人教A版高中数学选修2-3课件3、2-3-2

＝(32＋22＋12＋0＋12＋22＋32)×17＝4，
∴ D(X)＝ 4＝2.
[点评] 已知随机变量的分布列求方差时，首先要计 算均值，然后代入方差公式D(X)＝(xi－E(X))2·pi，在应用方 差公式时要注意(xi－E(X))2·pi中的平方，总之，分布列、均 值、方差以及标准差这几个特征量是密不可分的，对它们 的求解方法一定要熟练．
对于D(2X－1)，可用两种方法求解． 方法1：2X－1的分布列如下表：
2X－1 －1 1 3 5 7 P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1
∴E(2X－1)＝2.6. ∴D(2X－1)＝(－1－2.6)2×0.2＋(1－2.6)2×0.2＋(3－ 2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.
值的平均程度．
越小
5．若a，b为常数，则D(aX＋b)＝．a2D(X) 6．若X服从两点分布，则D(X)＝．p(1－p)
7．若X服从二项分布，即X～B(n，p)， 则D(X)＝．np(1－p)
[例1] 已知随机变量X的分布列为 求X的均值、方差和标准差．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①给出X的分布 列；②求X的期望、方差和标准差．
8
9
10
0.3
0.2
0.5
0.2
0.4
0.4
A.甲
B．乙
C．一样
D．无法比较
[答案] B [解析] E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η) ＝0.56<D(ξ)，乙稳定．
2．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28， 则
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45 [答案] A
二、填空题 4．某射手击中目标的概率为p，则他射击一次击中目 标的次数X的均值是________，方差是________． [答案] p 1－p
5．随机变量X的分布列如下表： X012 Pxyz
其中x、y、z成等差数列，若E(X)＝，则D(X)的值是 ______．
[解析] E(X)＝0×x＋1×y＋2×z＝y＋2z＝13， 又 x＋y＋z＝1，且 2y＝x＋z，∴x＝23，y＝13，z＝0， ∴D(X)＝(0－13)2×23＋(1－13)2×13＋(2－13)2×0＝29.
方法2：利用方差的性质D(aX＋b)＝a2D(X)． ∵D(X)＝1.56. ∴D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24. [点评] 求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一是先求y 的分布列，再求其均值，最后求方差；二是应用公式D(aX ＋b)＝a2D(X)求．
[例3] 已知某运动员投篮命中率p＝0.6. (1)求一次投篮命中次数X的期望与方差； (2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值与方差． [分析] (1)投篮一次可能投中，也可能不中，投中次 数X服从两点分布． (2)重复五次投篮的投中次数η服从二项分布．
[例2] 已知随机变量X的分布列是
X0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1
试求D(X)和D(2X－1)． [分析] 已知分布列求方差，可先求出均值，再套用 公式计算．
[解析] E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝ 1.8.
∴D(X)＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3 ＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.
2．样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的，用
它偏可离以程刻度画样本数据的．
稳定性
3．随机变量的方差、标准差的定义：
设离散型随机变量的分布列如下表.
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
4．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值
偏离于的均程值度，方平差均或标准差越小，则随机变量偏离于均
解答本题可先弄清楚题目的要求，再直接应用相应的 定义求解．
[解析]
E(X) ＝
1×
17 ＋
2× 17
＋
3× 17
＋ 4×
1 7
＋ 5×
1 7
＋
6×17＋7×17＝17×(1＋2＋3＋…＋7)＝17×28＝4.
D(X)
＝
(1
－
4)2×
1 7
＋
(2
－
4)2×
1 7
＋பைடு நூலகம்
(3
－
4)2×
1 7
＋
(4
－
4)2×17＋(5－4)2×17＋(6－4)2×17＋(7－4)2×17
()
[解析] 因为 X～B(n，p)，所以 E(X)＝np，D(X)＝np(1 －p)，从而有nnpp＝ (1－1.6p)＝1.28 ，
解之得 n＝8，p＝0.2.
3．设随机变量 X 服从二项分布 B4，13，则 D(X)的 值为
4
8
A.3
B.3
8
1
C.9
D.9
()
[答案] C
[点评] 求离散型随机变量的期望与方差的关键环节 是以下两点：
(1)写出离散型随机变量的分布列； (2)正确应用均值与方差的公式进行计算(要熟练掌握两 点分布、二项分布的期望与方差的公式)．
一、选择题 1．甲，乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下 表．其中射击比较稳定的运动员是
()
环数k P(ξ＝k) P(η＝k)
[解析] (1)投篮一次命中次数X的分布列为
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
D(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
(2)由题意，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，
即η～B(5,0.6)．
由二项分布期望与方差的计算公式，有
E(η)＝5×0.6＝3，D(η)＝5×0.6×0.4＝1.2.
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2．3.2 离散型随机变量的方差
1．通过实例，理解离散型随机变量方差的概念，能计 算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
2．通过本节的学习，体会离散型随机变量的方差在实 际生活中的意义和应用，提高数学应用意识，激发学习兴 趣．
本节重点：离散型随机变量方差的概念与计算． 本节难点：对方差刻画随机变量稳定性的理解与方差 的计算．