九年级数学下《正弦函数》训练

《正弦》基础训练
知识点1 正弦的定义
1.[2018安徽淮北相山区一模]在△ABC 中，∠C=90°，AB=3,BC=1，则sinA 的值为( )
A.13 D.3 2.[2017山东日照中考]在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13,AC=5,则sinA 的值为( ) A.
513 B.1213 C.512 D.125
3.[2017河南怀化中考]如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sin 的值是( )
A.35
B.34
C.45
D.43
4.在Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值( ) A.没有变化 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D.不能确定
5.[2018山东青岛平度期末改编]如图，△ABC 的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则sin∠BAC 的值为____.
6.如图，在菱形ABCD 中，AB=BD=2，则sin∠CAB 的值为____.
7.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC ：BC=3:2,求sinA 和sinB 的值.
8.如图，在△ABC 中，AB=AC=3，BC=4,求sinB 的值.
知识点2正弦的应用
9.[2018江苏泰州兴化月考]在Rt△ABC 中，∠C=90o ,sinA=3
5
，BC=6，则AB=( )
A.4
B.6
C.8
D.10
10.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CD 为斜边AB 上的高，若BC=4，sinA=23
,则BD 的长为____.
11.如图，已知AE,CF 是锐角三角形ABC 的两条高，且AE:CF=3:2，试求sin∠BAC：sin∠ACB 的值.
参考答案
1.A 【解析】∵∠C=90°,AB=3，BC=1，∴sinA=
BC AB = 1
3
,故选A.
2.B 【解析】由勾股定理，得BC==12,∴sinA=
BC AB = 12
13
.故选B 3.C 【解析】如图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B,因为点A 的坐标为(3,4),所以0B=3,AB=4,
由勾股定理,得似==5,则sina=
AB OA = 4
5
.故选C.
4.A 【解析】若Rt△ABC 的各边长度都扩大2倍，则所得新三角形与原三角形相似，故锐角A 大小不变,其正弦值也没有变化.故选A.
5B 作BD ⊥AC 于点D ，sin∠BAC=sin∠BAD= BD AB ,由图可得
BD=2,AD=4,则AB=故sin∠BAC=
BD AB
6.
12【解析】根据菱形的性质，可知AC ⊥BD ，BO= 1
2
BD=1，在Rt△ABO 中，sin∠OAB= BO AB = 12，∴sin∠CAB= 12
. 7.【解析】设AC=3a ，BC=2a ，在Rt△ABC 中，由勾股定理，得
∴BC sinA
AB =
==AC sinB AB ===
8.【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D,∵AB=AC,∴BD=DC=2.
在Rt△ABD 中,AB=3，BD=2，根据勾股定理，得AD ==
∴AD sin B AB =
=
9.D 【解析】因为在Rt△ABC 中，∠C=90°，所以sinA=BC AB ,所以
63
AB 5
=.解得AB=10.故选D.
10. 8
3
【解折】∵CD⊥AB,∴∠A＋∠ACD=90°.∵∠ACB=90°，∴∠ACD＋∠BCD =90°,
∴∠A =∠BCD,∴sin ∠BCD =
BD BC =sinA=23，∴BD=23BC=23×4=8
3
. 11.【解析】在Rt△ACF 中，sin∠BAC=CF AC ，在Rt △ACE 中，sin∠ACB=AE
AC
， ∴sin∠BAC ：sin∠ACB=CF AC ：AE AC =CF ：AE,又AE:CF=3:2,∴sin∠BAC：sin∠ACB =2
3
《正弦》提升训练
1.[2018河南师大附中课时作业]如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 丄BC 于点D)，则下列结论不正确的是( )
A.sinB=
AD AB B.sinB=AC BC C.sinB=AD AC D.sinB=CD
AC
2.[2018山西大同一中课时作业]如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则的正弦值是( )
B.12
C.133.[2018河北邯郸二十五中课时作业]如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙0的直径，若⊙O 的半径是4，sinB=
1
4
，则线段AC 的长为( )
A.2
B.4
C.8
D.14
4[2017山东临沂中考]如图，中，对角线AC ，BD 相交于点0，若AB=4，BD=10，
sin∠BDC =3
5
的面积是____.
5.[2018江西宜春实验中学课时作业]如图，在△ABC 中，∠C=90°点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE∥BC，DE=3，BC=9. (1)求
AD
AB
的值； (2)若BD=10，求sinA 的值.
6.[2018安徽合肥三十八中课时作业]如图1，2，3，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin 2A 1＋sin 2B 1=____；sin 2A 2＋sin 2B 2=____;sin 2A 3＋sin 2B 3=____.
(1)观察上述等式，猜想:在Rt △ABC 中，乙C=90°，都有sin 2A ＋sin 2B=____; (2)如图4，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，利用三角函数的定义和勾股定理证明你的猜想； (3)已知∠A＋∠B=90°，且sinA=
5
13
，求sinB 的值.
参考答案
1.C【解析】在Rt△ABD中，sinB=AD
AB
，所以A项正确；在Rt△ABC中，sinB=
AC
BC
，
所以B项正确；因为∠B＋∠BAD=90°，∠BAD＋∠DAC=90°，所以∠B=∠DAC，在Rt△
ADC中，sin∠DAC=CD
AC
，所以sinB=
CD
AC
，所以D项正确.故选C
2.D【解析】如图，过点B作BD⊥OA于点D，易得
S
△ABO =
1
2
×2×2=
1
2
×
，所以sin∠AOB=
BD
BO
，故选
D.
3.A【解析】如图，连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，
∴sinD=sinB=1
4
，在Rt△ACD中，sinD=
AC
AD
=
1
4
，∴AC=
1
4
AD=
1
4
×8=2.故选
A.
4.24【解析】过点0作OE⊥CD于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
OB=OD=1
2
BD=5，CD=AB=4.∵sin∠BDC=
OE
OD
=
3
5
，∴OE=3，
∴=
DE，∵CD=4，
∴点E与点C重合，∴AC⊥CD，OC=3，∴AC=20C=6，∴平行四边形ABCD的面积为CD×AC=4×6=24.
5.【解析】(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD
AB
=
DE
BC
；又DE=3，BC=9，∴
AD
AB
=
3
9
=
1
3
.
(2)由(1)可知AD
AB
=
1
3
，∴
+
AD
AD BD
=
1
3
，∵B D=10，∴
10
+
AD
AD
=
1
3
，解得AD=5，∴AB=15.
∴sinA=BC
AB
=
9
15
=
3
5
.
6.【解析】1 1 1(1)1
(2)∵sin A=a
c
，sinB=
b
c
，222
+=
a b c，∴sin2A＋sin2B=
2222
222
1
+
+==
a b a b
c c c
.
(3)∵sinA=
5
13
，sin2A＋sin2B=1，∴sinB=
12
13
=.
名师点睛：本题第(3)问也可用参数法，由sinA=
5
13
，得
a
c
=
5
13
，设5
=
a k，13
=
c k，
根据勾股定理得12
==
b k，∴sinB=
1212
1313
==
b k
a k
.。