(整理)多元函数的极限与连续习题

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9-1,2-多元函数的概念极限和连续

设 n元函数 f ( P ) 的定义域为点集 D , P0 是其聚点且 P0 ∈ D ，如果 lim f ( P ) = f ( P0 ) 则称 n元
P → P0
函数 f ( P ) 在点 P0 处连续。设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点，的定义域的聚点，如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续，处不连续，则称 P0 是函数 f ( P ) 的间断点。
故函数在(0,0)处连续.
25
例6 讨论函数
xy 2 2 x2 + y2 , x + y ≠ 0 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
在(0,0)的连续性．的连续性．解取 y = kx 2 xy k kx lim 2 = lim 2 = 2 x →0 x + y 2 x→0 x + k 2 x 2 1 + k y→ 0 y = kx 极限不存在．其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在．处不连续．故函数在(0,0)处不连续．
3
(3)连通，区域，有界
(1)如果 E 中的任意两点可以用完全含于 E 的折线段连接起来，连接起来，则称其为连通则称其为连通的连通的； (2)连通的开集成为区域连通的开集成为区域(域)，连通的闭集称为闭域连通的闭集称为闭域；闭域； (3)无洞的连通区域称为单连通否则为多连通无洞的连通区域称为单连通的单连通的，否则为多连通的多连通的； (4) 如果 E 含于某一个含于某一个(有限个)(圆心在原点的)圆( 的并集)，则称其为有界则称其为有界的有界的，否则称为无界否则称为无界的无界的。
1 x− y
y x
3) z =

第十六章多元函数的极限与连续

第十六章多元函数的极限与连续§ 1平面点集与多元函数1. 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点和界点：（1）［a,b ）⨯［c,d ）; （2）｛（x,y ）｜xy ≠0｝; （3）｛（x,y ）｜xy ＝0｝;（4）｛（x,y ）｜y ＞x 2｝; （5）｛（x,y ）｜x ＜2,y ＜2,x ＋y ＞2｝;（6）｛（x,y ）｜x 2＋y 2＝1或y ＝0，0≤x ≤1｝;（7）｛（x,y ）｜x 2＋y 2≤1或y ＝0，1≤x ≤2｝; （8）｛（x,y ）｜x,y 均为整数｝;（9）｛（x,y ）｜y ＝sin x1,x ＞0｝;解：（1）有界区域.其聚点为[a,b]⨯[c,d]中任一点.界点为矩形[a,b]⨯[c,d]的四条边上的任一点.(2)无界开集.聚点集为R 2.界点集为｛（x,y ）｜xy ＝0｝. (3)无界闭集.聚点集和界点集都是｛（x,y ）｜xy ＝0｝.(4)无界开域.聚点集为｛（x,y ）｜y ≥x 2｝.界点集为｛（x,y ）｜y ＝x 2｝. (5)有界开域.聚点集为｛（x,y ）｜x ≤2,y ≤2,x ＋y ≥2｝.界点为直线x = 2,y = 2和x + y =2所围成的三角形三边上的点.(6)无界闭集.没有聚点.有界点集,聚点:E = ｛（x,y ）｜x 2＋y 2＝1或y ＝0，0≤x ≤1｝.界点:∂E = E.(7)闭集,有界集.聚点E =｛（x,y ）｜x 2＋y 2≤1或y ＝0，1≤x ≤2｝ ,δE = ｛（x,y ）｜x 2＋y 2＝1或y ＝0，1≤x ≤2｝.(8)是闭集,界点集｛（x,y ）｜x,y 均为整数｝.(9)是非开非闭的无界集.聚点E =｛（x,y ）｜y ＝sinx1,x ＞0｝⋃ ｛(0,y)｜-1≤y ≤1｝,∂E= E.2. 试问集合｛（x,y ）｜0＜｜x - a ｜＜δ,0＜｜y - b ｜＜δ｝与集合｛（x,y ）｜｜x - a ｜＜δ,｜y - b ｜＜δ,(x,y)≠(a,b)｝是否相同?解:不相同,因为点集1E =｛（x,y ）｜x = a, 0＜｜y - b ｜＜δ｝与2E =｛（x,y ）｜y = b,0＜｜x - a ｜＜δ｝不属于第一个点集,但却属于第二个点集.3. 证明:当且仅当存在各点互不相同的点列｛n P ｝E ⊂, n P ≠0P ,0lim P P n n =∞→ 时, 0P 是E 的聚点.解:证充分性若存在｛n P ｝E ⊂且各点互不相同, n P ≠0P ,但0lim P P n n =∞→,则ε∀＞ 0.,0>∃N 当N n >时,),;(0εP U P On ∈又｛n P ｝E ⊂从而0P 的任何空心邻域);(00εP U 内都含有E 中的点.即0P 是E 的聚点.必要性:若0P 是E 的聚点,则ε∀＞ 0,存在∈P );(00εP U E ⋂. 令 11=ε,则存在∈1P );(00εP U E ⋂;令⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=)(,21min 012P P ρε,则存在 ∈2P );(00εP U E ⋂;且显然),()(01202P P P P -≤<-ρερ知12P P ≠;令 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-)(,1min 01P P n n n ρε,则存在∈n P );(00εP U E ⋂,且n P 与,1P …1-n P 互异.无限地重复以上步骤,得到E 中各项互异的点列｛n P ｝, n P ≠0P 且由,1)(0nP P n n ≤<-ερ易得0lim P P n n =∞→.4. 证明：闭域必为闭集.举例说明反之不真.解:设D 为闭域,且P 是D 的任一聚点,则);(δP U ∀内含有D 的无穷多个点.若(1)0δ∃使,);(0D P U ⊂δ则D P ∈;(2)否则P 的没每一);(δP U 内既含有D 的点又含有不属于D 的点,则P 是D 的界点,由闭域定义,D P ∈由(1),(2)得D P ∈,由P 的任意性得D 上的一切点都是D 的聚点,所以D 是闭集.反之,例如,1),{(22=+y x y x 或}32,0≤≤=x y 是闭集,然而E 中的开域是=1E }1),{(22<+y x y x 及=∂1E }1),{(22=+y x y x 且E E E ≠∂⋃11,则可知E 不是闭域.5. 证明:点列)},({n n n y x P 收敛于),(000y x P 的充要条件是0lim x x n n =∞→和0lim y y n n =∞→.证必要性设点列)},({n n n y x P 收敛于),(000y x P ,即0lim P P n n =∞→.则0>∀ε,存在N ,当N n >时,有);(0εP U P n ∈,即ερ<-+-=-20200)()()(y y x x P P n n n .于是 )()()(20200N n y y x x x x n n n ><-+-≤-ε.从而 0lim x x n n =∞→.同理, 0lim y y n n =∞→.充分性设0lim x x n n =∞→,0lim y y n n =∞→,则0>∀ε,存在N ,当Nn >时,20ε<-x x n , 20ε<-y y n .因此ε<-+-2020)()(y y x x n n .则可知)},({n n n y x P 收敛于),(000y x P . 6. 求下列个函数的函数值:(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=)arctan()arctan(),(y x y x y x f ,求⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+231,231f ;(2)222),(y x xy y x f +=,求⎪⎭⎫⎝⎛x y f ,1;(3)yxxy y x y x f tan),(22-+= ,求),(ty tx f . 解:(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+231,231f = 23arctan 1arctan ⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 16934=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ(2) 222212,1y x xy x y x yx y f +=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛ (3)())tan (tan,22222222yx xy y x t y x xy t y t x t ty tx f -+=-+= 7. 设,ln ln ),(y x y x F =证明:若,0,0>>υμ则).,(),(),(),(),(υμυμμυy F y F x F x F xy F +++= 证:因为,ln ln ),(y x y x F =,0,0>>υμ所以 )ln()ln(),(μυμυxy xy F =)ln )(ln ln (ln υμ++=y xυμυμln ln ln ln ln ln ln ln y y x x +++= ).,(),(),(),(υμυμy F y F x F x F +++=8. 求下列各函数的定义域,画出定义域的图形,并说明这是何种点集:(1)2222),(y x y x y x f -+=; (2) ;321),(22yx y x f += (3)xy y x f =),(; (4)11),(22-+-=y x y x f ;(5)y x y x f ln ln ),(+=; (6))sin(),(22y x y x f +=; (7))ln(),(x y y x f -=; (8))(22),(y x e y x f +-=;(9)1),,(22++=y x zz y x f ;(10) 222222221),,(rz y x z y x R z y x f -+++---=(R ＞r);解:(1)定义域:}),{(x y y x D ±≠=,是开集但不是开域. (2)定义域:}0),{(22≠+=y x y x D ,是开集也是开域. (3)定义域:}0),{(≥=xy y x D ,是闭集也是闭域.(4)定义域:}1,1),{(≥≤=y x y x D ,是闭集,但不是区域. (5)定义域:}0,0),{(>>=y x y x D ,是开集,也是开域.(6)定义域:,....}1,0,)12()(2),{(22=+≤+≤=k k y x k y x D ππ, 是闭集,但不是区域.(7)定义域:}),{(x y y x D >= 是开集,也是开域. (8)定义域:,2R D = 是开集,又是闭集,是闭域也是开域. (9)定义域:3R D =, 是开集,又是闭集,是闭域也是开域.(10)定义域:}),,{(22222R z y x r z y x D ≤++<=,是有界集,但既不是开集也不是闭集.§2 二元函数的极限1. 试求下列极限(包括非正常极限)(1)2222)0,0(),(lim y x y x y x +→; (2) 2222)0,0(),(1lim yx y x y x +++→; (3)11lim2222)0,0(),(-+++→y x y x y x ; (4)44)0,0(),(1limy x xy y x ++→;(5)y x y x -→21lim)2,1(),(; (6) 22)0,0(),(1sin )(lim y x y x y x ++→;(7) 2222)0,0(),()sin(lim y x y x y x ++→解(1)对函数自变量作极坐标变换:θθsin ,cos r y r x == 这时0),0,0(),(→→r y x 即由于22222222cos sin 0),(r r yx y x y x f ≤=+=-θθ 因此,对时，就有，当取δεδε<+=<=>∀2200y x rε≤≤-20),(r y x f由此可知 2222)0,0(),(lim y x y x y x +→(2)令θθsin ,cos r y r x ==.这时0),0,0(),(→→r y x 即+∞=+=+++→→2202222)0,0(),(1lim 1lim rr y x y x r y x . (3) 令θθsin ,cos r y r x ==.这时0),0,0(),(→→r y x 即=-+++→11lim2222)0,0(),(y x y x y x 2101(lim )11(lim2022)0,0(),(=++=+++→→r y x r y x(4) 令θθsin ,cos r y r x ==.这时0),0,0(),(→→r y x 即,不妨限制10<<r . 则对时当⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<>∀421,1min 00Mr M因为)4cos 3(41cos sin44θθθ+=则M rr r r r y x xy ≥>++=++=++44244424442)4cos 3(2sin 24)sin (cos 1cos sin 1θθθθθθ 故+∞=++→44)0,0(),(1limy x xy y x(5)对,212,4110时当My M x M <-<->∀就有M yx y x y x >-+-≥-+-=-2121)2()1(2121所以+∞=-→y x y x 21lim)2,1(),((6)对时，就有当2,2,0εεε<<>∀y x ε<+≤++y x y x y x 221sin)(所以01sin)(lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x(7) 令θθsin ,cos r y r x ==.这时0),0,0(),(→→r y x 即1sin lim )sin(lim 2202222)0,0(),(==++→→rry x y x r y x2. 讨论下列函数在点(0,0)的重极限和累次极限:(1)222),(yx y y x f +=; (2) y x y x y x f 1sin 1sin )(),(+=; (3) 22222)(),(y x y x y x y x f -+=; (4) yx y x y x f ++=233),(; (5) x y y x f 1sin ),(=; (6) 3322),(y x y x y x f += (7) xye e y xf yx sin ),(-=;解(1)当动点),(y x P 沿直线kx y =趋于点)0,0(时有22221222)0,0(),(11lim lim k k k k y x y x kxy y x +=+=+→=→ 其极限值依赖于k,因此不存在，而222)0,0(),(lim y x y kxy y x +=→0lim lim 22200=+→→y x y y x ,1lim lim 22200=+→→y x y x y (2) 因为:）当0,0(),(,01sin 1sin )(0→→+≤+≤y x y x yx y x , 当)0,0(),(→y x ,所以2,0εδε=∃>∀,当)0,0(),(,,≠<=y x y x δδ时,εδ=<+≤+21sin 1sin)(y x yx y x ,即01sin 1sin )(lim )0,0(),(=+→y x y x y x .当,2,1,1±±=≠k k x π…,0→y 时, y x y x 1sin 1sin )(+的极限不存在,因此),(lim lim 00y x f y x →→不存在,同法得),(lim lim 00y x f x y →→不存在.(3) 1)当沿x y =时,有=→),(lim )0,0(),(y x f y x ,1),(lim 0=→y x f x2)当沿0=y 时有=→),(lim )0,0(),(y x f y x ,0),(lim 0=→y x f x因此),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在,而00lim),(lim lim 200==→→→xy x f x y x , 00lim),(lim lim 200==→→→yy x f y x y (4) 1) 当沿x y =时,有=→),(lim)0,0(),(y x f y x 02lim 230=+→xx x x . 2)当沿32x x y +-=时,有=→),(lim)0,0(),(y x f y x 1])1(1[lim 330=-+→x x x ,因此),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在,0lim ),(lim lim 00==→→→x y x f x y x ,0lim ),(lim lim 20==→→→y y x f y x y .(5) 因为).0,0(),(,01sin0→→≤≤y x y xy 所以对0>∀ε,取,εδ= 当)0,0(),(,,≠<=y x y x δδ时εδ=<≤y xy 1sin 即0),(lim )0,0(),(=→y x f y x而,00lim 1sinlim lim 000==→→→x y x x y xy x y 1sin lim lim 00→→不存在.总练习题十六1. 设E 2R ⊂是有界闭集，d(E)为E 的直径。

高数8多元函数的极限与连续

二元函数的极限二元极限存在常用夹逼准则证明例1 14)23(lim 212=+→→y x y x 例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x yx y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略.上述二元函数极限)(lim 00y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限：累次极限定义若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ϕ也存在极限，设B y x f y ax b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，ϕ，则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即C y x f by a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如：1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3.2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2.多重极限与累次极限之间的关系定理若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则)(lim lim (lim 0000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=.二元函数的连续性定理若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，)()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续定理若二元函数)(y x u ，ϕ=，)(y x v ，ψ=在点)(000y x P ，连续，并且二元函数)(v u f ，在点[])()()(000000y x y x v u ，，，，，ψϕ=连续，则复合函数[])()(0000y x y x f ，，，，ψϕ 在点)(000y x P ，连续.1. 用极限定义证明下列极限：1)19)34(lim 212=+→→y x y x ； 2）01sin 1sin )(lim 00=+→→yx y x y x ； 3）0lim 22200=+→→y x y x y x . (提示：应用.1222≤+y x xy ） 2. 证明：若)0()(≠++-=y x yx y x y x f ，，，则 1)(lim lim 00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→y x f y x ，与 []1)(lim lim 00-=→→y x f x y ，. 3. 设函数32444)()(y x y x y x f +=，，证明：当点)(y x ，沿通过原点的任意直线 )(mx y =趋于（0,0）时，函数)(y x f ，存在极限，且极限相等. 但是，此函数在原点不存在极限. （提示：在抛物线2x y =上讨论.) 4. 若将函数2222)(y x y x y x f +-=，限制在区域{}2)(x y y x D <=，，则函数)(y x f ，在原点（0，0）存在极限（关于D).5. 求下列极限：1）2221lim y xy x y x y x +-+→→； 2）x xy y x sin lim 40→→； 3）)()(lim 2200y x In y x y x ++→→；（提示：设ϕϕsin cos r y r x ==，）4）222200321)61)(41(lim y x y x y x +-++→→.。

8.2 多元函数的极限与连续

y→2 y→2
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内若在开区域（或闭区域）内某些孤立点，某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都某些曲线，函数没有定义，内其余部分，部分有定义，有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化，其值随 k 的不同而变化，故极限不存在．故极限不存在．
关于二元函数的极限概念，关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数上任意一点都连续，如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面

7-2多元函数的概念、极限和连续-精品文档

7-2 多元函数的概念、极限和连续
1
复习
1.柱面: 柱面方程一定是二元方程，缺少哪个变量字母，
母线就平行于哪个坐标轴.
2. 椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
3. 椭圆锥面 4. 椭圆抛物面
x2 a2

y2 b2

z2
x2 y2 a2 b2 z
5. 双曲抛物面
x2 y2 a2 b2 z
y

P 0
{(x,y)0(xx0)2(yy0)2}.o
x
注意: (1)如果不强调邻域的半径, 则用U(p0)表示, 0 去心邻域用 U(p0)表示 . ( 2 ) U ( p 0 ,) 在平面上表示圆形邻域 .
即 U ( P 0 ,δ ) ( x ,y )(xx0)2(yy0)2δ
7
3. 内点和开集
设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
pE
p
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = , 则称 P 为 E 的外点 ;
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
例如，E 1 {x ( ,y )1 x 2 y 2 4 }即为开集．
10
(x,y) xy0
闭区域
(x,y)1x2y24
整个平面是最大的开区域 , 也是最大的闭区域；
点集 (x,y) x1是开集，
y
但非开区域 .
y
o
x
y
o 1 2x
1o 1 x
11
6. 有界区域及无界区域
对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十六章

第十六章多元函数的极限与连续一、证明题1. 证明: 当且仅当存在各点互不相同的点列{p n }⊂E,p ≠p 0. ∞→n lim P n =P 0时P 0是E 的聚点. 2. 证明:闭域必是闭集,举例证明反之不真.3. 证明:点列{p n (x n ,y n )}收敛于p 0(x 0,y 0)的充要条件是∞→n lim x n =x 0和∞→n lim y n =y 0. 4. 证明: 开集与闭集具有对偶性——若E 为开集,则E c 为闭集;若E 为闭集,则E c 为开集.5. 证明:(1) 若F 1,F 2为闭集,则F 1∪f 2与F 1∩F 2都为闭集;(2) 若E 1,E 2为开集,则E 1∪E 2与E 1∩E 2都为开集;(3) 若F 为闭集,E 为开集,则F\F 为闭集,E\F 为开集.6. 试把闭区域套定理推广为闭集套定理,并证明之.7. 证明定理16.4(有限覆盖定理):8. 证明: 若1°y)f(x,lim (0,0)y)(x,→存在且等于A;2°当y 在b 的某邻域内时,存在有(y)y)f(x,lim a x ϕ=→,则A y)f(x,lim lim a x b y =→→.9. 试应用ε-δ定义证明: 0y x y x lim 222(0,0)y)(x,=+→. 10. 叙述并证明: 二元函数极限存在的唯一性定理,局部有界性定理与局部保号性定理.11. 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.12.设f(x,y)=()()⎪⎩⎪⎨⎧=+>≠++0y x 0,0p 0y x ,y x x 2222p 22试讨论它在(0,0)点的连续性.13. 设f(x,y)定义于闭矩形域S=[a,b]×[c,d],若f 对y 在[c,d]上处处连续.对x 在[a,b]上(且关于y)为一致连续,证明f 在S 上处处连续.14. 证明:若D ⊂R 2是有界闭域,f 为D 上连续函数,则f(D)不仅有界(定理16.8)而且是闭区间.15. 若一元函数ϕ(x)在[a,b]上连续,令f(x,y)=ϕ(x),(x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞),试讨论f 在D 上是否连续?是否一致连续?16. 设(x,y)=x y11-,(x,y)∈D=[)[)1,01,0⨯,证明f 在D 上不一致连续.17. 设f 在R 2上分别对每一自变量x 和y 是连续的,并且每当固定x 时f 对y 是单调的,证明f 是R 2上的二元连续函数.二、计算题1.判断下列平面点集,哪些是开集、闭集、有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点。

(整理)多元函数的极限与连续.

数学分析第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时第16章多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§ 1 平面点集与多元函数一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E .1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ⨯, 1||||),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.3．点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在)(A U 使E A U ⊂)( 集合E 的全体内点集表示为E int ,.外点：存在)(A U 使φ=E A U )(界点：A 的任何邻域内既有E 的点也有不属于E 的点。

E 的边界表示为E ∂集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定 .例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界 .例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数.确定集E 的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:聚点：A 的任何邻域内必有属于E 的点。

高等数学c类第二册教材答案

高等数学c类第二册教材答案一、导论高等数学C类第二册是大学高等数学的进阶教材，主要涵盖了多元函数微分学、多元函数积分学和无穷级数三个部分。

本教材的答案旨在帮助学生更好地理解和掌握课本内容，提供一种参考和辅助学习的工具。

以下是高等数学C类第二册教材的答案。

二、多元函数微分学答案1. 多元函数的极限与连续1.1 多元函数极限概念及性质(1) 定义和性质练习题1. 将以下多元函数的极限求出：(1) lim(x,y)→(0,0) (x^2+y^2)/(x+y)(2) lim(x,y)→(2,3) (3x^2+4y^2)/(x^2-y^2)解答：(1) 这是一个两个变量的极限问题，我们可以使用直接代入法：lim(x,y)→(0,0) (x^2+y^2)/(x+y) = 0/0 (无法直接代入)为了解决这个问题，我们可以进行坐标轴变换：令x = rcosθ，y = rsinθ，其中 r>0，0≤θ<2π。

根据坐标轴变换的性质，当(x,y)→(0,0) 时，可得r→0。

将坐标变换后的表达式代入原函数：(x^2+y^2)/(x+y) = [(rcosθ)^2+(rsinθ)^2]/(rcosθ+rsinθ) =(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)/(rcosθ+rsinθ)= [r^2(cos^2θ+sin^2θ)]/(rcosθ+rsinθ) =r([r(cos^2θ+sin^2θ)]/[rcosθ+rsinθ])= r，当r → 0 时，此极限为lim(r)→0 r = 0。

所以，该极限的解为 0。

(2) 类似地，根据直接代入法：lim(x,y)→(2,3) (3x^2+4y^2)/(x^2-y^2) = (3(2)^2+4(3)^2)/((2)^2-(3)^2) = 33/7。

所以，该极限的解为 33/7。

1.2 多元函数连续概念及性质(1) 定义和性质练习题2. 判断函数 f(x,y) = (3x^2+y^2)/(x^2-y^2) 在点 (2,3) 处是否连续。

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多元函数的极限与连续习题
1. 用极限定义证明:14)23(lim 1
2=+→→y x y x 。

2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。

（1）y
x y
x y x f +-=),(；
(2) y
x y x y x f 1sin 1sin
)(),(+=； (3) y
x y x y x f ++=23
3),(；
(4) x
y y x f 1
sin ),(=。

3. 求极限（1）2
20
)
(lim 22
y x x y x y +→→；
（2）1
1lim
2
2
220
0-+++→→y x y x y x ；
（3）2
20
01
sin
)(lim y
x y x y x ++→→；（4）22220
0)
sin(lim y x y x y x ++→→。

4. 试证明函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=0
0)1ln(),(x y x x
xy y x f 在其定义域上是连续的。

1. 用极限定义证明:14)23(lim 2
1
2=+→→y x y x 。

因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ，有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2
2
-+-=-+y x y x
|1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-<y x
0>∀ε，要使不等式
ε<-+-<-+|]1||2[|15|1423|2
y x y x 成立取}1,30
min{
ε
δ=，于是
0>∀ε， 0}1,30
min{
>=∃ε
δ，),(y x ∀：δδ<-<-|1|,|2|y x
且 )1,2(),(≠y x ，有ε<-+|1423|2
y x ，即证。

2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。

（1）y
x y
x y x f +-=
),(； 1lim
lim 00=+-→→y x y x y x ， 1lim lim 00-=+-→→y
x y
x x y ，
二重极限不存在。

或 0lim 0=+-=→y x y x x
y x ， 3
1lim 20-=+-=→y x y x x
y x 。

(2) y
x y x y x f 1sin 1sin
)(),(+=； |||||1
sin 1sin
)(|0y x y
x y x +≤+≤ 可以证明 0|)||(|lim 0
0=+→→y x y x 所以 0),(lim 0
=→→y x f y x 。

当πk x 1≠
，0→y 时，y
x y x y x f 1
sin 1sin )(),(+=极限不存在，因此 y
x y x y x 1
sin 1sin )(lim lim 00+→→不存在，
同理 y
x y x x y 1
sin 1sin
)(lim lim 0
0+→→不存在。

(3) y
x y x y x f ++=23
3),(；
02lim ),(lim 23
00=+=→=→x
x x y x f x x
y x ，当 P(x, y )沿着3
2x x y +-=趋于（0,0）时有
1)(lim ),(lim
2
323
23303
20=-+-+=→+-=→x x x x x x y x f x x x y x ，
所以 ),(lim 0
0y x f y x →→不存在；
0),(lim lim 0
0=→→y x f y x ， 0),(lim lim 0
0=→→y x f x y 。

(4) x
y y x f 1sin
),(= |||1
sin
|0y x
y ≤≤ ∴ 0),(lim 0
0=→→y x f y x ，
01sin lim lim 00=→→x y y x ， x
y x y 1
sin lim lim 00→→不存在。

3. 求极限（1）2
20
)
(lim 22
y x x y x y +→→；
|)ln(|4
)(|)ln(|0222
222
2
2
2y x y x y x y x ++≤+≤，
又 0ln 4lim )ln(4
)(lim
2
0222220
0==+++→→→t t
y x y x t y x ， ∴ 1)
(lim )22ln(22)
0,0(),(lim 2
222
==++→→→y x y x y x y x y x e
y x 。

（2）1
1lim
2
2
220
0-+++→→y x y x y x ；
211)11)((lim 11lim 2222220
0222
200=-++++++=-+++→→→→y x y x y x y x y x y x
y x 。

（3）2
20
01
sin
)(lim y
x y x y x ++→→； |||1
sin )(|2
2y x y
x y x +≤++，而 0)(lim 0
0=+→→y x y x
故 01
sin )(lim 220
0=++→→y x y x y x 。

（4）22220
0)
sin(lim y x y x y x ++→→。

令θcos r x =，θsin r y =， )0,0(),(→y x 时，0→r ，
1sin lim )sin(lim 22
022220
0==++→→→r r y x y x r y x 。

4. 试证明函数⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠+=0
0)1ln(),(x y x x
xy y x f 在其定义域上是连续的。

证明：显然f (x , y )的定义域是xy >-1.
当0≠x 时，f (x , y )是连续的，只需证明其作为二元函数在y 轴的每一点上连续。

以下分两种情况讨论。

（1）在原点（0,0）处
f (0, 0)=0, 当0≠x 时
⎪⎩
⎪⎨
⎧≠+==+=0
)1ln(0
0)1ln(),(1y xy y y x xy y x f xy ,
由于 1)
1ln(lim 10
=+→→xy
y x xy
不妨设 1|1)1ln(|1<-+xy
xy ， 2|)1ln(|1<+xy
xy ，
从而 0>∀ε，取2
ε
δ=，当δδ<<<<||0,||0y x 时，
|)1ln(||0)
1ln(|
1xy
xy y x
xy +=-+
ε<≤+≤||2|)1ln(|||1y xy y xy
，
于是，无论0,0≠=x x ，当δδ<<||,||y x 时，都有 )0,0(0),(lim 0
0f y x f y x ==→→
（2）
（3）在),0(y 处。

（)0≠y
当0≠x 时， |)
1ln(||),0(),(|1
y xy y y f y x f xy
-+=-
|)()1)1(ln(|1y y xy y xy
-+-+=
|||1)1ln(|||1y y xy y xy
-+-+≤
当x=0时, |||),0(),(|y y y f y x f -=-,
注意到，当0≠y 时 1)
1ln(lim 10=+→→xy
y
y x xy ，
于是，无论0,0≠=x x ，当0≠y 时 0|),0(),(|lim 0=-→→y f y x f y
y x ，
即 f (x , y )在在),0(y 处连续，综上，f (x , y )在其定义域上连续。