巧用补形法解平面几何题
两道几何题的补形解法
两道几何题的补形解法泰州市朱庄中学 曹开清“司公限有品”，看到这个词组，真有些不知所云．这不，下面出场的老者也被这个词组难住了．老者姓万名能，尤其精通古汉语．一日，一青年向万老先生请教“司公限有品”是什么意义，万老先生思索良久，不能作答．为顾及脸面，只得胡乱敷衍：司公，乃古代的一种官职，类似于司马；限，限制；有品，有品德．青年对万老先生的解释不甚满意，万老先生便要求青年拿出原题，以带回去继续研究．这时青年拿出原题，只见上面写着：“司公限有品食××××××”（从右向左读）．这个故事固然有些夸张，但它给我们的启示是：解几何题时，不应该孤立地而应该全面地看一个问题，以“识”问题的“庐山真面貌”．今举二例说明之．例 1 已知△ABC 中，AB ＝29，BC ＝37，AC ＝24，求△ABC 的面积．分析：常规方法是作高，用勾股定理来求，但是由于涉及到多个二次根式运算，计算相当繁复．从全局考虑，将△ABC 置于网格中，可得解题真谛．解：如图，考虑格点△ABC ，根据勾股定理，得AB ＝2252+＝29，BC ＝2216+＝37，AC ＝2244+＝24．∴Ｓ△ABC 44211621522156⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=＝14．例2 如图，AD 是△ABC 的高，∠BAC ＝45°，BD ＝3，DC ＝2，求△ABC 的面积．分析：本题的关键是求出△ABC 的高AD ．由于AD 将45°的角分成两部分，已知条件不能充分运用，直接求解是“山重水复已无路”．若联想到曾经做过的这样一个题目：“如右上图，B 、C 分别为正方形AEGF 的边EG 、FG 上的点，且∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，求证：AD ＝AE ．”这时可就“柳暗花明又一村”了．解：将△ABD 翻折到△ABE 的位置，将△ACD 翻折到△ACF 的位置，分别延长EB 、FC 交于点G ，由已知条件，易知四边形AEGF 是正方形．设AD ＝x ，则正方形AEGF 的边长也为x ．在Rt △BGC 中，BG ＝EG ―BE ＝x ―3，CG ＝FG ―CF ＝x ―2，BC ＝3＋2＝5，根据勾股定理，得(x ―3) 2＋( x ―2) 2＝52，解得x ＝6（―1不合题意，舍去），即AD ＝6．∴Ｓ△ABC 6521⨯⨯=＝15．。
7 例析利用割补法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用割补法解题题型所谓割补法：就是将复杂的或不熟悉的几何图形转化为简单的熟悉的几何图形（如：三角形、正方形、长方形、平行四边形或梯形等）或几何体（如：柱体、锥体和球体）；也就是把一个复杂长度、面积或体积的计算分割成若干个简单图形的有关计算或将一个不易求出长度、面积或体积的几何图形补足为较易计算的几何图形；例如，把曲边形割补成规则图形、把斜棱柱割补成直棱柱、把三棱柱补成平行六面体、把三棱锥补成三棱柱或平行六面体、把多面体切割成锥体（特别是三棱锥）、把不规则的几何体割补成规则的几何体，从而把未知的转化为已知的、把陌生的转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的。
一、“分割”非规则图形为规则图形几何图形或几何体的“分割”，即将已知的几何图形或几何体按照结论的要求，分割成若干个易求长度、面积或体积的几何图形或几何体。
例1、为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是（ ） A ．3＋64 km 2B ．3－64km 2C ．6＋34 km 2D ．6－34km 2【提示】 【解析】 【评注】例2、如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求： （1）该几何体的体积； （2）截面ABC 的面积。
【提示】 【解析】二、将非规则图形“补形”规则图形几何图形或几何体的“补形”，即将已知的几何图形或几何体按照结论的要求，补全成若干个易求长度、面积或体积的几何图形或几何体。
例3、已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________例4、如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，∠BCA ＝90°，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， 若BC ＝CA ＝CC 1，则B 1E 与A 1F 所成的角的余弦值为________．三、几何体的“割补”几何体的割补，即将已知的几何体按照结论的要求，既要分割又要补全成若干个易求体积的几何体。
巧用补形法研究四面体问题
巧用补形法研究四面体问题作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第11期[摘要] 立体几何问题中，有一类问题可以通过补形法，得到一个常见的几何体，使复杂的线面关系变得清晰明了. 文章从一道例题出发分析解决这类问题的方法，并在此基础上总结规律，归纳常见的一些四面体的补形方法.[关键词] 立体几何;四面体;补形教学中，遇到这样一个问题：已知在半径为2的球面上有A，B，C，D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积最大值为多少？这是某年数学全国卷的第12题，主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线间的距离，通过球这个载体考查学生的空间想象能力和推理计算能力.解答是这样的：过CD作平面PCD，使AB垂直于平面PCD，交AB于P. 设点P到CD的距离为h，则有V■=■×■×2×h×2=■h，当直径通过AB与CD中点时，h■=2■=2■，故V■=■.本小题这个解答当中，学生比较疑惑的有两点：（1）为什么可以过CD作平面PCD，使AB垂直于平面PCD，能这样作的前提是AB和CD要垂直，那为什么认定体积最大时AB和CD要垂直？（2）为什么直径通过AB与CD中点时，距离h最大？要解释清楚这两个疑点，首先需要补充说明一个公式.四面体体积公式：如果一个四面体的两条相对棱的长分别是a，b，它们的距离为d，所成的角为θ，那么它的体积为V■=■abdsinθ（证明见后）.根据这个公式，我们首先得到结论：AB和CD必须垂直，即sinθ=90°时才能得到最大的体积.其次，由于AB=CD=R（球的半径），所以连结球心O和四个顶点，则容易知道△OAB 和△OCD都是正三角形.设AB的中点为E，CD的中点为F，则OE⊥AB，OF⊥CD.设AB与CD间的距离为d，有d≤EF≤OE+OF. （异面直线间公垂线段最短）因此，OEF共线时，四面体的体积可以达到最大值，因为OE=OF=■，故V■=■.？摇？摇这样解决一个选择题比较花费时间，而且在高中数学教学中，不涉及四面体的体积公式，异面直线的距离即公垂线段的长度在教学中也仅仅要求了解.下面我们用补形的思路来解决这个问题.因为题目当中两条线段长度一样，所以考虑把这个四面体补形成一个长方体：如图1：则四面体的外接球即是长方体的外接球，四面体的体积是长方体的体积减去四个全等的小三棱锥的体积.设长方体的边长为a，b，c，体对角线即为外接球的直径，得到：a2+b2+c2=42，b2+c2=22，所以a=2■，则V■=V■-4V■=abc-4×■×■abc=■abc=■.又b2+c2=22 ，所以V■=■≤■（b2+c2）=■，当且仅当b=c=■时，等号成立.从等号成立的条件可以比较容易地看出是在AB和CD垂直时，四面体的体积取到了最大值.我们会发现，使用补形，一下子把陌生的几何体变得熟悉了，原本错综复杂的线面关系也变得清晰起来. 利用这一方法解决某些几何问题，思路清晰明朗，较其他方法简洁明了.比如刚才提到的四面体的体积公式也可以用补形法得到.一个四面体的两条相对棱的长分别是a，b，它们的距离为d，所成的角为θ，将四面体补形成平行六面体（因为相对棱的长度不确定，相等的时候才能补成长方体）.如图2：那么该平行六面体的底面积为S=■absinθ，平行六面体的体积为V■=■abdsinθ. 同样，该平行六面体由原四面体和四个全等的三棱锥构成. 三棱锥与平行六面体的高相等，底面积为平行六面体的一半，V■=■×■×■absinθ=■absinθ.所以V■=V■-4×V■=■absinθ.一起来看一下常见的几种四面体补形方式：一、把四面体的四个面各补上一个三棱锥，最后形成一个平行六面体. 其中正四面体是最特殊的形式，可以补成正方体. 而对棱相等的四面体则可以补形成一个长方体.例1：正四面体棱长为a，求外接球的半径R.正四面体补形为一个正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球.如图3：正方体的面对角线是正四面体的棱长，体对角线为外接球的直径.设正方体边长为b，则a=■b，2R=■b，所以R=■a.例2：在三棱锥A-BCD中，AB=CD=3，AD=BC=4，AC=BD=5，求三棱锥A-BCD外接球的半径.因为有三组对棱相等，把四面体补成一个长方形，如图4：长方体的三个面的面对角线是三棱锥的棱长，体对角线是外接球的直径.设长方体的棱长为a，b，c，外接球的半径为R，则a2+b2=32，b2+c2=42，a2+c2=52，（2R）2=a2+b2+c2，所以R=■.二、把四面体的一个角作为平行六面体的一个角补形成平行六面体.例3：四面体ABCD，侧棱AB，AC，AD两两垂直，AB=2，AC=3，AD=4，求四面体的外接球的半径R.因为四面体的侧棱两两垂直，所以可以把这个角看作长方体的一个角，把四面体补形成一个长方体，则四面体的外接球就是长方体的外接球四面体的三条侧棱就是长方体的长、宽、高，外接球的直径就是长方体的体对角线，则（2R）2=AB2+AC2+AD2=29，所以R=■.例4：若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2■，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，求球O的半径R.根据已知条件可以得到△ABC是直角三角形，把四面体补成一个长方体，则四面体的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线.则（2R）2=SA2+AC2=16，所以R=2.例5：已知四面体PABC的侧面PAC与平面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2■，AB=2，且PA⊥PC，PA=PC，求异面直线PC与AB所成角的余弦值.解答：把四面体补成如图所示平行六面体，异面直线PC与AB所成角即為PC与CD所成角的补角的余弦值.取AC中点M，PA=PC，则PM⊥AC，又因为平面PAC与平面ABC垂直，所以PM⊥平面ABC.△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2■，所以∠ACB=30°，AC=4.△PAC中，PA⊥PC，PA=PC，AC=4，所以PM=2，PC=2■.底面四边形ABDC中，DM2=DC2+CM2-2DC·CM·cos120°，得到DM=2■.Rt△PMD中，PD=4.△PCD中，cos∠PCD=■= -■.所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为■.此题也可以用空间向量法解答，用补形能更好地体现线面关系.三、把四面体补形成三棱柱例6：已知某几何体底面ABC是棱长为1的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=3，求该几何体的外接球的半径.解答：将该四面体补形成一个三棱柱四面体的外接球就是三棱柱的外接球.先求三棱柱底面三角形外接圆半径r=■·■=■.又因为PA⊥平面ABC，PA=3，所以三棱柱的外接球半径为R=■=■.四面体的问题可以通过补形变成正方体、长方体乃至平行六面体的问题.尤其在正方体和长方体中，点线面的关系是我们所熟悉的. 一些几何题的证明和求解，由原几何图形分析探究会比较烦琐，通过补形填补成一个新的几何图形，能使原问题的本质得到充分的体现，解决起来比较容易. 本文着重讨论四面体的补形问题，希望窥一斑而知全豹，探究立体几何中补形法这一重要的转化策略.。
巧借“补形”思维，妙解立体几何问题
ʏ孙海鹰利用 补形 思维这一桥梁,可以使数学的思维方法更加活跃㊁简捷,应用起来更加灵活㊁多样,能有效培养同学们思维的灵活性㊁独创性㊂利用 补形 思维可以把空间立体几何中的一些不规则形体㊁不熟悉形体㊁残缺形体补成相应的规则形体㊁熟悉形体㊁完整形体等,对解决问题起到化繁为简㊁一目了然的作用,使得数学思维更加灵活,数学知识结构更加完整㊁充实,数学思想方法更加完美㊂一㊁还原补形法例1为了给数学家帕西奥利的‘神圣的比例“画插图,列奥纳多㊃达㊃芬奇绘制了一些多面体,图1所示的多面体就是其中之一㊂它是由一个正方体沿着各棱的中点截去八个三棱锥后剩下的部分,这个多面体的各棱长均为2,则该多面体外接球的体积为()㊂图1A.16πB.8πC.16π3D.32π3分析:对于此类空间立体几何中的不规则形体 多面体,直接处理起来有较大的难度,可借助空间几何体的还原补形法,把该多面体进行还原补形为正方体,结合补形前后对应图形中相关元素的位置关系与变化情况,进行合理分析与运算㊂解:结合图1,把该多面体进行还原补形为正方体,如图2所示㊂图2由所给多面体的棱长为2,可得正方体的棱长为22,那么正方体的中心即为多面体的外接球的球心,所以球心到多面体顶点的距离为(2)2+(2)2=2,即多面体外接球的半径R=2㊂故该多面体外接球的体积V=43πR3=32π3㊂应选D㊂还原是回归问题本质的一种逻辑推理方式㊂在解决一些空间几何体问题中,合理回归,完整地进行还原与补形是解题的关键㊂在处理空间几何体的还原补形时,要注意回归的简单几何体与 补 上去的小几何体之间要素的联系与图形之间的变化,正确构建相互之间的关系,不要出现添加或遗漏㊂二㊁联系补形法例2已知正三棱锥P-A B C,点P,A, B,C都在半径为3的球面上,若P A,P B, P C两两相互垂直,则球心到截面A B C的距离为㊂分析:此类不同空间几何体间(正三棱锥与球)的联系问题,需要进行合理补形,将正三棱锥与球这两种不同的空间几何体联系在一起,使得问题的处理直观易懂,从而便于分析与计算㊂解:由于正三棱锥的侧棱P A,P B,P C5知识结构与拓展高一数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.两两互相垂直,故以P A ,P B ,P C 为棱补成正方体,如图3所示㊂图3球心O 为正方体的体对角线P D 的中点,且P O =3,则正方体的棱长为2㊂设点P 到平面A B C 的距离为h ㊂根据正三棱锥的体积,借助等体积法得13ˑ34ˑ(22)2㊃h =13ˑ12ˑ2ˑ2ˑ2,解得h =233,所以所求球心到截面AB C 的距离为3-233=33㊂寻找联系是构建不同数学元素之间的桥梁㊂在空间立体几何问题中,抓住不同空间几何体之间的联系,合理补形(如三条侧棱两两互相垂直,可补形为正方体或长方体),使得问题更加直观易求㊂三㊁对称补形法 图4例3 如图4所示,在斜截圆柱中,已知圆柱的底面直径为40c m ,母线最短与最长的分别为50c m ,80c m ,则该斜截圆柱的体积V =㊂分析:此类空间几何体中的残缺形体,属于不太规则的空间几何体,直接求解无从下手,可借助空间几何体的几何特征进行合理的对称补形,将题设条件中的斜截圆柱按斜截面吻合对接,补全为一个完整的圆柱,再利用圆柱的体积公式求解㊂解:将题设条件中的斜截圆柱按斜截面吻合对接,补全为一个完整的圆柱(即斜截圆柱进行翻转对接)㊂由题意知所求体积V =12ˑ(πˑ202)ˑ(50+80)=26000π(c m 3)㊂对称是数学中的一种重要关系,也是充分展示数学美的一种表现形式㊂在解决空间几何体问题时,对于一些特殊的残缺形体,要善于发现图形中的对称关系与几何特征,借助相同图形之间的对称补形法进行化归与转化,对空间想象能力的提升很有帮助㊂编者的话: 补形 思维解决立体几何问题,是整体思想的一种具体体现,可将不规则的㊁陌生的㊁复杂的几何体补成规则的㊁熟悉的㊁简单的几何体(如常见的长方体㊁正方体㊁平行六面体㊁圆柱等),在所补成的空间几何体中研究原几何体的有关元素的位置关系㊁空间角或空间距离的计算等,从而实现问题的顺利解决㊂这类问题,能全面考查数学基础知识㊁基本技能㊁基本思想㊁基本活动经验这 四基 的落实情况,以及发现问题㊁提出问题㊁分析问题和解决问题能力的培养与提升㊂若三棱锥P -A B C 中最长的棱P A =2,且各面均为直角三角形,则此三棱锥外接球的体积是㊂图5提示:根据题意,可把该三棱锥补成长方体,如图5所示,则该三棱锥的外接球即为该长方体的外接球㊂易得外接球的半径R =12P A =1,所以该三棱锥外接球的体积V =43ˑπˑ13=43π㊂作者单位:江苏省江阴中等专业学校高新区校区(责任编辑 郭正华)6知识结构与拓展 高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
中考数学复习指导：补形法在几何题中的应用
补形法在几何题中的应用一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。
这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。
我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。
现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。
一、补成三角形1.补成三角形例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。
分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。
这也是梯形中常用的辅助线添法之一。
略证：2.补成等腰三角形例2 如图2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF＝2CE，再证BD＝CF即可。
略证：3.补成直角三角形例3.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长。
分析：从∠B、∠C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。
略解：图34.补成等边三角形例4.图4，△ABC 是等边三角形，延长BC 至D ，延长BA 至E ，使AE ＝BD ，连结CE 、ED 。
证明：EC ＝ED分析：要证明EC ＝ED ，通常要证∠ECD ＝∠EDC ，但难以实现。
这样可采用补形法即延长BD 到F ，使BF ＝BE ，连结EF 。
略证：二、补成特殊的四边形 1.补成平行四边形例5.如图5，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点，并且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分。
空间几何体中几种常见的补形法
ｓ△＾船 ·ＡＡ ＝丁１×２４×８＝９６ ．
【小结 】比较 上述 两种 方 法 ，补 形
图３
法显 然 比分割法要简 洁得 多 ，计算 量也很 小 ，但 要抓 住 图形
的对 称性 ，巧妙的补成熟悉的几何 体 ，并找到 原几何 体 与补
形后 的几何体 的关 系 ，实现化繁为 简的奇效．
了一种构造思 想 ，同时也反 映了对 立统一的辩证思想 ．
利用补形 法解决立体几何 问题 的基本 步骤是 ：
第一步 ：把不熟悉 的或 复杂 的几 何体 延 伸或 补加 成 熟
悉的或简单 的几何 体 ，把不完整 的图形 补成完整 的图形 ；
第二 步 ：运用常见几何体 的知识 等计算结果 ；
第三 步 ：得 出结论．
以外接球直径 ２Ｒ＝ ，所 以 Ｒ＝ ，所 以外接 球 的表 面积
ｓ球＝挚．
方 法 二 联 系补 形 例 ２ 已知 三棱 锥 Ｐ—ＡＢＣ，ＰＡ＝ＢＣ＝５，朋 ：ＡＣ＝ ４，ＰＣ：ＡＢ＝ ｌ，求三棱 锥的体积． 【思路 】如按常规求法 ，需求三棱锥 的底 面积和 高 ，而高 很 难求 出．由已知三组相对棱相 等这一 特点 ，联想长 方体对 面不平行 的对 角线恰 好组 成对 棱相 等 的三棱 锥 ，因此 可把 三棱锥 Ｐ—ＡＢＣ补成长方体 ，再将长方体 分割成三棱锥 Ｐ— ＡＢＣ和 四个相 同体积 的三棱锥．
在高考 中 ，补形法既可 以在选 择填空 题 中体 现 ，也 可以
在解答题 中体 现 ，常见的补形法 有对称 补形 、联系补 形 和还
原补形 ，还原补形主要涉及 台体 中“还台为锥 ”．下 面结合 实
例进行剖析 ：
方法一 对称补形
善用“补形”,巧解图形问题
— —
分 析探究 ． 有 时显 得 十分 繁难 ． 若 通 过 适 当 的“ 补形 ” 来 进行 ． 即添 置 适 当的 辅 助 线 ．
将原 图形填补 成一个完 整的 、特殊 的 、 简 ＢＣ＝
单 的 新 图形 ． 则 能 使 原 问题 的 本 质 得 到 充
【 分析 】 本 题 利用 所 给直 角 ， 延 长 ＡＤ、
ｌ ＝ ２． Ｃ Ｅ上Ｂ Ｄ．试 说 明 ： ＢＤ＝ ２ Ｃ Ｅ．
四 、补 成 平 行 四 边 形
侈 ０ ４ 攻 图４ ， 四边 形ＡＢ Ｃ Ｄ中 ， Ｅ、 Ｆ、 Ｇ、 Ｇ、 不在 同一 条 直 线上 ，试 说 明 ： 剧１ 和Ｇ 日
互相平分．
Ｃ Ｄ、 ＡＣ、 Ｂ Ｄ的 中点 ， 并 且 Ｅ、 Ｆ、 【 分析 】 因为角是轴 对称 图形 ， 角 平 分 日分 别是 Ｂ、
例 ５ 如 图 ５， 凸五 边 形
１ ２
Ｄ
ＡＢ Ｃ ＤＥ 中， ＬＡ ＝ ＡＢ ＝ １ ２ ０ ￣ ， Ｅ Ａ＝ Ｅ
ＡＢ ＝ Ｂ Ｃ ＝ ２ ， Ｃ Ｄ＝ Ｄ Ｅ ＝ ４ ， 则 其 面
二 、补 成 等 边 三角 形
例２ 如图２ ， △ＡＢ Ｃ 是 等 边 三 角形 ，
线 是 对 称 轴 ．故 根 据 对 称 性 作 出 辅 助 线 ．
不难发现Ｃ Ｆ ＝ ２ Ｃ Ｅ． 再 证 ＢＤ＝Ｃ Ｆｌ ｌ ｌ 可．
【 分析 】 因 为平 行 四边 形 的 对 角 线 互 相
平分 ． 故要证 结论 ． 需 考 虑 四边 形 Ｇ Ｅ ＨＦ 是
平 行 四边 形．
五 、补 成 菱 形
延 长 ＢＣ至 Ｄ ． 延 长 ＢＡ至 Ｅ， 使 Ｅ＝ Ｂ Ｄ， 连 接
巧用补形法妙解几何题
分析
由于 六 边 形 的
弧Ｂ Ｃ 的度 数 为 ６ ０ 。 ， ＬＢ Ａ Ｃ＝ ３ Ｏ ’ ， 容易 想 到圆 周角 定理 ， 于 。
是 可把 原 图 形 补 成 圆．
每个 内 角都 是 １ ２ ０ 。 ， 所 以 它 的每个外角均为 印 。 ， 因
此 在其 外部可补 出两个等
丽
— 一 ： １— — ４ ８ — ２ ５ ４ — ８ — ２ ５
即Ａ ： Ｃ＝ ２ ０ １ ３ ： ４ ８ ２ ５
－ － ‘ ０◆
－◆
－◆
－◆
‘
八、 利用特殊角 。 补成 等 腰 梯 形
九、 利用圆的有关性质 ， 补成 圆
例 ８ 一个六边形 的六个 内角都是 １ ２ ０ 。 ， 连续 四边 的长依次是 １ 、 ３ 、 ３ ２ ， 那么这个六边形的周长为 （
六、 利用邻边相等 ， 补成菱形
例６ 如图６ ， 凸五边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 中， Ａ：／ ＿ Ｂ＝
２ （ １ ＋ 一 争 ） 一 了 １ ＝ ２ 了 １ ．
， ７
四、 利 用 一 组对 边 平行 ， 补成 平行 四边 形 椤 ９ ４ 如图 ４ ， Ａ Ｂ ４ ， Ｄ Ｂ上Ａ Ｂ， Ｅ Ａ上Ａ Ｂ， Ｄ Ｂ：３ ， Ｅ Ａ
边 三角形 ， 如 图 ８所 示 ， 这
解
将 工 件 补 成 ｏ０， 连 结
Ｂ Ｃ ， 连 结 ’ ， 从 而 原 四边 形
易证 四边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ为正方形
。
ＣＢＥ ：９ ０ｏ． ＢＭ Ｌ ＣＥ
．
‘
．
１＝／２， 又Ａ 曰＝Ｃ Ｂ， Ｂ Ａ Ｆ＝ Ｃ８ Ｅ＝９ ０ 。 ．
Ｂ Ａ Ｆ Ｃ ＢＥ． ． Ａ Ｆ ：Ｂ Ｅ
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巧用补形法解平面几何题
王立文王兴林
补形法就是根据题设的条件和图形，经过观察、分析和联想，运用添加辅助线的方法，将其拓展为范围更广的、其特征更明显、更为熟悉的几何图形，从而沟通条件和结论之间的联系．下面就补形法，谈谈它在解平面几何题中的应用．
一、补成直角三角形
例1如图1，四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，CD=1，AB=2，求BC、AD的长。
解：延长BC交AD的延长线于E。
∵∠A=60°，∠B=90°，
∴∠E=30°
在△CED中，
∵∠CDE=∠ADC=90°，CD=1，
∴CE=2CD=2，DE=。
在△AEB中，同理有：AE=2AB=4，。
∴BC=BE－EC=2－2，
AD=AE－DE=4－。
二、补成等腰三角形
例2已知：如图2，△ABC中，，∠ABC的平分线交AC于E，CD⊥BE 于D，求证：BE=ED。
证明：延长BA交CD的延长线于F。
易证△BCF是等腰三角形（ASA）。
∴。
∵，
∴。
作DG∥CA交BF于点G。
∴，
∴BE=ED。
三、补成等边三角形
例3如图3，凸五边形ABCDE，有∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，求这个五边形的面积。
简解延长DE、BA相交于K，延长DC、AB相交于M。
易知△DKM为等边三角形。
S
五边形ABCDE =S
等边三角形DKM
－2S
等边三角形AKE
=
四、补成平行四边形
例4如图4，已知六边形ABCDEF中，若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°，且AB+BC=11，AF－CD=3，求BC+DE的长。
解：延长FA、CB交于点P，延长CD、FE交于点Q。
∵∠A=∠B=120°，
∴∠PAB=∠PBA=60°，
∴∠P=60°，
∴△ABP是等边三角形。
同理可得：△DEQ是等边三角形。
∴∠P=∠Q=60°。
∵∠C=∠F=120°，
∴四边形PCQF为平行四边形。
∴PF=CQ。
于是PA+AF=CD+DQ，
∴AF－CD=DQ－PA=DE－AB。
∵AF－CD=3，∴DE－AB=3。
∵AB+BC=11，
∴BC+DE=14。
五、补成矩形
例5如图5，在四边形ABCD中，∠BCD=∠CDA=120°，BC=5，CD=4，DA=6，求AB的长。
解：过D作BC延长线的垂线，垂足为M，过点A作MD延长线的垂线，垂足为N，过B作NA延长线的垂线，垂足为P，则四边形PBMN为矩形。
由已知及含30°角的直角三角形的性质。
又∵CM=2，DM=，AN=3，。
∴AP=5+2－3=4。
BP=DM=DN=。
∴。
六、补成正方形
例6在△ABC中，AD⊥BC，∠BAC=45°，BD=2cm，CD=3cm，求△ABC的面积。
解：如图6，作△ABD，△ACD关于AB、AC对称的△ABE、△ACH，延长FB、HC 交于F，则四边形AHFE是正方形。
设AD=x，知正方形的边长等于x，CF=HF－CH=x－3，BF=EF－BE=x－2。
在Rt△BCF中，
，
∴，
解得x=6。
=·AD
∴S
△ABC
七、补成圆形
例7已知：如图7，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AC=AD=3，BC=2，求对角线BD的长。
解：以A为圆心，AB长为半径作⊙A。
∵AB=AC=AD=3，
∴C、D两点也在⊙A上。
延长BA交⊙A于E，
则BE=2AB=6。
∵AB∥DC，
∴。
∴DE=BC=2。
又∵BE为⊙A的直径，
∴∠BDE=90°。
∴BD=。
年级初中学科数学版本期数
内容标题巧用补形法解平面几何题
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G.622.46 分类索引描述辅导与自学
主题词巧用补形法解平面几何题栏目名
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师。