材料力学刘鸿文第六版最新课件第九章 压杆稳定
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《材料力学压杆稳定》课件
05
压杆稳定性设计原则与实例
压杆稳定性设计原则
压杆稳定性是指压杆在受到外力作用 时，能够保持其原有平衡状态的能力 。
压杆稳定性设计原则是确保压杆在使 用过程中能够承受外力作用，避免发 生失稳和破坏的关键。
设计压杆时，应遵循以下原则：选择 合适的材料、确定合理的截面尺寸、 优化压杆长度和形状、避免过大的偏 心载荷等。
本课程介绍了多种稳定性分析方法，包括欧拉公式法、经验公式法、能量法等。通过这些 方法的学习和应用，我们能够根据不同情况选择合适的分析方法，对杆件进行准确的稳定 性评估。
实际应用与案例分析
本课程结合实际工程案例，对压杆稳定问题进行了深入的探讨和分析。通过这些案例的学 习，我们了解了压杆稳定问题在实际工程中的重要性和应用价值，提高了解决实际问题的 能力。
不同截面形状的压杆，其临界载荷和失稳形态 存在差异。
支撑条件
支撑刚度、支撑方式等对压杆的稳定性有重要 影响。
提高压杆稳定性的措施
选择合适的材料
选择具有高弹性模量和合适泊松 比的材料，以提高压杆的稳定性
。
优化截面形状与尺寸
通过改变截面形状或增加壁厚等 方法，提高压杆的稳定性。
改善支撑条件
采用具有足够刚度的支撑，并合 理布置支撑位置，以提高压杆的
的比率。
03
压杆稳定性的定义与分类
压杆稳定性的定义
压杆稳定性是指压杆在受到轴向 压力时，保持其平衡状态而不发
生弯曲或屈曲变形的能力。
压杆稳定性问题主要关注的是压 杆在轴向压力作用下，是否能够 保持直线形状而不发生弯曲变形
。
压杆的稳定性取决于其自身的力 学特性和外部作用力的大小和分
布。
压杆稳定性的分类
《材料力学压杆稳定》PPT课件
当 s 时，就发生强度失效，而不是失稳。
所以应有: 4 压杆分类
cr
P A
s
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公
式。可根据柔度将压杆分为三类
(1) 大柔度杆(细长杆) (2) 中柔度杆
p 的压杆 s p 的压杆 29
4 压杆分类
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公 式。可根据柔度将压杆分为三类
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形
状对临界应力的影响。
22
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。
则临界应力为
cr
2E 2
2 欧拉公式的适用范围
欧拉公式
2
§9. 1 压杆稳定的概念
前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。
稳定性问题的例子
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳3
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳
构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。
1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北 克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
其中，A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时，
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 不同杆端约束下细长压杆的临界力的 欧拉公式.压杆的长度因数
1. 一端固支一端自由的压杆
由两端铰支压杆的临界
压力公式
Pcr
所以应有: 4 压杆分类
cr
P A
s
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公
式。可根据柔度将压杆分为三类
(1) 大柔度杆(细长杆) (2) 中柔度杆
p 的压杆 s p 的压杆 29
4 压杆分类
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公 式。可根据柔度将压杆分为三类
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形
状对临界应力的影响。
22
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。
则临界应力为
cr
2E 2
2 欧拉公式的适用范围
欧拉公式
2
§9. 1 压杆稳定的概念
前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。
稳定性问题的例子
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳3
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳
构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。
1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北 克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
其中，A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时，
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 不同杆端约束下细长压杆的临界力的 欧拉公式.压杆的长度因数
1. 一端固支一端自由的压杆
由两端铰支压杆的临界
压力公式
Pcr
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s p
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
材料力学课件 第九章 压杆稳定
对于脆性材料，将s改为b 。
2 1 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验
公式。它的破坏既有强度又有稳定性。
四、压杆的分类及临界应力总图(Classification of
Columns and the Diagram of critical stress cr versus slenderness ratio )
(Applicable range for Euler’s formula)
只有在 cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算 压杆的临界压力 Fcr（临界应力 cr ）。推导欧拉公式时 所用的挠曲线近似微分方程是以材料服从虎克定律为 基础导得的，所以欧拉公式仅适用于线弹性范围。
σcr
或 令
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
关键
确定压杆的临界力 Fcr
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: Fcr
失稳（屈曲）：压杆丧失直线状态的平衡，过渡 到曲线状态的平衡。 临界压力：压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡 的压力临界值。
欧拉公式 的统一形式(General Euler Buckling Load Formula)
π 2 EI Fcr ( l )2
——长度因数，代表支持方式对临界载荷的影响。 l——相当长度，压杆失稳时挠曲线上两拐点间的长
度。
l物理意义是各种支承条件下，细长压杆失稳
时，相当的两端铰支细长压杆的长度，也就是挠曲线 中相当于半波正弦曲线的一段长度。
2 EI Fcr 2 l
这就是两端铰支等截面细长受压直杆
临界力的计算公式（欧拉公式）。
2 1 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验
公式。它的破坏既有强度又有稳定性。
四、压杆的分类及临界应力总图(Classification of
Columns and the Diagram of critical stress cr versus slenderness ratio )
(Applicable range for Euler’s formula)
只有在 cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算 压杆的临界压力 Fcr（临界应力 cr ）。推导欧拉公式时 所用的挠曲线近似微分方程是以材料服从虎克定律为 基础导得的，所以欧拉公式仅适用于线弹性范围。
σcr
或 令
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
关键
确定压杆的临界力 Fcr
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: Fcr
失稳（屈曲）：压杆丧失直线状态的平衡，过渡 到曲线状态的平衡。 临界压力：压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡 的压力临界值。
欧拉公式 的统一形式(General Euler Buckling Load Formula)
π 2 EI Fcr ( l )2
——长度因数，代表支持方式对临界载荷的影响。 l——相当长度，压杆失稳时挠曲线上两拐点间的长
度。
l物理意义是各种支承条件下，细长压杆失稳
时，相当的两端铰支细长压杆的长度，也就是挠曲线 中相当于半波正弦曲线的一段长度。
2 EI Fcr 2 l
这就是两端铰支等截面细长受压直杆
临界力的计算公式（欧拉公式）。
材料力学 第九章 压杆稳定分析
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压 杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
材料力学上册第九章压杆稳定
一、工程实例
压力机的压杆
Mechanics of Materials
网架结构中的杆
桥墩
Mechanics of Materials
铁塔中的杆
Mechanics of Materials
Mechanics of Materials
航 天 飞 机 发 射 架 中 的 杆 件
Mechanics of Materials
第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定性的概念 §9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 §9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉
公式·压杆的长度因数 §9-4 欧拉公式的应用范围·临界应力总图 §9-5(9-6)压杆的稳定计算·压杆的合理截面
§9-1 压杆稳定的概念
Mechanics of Materials
压杆可能在低应力情况下发生弯曲 —失稳破坏
Mechanics of Materials
鱼洞长江大桥边 跨现浇支架失稳
Mechanics of Materials
稳定计算的重要性
Mechanics of Materials
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
材料力学 第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
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稳 时
B
B
B
挠
D
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pcr
2
l
EI
2
Pcr (0.27El)I2
Pcr (0.25El)I2
Pcr (22lE)I2
长度系数μ 1
0.7
0.5
2
Pcr
2
l
线平衡构形转变为弯曲平衡构 形，扰动除去后，能够恢复到 直线平衡构形，则称原来的直 线平衡构形是稳定的
FP>FPcr :在扰动作用下，直线
平衡构形转变为弯曲平衡构形， 扰动除去后，不能恢复到直线 平衡构形，则称原来的直线平 衡构形是不稳定的。
§9.2 §9.3 不同支座条件下细长压杆的临界压力
Pcr
解: 查表N020a: A =3.55×10-3 m2, i=21.2mm
强度方面:
P A
400 103 3.55 10 2
113MPa＜[]
稳定方面: 欧拉公式：
l
i
1.0 3 21.2 103
142
cr
2E 2
2 200 109
1422
98MPa
＜113MPa
压杆失稳破坏
例题3：图示托架,承受荷载F =10KN, 杆的外径D=
= 0.5
[例2] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2 EI L22
y
=0.7，
I
z
bh3 12
,
Pcrz
2EI
(0.7L1
z
)
2
③压杆的临界力 Pcr min( Pcry , Pcrz )
50mm, 内径d=40mm, 两端为铰支, 材料为A3钢,E=
200GPa,若稳定安全系数[n]st=3,问:AB杆是否稳定。
C
1.5 300
0.5 F 解:(1)受力分析 M C 0
B D N AB 0.75 10 2
A i
N AB 26.6 KN
(2)稳定分析: l
I A
4 (D4 d 4) 64 (D2 d 2 )
i
i I A
—截面的惯性半径
cr
FPcr A
π 2EI
(l)2 A
π2E 2
—欧拉公式的 p 另一种形式
：
P
细
长
杆
（
大
柔
度
杆
）
——欧拉公式只适用于细长杆。
细长杆—发生弹性屈曲 (p)
中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p)
粗短杆—不发生屈曲，而发生 屈服 (< s)
临 界 应 力 计
细长杆：
Pcr
2Imin E (2l)2
20.389200 (20.5)2
76.8kN
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式 1、临界应力
cr
2E 2
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
{ l 杆长
约束条件
i 截面形状尺寸
集中反映了杆长、
约束条件、截面形状尺寸
对 cr 的影响。
2、欧拉公式适用范围
临界压力: Fcr
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
临界压力 — 能够保持压杆在微小 弯曲状态下平衡的最小轴向压力。
弯矩 M Fw
令
挠曲线近似微分方程
则
通解
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
边界条件：
若 则
所以
（与假设矛盾）
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
w
得
n=0,1,2…
当
时，临界压力
解: (1)计算
[例4 ] 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两
端铰支，压力P=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物
线公式求临界压力和稳定安全系数nst。
z
解：一个角钢：
y
A18.367cm2, I y123.63cm4
两根角钢图示组合之后 I yI z
Imin I y 2I y1223.6347.26cm4
nst
cr
n
st
nst
169 37.7
4.4
nst
3
AB杆稳定
例题4: 一钢管柱,上端铰支,下端固定.外径D=7.6cm, 内径d=6.4cm, 杆长L=2.5m, 材料为合金钢, P=540 MPa, E=215GPa, 如承受压力P =150KN, [n]st = 3.5 试:校核钢管的稳定性。
i Imin 47.26 1.68cm A 28.367
l
i
11.560889.3c
123
所以，应由抛物线公式求临界压力。
cr
s
[1
0.43(
c
)2]
235[1 0.43(89.3)2 ] 181.7MPa 123
Pcr A cr 28.367104181.7106304kN
安全系数
nst
（欧拉公式）
挠曲线方程 w Asin x
l
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
min ----欧拉公式
（1）临界压力与轴向压力大小无关。（2）注意 I 的取值，取最小值※
1、欧拉公式适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 方向与轴线重合，材料均匀）
•线弹性，小变形
2、 Fcr
1 l2
杆越长，Fcr越小，易失稳
2 EI min （l）2
欧拉公式 等效长度
＝1.0 ＝2.0
＝0.7 ＝0.5
9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
材料和直径 均相同
（1）临界应力：压杆处于临界状态时横截
面上的平均应力。
cr
Pcr A
（l2）E2IA
（2）柔度： 影响压杆承载能力的综合指标。
定义： l —柔度（长细比）
P x0,yy0;xL,yy0
L
c
M P
,d
0
cos kl =1；
sin kl =0
kL 2n 并 kL n
n=0，1，2……..
kL2n n=0，1，2……..
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
kL2
所以，临界力为： p k 2EI
4 2EI 2EI
Pcr L2 (L/2)2
当
cr
2E 2
p
即
2E p
令 1
2E p
1
欧拉公式只适用于大柔度压杆
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式 3、中小柔度杆临界应力计算
当 s cr p 即 2 1 (中柔度杆)
经验公式
（直线公式）
cr s
cr a b
a、b — 材料常数
as
b
令
2
a
s
b
2 (小柔度杆) cr s
F
§9.1 压杆稳定的概念
压力小于临界力 压力大于临界力 压力等于临界力
§9.1 压杆稳定的概念
压力等于临界力
压杆的稳定性试验
压杆丧失直线 状态的平衡，过渡到 曲线状态的平衡。称 为丧失稳定，简称失 稳，也称为屈曲
§9.1 压杆稳定的概念
临界状态
稳 定过 平 衡
对应的 压力
不 稳 度定 平 衡
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
•压杆柔度 l μ四种取值情况，i I
i
A
•临界柔度 1
2E P
P — 比例极限
2
a
b
s
s — 屈服极限
•临界应力
1 (大柔度杆)
cr
2E 2
欧拉公式
1 2 (中柔度杆) cr a b 直线公式
2 (小柔度杆) cr s 强度问题
1 4
i
D2 d 2 16
16
11.5 cos 30
108
＞ P ≈100 大柔度杆
108 ＞ P≈100 大柔度杆
F
cr
2E 2
C
300 B D 2 200 109 169MPa
1082
A
工作
P A
26.6 103 4
(502 402 ) 106
37.7MPa
稳定条件:
EI
2
1
[例1 ] 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临
界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
P
P
EIyM (x)PyM
M0
令:k 2 P
EI
x
Px
y k 2 y k 2 M
M0
y
c
cos
kx
d
P
sin
kx
M
P
y d cos kx c sin kx
M0 P
M0 边界条件为:
cr
2E 2
p
中长杆：cr＝ a - b (铸铁、铝合金木材)
Q235钢： cr (235 0.00682 )MPa P 132
算 16Mn钢： cr (343 0.001612 )MPa P 109
粗短杆： cr＝ s (b)