r，由9－r＝2得r＝7，则(x－
6 )9的
展开式中x2项为T8＝C79x2(－ 6)7＝－7 776 6x2.
数学 选修2-3
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
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[问题2] 你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的 吗？
[提示2] 因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项
式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的，若有一个选
b，则其余三个都选a，其方法有C
1 4
等于( )
A．(x－2)4
B．(x－1)4
C．x4
D．(x＋1)4
(2)设n∈N*，则C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1＝________.
数学 选修2-3
第一章 计数原理
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解析： (1)S＝[(x－1)＋1]4＝x4. (2)C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1 ＝16(C0n＋C1n6＋C2n62＋C3n63＋…＋Cnn6n－1) ＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n－1)．
数学 选修2-3
第一章 计数原理
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[问题1] 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用 多项式的乘法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式．
[提示1] (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b ＋6a2b2＋4ab3＋b4.
a，－21
看成 x
b，利
用二项式定理展开，也可以先将
x－2
1
4
x
化简后再展开．
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方法一：
x－2
1
x
4＝C
04(
x)4－C14(
x)3·21 x
＋C
2 4
(
x
)2·2
1
x
2－C
3 4
x
·21
x
3＋C
4 4
2
1
x
4＝x2－2x＋
3 2
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1．(1)求2x－23x25的展开式；
(2)求3 x＋ 1x4的展开式．
解析：
(1)方法一：
2x－23x2
5＝C
0 5
(2x)5＋C
1 5
(2x)4·－23x2
＋C25(2x)3－23x22＋C35(2x)2－23x23＋C45(2x)－23x24＋C55－23x25
(2)Tk＋1＝C
k 5
(
x
)5－k
－ 1 3 x
k＝C
k 5
(－1)kx
5 2
－
5k 6
，令
5 2
－
5k 6
＝
0，
得k＝3，所以A＝－C35＝－10.
答案： (1)A (2)－10
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◎设(x－ 6 )n的展开式中，第三项的系数为36，则x2项的 系数为________．
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3．(1)在
3
2x－
1
2
20的展开式中，系数是有理数的项共有
() A．4项
B．5项
C．6项
D．7项
(2)设二项式
x－ 1 3 x
5的展开式中常数项为A，则A＝
________.
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解析：
(1)Tk＋1＝Ck20(3
2 n
(－2)2＋C3n
(－2)3＋…
＋Cnn(－2)n＝(1－2)n＝(－1)n.
(2)原式＝C
0 n
(x＋1)n＋C
1 n
(x＋1)n－1·(－1)＋C
2 n
(x＋1)n－2·(－1)2
＋…＋Cnk(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋Cnn·(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
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＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
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方法二：2x－23x25＝43x32－x1035 ＝321x10(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－ 243) ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
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1.3 二项式定理 1．3.1 二项式定理
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1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式． 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
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[规律方法] 求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所 指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求 解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．
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2．二项式x－ 1x8的展开式中的第6项为(
)
A．－28x12
B．28x12
C．－56x12
D．56x12
解析： T6＝C58x8－5－ 1x5＝－56x12. 答案： C
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3.x＋21x8的展开式中x2的系数为________．
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即n2－3n－4＝0，解此方程并舍去不合题意的负值，得
n＝4.
8分
设(x－ 2)4展开式中含x2的项为第k＋1项，
则Tk＋1＝Ck4x4－k(－ 2)k，
10分
由4－k＝2，得k＝2，即(x－ 2)4展开式中含x2的项为
T3＝C24x2(－ 2)2＝12x2.
12分
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1．在(x－ 3)10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27C610
B．27C610
C．－9C610
D．9C610
解析： x6的系数为C410·(－ 3)4＝9·C410＝9·C610. 答案： D
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(x－ 2)n展开式的第二项与第四项分别为
T2＝C1nxn－1·(－ 2)＝－ 2·nxn－1，
2分
T4＝C3nxn－3·(－ 2)3＝－2 2C3nxn－3.
4分
－ 依题意得－2
22nC3n＝12，
6分
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的项数．
解析：
Tr＋1＝C
r 100
(
r·31002－r·23r，
3
x)100－r·(
3 2
)r＝C
r 100
x100－
依题意有1002－r，3r ∈Z，所以r为3和2的倍数，即为6的倍
数，
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又因为0≤r≤100，r∈N，所以r＝0,6，…，96，构成首项 为0，公差为6，末项为96的等差数列，
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方法二：3 x＋ 1x4＝3x＋x 14＝x12(1＋3x)4 ＝x12[1＋C14·3x＋C24·(3x)2＋C34(3x)3＋C44(3x)4] ＝x12(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝x12＋1x2＋54＋108x＋81x2.
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(2)方法一：3
x＋
1 4 x
＝(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2 1x2＋C34(3 x)· 1x3＋C44
1 4 x
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
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－
1 2x
＋
1 16x2.
方法二： x－21 x4＝22x－x14＝161x2(2x－1)4
＝161x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
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[规律方法] 熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问 题的关键，方法二相对方法一来说显得更加简单，我们在解较 复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变 形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．
【错解】 第三项的系数为C2n，依题意得C2n＝36，化简得
n2－n－72＝0，可得n＝9，设(x－ 6 )9的展开式中x2项为第r＋
1项，则Tr＋1＝C
r 9
x9－r(－
6 )r，由9－r＝2得r＝7，则(x－
6 )9的
展开式中x2项为T8＝C79x2(－ 6)7＝－7 776 6x2.
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[问题2] 你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的 吗？
[提示2] 因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项
式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的，若有一个选
b，则其余三个都选a，其方法有C
1 4
等于( )
A．(x－2)4
B．(x－1)4
C．x4
D．(x＋1)4
(2)设n∈N*，则C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1＝________.
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解析： (1)S＝[(x－1)＋1]4＝x4. (2)C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1 ＝16(C0n＋C1n6＋C2n62＋C3n63＋…＋Cnn6n－1) ＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n－1)．
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[问题1] 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用 多项式的乘法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式．
[提示1] (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b ＋6a2b2＋4ab3＋b4.
a，－21
看成 x
b，利
用二项式定理展开，也可以先将
x－2
1
4
x
化简后再展开．
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方法一：
x－2
1
x
4＝C
04(
x)4－C14(
x)3·21 x
＋C
2 4
(
x
)2·2
1
x
2－C
3 4
x
·21
x
3＋C
4 4
2
1
x
4＝x2－2x＋
3 2
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1．(1)求2x－23x25的展开式；
(2)求3 x＋ 1x4的展开式．
解析：
(1)方法一：
2x－23x2
5＝C
0 5
(2x)5＋C
1 5
(2x)4·－23x2
＋C25(2x)3－23x22＋C35(2x)2－23x23＋C45(2x)－23x24＋C55－23x25
(2)Tk＋1＝C
k 5
(
x
)5－k
－ 1 3 x
k＝C
k 5
(－1)kx
5 2
－
5k 6
，令
5 2
－
5k 6
＝
0，
得k＝3，所以A＝－C35＝－10.
答案： (1)A (2)－10
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◎设(x－ 6 )n的展开式中，第三项的系数为36，则x2项的 系数为________．
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3．(1)在
3
2x－
1
2
20的展开式中，系数是有理数的项共有
() A．4项
B．5项
C．6项
D．7项
(2)设二项式
x－ 1 3 x
5的展开式中常数项为A，则A＝
________.
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解析：
(1)Tk＋1＝Ck20(3
2 n
(－2)2＋C3n
(－2)3＋…
＋Cnn(－2)n＝(1－2)n＝(－1)n.
(2)原式＝C
0 n
(x＋1)n＋C
1 n
(x＋1)n－1·(－1)＋C
2 n
(x＋1)n－2·(－1)2
＋…＋Cnk(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋Cnn·(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
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＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
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方法二：2x－23x25＝43x32－x1035 ＝321x10(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－ 243) ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.