高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.1三角函数的定义人教B版第三册
第7章-7.2.1-任意角的三角函数高中数学必修第一册苏教版
sin
sin
A.−3
+
cos
cos
+
tan
tan
的值可以为(
B.3
BD
)
C.1
D.−1
【解析】当为第一象限角时，sin ,cos ,tan 均为正值，
∴
sin
sin
+
cos
cos
+
tan
tan
= 3.
当为第二象限角时，sin 为正值，cos ,tan 为负值，
【解析】 为第三象限角，则2π + π < < 2π +
∈ ，
∈
，所以 是第二或第四象限角，
2
当 是第二象限角时，sin
2
> 0，cos < 0，当 是第四象限角时，sin
2
cos
2
<
2
D.cos 2 > 0
3π
，
4
π
π
+
2
3π
，
2
)
< π +
2
2
2
< 0，
> 0，故A，B错误；4π + 2π < 2 < 4π + 3π , ∈ ，所以2 是第一或第
1
的垂线1 1 ，2 2 ，易知这两条正弦线的值都等于 ，在
2
[0,2π)内，sin
π
6
= sin
5π
6
=
1
，由图可知，满足条件的角的
2
终边在图中阴影部分（包括边界）内，故所求的的取值范围为
人教B版高中数学必修第三册第七章三角函数第2节任意角的三角函数第3课时同角三角函数的基本关系式
状元随笔 同角”一词的含义： [提示] 一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对 任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的 表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin21π9＋cos21π9＝1等．
[基础自测]
1．已知α是第二象限角，sinα＝153，则cos α＝(
错因分析：忽略利用平方关系开方时符号的选择． 纠错警示：利用平方关系开方时符号的确定，要根据角度的范围选 择，有时要进行讨论．
＝ cos2 θ + sin2 θ
＝.
题型三 三角恒等式的证明 状元随笔 1.证明三角恒等式常用方法 [提示] (1)从右证到左． (2)从左证到右． (3)证明左右归一． (4)变更命题法．如：欲证明MN＝QP，则可证MQ＝NP，或证NQ＝MP 等． 2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见
[易错点] 忽略利用平方关系开方时符号的选择
已知tan α＝43，求sin α，cos α的值．
错解：由tan
α＝csoins
α＝4得
α3
sin α＝43cos α.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得196cos2α＋cos2α＝1. ∴cos2α＝295. ∴cosα＝35. ∴sin α＝43cos α＝45
证明：右边＝11+−ccssooiinnssxxxx＝ccooss
x+sin x−sin
x＝
x
cos
cos x+sin x 2 x−sin x cos x+sin x
＝1c+o2s2sixn−xsicno2sxx＝左边，
∴原等式成立．
高中数学第7章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.4第1课时诱导公式①②③④课件新人教B版必修第三
南京眼的桥身的完美对称 辽宁生命之环的完美对称
问题 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角 α 的终 边与 π±α，－α 有什么样的对称关系？
提示 π＋α 的终边与 α 的终边关于原点对称；π－α 的终边与 α 的终边关于 y 轴对称；－α 的终边与 α 的终边关于 x 轴对称．
1．诱导公式① sin(α＋k·2π)＝ sin α (k∈Z)， cos(α＋k·2π)＝ cos α (k∈Z)， tan(α＋k·2π)＝ tan α (k∈Z)．
[解] (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)
＝－cos
30°＝－
3 2.
(2)sin 114π＝sin2π＋34π
＝sin 34π＝sinπ－π4
＝sin
π4＝
2 2.
(3)sin－436π＝－sin6π＋76π ＝－sin 76π＝－sinπ＋π6＝sin π6＝12. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60° ＝－12.
3 .
解决给值求值问题的策略 1解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的 角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. 2可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形 向已知式转化.
[跟进训练]
2．已知 sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则 sin(α＋2β)的值为( )
＝cosπ＋π6＝－cos π6＝－ 23.
法二：cos－316π＝cos－6π＋56π ＝cosπ－π6＝－cos π6＝－ 23. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
7.2.2单位圆与三角函数线课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册
【变式训练1】 作出
9π
- 的三角函数线.
4
解:如图所示,
9π
- 的正弦线为,余弦线为,正切线为 .
4
探究二
利用三角函数线比较三角函数值的大小
【例2】 利用三角函数线比较下列各组数的大小:
2π
(1)sin 3 与
4π
sin 5 ;
2π
(2)tan 与
3
4π
tan .
5
分析:先在平面直角坐标系中的单位圆中画出所给角的三角函数线,再比较
与x轴垂直的直线l,与角α的终边(或其反向延长线)交于点T,那么角α的正弦
线是 ,余弦线为,正切线为 .正弦线、余弦线和正切线都称为三角
函数线.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)三角函数线的长度等于三角函数值.( × )
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负.( √ )
故OM<MP<AT.
答案:B
√3
60°= 2 ,cos
1
60°= ,tan
2
60°=√3,
3.(多选题)依据三角函数线,如下判断正确的有(
π
A.sin 6 =sin
B.cos
π
4
7π
6
=cos
π
3π
C.tan 8 >tan 8
D.sin
3π
4π
>sin
5
5
答案:BD
π
4
)
4.若角α的余弦线的长度为1,则角α的终边在
位圆上满足要求的弧,即可找到角的终边所在的区域,再根据角的终边所在
的区域写出角的取值集合.
高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.2单位圆与三角函数线教案新人教B版第三册
7.2.2 单位圆与三角函数线(教师独具内容)课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息．教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结合． 教学难点：三角函数线的运用.【知识导学】知识点一 单位圆(1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足□01x 2＋y 2＝1的点组成的集合称为单位圆． (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的□02横坐标和□03纵坐标． 知识点二 三角函数线如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，点P 在y 轴上的正射影为N ，过A (1,0)作单位圆的切线交α的终边OP 或其反向延长线于点T ，则(1)把向量OM →，ON →，AT →分别叫做α的□01余弦线、□02正弦线、□03正切线，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．(2)其中|cos α|＝□04|OM →|，|sin α|＝□05|ON →|，|tan α|＝□06|AT →|，其大小分别等于该坐标系下相应线段的长度，其正负是这样规定的：从起点到终点的方向与坐标轴的正方向相同时为正，相反时为负，即OM →的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝|OM →|，OM →的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－|OM →|；ON →的方向与y 轴的正方向相同时，表示sin α是正数，且sin α＝|ON →|，ON →的方向与y 轴的正方向相反时，表示sin α是负数；且sin α＝－|ON →|；AT →的方向与y 轴的正方向相同时，表示tan α是正数，且tan α＝|AT →|，AT →的方向与y 轴的正方向相反时，表示tan α是负数，且tan α＝－|AT →|.【新知拓展】1．单位圆中的“单位”半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm ，不是1 m ，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1的单位的长度．2．对三角函数线的几点说明(1)三角函数线是三角函数的图形表示．(2)在三角函数线中，点M ，N ，P ，A ，T 都是确定的，一般不可随意调换．P ——角的终边与单位圆的交点， M ——点P 在x 轴上的正射影， N ——点P 在y 轴上的正射影，A ——单位圆与x 轴正半轴的交点，坐标(1,0)， T ——过A 的垂线与角的终边(或其延长线)的交点．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值．( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1) 如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM →，正切线A ′T ′→B ．正弦线MP →，正切线A ′T ′→C ．正弦线MP →，正切线AT →D ．正弦线PM →，正切线AT →(2)如果MP ，OM 分别是角α＝3π16的正弦线和余弦线的数量，则下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．MP >OM >0C ．OM <MP <0D ．OM >MP >0(3)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4D.π4或7π4答案 (1)C (2)D (3)C题型一 画出角的三角函数线例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．(1)sin α＝23；(2)cos α＝－35；(3)tan α＝2.[解] (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如图①.(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM 与ON 为角α的终边，如图②.(3)在直线x ＝1上截取AT ＝2，其中A 的坐标为(1,0)．设直线OT 与单位圆交于C ，D 两点，则OC 与OD 为角α的终边，如图③.金版点睛1．作三角函数线的四个步骤(1)确定角的始边，单位圆与x 轴交点A (1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点P .(3)过P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为M ，N ，过A 作x 轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于T (T ′)．(4)得正弦线ON →，余弦线OM →，正切线AT →(或AT ′→)． 2．单位圆中求作角的终边的方法应用三角函数线可以求作满足形如f (α)＝m 的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y ＝m 或x ＝m 与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边．[跟踪训练1] 作出5π4的正弦线、余弦线和正切线．解 在直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图所示，以x 轴的正半轴为始边作5π4的终边，与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，作PN ⊥y 轴于点N ，由单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线与5π4的终边的反向延长线交于点T ，则ON →，OM →，AT →分别为5π4的正弦线、余弦线、正切线.题型二 利用三角函数线比较大小例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π5；(2)cos 2π3与cos 4π5；(3)tan 2π3与tan 4π5.[解] 如图，在单位圆中，2π3的终边为OP 1，4π5的终边为OP 2，过P 1，P 2分别作x 轴的垂线，垂足为M 1，M 2，延长P 1O ，P 2O 交经过A (1,0)的单位圆的切线于T 1，T 2.(1)sin 2π3＝|M 1P 1→|，sin 4π5＝|M 2P 2→|，∵|M 1P 1→|>|M 2P 2→|，∴sin 2π3>sin 4π5.(2)cos 2π3＝－|OM 1→|，cos 4π5＝－|OM 2→|，∵－|OM 1→|>－|OM 2→|，∴cos 2π3>cos 4π5.(3)tan 2π3＝－|AT 1→|，tan 4π5＝－|AT 2→|，∵－|AT 1→|<－|AT 2→|，∴tan 2π3<tan 4π5.金版点睛三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，三角函数线的长度是三角函数值的绝对值，因此，对于同名三角函数值的大小比较，利用三角函数线求解比较直观、形象．(1)sin α与sin β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点纵坐标的大小即可得sin α与sin β的大小．(2)cos α与cos β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点横坐标的大小即可得cos α与cos β的大小．(3)tan α与tan β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1,0)作垂线，设与角α，β的终边所在直线分别交于点T 1，T 2，然后比较T 1，T 2两点的纵坐标的大小即可得tan α与tan β的大小．[跟踪训练2] 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是( ) A ．sin θ＋cos θ<0 B ．sin θ－cos θ>0 C ．|sin θ|<|cos θ| D ．sin θ＋cos θ>0答案 D解析 因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，作出角的正弦线和余弦线如图所示，所以sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|，所以sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.题型三 利用三角函数线证明不等式例3 已知α为锐角，求证：1<sin α＋cos α<π2.[证明] 如图，设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，过点P 作PQ ⊥Ox ，PR ⊥Oy ，Q ，R 为垂足，连接PA ，PB ， ∵y ＝sin α，x ＝cos α， 在△OPQ 中，|QP →|＋|OQ →|>|OP →|， ∴sin α＋cos α>1.∵S △OPA ＝12|OA →|·|PQ →|＝12y ＝12sin α，S △POB ＝12|OB →|·|PR →|＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14×π×12＝π4，又四边形OAPB 被扇形所覆盖， ∴S △OPA ＋S △POB <S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α<π4，即sin α＋cos α<π2. ∴1<sin α＋cos α<π2.金版点睛利用三角函数线证明不等式的策略一般先根据条件作出三角函数线，在进一步证明不等式的过程中往往需要借助于三角形和扇形的面积，按题意适当放大或缩小证明结论．[跟踪训练3] 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：sin α<α<tan α. 证明 在单位圆中设∠AOP ＝α，则AP ︵的长度为α，角α的正弦线为MP →，正切线为AT →，∵△OPA 面积<扇形OPA 面积<△OAT 面积，∴12|OA →|·|MP →|<12|OA →|·α<12|OA →|·|AT →|， 即|MP →|<α<|AT →|，∴sin α<α<tan α.1．关于三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在 答案 D解析 正弦函数和余弦函数的定义域是R ，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R ，所以任何角的正切线不一定存在．2．已知角α的正弦线的长度为1，则角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．x 轴的正半轴上 D ．y 轴的正半轴上答案 B解析 若正弦线长度为1，则sin α＝±1，所以角α终边为y 轴上．3.在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 B解析 利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P 2OM 2＝π6，∠P 1OM 1＝5π6，|P 1M 1→|＝|P 2M 2→|＝12，则图中阴影部分为所求，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.4．角π6的终边与单位圆的交点的坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫32，12 解析 cos π6＝32，sin π6＝12，所以角π6的终边与单位圆的交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.5．画出α＝2的正弦线、余弦线和正切线． 解 如图所示，MP →＝sin2，OM →＝cos2，AT →＝tan2.。
【新教材】7.2.1 三角函数的定义 课件(1)-人教B版高中数学必修第三册
人教2019版必修上册
7.2.1 三角函数的定义
问题1：任意角的正弦、余弦、正切的定义
当 是锐角时，它的终边在第一象限内，如图所示，在 终边上任取一个不同于坐标原点的点 P(x, y) ，
作 PM 垂直于 Ox 于点 M ，记 r x2 y2 ，则 OMP 是一个直角三角形，
且 OM x, PM y,OP r ，由此可知：
小结：
1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函 数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．[来源:学& 科&网Z&X&X&K] 2．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的 角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确 定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．
A．－1
B．0
C．1
D．不存在
答案：D 因为角 α 的终边上有一点(0，－1)，所以角的终边落在 y 轴的负半轴上， 其正切值不存在．
例 1.已知角 的终边经过点 P(2, 3) ，求 sin, cos, tan 。
解：设 x 2, y 3, 则 r x2 y2 22 (3)2 13 ，于是
解 r＝ －4a2＋3a2＝5|a|. 若 a>0，则 r＝5a，α 是第二象限角，则 sin α＝yr＝53aa＝35， cos α＝xr＝－5a4a＝－45，tan α＝yx＝－3a4a＝－34， 若 a<0，则 r＝－5a，α 是第四象限角，则 sin α＝－35， cos α＝45，tan α＝－34. 综上所述，当 a>0 时，sin α＝35cos α＝－45，tan α＝－34； 当 a<0 时，sin α＝ －35，cos α＝45，tan α＝－34.
新教材人教B版高中数学必修第三册全册精品教学课件(共762页)
第2课时 诱导公式(二) P204
7．3 三角函数的性质与图像
7．3.1 正弦函数的性质与图像 P230 7．3.2 正弦型函数的性质与图像 P270
7．3函数的性质与图像 P376
7．3.5 已知三角函数值求角 P411
7．4 数学建模活动：周期现象的描述 P443
2．象限角 (1)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在 x 轴的正半轴 上，角的终边在第几象限，把这个角称为第几象限角． 如果终边在 坐标轴 上，就认为这个角不属于任何象限．
(2)①象限角的集合 第一象限角的集合{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝ β＋k·360°，0°<β<90°，k∈Z}． 第二象限角的集合 {α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，90°<β<180°，k∈Z}． 第三象限角的集合{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，180°<β<270°，k∈Z}． 第四象限角的集合 {α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，270°<β<360°，k∈Z}．
②终边落在坐标轴上的角的集合 终边落在 x 轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}． 终边落在 x 轴负半轴上的角的集合为
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} ． 终边落在 x 轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}． 终边落在 y 轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋90°，k ∈Z}． 终边落在 y 轴负半轴上的角的集合为
人教B版高中数学必修第三册7.2.1三角函数的定义【课件】
π
1
3
【解析】 因为角－ 的终边与单位圆交于点P( ，－ )，
3
2
2
3
1
所以sin α＝－ ，cos α＝ ，tan α＝－ 3.
2
2
3
θ＝－ ，则a的值是(
5
(3)若角θ的终边过点P(a，8)，且cos
)
A．6
B．－6
(1)由定义确定终边位置，结合函数值求解．
C．10
D．－10
(2)在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解．
三角函数
sin α
cos α
tan α
定义
x
______
r
定义域
名称
______
R
正弦
______
R
余弦
π
2
{α|α≠kπ＋
，k∈Z}
____________
正切
知识点二
三角函数在各象限的符号
状元随笔 记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有诀窍，口诀记
忆
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全
是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦
是正值．
基 础 自 测
3 1
1．已知角α终边经过P( ， )，则cos
2
2
1
3
A．
B．
2
2
3
1
C．
D．±
3
2
α等于(
)
答案：B
解析：由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为α的余弦值，
故cos α＝
3
.
2
2．已知sin α>0，cos α<0，则角α是(
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核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
解析
(2)∵P(4,3m)，∴r＝ 16＋9m2， ∴sinα＝yr＝ 163＋m9m2＝ 22m， 两边平方，得169＋m92m2＝12m2. ∴m2(9m2－2)＝0，∴m＝0 或 m＝±32.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
解析
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
2．做一做 (1)若 sinα<0，且 tanα<0，则 α 在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)若角 α 的终边经过点 P(5，－12)，则 sinα＝________，cosα＝________， tanα＝________. (3)tan405°－sin450°＋cos750°＝________. (4)sin2cos3tan4 的值的符号为________．
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
解析
答案
金版点睛 判断给定角的三角函数值正负的步骤
(1)确定 α 的终边所在的象限； (2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦” 来判断．
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[跟踪训练2] (1)若三角形的两内角 A，B 满足 sinA·cosB<0，则此三角 形必为( )
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答案
[条件探究] 在本例中，若将题设条件改为：已知角 α 的终边在直线 y ＝ 3x 上，问题不变，怎样求解？
解 因为角 α 的终边在直线 y＝ 3x 上， 所以可设 P(a， 3a)(a≠0)为角 α 终边上任意一点． 则 r＝ a2＋ 3a2＝2|a|(a≠0)．
解 ∵x＝2t，y＝－3t，
∴|OP|＝ x2＋y2＝ 2t2＋－3t2＝ 13|t|.当 t>0 时，α 是第四象限角，∴
sinα＝yr＝
－3t ＝－ 13|t|
31t3t＝－31313，cosα＝xr＝
2t ＝2 13|t|
1313，tanα＝yx＝－2t3t＝
－32.当 t<0 时，α 是第二象限角，同理 sinα＝31313，cosα＝－21313，tanα＝－
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【知识导学】
知识点一 三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设 α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与
原点 O 的距离是 r(r＝ x2＋y2>0)．
三角函数 定义
名称
sinα
□01 y r
□02 正 弦
cosα
□03 x r
□04 余 弦
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解析
(3)①∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0，∴sin105°cos230°<0. ②∵π2<78π<π，∴78π是第二象限角． ∴sin78π>0，tan78π<0.∴sin78πtan78π<0. ③∵32π<6<2π，∴6 弧度的角为第四象限角， ∴cos6>0，tan6<0，∴cos6tan6<0.
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解析
②∵π<4<32π，∴4 弧度是第三象限角，∴cos4<0. ∵－243π＝－6π＋π4， ∴－243π是第一象限角，∴tan－243π>0. ∴cos4tan－243π<0.
[答案] (1)C (2)见解析
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值．
[解] r＝ －4a2＋3a2＝5|a|，
若 a>0，则 r＝5a，角 α 在第二象限， sinα＝yr＝35aa＝35，cosα＝xr＝－5a4a＝－45，
tanα＝yx＝－3a4a＝－34；
若 a<0，则 r＝－5a，角 α 在第四象限，
sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.
的值等于( )
2 A.5
B．－25
1 C.5
D．－15
(2)已知角 α 终边上的点 P(4,3m)，且 sinα＝ 22m，求 m 的值．
答案 (1)A (2)见解析
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答案
解析 (1)∵角 α 的终边经过点 P(－3a,4a)， 则 r＝ －3a2＋4a2＝5|a|. ∵a<0，∴r＝－5a， ∴sinα＝yx＝－4a5a＝－45，cosα＝xr＝－ －35aa＝35， ∴sinα＋2cosα＝－45＋2×35＝25.
答案 (1)B (2)二 (3)见解析
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答案
解析 (1)三角形内角的取值范围是(0，π)，故 sinA>0.因为 sinAcosB<0， 所以 cosB<0，所以 B 是钝角，故三角形是钝角三角形．
(2)因为点 P(tanα，cosα)在第三象限，所以 tanα<0，cosα<0，则角 α 的终 边在第二象限．
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若
a>0，则
α
为第一象限角，r＝2a，sinα＝
3a＝ 2a
3， 2
cosα＝2aa＝12，tanα＝
3a＝ a
3.
若 a<0，则 α 为第三象限角，r＝－2a，sinα＝－32aa＝－ 23，cosα＝－a2a＝
－12，tanα＝
3a＝ a
3.
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 α＝β＋720°，则 cosα＝cosβ.( ) (2)若 sinα＝sinβ，则 α＝β.( ) (3)已知 α 是三角形的内角，则必有 sinα>0.
3 2.
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解析
2．当 α 为第二象限角时，|ssiinnαα|－|ccoossαα|的值是(
)
A．1
B．0
C．2
D．－2
答案 C 解析 ∵α 为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴|ssiinnαα|－|ccoossαα|＝ssiinnαα－ －cocsoαsα＝2.
7.2.1 三角函数的定义
(教师独具内容) 课程标准：1.借助平面直角坐标系理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定 义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同 一三角函数值相等． 教学重点：三角函数的定义；三角函数在各象限内的符号． 教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程.
题型二 三角函数值的符号
例 2 (1)若 sinαtanα<0，且ctaonsαα<0，则角 α 是(
)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)判断下列各式的符号：
①tan120°sin269°；②cos4tan－243π.
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[解析] (1)由 sinαtanα<0 可知 sinα，tanα 异号， 从而 α 为第二、三象限角． 由ctaonsαα<0 可知 cosα，tanα 异号，从而 α 为第三、四象限角． 综上可知，α 为第三象限角． (2)①∵120°是第二象限角，∴tan120°<0. ∵269°是第三象限角，∴sin269°<0， ∴tan120°sin269°>0.
(2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况 对参数进行分类讨论．
(3)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．
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[跟踪训练1] (1)设 a<0，角 α 的终边经过点 P(－3a,4a)，那么 sinα＋2cosα
3 2.
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金版点睛 利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角 α 的终边在直线上求 α 的三角函数值时，常用的解题方法为： 在 α 的终边上任选一点 P(x，y)，P 到原点的距离为 r(r>0)．则 sinα＝yr，cosα ＝xr.已知 α 的终边求 α 的三角函数值时，用这几个公式更方便．
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3．在△ABC 中，若 sinAcosBtanC<0，则△ABC 是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
答案 C
解 析 因 为 三 角 形 内 角 的 取 值 范 围 是 (0 ， π) ， 所 以 sinA>0 ， 又 sinAcosBtanC<0，所以 cosB，tanC 中一定有一个小于 0，即 B，C 中有一个钝 角．
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 (2)点 P(tanα，cosα)在第三象限，则 α 是第________象限角．