广东省深圳市龙华区九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.方程x2=4x的根是（）A. x=4B. x=0C. x1=0，x2=4D. x1=0，x2=−42.如图所示为某几何体的示意图，则该几何体的主视图应为（）A.B.C.D.3.若点（1，-3）、（-2，m）都是反比例函数y=kx（k≠0）的图象上的点，则m的值是（）A. −32B. 32C. 6D. −64.如图，已知四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的两点，且AD∥BC∥EF，AB=4BE，则DF与FC的关系是（）A. DF=4FCB. DF=3FCC. DF=53FCD. DF=2FC5.如图，已知菱形ABCD中，∠A=40°，则∠ADB的度数是（）A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘6.如图，DE∥BC，CD与BE相交于点O，若S△DOES△BOC=14，则AEAC的值为（）A. 14B. 13C. 12D. 237.将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）A. y=(x+2)2−5B. y=(x+2)2+5C. y=(x−2)2−5D. y=(x−2)2+58.某商品房原价60000元/m2，经过连续两次降价后，现价48600元/m2，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，依题意可列方程为（）A. 60000(1−2x)=48600B. 60000(1−x)2=48600C. 48600(1+2x)=60000D. 48600(1+x)2=600009.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A. 五丈B. 四丈五尺C. 一丈D. 五尺10.下列命题中，是真命题的是（）A. 对角线相等的平行四边形是正方形B. 相似三角形的周长之比等于相似比的平方C. 若方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则k>−1D. 若一个斜坡的坡度为1：3，则该斜坡的坡角为30∘11.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A. abc<0B. 2a+b<0C. b2−4ac<0D. a+b+c<012.如图，在边长4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△CDE沿直线DE折叠后，点C落在点F处，再将其打开、展平，得折痕DE．连接CF、BF、EF，延长BF交AD于点G．则下列结论：①BG=DE；②CF⊥BG；③sin∠DFG=12；④S△DFG=125，其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若x=2是方程x2-x-c=0的一个根，则c=______．14.已知ab=23，则a+ba=______．15.如图，以矩形ABCD的对角线AC为一边向左下方作正方形ACEF，延长AB交EF于点G，若AB=3，BC=4，则EG的长为______．16.如图，已知函数y=x+2的图象与函数y=kx（k≠0）的图象交于A、B两点，连接BO并延长交函数y=kx（k≠0）的图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为8．则k的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.x2-2x-15=0．四、解答题（本大题共6小题，共47.0分）18.计算：（12）-1-tan245°+2cos30°•sin60°19.小亮正在参加学校举办的古诗词比赛节目，他须答对两道单选题才能顺利通过最后一关，其中第一题有A、B、C、D共4个选项，第二题有A、B、C共3个选项，而这两题小亮都不会，但小亮有一次使用“特权”的机会（使用“特权”可去掉其中一题的一个错误选项）．（1）如果小亮第一题不使用“特权”，随机选择一个选项，那么小亮答对第一题的概率是______；（2）如果小亮将“特权”留在第二题，请用画树状图或列表法来求出小亮通过最后一关的概率．20.为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心”AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD=32°．登上大厦DE的顶部E处后，测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为60°，（如图）．已知C、D、B三点在同一水平直线上，且CD=400米，DB=200米．（1）求大厦DE的高度；（2）求平安金融中心AB的高度；（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，2≈1.41，3≈1.73）21.深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销过程中发现，每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的关系可以近似的看作一次函数y=-0.2x+260，设每月的利润为w（元）（利润=销售额-投入）．（1）该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为多少元？（2）如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？22.如图11，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA=8，OC=4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q．（1）tan∠ACB=______；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，PQPB的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为______．23.如图1，在平面直角坐标系中，已知A（-1，0）、C、（0，-2），以AC为一边向右上方作正方形ACDE，其中点D在第四象限，点E在第一象限，过点E作直线l∥y 轴，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线l，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．（1）点E的坐标为______，该抛物线的函数表达式为______；（2）设抛物线的顶点为M，连接MB．在抛物线上是否存在点N，使∠NBA=12∠MBA？若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）过点D作直线m∥x轴，交直线l于点F，如图2．动点P从抛物线的顶点M 出发，沿抛物线的对称轴l向上运动，与此同时，动点Q从点F出发，沿直线m向右运动，连接PQ、PB、BQ．设P、Q两点运动的速度均为1个单位长度/秒，运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：方程整理得：x（x-4）=0，可得x=0或x-4=0，解得：x1=0，x2=4，故选：C．原式利用因式分解法求出解即可．此题考查了一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：从正面看可得到图形．故选：A．几何体的主视图就是从正面看所得到的图形，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，关键是掌握主视图所看的位置．3.【答案】B【解析】解：∵点（1，-3）是反比例函数y=（k≠0）的图象上的点，∴k=-3×1=-3∴反比例函数解析式：y=∵点（-2，m）都是反比例函数y=的图象上的点，∴m=故选：B．用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式，再把点（-2，m）代入可求m的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵AB=4BE，∴AE=3BE，即=3，∵AD∥BC∥EF，∴==3，则DF=3FC，故选：B．由AB=4BE知AE=3BE，即=3，根据AD∥BC∥EF得==3，从而得出答案．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∠ADB=∠CDB，∴∠A+∠ADC=180°，∵∠A=40°，∴∠ADC=140°，∴∠ADB=×140°=70°，故选：D．根据菱形的对角线平分一组对角即可解决问题．本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】C【解析】解：∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOE：S△COB=（）2=1：4，∴=，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，故选：C．由DE∥BC，得到△DOE∽△COB，根据相似三角形的性质得到S△DOE：S△COB=（）2=1：4，求得=，通过△ADE∽△ABC即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，比例的性质，证得=是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（-2，-5），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2-5．故选：A．先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并根据规律利用点的变化确定函数解析式．8.【答案】B【解析】解：由题意可列方程是：6000（1-x2）=48600．故选：B．此题利用基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格．9.【答案】B【解析】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺）．故选：B．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．10.【答案】D【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是正方形，是假命题，应该是对角线相等的平行四边形是矩形；B、相似三角形的周长之比等于相似比的平方，是假命题，应该是相似三角形的周长之比等于相似比；C、若方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k＞-1，是假命题，应该是k ＞-1且k≠0；D、若一个斜坡的坡度为，则该斜坡的坡角为30°，是真命题；故选：D．根据正方形的判定，相似三角形的性质，一元二次方程的根的判别式，坡度坡角的定义一一判断即可．本题考查正方形的判定，相似三角形的性质，一元二次方程的根的判别式，坡度坡角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11.【答案】D【解析】解：抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；对称轴x=-＞0，所以b＜0；所以abc＞0；由图象可知：0＜-＜1，所以-b＜2a，即2a+b＞0；由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac＞0；由图可知：当x=1时，y＜0，所以a+b+c＜0；故选：D．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．12.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=AD=CD=4，∠ABC=∠BCD=90°，∵E是边BC的中点，∴BE=CE=2，∵将△CDE沿直线DE折叠得到△DFE，∴DF=CD=4，EF=CE=2，∠DFE=∠DCE=90°，∠DEF=∠DEC，∴EF=EB，∴∠EBF=∠BFE，∵∠EBF=∠BFE=（180°-∠BEF），∠CED=∠FED=（180°-∠BEF），∴∠GBE=∠DEC，∴BG∥DE，∵BE∥DG，∴四边形BEDG是平行四边形，∴BG=DE，故①正确；∵EF=CE，∴∠EFC=∠ECF，∴∠FBE+∠BCF=∠BFE+∠CFE=×180°=90°，∴∠BFC=90°，∴CF⊥BG，故②正确；∵∠ABG+∠CBG=∠BFE+∠DFG=90°，∴∠ABG=∠DFG，∵AB=4，DG=BE=2，∴AG=2，∴BG=2，∴sin∠DFG=sin∠ABG===，故③错误；过G作GH⊥DF于H，∵tan∠GFH=tan∠ABG=，∴设GH=x，则FH=2x，∵DH=，∴DF=FH+DH=2x+=4，解得：x=1.2，x=2（舍去），∴GH=1.2，∴S△DFG=×4×1.2=，故④正确；故选：C．根据正方形的性质得到AB=BC=AD=CD=4，∠ABC=∠BCD=90°，根据折叠的性质得到DF=CD=4，EF=CE=2，∠DFE=∠DCE=90°，∠DEF=∠DEC，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠GBE=∠DEC，根据平行线的性质得到BG∥DE，推出四边形BEDG是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BG=DE，故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠EFC=∠ECF，根据三角形的内角和得到∠BFC=90°，求得CF⊥BG，故②正确；根据余角的性质得到∠ABG=∠DFG，根据三角函数的定义得到sin∠DFG=sin∠ABG===，故③错误；过G作GH⊥DF于H，根据跟勾股定理得到DH=，根据三角形的面积公式得到S△DFG=×4×1.2=，故④正确．本题考查了正方形的性质，翻折变换，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．13.【答案】2【解析】解：把x=2代入x2-x-c=0得4-2-c=0，解得c=2．故答案为：2．根据一元二次方程的解，把x=2代入x2-4x+c=0可求出c的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14.【答案】52【解析】解：∵=，∴a=b，∴==．故答案为：．用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．15.【答案】54【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∵四边形AFEC是正方形，∴AF=AC=FE=5，∠FAC=90°，∴∠FAG+∠CAB=∠CAB+∠ACB=90°，∴∠FAG=∠ACB，∵∠F=∠ABC=90°，∴△AFG∽△ABC，∴=，∴=，∴FG=，∴GE=FE-FG=，故答案为：．根据勾股定理得到AC=5，根据正方形的性质得到AF=AC=FE=5，∠FAC=90°，根据余角的性质得到∠FAG=∠ACB，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．16.【答案】3【解析】解：如图，连接OA．由题意，可得OB=OC，∴S△OAB=S△OAC=S△ABC=4．设直线y=x+2与y轴交于点D，则D（0，2），设A（a，a+2），B（b，b+2），则C（-b，-b-2），∴S△OAB=×2×（a-b）=4，∴a-b=4 ①．过A点作AM⊥x轴于点M，过C点作CN⊥x轴于点N，则S△OAM=S△OCN=k，∴S△OAC=S△OAM+S梯形AMNC -S△OCN=S梯形AMNC=4，∴（-b-2+a+2）（-b-a）=4，将①代入，得∴-a-b=2 ②，①+②，得-2b=6，b=-3，①-②，得2a=2，a=1，∴A（1，3），∴k=1×3=3．故答案为3．连接OA．根据反比例函数的对称性可得OB=OC，那么S△OAB=S△OAC=S△ABC=4．求出直线y=x+2与y轴交点D的坐标．设A（a，a+2），B（b，b+2），则C（-b，-b-2），根据S△OAB=4，得出a-b=4 ①．根据S△OAC=4，得出-a-b=2 ②，①与②联立，求出a、b的值，即可求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式等知识，综合性较强，难度适中．根据反比例函数的对称性得出OB=OC是解题的突破口．17.【答案】解：x2-2x-15=0，分解因式得：（x-5）（x+3）=0，可得x-5=0或x+3=0，解得：x1=5，x2=-3．【解析】利用十字相乘法将方程左边的多项式分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．18.【答案】解：原式=2-1+2×32×32=52．【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19.【答案】14【解析】解：（1）∵第一道单选题有4个选项，∴小亮答对第一道题的概率是：；故答案为：；（2）若第二道选择“特权”，画树状图可得：∵共有8种等可能的结果，小亮顺利通关的只有1种情况，此时小亮通过最后一关的概率为．（1）由第一道单选题有4个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小亮顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：（1）∵在Rt△DCE中，∠CDE=90°，∠ECD=32°，CD=400米，∴DE=CD•tan∠ECD≈400×0.62=248（米）．故大厦DE的高度约为248米；（2）如图，作EF⊥AB于F．由题意，得EF=DB=200米，BF=DE=248米，∠AEF=60°．∵在Rt△AFE中，∠AFE=90°，∴AF=EF•tan∠AEF≈200×1.73=346（米），∴AB=BF+AF=248+346=594（米）．故平安金融中心AB的高度约为594米．【解析】（1）在Rt△DCE中，根据正切函数的定义即可求出大厦DE的高度；（2）作EF⊥AB于F．由题意，得EF=DB=200米，BF=DE，∠AEF=60°．在Rt△AFE中，根据正切函数的定义得出AF=EF•tan∠AEF，那么AB=BF+AF．此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．21.【答案】解：（1）由题意得，（-0.2x+260）（x-200）=36000，解得：x1=1100，x2=400．答：销售单价定为1100元或400元时厂商每月能获得36000万元的利润；（2）由题意：200（-0.2x+260）≤20000，解得x≥800，∵w=（-0.2x+260）（x-200）=-0.2x2+300x-52000，∴函数的对称轴x=750，开口向下，∴x=800时利润最大，最大利润为60000元．答：所获得的最大利润为60000元，此时定价应为800元．【解析】（1）根据月销售利润=月销量×（单件售价-单件制造成本），构建方程即可解决问题；（2）构建不等式求出x的取值范围，再利用二次函数的性质解决问题即可．本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用．22.【答案】121255【解析】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴∠ABC=90°，BC=OA=8，AB=OC=4，在Rt△ABC中，tan∠ACB==，故答案为：；（2）的值不发生变化，其值为，理由：如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，∴EF=OC=4，设PE=a，则PF=EF-PE=4-a，在Rt△CEP中，tan∠ACB==，∴CE=2PE=2a，∴BE=BC-CE=8-2a=2（4-a），∵PQ⊥PB，∴∠BPE+∠FPQ=90°，∵∠BPE+∠PBE=90°，∴∠FPQ=∠EBP，∵∠BEP=∠PFQ=90°，∴△BEP∽△PFQ，∴=，∴，∴FQ=a，∴==；（3）如备用图，∵将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，∴BQ⊥AC，AD=PD=AP，在Rt△ABC中，AB=4，BC=8，根据勾股定理得，AC==4，∵∠BAC=∠DAB，∠ADB=∠ABC=90°，∴△ABC∽△ADB，∴，∴，∴AD=，∴PC=AC-AP=AC-2AD=4-2×=，故答案为：．（1）根据矩形的性质求出∠ABC=90°，BC=OA=8，AB=OC=4，最后用锐角三角函数的定义即可得出结论；（2）设出PE=a，利用锐角三角函数得出CE=2a，得出BE=2（4-2a），再判断出△BEP∽△PFQ，进而得出FQ，即可得出结论；（3）根据折叠的性质，判断出BQ⊥AC，AD=PD=AP，再用勾股定理求出AC，判断出△ABC∽△ADB，得出AD，进而求出AP，即可得出结论．此题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，构造出相似三角形表示出BP和PQ是解本题的关键．23.【答案】（1，1）y=23x2-43x-2【解析】解：（1）设直线直线l交x轴于点S，∠EAS+∠CAS=90°，∠SEA+∠EAS=90°，∴∠AES=∠CAS，∠AOC=∠ASE=90°，AC=AE，∴△AOC≌△ESA（AAS），∴OA=SE=1，CO=AS=2，故点E坐标为（1，1），同理可得点D坐标为（2，1），由题意得：，解得：故抛物线的表达式为：y=x2-x-2…①，故：答案为：（1，1）、y=x2-x-2；（2）存在，理由：①当BN在∠MBA的内部时，如上图，设直线BN交直线l于点H，过点H作HG⊥BM交BM于点G，∠NBA=∠MBA，∴SH=HG=a，tan∠SBM===tanα，cosα=在Rt△HGM中，HM=-a，HG=a，sin∠HMG=cosα===，解得：a=1，即点H的坐标为（1，-1），把点H、B的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得：，解得：，故直线HB的表达式为：y=x+…②，将①②联立并解得：x=-3或-（舍去x=-3），故点N的坐标为（-，-），②当BN在∠MBA的外部时，同理可得：点N的坐标为（-，），故：点N的坐标为（-，-）或（-，）；（3）如图，过点Q作QT⊥x轴交于点T，则点P、Q的坐标分别为（1，-+t）、（1+t，1），-S△PBS-S△QTB=（1+-t）×t-（-t）-×1×（1+t-3）S=S梯形PQTS=-t2+t-，（t＞0），即：S=-t2+t-，（t＞0）．（1）证明△AOC≌△ESA（AAS）即可求解；（2）分当BN在∠MBA的内部、的外部两种情况求解即可；-S△PBS-S△QTB，即可求解．（3）利用S=S梯形PQTS本题为二次函数综合应用题，基本的考点是三角形全等、解直角三角形，关键是通过数形结合，正确确定图形的位置，本题难度较大．。
2022-2023学年广东深圳市龙华区锦华实验学校九年级数学第一学期期末检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．以下A 、B 、C 、D 四个三角形中，与左图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在294543ab x ab 、、、、中，最简二次根式的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图，ABC △内接于⊙O ，30BAC ∠=︒，8BC = ，则⊙O 半径为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．124．如图，P 为线段AB 上一动点（点P 不与点A 、B 重合），在线段AB 的同侧分别作等边APC ∆和等边PBD ∆，连结AD 、BC ，交点为Q ．若6AB =，求动点Q 运动路径的长为（ ）A 233πB 433πC ．3πD ．33π5．如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，连接AF ，则∠OFA 的度数是（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°6．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，二次函数y ＝ax 1+bx +c （a ≠0）图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①1a +b ＝0；②4a ﹣1b +c ＜0；③b 1﹣4ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞1．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．1个D ．1个8．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( )A ．216y x =+B ．2(4)y x =+C ．28y x x =+D ．2164y x =-9．对于二次函数y ＝﹣14（x ﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ） A ．当x ＞2时，y 随x 的增大而增大 B ．当x ＝2时，y 有最大值﹣3C ．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3）D ．图象与x 轴有两个交点 10．如果两个相似三角形对应边之比是1:3，那么它们的对应中线之比是（ ）A ．1:3B ．1:4C ．1:6D ．1:9二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，直线m ∥n ，以直线m 上的点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m ，n 于点B 、C ，连接AC 、BC ，若∠1=30°，则∠2=_____．12．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．13．如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，以A 为圆心，AC 长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积为__________．（结果保留π）14．已知12y x =，则x y x +=_____． 15．如图，过原点的直线与反比例函数k y x=（0k >）的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限．点C 在x 轴正半轴上，连结AC 交反比例函数图象于点D ．AE 为BAC ∠的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连结DE ．若D 是线段AC 中点，ADE ∆的面积为4，则k 的值为______．16．如图，平行四边形,ABCD O 分别切,,CD AD BC 于点,,E F G ，连接CO 并延长交AD 于点H ，连接,AG AG 与HC 刚好平行，若4,5AB AD ==，则O 的直径为______．17．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为____．18．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为_____米．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．（1）求证：△BDC∽△ABC；（2）如果BC=6，AC=3，求CD的长．20．（6分）某学校的学生为了对小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量．测量方法如下：如图，间接测得小雁塔地部点D到地面上一点E的距离为115.2米，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE＝1.72米，在DE的延长线上找一点A，使A、C、B三点在同一直线上，测得AE＝4.8米．求小雁塔的高度．21．（6分）如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （1,0），B （4,0）与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ，在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求M 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（8分）阅读下列材料，关于x 的方程：x +1x ＝c +1c 的解是x 1＝c ，x 2＝1c ；x ﹣1x ＝c ﹣1c 的解是x 1＝c ，x 2＝﹣1c；x +2x＝c +2c 的解是x 1＝c ，x 2＝2c ；x +3x ＝c +3c 的解是x 1＝c ，x 2＝3c ；…… （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程x +a x ＝c +a c （a ≠0）与它们的关系猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）可以直接利用（1）的结论，解关于x 的方程：x +33x -＝a +33a -． 23．（8分）已知2222212a b a A a ab b b a a ab ⎛⎫-=+÷ ⎪-+--⎝⎭（1）化简A ；（2）若点P （a ，b ）在反比例函数y ＝﹣2x的图象上，求A 的值． 24．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A ，B ，C ，D 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B 的概率是 ．（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的概率．25．（10分）如图1，ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与O 相切于点D ，底BC 交O 于点E ，F ．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）如图2，连接AF DF ，，AF 交O 于点G ，点D 是弧EG 的中点，若2AD =，4AF =，求O 的半径． 26．（10分）如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆()AB 的高度：将一根3米高的标杆()CD 竖直放在某一位置，有一名同学站在F 处与标杆底端()D 、旗杆底端()B 成一条直线，此时他看到标杆顶端C 与旗杆顶端A 重合，另外一名同学测得站立()EF 的同学离标杆()3CD 米，离旗杆()30AB 米．如果站立()EF 的同学的眼睛距地面1.6米，过点E 作EH AB ⊥于点H ，交CD 于点(//,//,//)G EF AB CD AB EH FB ，求旗杆AB 的高度．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】设小正方形的边长为122210， 所以三边之比为1:25A、三角形的三边分别为2、10、32，三边之比为2:10:32，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2、4、25，三边之比为1:2:5，故本选项正确；C、三角形的三边分别为2、3、13，三边之比为2:3:13，故本选项错误；D、三角形的三边分别为5、13、4，三边之比为5:13:4，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键．2、A【分析】根据最简二次根式的条件进行分析解答即可．【详解】解：294543abx、、、不是最简二次根式，ab是最简二次根式.故选A.【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．3、C【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB＝OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°．∵OB＝OC，BC＝1，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝1．故选：C.【点睛】本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键． 4、B【分析】根据题意分析得出点Q 运动的轨迹是以AB 为弦的一段圆弧，当点P 运动到AB 的中点处时PQ 取得最大值，过点P 作OP ⊥AB ，取AQ 的中点E 作OE ⊥AQ 交PQ 于点O ，连接OA ，设半径长为R ，则根据勾股定列出方程求出R 的值，再根据弧长计算公式l=180n r π求出l 值即可. 【详解】解：依题意可知，点Q 运动的轨迹是以AB 为弦的一段圆弧，当点P 运动到AB 的中点处时PQ 取得最大值，如图所示，连接PQ ，取AQ 的中点E 作OE ⊥AQ 交直线PQ 于点O ，连接OA ，OB.∵P 是AB 的中点，∴PA=PB=12AB=12⨯6=3. ∵APC ∆和PBD ∆是等边三角形，∴AP=PC,PB=PD,∠APC=∠BPD=60°，∴AP=PD ，∠APD=120°. ∴∠PAD=∠ADP=30°，同理可证：∠PBQ=∠BCP=30°，∴∠PAD=∠PBQ.∵AP=PB,∴PQ ⊥AB.∴tan ∠PAQ=PQ PA 3 ∴3在Rt △AOP 中，222OP OA PA +=即2223(OA OA +=解得：OA=∵sin ∠AOP=PAOA =2∴∠AOP=60°. ∴∠AOB=120°.∴l=180n r π . 故答案选B.【点睛】本题考查了弧长计算公式，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性较强，明确点Q 的运动轨迹是一段弧是解题的关键.5、B【解析】由旋转的性质和正方形的性质可得∠FOC ＝40°，AO ＝OD ＝OC ＝OF ，∠AOC ＝90°，再根据等腰三角形的性质可求∠OFA 的度数．【详解】∵正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，∴∠FOC ＝40°，AO ＝OD ＝OC ＝OF ，∠AOC ＝90° ∴∠AOF ＝130°，且AO ＝OF ，∴∠OFA ＝25°故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 6、A【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有一个正方形．故选A ．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．7、B【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】∵二次函数y ＝ax 1+bx+c （a≠0）的对称轴为x ＝1， ∴﹣2b a＝1，得1a+b ＝0，故①正确； 当x ＝﹣1时，y ＝4a ﹣1b+c ＜0，故②正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则b 1﹣4ac ＞0，故③正确；∵二次函数y ＝ax 1+bx+c （a≠0）的对称轴为x ＝1，点B 坐标为（﹣1，0），∴点A （3，0），∴当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞3，故④错误；故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．8、C【分析】加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．【详解】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，∴y=（x+4）2-16=x 2+8x ，故选：C ．【点睛】本题考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．9、B【分析】根据二次函数的性质对A B C 、、进行判断；通过解方程﹣14（x ﹣2）2﹣3＝0对D 进行判断即可. 【详解】∵二次函数y ＝﹣14（x ﹣2）2﹣3， ∴当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，故选项A 错误；当x ＝2时，该函数取得最大值，最大值是﹣3，故选项B 正确；图象的顶点坐标为（2，﹣3），故选项C 错误；当y ＝0时，0＝﹣14（x ﹣2）2﹣3，即()2212x -=-,无解，故选项D 错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，把求二次函数与x 轴的交点问题转化为解关于x 的一元二次方程问题可求得交点横坐标，牢记其()2y a x h k =-+的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键． 10、A【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1:3， ∴它们的对应中线之比为1:3. 故选A.点睛: 本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分) 11、75°【解析】试题解析：∵直线l 1∥l 2， ∴130.A ∠=∠=,AB AC = 75.ACB B ∴∠=∠=2180175.ACB ∴∠=-∠-∠=故答案为75. 12、x ＜﹣1或x ＞1．【分析】利用二次函数的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（1，0），然后写出抛物线在x 轴下方所对应的自变量的范围即可．【详解】∵抛物线的对称轴为直线1x =， 而抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-1，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（1，0）， ∴当0y <时，x 的取值范围为1x <-或3x >． 故答案为：1x <-或3x >． 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．13、﹣3π【解析】试题解析：连结AD ．∵直角△ABC 中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6， ∴∠C=60°，3， ∵AD=AC ，∴三角形ACD 是等边三角形， ∴∠CAD=60°， ∴∠DAE=30°， ∴图中阴影部分的面积=211306663-633-=93-322360ππ⨯⨯⨯⨯⨯14、32【分析】由已知可得x 、y 的关系，然后代入所求式子计算即可.【详解】解：∵12y x =，∴2x y =，∴2322x y y y x y ++==. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了比例的性质和代数式求值，属于基本题型，掌握求解的方法是关键. 15、163【分析】连接OE ，CE ，过点A 作AF ⊥x 轴，过点D 作DH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥AF ；由AB 经过原点，则A 与B 关于原点对称，再由BE ⊥AE ，AE 为∠BAC 的平分线， 可得AD ∥OE ，进而可得S △ACE =S △AOC ；设点A （m ，k m），由已知条件D 是线段AC 中点，DH ∥AF ，可得2DH=AF ，则点D （2m ，2km ），证明△DHC ≌△AGD ，得到S △HDC =S △ADG ，所以S △AOC =S △AOF +S 梯形AFHD +S △HDC =12k+34k+14k =8；即可求解；【详解】解：连接OE ，CE ，过点A 作AF ⊥x 轴，过点D 作DH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥AF ，∵过原点的直线与反比例函数y=kx（k ＞0）的图象交于A ，B 两点， ∴A 与B 关于原点对称， ∴O 是AB 的中点， ∵BE ⊥AE ， ∴OE=OA ， ∴∠OAE=∠AEO ， ∵AE 为∠BAC 的平分线， ∴∠DAE=∠AEO ， ∴AD ∥OE ， ∴S △ACE =S △AOC ，∵D 是线段AC 中点，ADE 的面积为4， ∴AD=DC,S △ACE =S △AOC =8， 设点A （m ，k m）， ∵D 是线段AC 中点，DH ∥AF ， ∴2DH=AF ， ∴点D （2m ，2k m）， ∵CH ∥GD ，AG ∥DH ，∴∠ADG=∠DCH ，∠DAG=∠CDH ， 在△AGD 和△DHC 中，ADG DCH AD DC DAG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴S △HDC =S △ADG ，∵S △AOC =S △AOF +S 梯形AFHD +S △HDC =12k+12×（DH+AF ）×FH+S △HDC =12k+34k+14k =8； ∴32k=8， ∴k=163 .故答案为163.【点睛】本题考查反比例函数k 的意义；借助直角三角形和角平分线，将△ACE 的面积转化为△AOC 的面积是解题的关键． 16、3【分析】先证得四边形AGCH 是平行四边形，则AH CG =，再证得DH DC =，求得1AH =， 3DE ＝，证得DO ⊥HC ，根据~Rt OCE Rt DOE ，即可求得半径，从而求得结论． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∵AG ∥HC ，∴四边形AGCH 是平行四边形， ∴AH CG =，∵CG CE 、是⊙O 的切线，且切点为G 、E ， ∴CG CE AH ==，∠GCH =∠HCD ， ∵AD ∥BC ， ∴∠DHC =∠GCH ， ∴∠DHC =∠HCD ，∴三角形DHC 为等腰三角形， ∴4DH DC AB ===， ∴541AH AD DH =-=-=，∴1CE AH ==，413DE DC CE =-=-=， 连接OD 、OE ，如图，∵DE DF 、是⊙O 的切线，且切点为E 、F ， ∴DO 是∠FDE 的平分线， 又∵DH DC =， ∴DO ⊥HC, ∴∠DOC =90︒， ∵CD 切⊙O 于E ， ∴OE ⊥CD,∵∠OCE +∠COE=90︒，∠DOE +∠COE=90︒， ∴∠OCE=∠DOE ， ∴~Rt OCE Rt DOE ， ∴OE CE DE OE =，即13OE OE=， ∴3OE = ∴⊙O 的直径为：3故答案为：23【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证得DHC 为等腰三角形是解题的关键．17、1【分析】利用角角定理证明△BAD∽△BCA，然后利用相似三角形的性质得到BA BDBC BA=，求得BC的长，从而使问题得解.【详解】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴BA BD BC BA=．∵AB=6，BD=4，∴646 BC=，∴BC=9，∴CD=BC-BD=9-4=1．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记判定方法准确找到相似三角形对应边是本题的解题关键.．18、13.5【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴CD EDAB EB=，即1.52216AB=+，∴AB＝13.5（米）．故答案为：13.5【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.三、解答题(共66分)19、（1）详见解析；（1）CD=1.【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；（1）根据相似得出比例式，代入求出即可．【详解】证明：（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC ∽△ABC ； （1）∵△BDC ∽△ABC ， ∴BC CDAC BC= ，， ∴CD=1． 【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质. 20、43 m.【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出AE ECAD BD=，进而得出答案． 【详解】解 由题意可得△AEC ∽△ADB ，则AE AD ＝ECBD ， 故 4.84.8115.2+＝1.72BD， 解得DB ＝43，答：小雁塔的高度为43 m. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AEC ∽△ADB 是解题的关键． 21、（1）2315344y x x =-+；（2）9；（3）存在点M 的坐标为（315,28）或（1212,77）使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形【分析】(1)根据抛物线经过A 、B 两点，带入解析式，即可求得a 、b 的值.（2）根据PA=PB ，要求四边形PAOC 的周长最小，只要P 、B 、C 三点在同一直线上，因此很容易计算出最小周长. （3）首先根据△BQM 为直角三角形，便可分为两种情况QM ⊥BC 和QM ⊥BO ，再结合△QBM ∽△CBO ，根据相似比例便可求解.【详解】解：（1）将点A （1,0），B （4,0）代入抛物线23y ax bx =++中，得：3016430a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得：34154a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以抛物线的解析式为2315344y x x =-+.（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线52x=.连接BC，交抛物线的对称轴为点P,此时四边形PAOC的周长最小，最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9.(3)当QM⊥BC时，易证△QBM∽△CBO 所以QM BM OC OB=,又因为△CQM为等腰三角形，所以QM=CM.设CM=x, 则BM=5- x所以534x x-=所以157x.所以QM=CM=157，BM=5- x=207,所以BM:CM=4:3.过点M作NM⊥O B于N，则MN//OC, 所以NM BM BN OC CB OB==,即4374NM BN==，所以1216,77MN BN==,127ON OB BN=-=所以点M的坐标为（1212,77）当QM⊥BO时, 则MQ//OC, 所以QM BQOC OB=, 即34QM BQ=设QM=3t, 则BQ=4t, 又因为△CQM为等腰三角形，所以QM=CM=3t,BM=5-3t又因为QM2+QB2=BM2, 所以(3t)2+(4t)2=(5-3t)2, 解得58 t=MQ=3t=158,32OQ OB BQ=-=, 所以点M的坐标为（315,28）.综上所述，存在点M的坐标为（315,28）或（1212,77）使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形【点睛】本题是一道二次函数的综合型题目，难度系数较高，关键在于根据图形化简问题，这道题涉及到一种分类讨论的思想，这是这道题的难点所在，分类讨论思想的关键在于根据直角三角形的直角进行分类的.22、（1）方程的解为x1＝c，x2＝ac,验证见解析；（2）x＝a与x＝363aa--都为分式方程的解．【分析】（1）根据材料即可判断方程的解，然后代入到方程的左右两边检验即可；（2）将方程左右两边同时减去3，变为题干中的形式，即可得出答案.【详解】（1）方程的解为x1＝c，x2＝ac，验证：当x ＝c 时， ∵左边＝c +a c ，右边＝c +a c， ∴左边＝右边，∴x ＝c 是x +ax ＝c +a c 的解，同理可得：x ＝a c 是x +ax＝c +a c 的解；（2）方程整理得：（x ﹣3）+33x -＝（a ﹣3）+33a -，解得：x ﹣3＝a ﹣3或x ﹣3＝33a -，即x ＝a 或x ＝363a a --，经检验x ＝a 与x ＝363a a --都为分式方程的解．【点睛】本题主要为材料理解题，理解材料中方程的根的由来是解题的关键. 23、（1）ab ；（1）A ＝﹣1【分析】（1）先把分子、分母因式分解，再约分，然后同分母分式相加，分母不变，分子相加，最后把除法转化乘法，约分即可；（1）把P 点代入解析式，求得ab ＝﹣1，即可求得A ＝﹣1． 【详解】解：（1）2()()1[]()()a b a b a A a b b a a a b +-=+÷---[]()a b aa ab a b a b+=---- ()ba ab a b=-- ＝ab ，（1）∵点P （a ，b ）在反比例函数2y x=-的图象上， ∴ab ＝﹣1， ∴A ＝﹣1． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分式的运算，把分式化简是解题的关键． 24、（1）14；（2）见解析，12.【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B 的概率＝14； （2）列表如下： A B C D A（B ，A ） （C ，A ） （D ，A ） B （A ，B ）（C ，B ） （D ，B ） C （A ，C ） （B ，C ）（D ，C ） D（A ，D ）（B ，D ）（C ，D ）由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的结果数为6种， 所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的概率为61122=. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率 25、（1）证明见解析；（2）O 的半径为2.1．【分析】（1）连接OA ，OD ，过O 作OH AC ⊥于点H ，根据三线合一可得BAO CAO ∠=∠，然后根据角平分线的性质可得OH OD =，然后根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OD ，过D 作DK BC ⊥于点K ，根据平行线的判定证出//OD AF ，证出AF AB ⊥，根据角平分线的性质可得2AD DK ==，然后利用HL 证出△△Rt ADF Rt KDF ≅，从而得出4FK AF ==，设O 的半径为x ，根据勾股定理列出方程即可求出结论．【详解】（1）证明：如图，连接OA ，OD ，过O 作OH AC ⊥于点H ．∵AB AC =，O 是底边BC 的中点， ∴BAO CAO ∠=∠， ∵AB 是O 的切线，∴⊥OD AB ， ∴OH OD =．∴AC 是O 的切线；（2）解：如图2，连接OD ，过D 作DK BC ⊥于点K ．∵点D 是EG 的中点，∴AFD DFK ODF ∠=∠=∠，∴//OD AF∴AF AB ⊥，∴2AD DK ==在Rt ADF 和Rt KDF △中，AD DK DF DF =⎧⎨=⎩∴△△Rt ADF Rt KDF ≅∴4FK AF ==设O 的半径为x由勾股定理得：DK 2＋OK 2=OD 2即()22224x x +-=，解得： 2.5x =．∴O 的半径为2.5．【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．26、旗杆的高度为15.6米．【分析】过点E 作EH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G 得出ECG EAH ∽，利用形似三角形的对应边成比例求出AH 的长，进而求出AB 的长．【详解】过点E 作EH AB ⊥于点H ，交CD 于点G ．由题意可得，四边形EFDG GDHB 、都是矩形，////AB CD EF ．ECG EAH ∴∽．∴EG CG EH AH=．由题意可得：330EG FD m EH FB m＝＝，＝＝，31.6 1.4CG CD GD CD EF＝-＝-＝-＝（米）．∴3 1.4 30AH=，14 AH∴＝（米），14 1.615.6AB AH HB∴++＝＝＝（米）．答：旗杆的高度为15.6米．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形判定得出△ECG∽△EAH是解题关键．。
【解析版】深圳市龙华新区九年级上期末数学试卷
广东省深圳市龙华新区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）方程x2=9的根是（）A．3B．﹣3或3 C．﹣3 D．92．（3分）如图是一个几何体的俯视图，则该几何体可能是（）A．B．C．D．3．（3分）已知点P（﹣2，3）是反比例函数y=图象上的一点，则下列各点中，也在该函数图象上的是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）4．（3分）方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有一个实数根5．（3分）如图，已知D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点，DE∥BC且，△ADE的周长2，则△ABC的周长为（）A．4B．6C．8D．186．（3分）对于抛物线y=﹣（x﹣1）2+2，下列说法中错误的是（）A．对称轴是直线x=1 B．顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x=1时，函数y的最小值为27．（3分）当下，户外广告已对我们的生活产生直接的影响．图中的AD是安装在广告架AB上的一块广告牌，AC和DE分别表示太阳光线．若某一时刻广告牌AD在地面上的影长CE=1m，BD在地面上的影长BE=3m，广告牌的顶端A到地面的距离AB=20m，则广告牌AD的高AD为（）A．5m B．m C．15m D．m8．（3分）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（）A．12 B．15 C．20 D．609．（3分）某公司今年10月的营业额为2000万元，按计划第四季度的总营业额为7980万元．若该公司11、12两个月营业额的月均增长率均为x，依题意可列方程为（）A．2000（1+x）2=7980B．2000（1+x）3=7980C．2000（1+3x）=7980D．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2=798010．（3分）下列命题中，正确的是（）A．有一组领边相等的矩形是正方形B．有两边对应成比例及一角对应相等的两个三角形相似C．若2x=3y，则D．若（﹣1，a）、（2，b）是双曲线y=上的两点，则a＞b11．（3分）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）C．（﹣2，0）D．（﹣1.5，0）12．（3分）已知抛物线y=x2﹣4与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线l1，l2，其中l1的顶点为点B，l2的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（）A．8B．16 C．32 D．无法计算二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）某校共有学生2000人，随机调查了200名学生，其中有150名学生课后运动达到1小时，在该校随便问一位学生，他课后运动到1小时的概率大约是．14．（3分）若关于x的方程x2+bx+6=0有一根是x=2，则b的值是．15．（3分）把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，若BC=4，AB=2，则△ACF的面积为．16．（3分）如图，已知直线y=﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y=（x＞0）交于C、D两点，若∠COD=45°，则k的值为．三、解答题（共7小题，满分52分）17．（5分）计算：2sin260°﹣cos45°tan45°．18．（5分）解方程：x2﹣2x﹣8=0．19．（8分）九年级（1）班现要从A、B两位男生和D、E两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛．（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是；（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．20．（8分）如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E．（1）求证：AE=AC；（2）若cosE=，CE=6，求矩形ABCD的面积．21．（8分）如图，某教学学习小组为了测量山顶上一古灯塔的高度CD，他们在山脚下的点A处测得塔顶C处的仰角为45°，沿着坡角为30°的登山梯AB向上走200米到达山顶B 处后，测得塔顶C处的仰角为60°，已知点B与底部D在同一水平线上．（1）求塔的底部D到地平面AE的距离；（2）求灯塔CD的高度．22．（8分）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？23．（10分）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．广东省深圳市龙华新区九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）方程x2=9的根是（）A．3B．﹣3或3 C．﹣3 D．9考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：利用直接开方法，直接开平方解一元二次方程即可．解答：解：x=±，∴x=±3，∴x1=3，x2=﹣3．故选：B．点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．2．（3分）如图是一个几何体的俯视图，则该几何体可能是（）A．B．C．D．考点：由三视图判断几何体．分析：由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图，再与题目图形进行比较即可．解答：解：图是两个圆，一大一小，小的包含在大圆里面．A、球的俯视图是一个圆，故选项错误；B、俯视图是两个圆，一大一小，小的包含在大圆里面，此选项正确；C、圆锥的俯视图是一个圆及这个圆的圆心，此选项错误；D、圆柱的俯视图是一个圆，故选项错误．故选：B．点评：此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个试图确定其具体形状．3．（3分）已知点P（﹣2，3）是反比例函数y=图象上的一点，则下列各点中，也在该函数图象上的是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：先根据反比例函数y=图象过点（﹣2，3）求出k的值，再根据k=xy的特点进行解答即可．解答：解：∵反比例函数y=图象过点（﹣2，3），∴3=，即k=﹣6，A、∵2×3）=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B、∵3×2=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C、∵﹣2×（﹣3）=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；D、∵2×（﹣3）=﹣6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确．故选D．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．4．（3分）方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有一个实数根考点：根的判别式．分析：把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．解答：解：∵a=1，b=﹣2，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．5．（3分）如图，已知D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点，DE∥BC且，△ADE的周长2，则△ABC的周长为（）A．4B．6C．8D．18考点：相似三角形的判定与性质．分析：由DE∥BC，证出△ADE∽S△ABC，得出周长的比等于相似比，容易得出结果．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴∵AD+DE+AE=2，∴AB+BC+AC=6．故选：B点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形周长的比等于相似比解决问题．6．（3分）对于抛物线y=﹣（x﹣1）2+2，下列说法中错误的是（）A．对称轴是直线x=1 B．顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x=1时，函数y的最小值为2考点：二次函数的性质．分析：首先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，2），据此选择正确答案．解答：解：∵抛物线y=﹣（x﹣1）2+2，∴a=﹣1，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），当x＞1时，y随x的增大而减小，当x=1时，抛物线有最大值为2，D选项错误．故选D．点评：本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键掌握二次函数的开口方向，对称轴以及函数的顶点坐标等，此题难度不大．7．（3分）当下，户外广告已对我们的生活产生直接的影响．图中的AD是安装在广告架AB上的一块广告牌，AC和DE分别表示太阳光线．若某一时刻广告牌AD在地面上的影长CE=1m，BD在地面上的影长BE=3m，广告牌的顶端A到地面的距离AB=20m，则广告牌AD的高AD为（）A．5m B．m C．15m D．m考点：相似三角形的应用；平行投影．分析：根据阳光是平行的得到△BDE∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例得到，代入数据求解即可．解答：解：∵太阳光线是平行的，∴AC∥DE，∴△BDE∽△BAC，∴，由题意得：BE=3米，AB=20米，EC=1米，即：，解得：BD=15米，∴AC=5米．故选A．点评：本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大．8．（3分）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（）A．12 B．15 C．20 D．60考点：由三视图判断几何体．分析：左视图可得到长方体的宽和高，俯视图可得到长方体的长和宽，主视图表现长方体的长和高，让长×高即为主视图的面积．解答：解：由左视图可得长方体的高为3，由俯视图可得长方体的长为5，∵主视图表现长方体的长和高，∴主视图的面积为5×3=15．故选B．点评：考查主视图的面积的求法，根据俯视图和左视图得到几何体的长和高是解决本题的关键．9．（3分）某公司今年10月的营业额为2000万元，按计划第四季度的总营业额为7980万元．若该公司11、12两个月营业额的月均增长率均为x，依题意可列方程为（）A．2000（1+x）2=7980B．2000（1+x）3=7980C．2000（1+3x）=7980D．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2=7980考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到7980万元，即可列方程．解答：解：设该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是x．根据题意得2000+2000（1+x）+2000（1+x）2=7980．故选：D．点评：本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程．解与变化率有关的实际问题时：（1）主要变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；（2）可直接套公式：原有量×（1+增长率）n=现有量，n表示增长的次数．10．（3分）下列命题中，正确的是（）A．有一组领边相等的矩形是正方形B．有两边对应成比例及一角对应相等的两个三角形相似C．若2x=3y，则D．若（﹣1，a）、（2，b）是双曲线y=上的两点，则a＞b考点：命题与定理．分析：根据正方形的判定对A进行判断；根据三角形相似的判定方法对B进行判断；根据比例性质对C进行判断；根据反比例函数的性质对D进行判断．解答：解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，所以A选项正确；B、有两边对应成比例及它们的夹角对应相等的两个三角形相似，所以B选项错误；C、若2x=3y，则=，所以C选项错误；D、若（﹣1，a）、（2，b）是双曲线y=上的两点，则a＜b，所以D选项错误．故选A．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．11．（3分）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）C．（﹣2，0）D．（﹣1.5，0）考点：位似变换；坐标与图形性质．专题：计算题．分析：根据位似变换的性质得===，则PO=OA=2，然后写出P点坐标．解答：解：∵点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），∴AB=4，OA=2，OD=2，∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，∴===，∴PO=OA=2，∴P点坐标为（﹣2，0）．故选C．点评：本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．12．（3分）已知抛物线y=x2﹣4与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线l1，l2，其中l1的顶点为点B，l2的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（）A．8B．16 C．32 D．无法计算考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据平移的性质和抛物线的对称性可知图中阴影部分的面积=2△ABC的面积．解答：解：∵y=x2﹣4=（x+2）（x﹣2），∴B（﹣2，0），C（2，0），则BC=4．又当x=0时，y=﹣4，则A（0，﹣4），故OA=4．∴抛物线l1是由抛物线y=x2﹣4向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，抛物线l2是由抛物线y=x2﹣4向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，∴S阴影=2S△ABC=2××4×4=16．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）某校共有学生2000人，随机调查了200名学生，其中有150名学生课后运动达到1小时，在该校随便问一位学生，他课后运动到1小时的概率大约是．考点：概率公式．分析：用课后运动达到1小时的人数除以被调查的学生数即可求得概率．解答：解：∵调查了200名学生，其中有150名学生课后运动达到1小时，∴该校随便问一位学生，他课后运动到1小时的概率大约是=，故答案为：．点评：本题主要考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．14．（3分）若关于x的方程x2+bx+6=0有一根是x=2，则b的值是﹣5．考点：一元二次方程的解．分析：已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出b的值．解答：解：∵一元二次方程x2+bx+6=0的一个实数根为2，∴4+2b+6=0，解得b=﹣5．故答案为：﹣5．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．15．（3分）把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，若BC=4，AB=2，则△ACF的面积为10．考点：等腰直角三角形；勾股定理．分析：根据四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，得到AB=CE，∠B=∠E=90°，BC=EF，即可得到△ABC≌△CEF，根据全等的性质得到∠ACB=∠CFE，AC=CF，再根据角角之间的关系得到∠ACF=90°，于是判断出△ACF的形状，进而根据三角形的面积公式即可求得．解答：解：在RT△ABC中，AC===，∵四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，∴AB=CE，∠B=∠E=90°，BC=EF，在△ABC和△CEF中，，∴△ABC≌△CEF（SAS），∴∠ACB=∠CFE，AC=CF，∵点B、C、E共线，∴∠ABC+∠ACF+∠FCE=180°，∴∠ACF=180°﹣（∠ECF+∠EFC）=90°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴AC=CF=，∴S△ACF=AC•CF=10．故答案为10．点评：本题主要考查矩形的性质以及等腰直角三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，此题难度不大．16．（3分）如图，已知直线y=﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y=（x＞0）交于C、D两点，若∠COD=45°，则k的值为．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：首先求得A和B的坐标，则C和D是直线y=x+2和反比例函数的交点，以及C和D关于y=x对称，即可利用k表示出CD的长并且得到OD是△AOE的角平分线，即可求解．解答：解：在y=﹣x+2中，令x=0，解得y=2，则B的坐标是（0，2）；令y=0，解得：x=2，则A的坐标是（2，0），则OA=OB=2．AB==2，作CE⊥AB于点E．则OE=AB=，∠BOE=∠AOE=45°，∴∠COE=∠DOE=22.5°，∴OD是∠EOA的平分线．∴==，即ED=AD．∴CD=AB=2．直线l与反比例函数的交点是C、D，则根据题意得：﹣x+2=，即x2﹣2x+k=0，解得：x1=1+，x2=1﹣，则y1=x2，y2=x1，则CD=2，∴2=2，解得：k=故答案是：．点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确理解C和D关于y=x对称是关键．三、解答题（共7小题，满分52分）17．（5分）计算：2sin260°﹣cos45°tan45°．考点：特殊角的三角函数值．分析：结合特殊角的三角函数值代入求出即可．解答：解：2sin260°﹣cos45°tan45°=2×（）2﹣2××1=﹣2=﹣．点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．（5分）解方程：x2﹣2x﹣8=0．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程左边的二次三项式便于因式分解，右边为0，可运用因式分解法解方程．解答：解：原方程化为（x+2）（x﹣4）=0，解得x+2=0，x﹣4=0，x1=﹣2，x2=4．点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．19．（8分）九年级（1）班现要从A、B两位男生和D、E两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛．（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是；（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．考点：列表法与树状图法．分析：（1）由九年级（1）班现要从A、B两位男生和D、E两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选派一男一女两位同学参赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：（1）∵九年级（1）班现要从A、B两位男生和D、E两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛，∴如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是：；故答案为：；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为：=．点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（8分）如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E．（1）求证：AE=AC；（2）若cosE=，CE=6，求矩形ABCD的面积．考点：矩形的性质．分析：（1）由矩形的性质，可得AC=BD，欲求AC=AE，证BD=AE即可．可通过证四边形AEBD是平行四边形，从而得出AC=AE的结论；（2）首先根据等腰三角形的性质得到EB的长，然后利用锐角三角函数求得AE的长，从而利用勾股定理求得AB的长，最后求得面积即可．解答：解：（1）证明：在矩形ABCD中，AC=BD，AD∥BC，又∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形．∴BD=AE，∴AC=AE；（2）∵AE=AC，AB⊥EC，∴EB=BC，∵CE=6，∴EB=3，∵cosE==，∴AE=5，∴由勾股定理得：AB=4，∴矩形ABCD的面积为4×3=12．点评：本题考查了矩形的性质，了解矩形的特殊性质是解答本题的关键，本题难度不大，但综合性较强．21．（8分）如图，某教学学习小组为了测量山顶上一古灯塔的高度CD，他们在山脚下的点A处测得塔顶C处的仰角为45°，沿着坡角为30°的登山梯AB向上走200米到达山顶B 处后，测得塔顶C处的仰角为60°，已知点B与底部D在同一水平线上．（1）求塔的底部D到地平面AE的距离；（2）求灯塔CD的高度．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：作BF⊥AE，垂足为F；DS⊥AE，垂足为S．在Rt△ABF中，AB=200米，则DS=BF=100米，AF=100米．利用三角函数建立等式解答．解答：解：（1）作BF⊥AE，垂足为F；DS⊥AE，垂足为S．在Rt△ABF中，AB=200米，则DS=BF=100米，AF=100米．则D到AE的距离为100米．（2）设CD=x米，在Rt△CBD中，=tan60°，BD=x，则FS=x，在Rt△ASC中，x+100=100+x，解得x=100．点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．22．（8分）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？考点：一元二次方程的应用；二次函数的应用．分析：（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；（2）先根据题意设每件工艺品降价为x元出售，获利y元，则降价x元后可卖出的总件数为，每件获得的利润为（100﹣x﹣40），此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件工艺品获得的利润，列出二次方程，再根据求二次函数最值的方法求解出获得的最大利润即可．解答：解：（1）设花边的宽度为xcm，根据题意得：（60﹣2x）（40﹣x）=60×40﹣650，解得：x=5或x=﹣65（舍去）．答：丝绸花边的宽度为5cm；（2）设每件工艺品降价x元出售，获利y元，则根据题意可得：y=（100﹣x﹣40）﹣2000=﹣20（x﹣25）2+23100；当售价100﹣25=75元时有最大利润23100元．点评：考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，特别是二次函数的应用，其关键是从实际问题中整理出二次函数模型，难度中等．23．（10分）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A、B、C三点的坐标代入可求得a、b、c的值，可得出函数表达式；（2）可先求得BC的解析式，设出Q点坐标，可表示出D点坐标和P点坐标，可表示出PD的长，由条件可得PD=OC=2，可求得P点坐标，则可得Q点的坐标；（3）可设出P的坐标，由PQ∥OC可表示出DQ、BD，由△PED∽△BQD可表示出PE和DE，则可表示出S，再结合P在直线BC上方，可求得S的最大值，可求得P点的坐标．解答：解：（1）∵二次函数与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C （0，2），∴代入二次函数解析式可得，解得，∴二次函数表达式为y=﹣x2+x+2；（2）设直线BC解析式为y=kx+b，∵B（4，0），C（0，2），∴代入可得，解得，∴直线BC解析式为y=﹣x+2，设Q坐标为（m，0），则可知D点坐标为（m，﹣m+2），又∵P点在抛物线上，∴P点坐标为（m，﹣m2+m+2），当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD=OC=2，即|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|=2，即|﹣m2+2m|=2，当﹣m2+2m=2时，解得m=2，则Q坐标为（2，0），当﹣m2+2m=﹣2时，解得m=2±2，则Q坐标为（2+，0）或（2﹣，0），综上可知Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）；（3）设Q点坐标为（n，0），由（2）可知D为（n，﹣n+2），P点坐标为（n，﹣n2+n+2），∴PD=﹣n2+2n=n（4﹣n），DQ=﹣n+2，又∵OB=4，∴BQ=4﹣n，在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，由勾股定理可求得BC=2，∵OQ∥OC，∴=，即=，解得BD=，∵PE⊥BC，PQ⊥QB，∴∠PED=∠BQD=90°，且∠PDE=∠BDQ，∴△PED∽△BQD，∴====，即==，解得PE=，DE=n（4﹣n），∴S=PE•DE=××=（﹣n2+4n）2，令t=﹣n2+4n=﹣（n﹣2）2+4，∵P在直线BC上方，∴0＜n＜4，∴0＜t≤4，且当n=2时，t有最大值4，此时P点坐标为（2，3），∴当t=4时，S max=×42=，综上可知当P为（2，3）时，S有最大值，最大值为=．点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及平行四边形的性质、平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质．在（1）中注意待定系数法应用的关键是点的坐标，在（2）中用Q的坐标表示出PD的长度，得到关于Q点坐标的方程是解题的关键，在（3）中用Q 点的坐标表示出PE、DE的长度是解题的关键．本题知识点多，计算量大，难度较大．。
广东省深圳龙华区七校联考2022年九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，若x为正整数，则表示()2221441xx x x+-+++的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④2．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜13B．k＜﹣13C．k＜3 D．k＞﹣33．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则下面的四个结论，其中正确的个数为（）①2a+b＝0②4a﹣2b+c＜0③ac＞0④当y＞0时，﹣1＜x＜4A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)．若矩形ABCD 和矩形EFGO是位似图形，点P(点P在GC上)是位似中心，则点P的坐标为()A．(0,3)B．(0,2.5)C ．(0,2)D ．(0,1.5)5．如图，P 是ABC ∆的AB 边上的一点，下列条件不可能是ACP ABC ∆∆∽的是（ ）A ．ACPB ∠=∠ B ．··AP BC AC PC = C ．APC ACB ∠=∠D ．2·AC AP AB =6．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：AF ：AB=1：2：4，则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG 等于( )A ．1：2：4B ．1：4：16C ．1：3：12D ．1：3：77．求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()21a b am bm m ->+≠-；⑤13a >；其中，正确的结论有（ ）A ．5B ．4C ．3D ．28．若2350x x --=，则2625x x -+的值为（ ） A ．0B ．5C ．-5D ．-109．如图，是抛物线2y ax bx c =++的图象，根据图象信息分析下列结论：①20a b +=；②0abc >；③240b ac ->；④420a b c ++<.其中正确的结论是（ ）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是()A．55°B．60°C．65°D．70°二、填空题(每小题3分,共24分)11．某农户2010年的年收入为4万元，由于“惠农政策”的落实，2012年年收入增加到5.8万元．设每年的年增长率x相同，则可列出方程为______．12．如图，根据图示，求得x和y的值分别为____________.13．如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第7个小三角形的面积为_________________14．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为______．15．如图，一副含30和45︒角的三角板ABC 和EDF 拼合在一个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm =.当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动.当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为______cm .16．若二次函数2241y x x =--的图象与x 轴交于A ()1x ，０，B ()x ２，０两点，则1211x x +的值为______． 17．如图，已知//a b ，175∠=︒，则2∠=_____.18．分式方程121x x=-的解是__________．三、解答题(共66分)19．（10分）直线y ＝kx +b 与反比例函数8y x=（x ＞0）的图象分别交于点A （m ，4）和点B （8，n ），与坐标轴分别交于点C 和点D ．（1）求直线AB 的解析式；（2）观察图象，当x ＞0时，直接写出8kx b x+>的解集； （3）若点P 是x 轴上一动点，当△COD 与△ADP 相似时，求点P 的坐标．20．（6分）如图，C 是直径AB 延长线上的一点，CD 为⊙O 的切线，若∠C ＝20°，求∠A 的度数．21．（6分）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，75CBD ∠=︒，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接BF ，求DBF ∠的度数．22．（8分）如图，某中学九年级“智慧之星”数学社团的成员利用周末开展课外实践活动，他们要测量中心公园内的人工湖中的两个小岛C ，D 间的距离.借助人工湖旁的小山，某同学从山顶A 处测得观看湖中小岛C 的俯角为60︒，观看湖中小岛D 的俯角为45︒.已知小山AB 的高为180米，求小岛C ，D 间的距离.23．（8分）重庆八中建校80周年，在体育、艺术、科技等方面各具特色，其中排球选修课是体育特色项目之一．体育组老师为了了解初一年级学生的训练情况，随机抽取了初一年级部分学生进行1分钟垫球测试，并将这些学生的测试成绩（即1分钟的垫球个数，且这些测试成绩都在60～180范围内）分段后给出相应等级，具体为：测试成绩在60～90范围内的记为D 级（不包括90），90～120范围内的记为C 级（不包括120），120～150范围内的记为B 级（不包括150），150～180范围内的记为A 级．现将数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图，其中在扇形统计图中A 级对应的圆心角为90°，请根据图中的信息解答下列问题：（1）在这次测试中，一共抽取了名学生，并补全频数分布直方图：在扇形统计图中，D级对应的圆心角的度数为度．（2）王攀同学在这次测试中1分钟垫球140个．他为了了解自己垫球个数在年级排名的大致情况，他把成绩为B等的全部同学1分钟垫球人数做了统计，其统计结果如表：成绩（个）120 125 130 135 140 145人数（频数） 2 8 3 10 9 8（垫球个数计数原则：120＜垫球个数≤125记为125，125＜垫球个数≤130记为130，依此类推）请你估计王攀同学的1分钟垫球个数在年级排名的大致情况．24．（8分）如图，已知直线y＝12-x+2与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝12-x2+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上方抛物线上一点，连接OP．①若OP与线段BC交于点D，则当D为OP中点时，求出点P坐标．②在抛物线上是否存在点P，使得∠POC＝∠ACO若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，ABC∠的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），以P为圆心PB为半径作⊙P交AB于点D过点D作⊙P的切线交边AC于点E，（1）求证：AE=DE；（2）若PB=2，求AE的长；（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段AE长度的取值范围．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．【详解】解∵2222(2)1(2)1441(2)1x xx x x x x++-=-=+++++1111xx x-=++．又∵x为正整数，∴121xx≤+＜1，故表示22(2)1441xx x x+-+++的值的点落在②．故选B ． 【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等． 2、A【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围． 【详解】解：∵关于x 的方程x 2﹣2x+3k ＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×3k ＞0， 解得：k ＜13． 故选A ． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 3、B【分析】①函数对称轴为：x ＝﹣2ba＝1，解得：b ＝﹣2a ，即可求解；②x ＝﹣2时，y ＝4a ﹣2b+c ＜0，即可求解；③a ＜0，c ＞0，故ac ＜0，即可求解；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，即可求解． 【详解】点B 坐标为（﹣1，0），对称轴为x ＝1，则点A （3，0）， ①函数对称轴为：x ＝﹣2ba＝1，解得：b ＝﹣2a ，故①正确，符合题意； ②x ＝﹣2时，y ＝4a ﹣2b+c ＜0，故②正确，符合题意； ③a ＜0，c ＞0，故ac ＜0，故③错误，不符合题意； ④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，故④错误，不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数图像问题，熟悉二次函数图形利用数形结合解题是本题关键. 4、C【分析】如图连接BF 交y 轴于P ，由BC ∥GF 可得GP PC ＝GFPC，再根据线段的长即可求出GP ，PC ，即可得出P 点坐标.【详解】连接BF 交y 轴于P ，∵四边形ABCD 和四边形EFGO 是矩形，点B ，F 的坐标分别为(－4,4)，(2,1)， ∴点C 的坐标为(0,4)，点G 的坐标为(0,1)， ∴CG ＝3， ∵BC ∥GF ，∴GP PC ＝GF PC ＝12， ∴GP ＝1，PC ＝2， ∴点P 的坐标为(0,2)， 故选C.【点睛】此题主要考查位似图形的性质，解题的关键是根据位似图形的对应线段成比例. 5、B【分析】根据相似三角形的判定判断各选项即可进行解答．【详解】解： A 、∵∠ACP ＝∠B ，∠A=∠A ，∴△ACP ∽△ABC ，故本选项不符合题意； B 、∵AP PCAC BC=，缺少夹角相等，∴不可判定△ACP ∽△ABC ，故本选项符合题意； C 、∵∠APC ＝∠ACB ，∠A=∠A ，∴△ACP ∽△ABC ，故本选项不符合题意； D 、∵AC APAB AC=，∠A=∠A ，∴△ACP ∽△ABC ，故本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．要找的对应边与对应角，公共角是很重要的一个量，要灵活加以利用． 6、C【分析】由于DE ∥FG ∥BC ，那么△ADE△AFGABC ，根据AD ：AF ：AB=1：2：4，可得出三个相似三角形的面积比，进而得出△ADE、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积比.【详解】24DE FG BCADE ∴∥∥△△AFG △ABC AD:AF:AB=1：：1:4:16A A B D FG C EA SS S ∴=△△：：设△ADE 的面积为a,则△AFG 和△ABC 的面积分别是4a 、16a; 则DFGE FBCG S 四边形四边形和S 分别是3a 、12a; 则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG = 1：3：12 故选C.【点睛】本题主要考察相似三角形，解题突破口是根据平行性质推出△ADE △AFGABC.7、C【分析】由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12bx a=-=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,然后利用1c <-得到13a >-.【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0， 所以①错误；∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值， 当x m =代入2y ax bx c =++得：2y am bm c =++，∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误； ∵对称轴为直线12bx a=-=-，∴2b a =, ∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-, 根据图象得1c <-，∴13a >-，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，y a b c =-+.8、C【分析】将2350x x --=转换成235x x -=的形式，再代入求解即可．【详解】2350x x --=235x x -=()22625235x x x x -+=--+将235x x -=代入原式中原式()22352555x x =--+=-⨯+=-故答案为：C ．【点睛】本题考查了代数式的运算问题，掌握代入法是解题的关键．9、D【分析】采用数形结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴，与x 、y 轴的交点，通过推算进行判断． 【详解】①根据抛物线对称轴可得12b x a=-= ，20a b +=，正确； ②当x=0 ，c 0y =< ，根据二次函数开口向下和12b a -=得，0a < 和0b > ，所以0abc >，正确； ③二次函数与x 轴有两个交点，故240b ac =-> ，正确；④由题意得，当x 0= 和x=2 时，y 的值相等，当x 0=，y 0< ，所以当x=2，y 420a b c =++< ，正确； 故答案为：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和判断，掌握二次函数的性质是解题的关键．10、C【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．【详解】∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ．∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE ， ∴∠ACD=90°-20°=70°， ∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴∠ADC+∠EDC=180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°， ∴∠ADC=∠E+20°， ∵∠ACE=90°，AC=CE ∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC 中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即45°+70°+∠ADC=180°， 解得：∠ADC=65°， 故选C ．【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．二、填空题(每小题3分,共24分)11、4（1+x ）2=5.1【解析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设每年的年增长率为x ，根据“由2010年的年收入4万元增加到2012年年收入5.1万元”，即可得出方程．【详解】设每年的年增长率为x ，根据题意得：4（1+x ）2=5.1．故答案为4（1+x ）2=5.1．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程﹣﹣增长率问题．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b （增长为+，下降为﹣）．12、4.5，101【分析】证明ADC BDE ∆∆∽，然后根据相似三角形的性质可解. 【详解】解：∵7.232.4AD BD ==， 4.831.6CD DE ==， ∴AD CD BD DE=， ∵ADC BDE ∠=，∴ADC BDE ∆∆∽， ∴3AC BE=，ACD BED ∠=∠， ∴AC=4.5，y=101.故答案是：x=4.5，y=101.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，要熟悉相似三角形的各种判定方法，关键在找角相等以及边的比例关键. 13、1312 【分析】记原来三角形的面积为s ，第一个小三角形的面积为1s ，第二个小三角形的面积为2s ，…，求出1s ，2s ，3s ，探究规律后即可解决问题．【详解】解：记原来三角形的面积为s ，第一个小三角形的面积为1s ，第二个小三角形的面积为2s ，…， ∵121142s s s ==， 24111442s s s =⨯=， 3612s s =， ∴22211111222222n n n n s s -==⨯⨯⨯=， ∴7271131122s ⨯-==. 故答案为：1312. 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积 ，图形类规律探索等知识，解题的关键是循环从特殊到一般的探究方法，寻找规律，利用规律即可解决问题．14、1【分析】由S 阴影部分图形＝S 四边形BDFE ＝BD×OE ，即可求解． 【详解】令y ＝0，则：x ＝±1，令x ＝0，则y ＝2， 则：OB ＝1，BD ＝2，OB ＝2，S 阴影部分图形＝S 四边形BDFE ＝BD×OE ＝2×2＝1．故：答案为1．【点睛】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S 阴影部分图形＝S 四边形BDFE 是本题的关键．15、24-【分析】过点D'作D'N ⊥AC 于点N ，作D'M ⊥BC 于点M ，由直角三角形的性质可得cm ，，cm ，由“AAS”可证△D'NE'≌△D'MF'，可得D'N=D'M ，即点D'在射线CD 上移动，且当E'D'⊥AC 时，DD'值最大，则可求点D 运动的路径长，【详解】解：∵AC=12cm ，∠A=30°，∠DEF=45°∴BC=43cm ，AB=83cm ，ED=DF=62cm如图，当点E 沿AC 方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N ⊥AC 于点N ，作D'M ⊥BC 于点M∴∠MD'N=90°，且∠E'D'F'=90°∴∠E'D'N=∠F'D'M ，且∠D'NE'=∠D'MF'=90°，E'D'=D'F'∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS ）∴D'N=D'M ，且D'N ⊥AC ，D'M ⊥CM∴CD'平分∠ACM即点E 沿AC 方向下滑时，点D'在射线CD 上移动，∴当E'D'⊥AC 时，DD'值最大，最大值2ED-CD=（2）cm∴当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长=2×（2）=（2）cm【点睛】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，确定点D 的运动轨迹是本题的关键．16、﹣4【解析】与x 轴的交点的家横坐标就是求y=0时根，再根据求根公式或根与系数的关系，求出两根之和与两根之积。
广东省深圳市龙华区19-20学年九年级上学期期末数学试卷 及答案解析
广东省深圳市龙华区19-20学年九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.如图所示的几何体中，它的主视图是()A. B. C. D.2.方程x2=4x的根是()A. x=4B. x=0C. x1=0，x2=4D. x1=0，x2=−43.如图，E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点，若CE=CA，AE交CD于F，则∠FAC的度数是()A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 67.5°4.如图，BD//CE，AC=4BC，若BD=3，则CE的长是()A. 154B. 4 C. 94D. 55.函数y=−13x的图象在()A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、二象限D. 第三、四象限6.如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为()A. 6米sin50∘B. 6米cos50∘C. 6cos50°米D. 6米tan50∘7.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为()A. 9B. 12C. 15D. 188.矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为()C. 2或3D.A. 3B. 323或329.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的正半轴交于点A，其顶点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，对于下列结论：①a−b+c≥0；②2ac−b=0；③关于x的方程ax2+bx+c+ 3=0无实数根；④a+b+c的最小值为3.其中正确结论的个数为()b−cA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.下列命题中，真命题是()A. 对角线相等的四边形是矩形；B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形；C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；D. 一组邻边相等，并且有一个内角为直角的四边形是正方形．11.某商店出售一种商品，若每件10元，则每天可销售50件，售价每降低1元，可多卖6件，要使该商品每天的销售额(总售价)为504元，设每件降低x元，则可列方程为()A. (50+x)(10−x)=504B. 50(10−x)=504C. (10−x)(50+6x)=504D. (10−6x)(50+x)=50412.如图，已知一次函数y=2x−2的图象与x，y轴分别交于点A，B，与(x>0)的图象交于点C，且AB=AC，则k的值为()反比例函数y=kxA. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.方程kx2+x+8=0的一个根为−1，则k=___________14.如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°.CD是斜边AB上的高，若得到CD2=BD⋅AD这个结论可证明______∽______．15.如图：课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，在地面上C处放一小镜子，当镜子离旗杆AB底端6米，小明站在离镜子3米的E处，恰好能看到镜子中旗杆的顶端，测得小明眼睛D离地面1.5米，则旗杆AB的高度约是______ 米．16.如图，将边长为2√2cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长是______cm．三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）17.计算：cos230°+sin245°−tan60°⋅tan30°18.已知二次函数y=ax2−4x+c的图像经过点A(−1,−1)和点B(3,−9)．(1)求二次函数表达式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．19.如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°.转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止)．(1)转动转盘一次，求转出的数字是−2的概率；(2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．20.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)21.如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．(1)若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；(2)若a≥50，求矩形菜园ABCD面积的最大值．22.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是边AC的中点，CH⊥BM于点H．(1)求sin∠MCH的值；(2)求证：△MCH～△MBC；(3)连接AH，求证：∠AHM=45°．23.如图，抛物线y=x2+ℎx+c经过A(−1,0)，B(3,0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；(2)点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物上点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是矩形，且MG=2FM时，请求出点M的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：从正面看左边一个正方形，右边一个正方形，故D符合题意；故选：D．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．2.答案：C解析：此题考查一元二次方程的解法，直接根据因式分解法求解即可．解：x2=4x，x(x−4)=0，x=0，x−4=0，∴x1=0，x2=4．故选C．3.答案：A解析：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴∠E+∠FAC=∠ACB=45°，∵CE=CA，∴∠E=∠FAC，∠ACB=22.5°．∴∠FAC=12故选A．由四边形ABCD是正方形，∠ACB=45°，然后由CE=CA，可得∠E=∠FAC，继而由三角形外角的性质，求得答案．∠ACB是解此题的关键．此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．注意证得∠E=∠FAC=124.答案：B解析：本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是掌握此定理并会运用.根据平行线分线段成比例定理解答即可．解：∵BD//CE，∴△ABD∽△ACE，∴ABAC =BDCE，∵AC=4BC，BD=3，∴3CE =34，∴CE=4．故选B．5.答案：B解析：解：∵反比例函数y=−13x 中k=−13，∴函数y=−13x的图象在第二、四象限．故选：B．根据反比例函数图象与系数的关系进行判断．考查了反比例函数的性质．当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x 的增大而增大．6.答案：B解析：直接利用锐角三角函数关系得出cos50°=BCAC，进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．解：∵∠ABC=90°，∠ACB=50°，BC=6米，∴cos50°=BCAC =6AC，∴AC=6cos50∘米．故选：B．7.答案：A解析：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC−BD=AB−3；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE；∴ABCD =BDCE，即ABAB−3=32；解得AB=9．故选：A．由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．8.答案：D解析：解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=√42+32=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5−3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4−x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=(4−x)2，解得x=3，2∴BE=3；2②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．或3．综上所述，BE的长为32故选：D．当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4−x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．9.答案：D解析：解：二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的正半轴交于点A，其顶点B在x轴的负半轴上，∴图象开口向上，当x=−1时，y≥0，即a−b+c≥0，故①正确；∵OA=OB，∴b2a=c，∴2ac−b=0，故②正确；∵抛物线y=ax2+bx+c≥0，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=−3无交点，∴方程ax2+bx+c+3=0无实数根，故③正确；可知a<0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c<0，又对称轴方程为x=2，所以−b2a>0，所以b>0，∴abc>0，故①正确；由图象可知当x=3时，y>0，∴9a+3b+c>0，故②错误；由图象可知OA<1，∵OA=OC，∴OC<1，即−c<1，∴c>−1，故③正确；假设方程的一个根为x=−1a ，把x=−1a代入方程可得1a−ba+c=0，整理可得ac−b+1=0，两边同时乘c可得ac2−bc+c=0，即方程有一个根为x=−c，由②可知−c=OA，而当x=OA是方程的根，∴x=−c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有4个，故选：D．由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y>0，可判断②；由OA=OC，且OA<1，可判断③；把−1a代入方程整理可得ac2−bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．10.答案：B解析：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形、菱形、平行四边形及正方形的判定定理，属于基础定理，难度不大．利用矩形、菱形、平行四边形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．解：A.对角线相等的平行四边形才是矩形，故A选项错误；B.对角线互相垂直的平分的四边形是菱形，是真命题，故B选项正确；C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，是假命题，故C选项错误；D.一组邻边相等，并且有一个内角为直角的四边形也可能是直角梯形，故D选项错误．故选B．11.答案：C解析：解：设每件降低x元，由题意可得，(10−x)(50+6x)=504，故选C．根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．12.答案：B解析：解：作CD⊥x轴于D，则OB//CD，在△AOB和△ADC中，{∠OAB=∠DAC∠AOB=∠ADC=90°AB=AC，∴OB=CD，OA=AD，∵一次函数y=2x−2的图象与x，y轴分别交于点A，B，∴A(1,0)、B(0,−2)，∴OA=1，OB=2，则AD=1，CD=2，∴OD=2，∴点C的坐标为(2,2)，则k=2×2=4，故选：B．作CD⊥x轴于D，易得△AOB≌△ADC，根据全等三角形的性质得出OB=CD=2，OA=AD=1，那么点C的坐标为(2,2)，再根据图象上的点满足函数解析式即可得k的值．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．求得C点的坐标是解题的关键．13.答案：−7解析：解：把x=−1代入方程kx2+x+8=0，可得k−1+8=0，解得k=−7．故答案为−7．将x=−1代入方程kx2+x+8=0，即可求得k的值．本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．14.答案：△ADC，△CDB解析：解：△ADC∽△CBD，理由是：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，∴∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∴△ADC∽△CDB，∴CDBD =ADCD，∴CD2=BD⋅AD，故答案为△ADC，△CDB．根据三角形内角和定理和已知求出∠B=∠ACD，根据相似三角形的判定得出△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出结论．本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．15.答案：3解析：解：∵∠ACB=∠DCE，∠B=∠E=90°，∴△ABC∽△DEC，∴ABDE =BCCE，即：AB1.5=63，解得：AB=3，故答案为：3．利用入射角等于反射角得到相似三角形，然后利用相似三角形对应边的比相等得到答案即可．本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形并利用相似三角形的知识求得结论．16.答案：√10解析：本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．连接ME，作MP⊥CD交CD于点P，根据折叠的性质，在Rt△ECN中，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．在Rt△MFE中，有MF2+ FE2=ME2，在Rt△MBE中，有BE2+BM2=ME2，根据勾股定理即可得到结论．解：如图，连接ME ，作MP ⊥CD 交CD 于点P ，由四边形ABCD 是正方形及折叠性知，AM =MF ，EN =DN ，EF =AD ，∠MFE =∠BAD =90°， 在Rt △ECN 中，CE 2+CN 2=EN 2，∵AB =BC =CD =DA =2√2，E 为BC 的中点，∴CE =√2，∴(√2)2+CN 2=(2√2−CN)2解得CN =3√24，在Rt △MFE 中，MF 2+FE 2=ME 2，在Rt △MBE 中，BE 2+BM 2=ME 2，∴MF 2+FE 2=BE 2+BM 2，∴MF 2+(2√2)2=(√2)2+(2√2−MF)2解得，MF =√24， ∴AM =PD =√24， ∴NP =CD −CN −PD =2√2−3√24−√24=√2，在Rt △MPN 中， MN =√(2√2)2+(√2)2=√10(cm)．故答案为：√10．17.答案：解：原式=(√32)2+(√22)2−√3⋅√33=34+12−1 =14．解析：直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18.答案：解：(1)将A(−1,−1)和点B(3,−9)代入y =ax 2−4x +c ，得{−1=a +4+c −9=9a −12+c ，解得{a =1c =−6, 所以二次函数的表达式为y =x 2−4x −6；(2)由y =x 2−4x −6=(x −2)2−10可知：对称轴为直线x =2；顶点坐标为(2,−10)．解析：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握待定系数法是解题的关键．(1)将A(−1,−1)和点B(3,−9)代入函数表达式，解方程组即可；(2)把(1)中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴． 19.答案：解：(1)将标有数字1和3的扇形两等分可知转动转盘一次共有6种等可能结果，其中转出的数字是−2的有2种结果，所以转出的数字是−2的概率为26=13；(2)列表如下：由表可知共有36种等可能结果，其中数字之积为正数的有20种结果，所以这两次分别转出的数字之积为正数的概率为2036=59．解析：(1)将标有数字1和3的扇形两等分可知转动转盘一次共有6种等可能结果，其中转出的数字是−2的有2种结果，根据概率公式计算可得；(2)列表得出所有等可能结果，从中找到乘积为正数的结果数，再利用概率公式求解可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.答案：解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，垂足分别为D、H，由题意得：AB//CH，∠ACH=75°，∠BCH=30°，∴∠ABC=30°，∠ACB=45°，又∵AB=4×8=32m，AD⊥BC，，BD=AB⋅cos30°=16√3m，∴BC=CD+BD=(16√3+16)m，在Rt△BCH中，∠BCH=30°，∴BH=BC⋅sin30°=(8√3+8)m．故这架无人飞机的飞行高度为(8√3+8)m．解析：此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD、CD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．21.答案：解：(1)设AB=xm，则BC=(100−2x)m，根据题意得x(100−2x)=450，解得x1=5，x2=45，当x=5时，100−2x=90>20，不合题意舍去；当x=45时，100−2x=10，答：AD的长为10m；(2)设AD=xm．∴S=12x(100−x)=−12(x−50)2+1250，∵a≥50，∴x=50时，S的最大值为1250．答：若a≥50，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250平方米．解析：本题考查一元二次方程、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．(1)设AB=xm，则BC=(100−2x)m，构建方程即可解决问题；(2)构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；22.答案：(1)解：设AC=BC=2a，∵M是边AC的中点，∴CM=AM=a，∴BM=√BC2+CM2=√(2a)2+a2=√5a.∵∠ACB=90°，CH⊥BM于H，∴∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°，∴∠MCH=∠MBC，∴sin∠MCH=sin∠MBC=CMBM =a√5a=√55；(2)解：△MCH∽△MBC．理由：∵CH⊥BM于H，∴∠MHC=90°．∵∠ACB=90°，∴∠MCB=∠MHC=90°．∵∠BMC是公共角，∴△MCH∽△MBC；(3)证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAM=45°．∵由(2)知，△MCH∽△MBC，∴MCBM =MHCM．∵M是边AC的中点，∴CM=AM，∴AMBM =MHAM．∵∠AMH为公共角，∴△AMH∽△BMA，∴∠AHM=∠BAM=45°．解析：本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，在解答此题时要注意等腰直角三角形两个锐角是45°，此题难度适中．(1)设AC=BC=2a，由M是边AC的中点得出CM=AM=a，根据勾股定理求出BM的长，再由∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°可得出∠MCH=∠MBC，进而可得出结论；(2)根据CH⊥BM于H，∠ACB=90°可得出∠MCB=∠MHC=90°，由∠BMC是公共角即可得出结论；(3)由(2)可知，△MCH∽△MBC，故MCBM =MHCM，再由CM=AM可知AMBM=MHAM，根据∠AMH为公共角可得出△AMH∽△BMA，故可得出结论．23.答案：解：(1)抛物线y=x2+ℎx+c，即：a=1，抛物线过A(−1,0)，B(3,0)两点，则抛物线的表达式为：y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3；(2)点C(0,−3)，函数的对称轴为：x=1，故点E(1,0)，点D(1,−4)，将点BD代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：直线BD的表达式为：y=2x−6，设点P(m,2m−6)，PE=PC时，则：m2+(2m−6+3)2=(m−1)2+(2m−6)2，解得：m=2，故点P(2,−2)；(3)设点M的坐标为(a,0)，则点G的坐标为(a,−a2+2a+3)，∵以F、M、N、G为顶点的四边形是矩形，∴MG=2FM时，|a2−2a−3|=2|a−2|，解得：a=±√7或2±√3，故点M的坐标为：(2+√3,0)或(2−√3,0)或(√7,0)或(−√7,0)．解析：(1)抛物线的表达式为：y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3；(2)直线BD的表达式为：y=2x−6，设点P(m,2m−6)，PE=PC时，则：m2+(2m−6+3)2= (m−1)2+(2m−6)2，即可求解；(3)设点M的坐标为(a,0)，则点G的坐标为(a,−a2+2a+3)，MG=2FM时，|a2−2a−3|=2|a+ 2|，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形的性质、一次函数等，其中(3)，要注意用绝对值求解，避免遗漏．。
广东省深圳市龙华区2018-2019学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
广东省深圳市龙华区2018-2019学年九年级上学期期末数学试题一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1.若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+6=0（a≠0）的其中一个解是x=1，则2018﹣a ﹣b 的值是（ ）A. 2022B. 2018C. 2017D. 2024 【答案】D【解析】【分析】根据题意将x=1代入原方程并整理得出6a b +=-，最后进一步整体代入求值即可【详解】∵x=1是原方程的一个解，∴把x=1代入方程，得：60a b ++=，即6a b +=-．∴()20182018201862024a b a b --=-+=+=，故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握相关概念是解题关键.2.下列图形中，主视图为①的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案． 详解：A 、主视图是等腰梯形，故此选项错误；B 、主视图是长方形，故此选项正确；C 、主视图是等腰梯形，故此选项错误；.D、主视图是三角形，故此选项错误；故选B．点睛：此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置．3.若点（﹣2，y1，，，，1，y2，，，3，y3）在双曲线y=kx，k，0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y1，y2，y3B. y3，y2，y1C. y2，y1，y3D. y3，y1，y2【答案】D【解析】分析：直接利用反比例函数的性质分析得出答案.详解：∵点（﹣2，y1，，，，1，y2，，，3，y3）在双曲线y=kx，k，0）上，∴，，2，y1，，，，1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，∴y3，y1，y2，故选D，点睛：此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键．4.如图，已知a∥b∥c，直线AC，DF与a、b、c相交，且AB=6，BC=4，DF=8，则DE=（）A. 12B. 163C.245D. 3【答案】C【解析】【详解】解：∵a∥b∥c，∴AB DE AC DF=，∵AB＝6，BC＝4，DF＝8，∴6648DE=+，∴DE＝245．故选C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是关键：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两≈≈）（）位） 1.732 1.414A. 4.64海里B. 5.49海里C. 6.12海里D. 6.21海里【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= ，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2x+2x=30，解之即可得出答案.【详解】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，∴∠ABC=135°，又∵BE=CE，∴∠ACB=∠EBC=15°，∴∠ABE=120°，又∵∠CAB=30°∴BA=BE，AD=DE，设BD=x，在Rt △ABD 中，∴AD=DE=，AB=BE=CE=2x ，∴AC=AD+DE+EC=2， ∴= )1512≈5.49， 故答案选：B.【点睛】考查了三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质.6.如图，在菱形ABCD 中，2AB =，120ABC ∠=︒，则对角线BD 等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】 由菱形的性质可证得ABD ∆为等边三角形，则可求得答案．【详解】Q 四边形ABCD 为菱形，//AD BC ∴，AD AB =，180A ABC ∴∠+∠=︒，18012060A ∴∠=︒-︒=︒，ABD ∴∆为等边三角形，2BD AB ∴==，故选A ．【点睛】主要考查菱形的性质，利用菱形的性质证得ABD ∆为等边三角形是解题的关键．7.已知一元二次方程1–（x –3）（x +2）=0，有两个实数根x 1和x 2（x 1<x 2），则下列判断正确的是( ) A. –2<x 1<x 2<3B. x 1<–2<3<x 2C. –2<x 1<3<x 2D. x 1<–2<x 2<3【答案】B【分析】设y=-，x，3，，x+2，，y1=1，，x，3，，x+2）根据二次函数的图像性质可知y1=1，，x，3，，x+2）的图像可看做y=-，x，3，，x+2）的图像向上平移1，，，，，，根据图像的开口方向即可得出答案.【详解】设y=-，x，3，，x+2，，y1=1，，x，3，，x+2，∵y=0时，x=-2或x=3，∴y=-，x，3，，x+2）的图像与x轴的交点为（-2，0，，3，0，，∵1，，x，3，，x+2，=0，∴y1=1，，x，3，，x+2）的图像可看做y=-，x，3，，x+2）的图像向上平移1，与x轴的交点的横坐标为x1，x2，∵-1<0，∴两个抛物线的开口向下，∴x1，，2，3，x2，故选B.【点睛】本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.8.某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级（1）班有多少名同学吗？设九年级（1）班有x名同学，根据题意列出的方程是（）A.(1)2x x-=465 B.(1)2x x+=465 C. x（x﹣1）=465 D. x（x+1）=465【答案】A【解析】【分析】因为每位同学都要与除自己之外的（x，1）名同学握手一次，所以共握手x，x，1，次，由于每次握手都是两人，应该算一次，所以共握手x，x，1，÷2次，解此方程即可.【详解】解：设九年级（1）班有x名同学，根据题意列出的方程是(1)2x x-=465，故选A，【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人握手应该只算一次并据此列出方程是9.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B ，D ，4m AO =， 1.6m AB =，1m CO =，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为( )A. 0.2mB. 0.3mC. 0.4mD. 0.5m【答案】C【解析】 分析：根据题意得△AOB ∽△COD ，根据相似三角形的性质可求出CD 的长.详解：∵AB BD ⊥，CD BD ⊥，∴∠ABO=∠CDO,∵∠AOB=∠COD,∴△AOB ∽△COD ， ∴AO AB CO CD= ∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m ， ∴· 1.610.44AB CO CD m AO ⨯===. 故选C.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AOB∽△COD 是解题关键．10.下列命题是真命题的是（ ）A. 如果a +b ，0，那么a ，b ，0 4 C. 有公共顶点的两个角是对顶角D. 等腰三角形两底角相等 【答案】D【解析】【详解】解：A 、如果a +b =0，那么a =b =0，或a =﹣b ，错误，为假命题；B的平方根是±2，错误，为假命题；C、有公共顶点且相等的两个角是对顶角，错误，为假命题；D、等腰三角形两底角相等，正确，为真命题；故选D．11.下列函数中，图象不经过点（2，1）的是（）A. y=﹣x2+5B. y=2xC. y=12x D. y=﹣2x+3【答案】D【解析】【分析】根据题意分别计算出当2x 时的各选项中的函数值，然后进一步加以判断即可.【详解】A：当x=2时，y=−4+5=1，则点（2，1）在抛物线y=−x2+5上，所以A选项错误；B：当x=2时，y=22=1，则点（2，1）在双曲线y=2x上，所以B选项错误；C：当x=2时，y=12×2=1，则点（2，1）在直线y=12x上，所以C选项错误；D：当x=2时，y=−4+3=−1，则点（2，1）不在直线y=−2x+3上，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了函数图像上点的坐标的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.12.如图，正方形ABCD中，点EF分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连AC交EF于G，下列结论：①△BAE=△DAF=15°；；③BE+DF=EF；④S△CEF=2S△ABE，其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，用含x的式子表示的BE， EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论.【详解】①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∵△AEF等边三角形，∴AE=AF，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=30°，在Rt△ABE和Rt△ADF中AF AF AB AD=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，HL，，∴BE=DF，∵BC=CD，∴BC，BE=CD，DF，即CE=CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC平分∠EAF，∴∠EAC=∠FAC=12×60°=30°，∵∠BAC=∠DAC=45°，∴∠BAE=∠DAF=15°，故①正确；②设EC=x，则FC=x，由勾股定理，得x，CG=12EF=x，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=2×2CG，∴，故②正确；③由②知：设2x，∴=(12x+，的∴BE=AB，CE=(12x +，x=)12x ， ∴BE+DF=2×)12xx ，故③错误；④S △CEF =22111·222CE CF CE x ==， S △ABE =12BE•AB=))21111··2224x x x =， ∴S △CEF =2S △ABE ，故④正确，所以本题正确的个数有3个，分别是①②④，故选C，【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13.已知a 、b 、c 满足346a b c ==，a 、b 、c 都不为0，则a b c b +-=_____． 【答案】72【解析】 设,346a b c k ===则3,4,6,a k b k c k ===所以347642a b k k c b k k ++==--,故答案为:7 2. 14.若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为______．【答案】-1【解析】【分析】根据关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m 的取值即可．【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．故答案为-1.【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．15.如图，D在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF长的最小值为_____．【答案】4【解析】【分析】连接DF、BD，根据DF＞BD−BF可知当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD−BF的长，然后根据矩形的折叠性质进一步求解即可.【详解】如图，连接DF、BD，由图可知，DF＞BD−BF，当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD−BF长，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=4、BC=6，∴==由折叠性质知AB=BF=4，∴线段DF长度的最小值为BD−BF=4，故答案为：4.【点睛】本题主要考查了矩形的折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.16.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数2yx=，x，0）与正比例函数y=kx，xyk=，k，1）的图象分别交于点A，B，若∠AOB，45°，则△AOB的面积是________.【答案】2【解析】，分析】作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB（如图），设A，x1，y1，，B，x2， y2），根据反比例函数k的几何意义得x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与y=kx，y=xk联立，解得x12x1x2=2，所以y1=x2， y2=x1， 根据SAS得△ACO≌△BDO，由全等三角形性质得AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定义和已知条件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根据AAS得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根据三角形面积公式得S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=12x1y1+12x2y2=12×2+12×2=2.【详解】如图：作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB，设A，x1，y1，，B，x2， y2，，∵A，B在反比例函数上，∴x1y1=x2y2=2，∵2yxy kx ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：x1又∵2 yxx yk ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：x 2∴x 1x 2 ∴y 1=x 2， y 2=x 1， 即OC=OD，AC=BD， ∵BD ⊥x 轴，AC ⊥y 轴， ∴∠ACO=∠BDO=90°， ∴△ACO ≌△BDO，SAS，， ∴AO=BO，∠AOC=∠BOD， 又∵∠AOB，45°，OH ⊥AB，∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°， ∴△ACO ≌△BDO ≌△AHO ≌△BHO， ∴S △ABO =S △AHO +S △BHO =S △ACO +S △BDO =12x 1y 1+ 12x 2y 2= 12×2+ 12×2=2， 故答案为2.【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键.三．解答题（共7小题，满分42分）17.计算：1）2+3tan30°2））+2sin60°． 【答案】3 【解析】 【分析】把三角函数的特殊值代入运算即可．【详解】解：原式()31354232=-+⨯--+⨯41=-3=18.解方程：x 2，4x ，5，0， 【答案】x ，，1或x ，5， 【解析】【分析】配方法的一般步骤：，1）把常数项移到等号的右边；，2）把二次项的系数化为1，，3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】x2-4x-5=0，移项，得x2-4x=5，两边都加上4，得x2-4x+4=5+4，所以（x-2，2=9，则x-2=3或x-2=-3∴x，，1或x，5，【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．19.盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：，1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是；（精确到0.01，，2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由【答案】，1，0.25，，2，1 2 .【解析】【分析】()1大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率;()2画树状图列出所有等可能结果，再找到符合条件的结果数，根据概率公式求解.【详解】，1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25，故答案为0.25，，2）由（1）可知，黑棋的个数为4×0.25=1，则白棋子的个数为3，画树状图如下：由表可知，所有等可能结果共有12种情况，其中这两枚棋颜色不同的有6种结果，所以这两枚棋颜色不同的概率为12．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．20.如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300，设PQ垂直于AB，且垂足为C.，1）求∠BPQ的度数；，2，求树PQ的高度（结果精确到0.1m， 1.73，【答案】，1，∠BPQ=30°，，2）树PQ的高度约为15.8m.【解析】【分析】(1）根据题意题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=100m，在Rt△PBC中，根据三角形内角和定理即可得∠BPQ度数；，2）设CQ=x，在Rt△QBC中，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x，由勾股定理得；根据角的计算得∠PBQ=∠BPQ=30°，由等角对等边得PQ=BQ=2x，用含x的代数式表示，又∠A=45°，得出AC=PC，建立方程解之求出x，再将x值代入PQ代数式求之即可.【详解】，1）依题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m，在Rt △PBC 中，∵∠PBC=60°，∠PCB=90°， ∴∠BPQ=30°， ，2）设CQ=x， 在Rt △QBC 中，∵∠QBC=30°，∠QCB=90°， ∴又∵∠PBC=60°，∠QBC=30°， ∴∠PBQ=30°， 由（1）知∠BPQ=30°， ∴PQ=BQ=2x，∴x， 又∵∠A=45°， ∴AC=PC， 即x， 解得：x=(533⨯+，∴PQ=2x=(1033⨯≈15.8，m，，答：树PQ 的高度约为15.8m.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等，准确识图是解题的关键.21.如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BC 相交于点N ，连接,BM DN ．（1）求证：四边形BMDN 是菱形； （2）若4,8AB AD ==，求MD 的长． 【答案】（1）详见解析；（2）MD 长为5． 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质求出AD ∥BC ，推出∠MDO=∠NBO ，∠DMO=∠BNO ，证△DMO ≌△BNO ，推出OM=ON ，得出平行四边形BMDN ，推出菱形BMDN ；（2）根据菱形性质求出MD=MB ，在Rt △AMB 中，根据勾股定理得出BM 2=AM 2+AB 2，推出x 2=（8-x ）2+42，求出即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴0//,90AD BC A ∠=，∴,MDO NBO DMO BNO ∠=∠∠=∠， ∵在DMO ∆和BNO ∆中，DMO BNOMDO NBO OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()DMO BNO AAS ∆≅∆，∴OM ON =， ∵OB OD =，∴四边形BMDN 是平行四边形，∵MN BD ⊥，∴平行四边形BMDN 是菱形． （2）解：∵四边形BMDN 是菱形，∴MB MD =， 设MD 长为x ，则MB DM x ==， 在Rt AMB ∆中，222BM AM AB =+即()22284x x =-+，解得：5x =，所以MD 长为5． 故答案为（1）详见解析；（2）MD 长为5．【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．22.某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．（1）求这种产品第一年的利润W 1（万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式； （2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W 2至少为多少万元．【答案】（1）W 1=﹣x 2+32x ﹣236；（2）该产品第一年的售价是16元；（3）该公司第二年的利润W 2至少为18万元． 【解析】 分析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可； （2）构建方程即可解决问题；（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题. 【详解】（1）W 1=（x ﹣6）（﹣x+26）﹣80=﹣x 2+32x ﹣236． （2）由题意：20=﹣x 2+32x ﹣236． 解得：x=16，答：该产品第一年的售价是16元． （3）由题意：7≤x≤16，W 2=（x ﹣5）（﹣x+26）﹣20=﹣x 2+31x ﹣150， ∵7≤x≤16，∴x=7时，W 2有最小值，最小值=18（万元）， 答：该公司第二年的利润W 2至少为18万元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题.23.如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】，1）二次函数的解析式为y=，x 2+2x+3，，2，S=，m 2+92m+32，1≤m，3，，，3）线段BM 上存在点N，75，165，，，2，2，，，1+5，4，5）使△NMC 为等腰三角形.【解析】 【分析】（1）可根据OB 、OC 的长得出B 、C 两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）可将四边形ACPQ 分成直角三角形AOC 和直角梯形CQPC 两部分来求解．先根据抛物线的解析式求出A 点的坐标，即可得出三角形AOC 直角边OA 的长，据此可根据上面得出的四边形的面积计算方法求出S与m的函数关系式．（3）先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，据此可设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出CM、MN、CN的长，然后分三种情况进行讨论：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN．根据上述三种情况即可得出符合条件的N点的坐标．【详解】解：（1）∵OB=OC=3，∴B（3，0），C（0，3）∴0933b cc=-++⎧⎨=⎩,解得23 bc=⎧⎨=⎩,∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）设直线MB的解析式为y=kx+n，则有403k nk n=+⎧⎨=+⎩,解得26 kn=-⎧⎨=⎩,∴直线MB解析式为y=﹣2x+6, ∵PQ⊥x轴，OQ=m，∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）S四边形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=12AO•CO+12（PQ+CO）•OQ（1≤m＜3）=12×1×3+12（﹣2m+6+3）•m=﹣m2+92m+32；（3）线段BM上存在点N（75，165），（2，2），（4）使△NMC为等腰三角形,CMCN MN①当CM=NC =，的解得x1=75，x2=1（舍去）此时N（75，165），②当CM=MN=，解得x1x2，此时N（4）.③当CN=MN时，=解得x=2，此时N（2，2）．点睛：本题主要考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．。
广东省深圳市龙华区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷及参考答案
广东省深圳市龙华区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷一、选择题(本题共有10小题，每小题3分，共30分。
)1. 若2x=5y ，则的值是（ ） 2. 下图是一个机器的零件，则下列说法正确的是（ ）3. 关于反比例函数y= ，下列说法中正确的是（ ）4. 如图，已知直线l ∥l ∥l ， 直线AC 分别与直线l 、l 、l 交于A 、B 、C 三点，直线DF 分别与直线l 、l 、l 交于D 、E 、F三点，AC 与DF 交于点O ，若BC=2AO=2OB ，OD=1，则OF 的长是( )5. 如图，已知△ABC 的三个顶点均在以正方形组成的表格的格点上，则sinA 的值是( )6. 一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是( )7. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x -13x+36 =0的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是( )8. 下列命题中是真命题的是( )9.如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成-一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m 的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开。
已知整个隔离区塑料膜总长为12m ，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长。
小明认为：隔离区的最大面积为12m ；小亮认为：隔离区的面积可能为9m 。
则：（ ）10. 如图，已知E 是正方形ABCD 中AB 边延长线上一点，且AB=BE ，连接CE 、DE ，DE 与BC 交于点N，F 是CE 的中点，连接AF 交BC 于点M ，连接BF 。
有如下结论：①DN=EN ；②△ABF ∽△ECD ；③tan ∠CED= ④S = 2S 其中正确的是（ ）二、填空题(每小题3分，共15分．)11. 已知关于x 的一元二次方程x +3x-c=0没有实数根，即实数c 的取值范围是________。
12. 如图，小明为了测量树的高度CD ，他在与树根同一水平面上的B 处放置一块平面镜，然后他站在A 处刚好能从镜中看到树顶D ，已知小B 、C三点在同一直线上，且AB=2m ，BC=8m ，他的眼睛离地面的高度1．6m ，则树的高度CD 为________m 。
广东省深圳市龙华新区2022年数学九上期末综合测试试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．方程（m ﹣1）x 2﹣2mx+m ﹣1＝0中，当m 取什么范围内的值时，方程有两个不相等的实数根？（ ） A ．m ＞12B ．m ＞12且m≠1 C ．m ＜12D ．m≠12．从一组数据1，2，2，3中任意取走一个数，剩下三个数不变的是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差3．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球，摸出白球的概率是( ) A ．12B ．13C ．14D ．164．抛物线的()213y x =-+顶点坐标是（ ） A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)--D ．(1,3)-5．下列图形的主视图与左视图不相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列二次函数，图像与x 轴只有一个交点的是 （ ） A ．221y x x =+-B ．2277y x x =-+-C ．24129y x x =-+D ．2416y x x =-+7．把两条宽度都为1的纸条交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）．A ．1sin αB ．1cos αC ．sin αD ．18．如图，要证明平行四边形ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）A ．AB =AD 且AC ⊥BD B ．AB =AD 且AC =BD C ．∠A =∠B 且AC =BD D ．AC 和BD 互相垂直平分9．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．明天我市下雨 B ．抛一枚硬币，正面朝下 C ．购买一张福利彩票中奖了D ．掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零 10．已知x 2-2x=8，则3x 2-6x-18的值为（ ）A ．54B ．6C ．-10D ．-1811．如果关于x 的分式方程1311a x x x --=++有负分数解，且关于x 的不等式组2()4,3412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x<-2，那么符合条件的所有整数a 的积是 （ ） A ．-3B ．0C ．3D ．912．关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个实数根，则k 的取值范围在数轴上可以表示为（ ） A ． B ． C ．D ．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，铅球运动员掷铅球的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y=﹣112x 2+23x+53，则该运动14．如图，四边形ABCD 是菱形，50DAB ︒∠=，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH AB ⊥于H ，连接OH ，则DHO ∠=_________度.15．在函数y 2x 1=-中，自变量x 的取值范围是 ．16．在一个不透明的袋子中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外无其他差别．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有_____个． 17．把多项式3216m mn -分解因式的结果是 ．18．已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S 甲2、S 乙2，则S 甲2__S 乙2（填“＞”、“=”、“＜”）三、解答题（共78分）19．（8分）某校要求九年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一项）参加训练，为了了解九年级学生参加球类活动的整体情况，现以九年级2班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图： 九年级2班参加球类活动人数统计表项目篮球 足球乒乓球排球 羽毛球人数a6486根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）a ＝ ，b ＝ ；（2）该校九年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约 人；（3）该班参加乒乓球活动的4位同学中，有2位男同学（A ，B ）和2位女同学（C ，D ），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．20．（8分）已知二次函数y =﹣x 2+2x +m ．（1）如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A （-1，0），与y 轴交于点C ，求直线BC 与这个二次函数的解析式；（3）在直线BC 上方的抛物线上有一动点D ，DE ⊥x 轴于E 点，交BC 于F ，当DF 最大时，求点D 的坐标，并写出DF 最大值．21．（8分）解方程：x 2－4x －7＝0.22．（10分）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的平均月增长率． 23．（10分）计算：2212cos 60sin 45--︒-︒+)2019tan 30︒24．（10分）李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（放回），下表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251摸到黑球的频率mn0.23 0.21 0.30 _____ _____ _____（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是______．（结果都保留小数点后两位）（2）估算袋中白球的个数为________．（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率．25．（12分）如图，AB是O的直径，AC为弦，BAC∠的平分线交O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E．求证：()1DE AE⊥；()2AE CE AB+=．26．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．（1）请根据题意补全图1；（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】由题意可知原方程的根的判别式△>0，由此可得关于m的不等式，求出不等式的解集后再结合方程的二次项系数不为0即可求出答案．【详解】解：由题意可知：△＝4m2﹣4（m﹣1）2＞0，解得：∴m＞12，∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴m的范围是：m＞12且m≠1．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元一次不等式的解法等知识，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键．2、C【分析】根据中位数的定义求解可得．【详解】原来这组数据的中位数为222＝2，无论去掉哪个数据，剩余三个数的中位数仍然是2，故选：C．【点睛】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，掌握正确的计算方法才能解答.3、A【分析】根据概率公式计算即可.【详解】∵盒子内装有红球1个、绿球1个、白球2个共4个球，∴出一个球，摸出白球的概率是21 42 ，故选：A.【点睛】此题考查概率的公式，熟记概率的计算方法是解题的关键.4、A【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线()213y x =-+， ∴抛物线()213y x =-+的顶点坐标是：（1，3）， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标．能根据二次函数的顶点式找出抛物线的对称轴及顶点坐标是解题的关键． 5、D【解析】确定各个选项的主视图和左视图，即可解决问题. 【详解】A 选项，主视图：圆；左视图：圆；不符合题意； B 选项，主视图：矩形；左视图：矩形；不符合题意； C 选项，主视图：三角形；左视图：三角形；不符合题意； D 选项，主视图：矩形；左视图：三角形；符合题意； 故选D 【点睛】本题考查几何体的三视图，难度低，熟练掌握各个几何体的三视图是解题关键. 6、C【分析】根据抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴只有一个交点，可知b 2-4ac=0，据此判断即可． 【详解】解：∵二次函数图象与x 轴只有一个交点，∴b 2-4ac=0， A 、b 2-4ac=22-4×1×（-1）=8，故本选项错误； B 、b 2-4ac=72-4×（-2）×（-7）=-7，故本选项错误； C 、b 2-4ac=（-12）2-4×4×9=0，故本选项正确； D 、b 2-4ac=（-4）2-4×1×16=-48，故本选项错误， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点，根据二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与x 轴只有一个交点时，得到b 2-4ac=0是解题的关键． 7、A【分析】如图，过A 作AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，垂足为E ，F ，证明△ABE ≌△ADF ，从而证明四边形ABCD 是菱形，再利用三角函数算出BC 的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．【详解】解：如图所示：过A 作AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，垂足为E ，F ，∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵AD ∥CB ，AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵纸条宽度都为1， ∴AE=AF=1， 在△ABE 和△ADF 中90ABE ADF AEB AFD AE AF α∠∠∠∠︒⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝＝＝， ∴△ABE ≌△ADF （AAS ）， ∴AB=AD ，∴四边形ABCD 是菱形． ∴BC=AB ，∵AEAB=sinα， ∴BC=AB=1sin α，∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=1×1sin α=1sin α． 故选：A ． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD 是菱形，利用三角函数求出BC 的长． 8、B【解析】解：A ．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD 是正方形；B ．根据邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD 是正方形；C ．根据一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD 是矩形，D．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD 是正方形．故选B．9、D【分析】根据定义进行判断．【详解】解：必然事件就是一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，由必然事件和随机事件的定义可知，选项A，B，C为随机事件，选项D是必然事件，故选D．【点睛】本题考查必然事件和随机事件的定义．10、B【解析】所求式子前两项提取3变形后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】∵x2−2x＝8，∴3x2−1x−18＝3（x2−2x）−18＝24−18＝1．故选：B．【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．11、D【解析】解：2()4 3412a x xxx①②-≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩，由①得：x≤2a+4，由②得：x＜﹣2，由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，分式方程去分母得：a﹣3x﹣3=1﹣x，把a=﹣3代入整式方程得：﹣3x﹣6=1﹣x，即72x=-，符合题意；把a=﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5=1﹣x，即x=﹣3，不合题意；把a=﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4=1﹣x，即52x=-，符合题意；把a=0代入整式方程得：﹣3x﹣3=1﹣x，即x=﹣2，不合题意；把a=1代入整式方程得：﹣3x﹣2=1﹣x，即32x=-，符合题意；把a=2代入整式方程得：﹣3x﹣1=1﹣x，即x=1，不合题意；把a=3代入整式方程得：﹣3x=1﹣x，即12x=-，符合题意；把a=4代入整式方程得：﹣3x+1=1﹣x，即x=0，不合题意，∴符合条件的整数a取值为﹣3；﹣1；1；3，之积为1．故12、B【分析】利用根的判别式和题意得到()2=2410k ∆--⨯⨯≥，求出不等式的解集，最后在数轴上表示出来，即可得出选项．【详解】解：∵关于x 的方程220x x k -+=有两个实数根， ∴()2=2410k ∆--⨯⨯≥， 解得：1k ≤， 在数轴上表示为：，故选：B ． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根的判别式的应用，注意：一元二次方程20ax bx c ++=(0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式为24b ac ∆=-．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．特别注意：当0∆≥时，方程有两个实数根，本题主要应用此知识点来解决．二、填空题（每题4分，共24分） 13、1【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可． 【详解】解：在21251233y x x =-++中，当y=0时， 212501233x x -++= 整理得：x 2-8x-20=0， （x-1）（x+2）=0， 解得x 1=1，x 2=-2（舍去），即该运动员此次掷铅球的成绩是1m ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 14、25【解析】首先求出∠HDB 的度数，再利用直角三角形斜边中线定理可得OH=OD ，由此可得∠OHD=∠ODH 即可解决【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,DO=OB,∠DAO=∠BAO=25°，∴∠ABO=90°−∠BAO=65°，∵DH⊥AB，∴∠DHB=90°，∴∠BDH=90°−ABO=25°，在Rt△DHB中，∵OD=OB，∴OH=OD=OB，∴∠DHO=∠HDB=25°，故答案为：25.【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.15、1 x2≥【解析】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负2x1-12x10x2-≥⇒≥．16、1【分析】设袋子中的红球有x个，利用红球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．【详解】解：设袋子中的红球有x个，根据题意，得：6xx+＝0.7，解得：x＝1，经检验：x＝1是分式方程的解，∴袋子中红球约有1个，故答案为：1．【点睛】此题主要考查概率公式的应用，解题的关键是根据题意列式求解.17、m （4m+n ）（4m ﹣n ）．【解析】试题分析：原式=22(16)m m n -=m （4m+n ）（4m ﹣n ）．故答案为m （4m+n ）（4m ﹣n ）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．18、＞【解析】要比较甲、乙方差的大小，就需要求出甲、乙的方差；首先根据折线统计图结合根据平均数的计算公式求出这两组数据的平均数；接下来根据方差的公式求出甲、乙两个样本的方差，然后比较即可解答题目. 【详解】甲组的平均数为：3626463+++++=4， S 甲2=16×[(3-4)2+(6-4)2+(2-4)2+(6-4)2+(4-4)2+(3-4)2]=73， 乙组的平均数为：4353465+++++ =4， S 乙2=16×[(4-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=23， ∵73＞23， ∴S 甲2＞S 乙2.故答案为：>.【点睛】本题考查的知识点是方差,算术平均数,折线统计图，解题的关键是熟练的掌握方差,算术平均数,折线统计图.三、解答题（共78分）19、（1）16，20；（2）90；（3）23【分析】（1）用参加足球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算参加篮球的人数和参加排球人数的百分比得到a 、b 的值；（2）用600乘以样本中参加足球人数的百分比即可；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出选出一男一女组成混合双打组合的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】解：（1）调查的总人数为6÷15%＝40（人），所以a ＝40×40%＝16，b %＝840×100%＝20%，则b ＝20； （2）600×15%＝90，所以估计该年级参加足球活动的人数约90人；故答案为16；20；90；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中选出一男一女组成混合双打组合的结果数为8， 所以恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率＝1218 ＝23 ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．20、（1）m >-1；（2）y =-x +3，y =-x 2+2x +3；（3）D （315,24），DF=94 【分析】（1）利用判别式解答即可；（2）将点A 的坐标代入抛物线y =-x 2+2x +m 即可求出解析式，由抛物线的解析式求出点B （3,0），设直线BC 的解析式为y =kx +b ，将B(3，0)，C(0，3)代入y =kx +b 中即可求出直线BC 的解析式；（3）由点D 在抛物线上，设坐标为（x ，-x 2+2x +3），F 在直线AB 上，坐标为（x ，-x +3） ，得到DF=-x 2+2x +3-(-x +3)=-x 2+3x=239()24x --+，利用顶点式解析式的性质解答即可. 【详解】（1）当抛物线与x 轴有两个交点时，∆>0，即4+4m >0，∴m >-1；（2）∵点A(-1，0)在抛物线y =-x 2+2x +m 上，∴-1-2+m =0，∴m =3，∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3，且C(0，3)，当x=0时，-x 2+2x +3=0，解得x=-1，或x=3，∴B （3,0），设直线BC 的解析式为y =kx +b ，将B(3，0)，C(0，3)代入y =kx +b 中，得:303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为y =-x +3;（3）点D 在抛物线上，设坐标为（x ，-x 2+2x +3），F 在直线AB 上，坐标为（x ，-x +3） ，∴DF=-x 2+2x +3-(-x +3)=-x 2+3x=239()24x --+， ∴当32x =时，DF 最大，为94，此时D 的坐标为（315,24）. 【点睛】此题考查了利用判别式已知抛物线与坐标轴的交点个数求未知数的取值范围，利用待定系数法求函数解析式，利用顶点式解析式的性质求出线段的最值.21、12211211x x ，=+=-【解析】x²－4x －7＝0, ∵a=1,b=-4,c=-7, ∴△=(-4)²-4×1×(-7)=44>0, ∴x=--4444211211212±±==±⨯（） , ∴12211,211x x =+=-. 22、20%【解析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设3月份到5月份营业额的平均增长率是x ，则四月份的营业额是400（1+10%）（1+x ），5月份的营业额是400（1+10%）（1+x ）2，据此即可列方程求解．要注意根据实际意义进行值的取舍．【详解】设月份至月份的营业额的平均月增长率为．依题意，得: 2400(110%)(1)633.6x ++=．整理得: 2(1) 1.44x +=．解得: 120.2, 2.2x x ==-（不合题意，舍去）．答：月份至月份的营业额的平均月增长率为20%．【点睛】可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．23、1【分析】先计算特殊的三角函数值和去绝对值，再从左至右计算即可.【详解】解：原式= 221212122⎛⎛⎫-⋅-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭112221=--=【点睛】本题考查的是实数与特殊角的三角函数值的混合运算，能够熟知特殊角的三角函数值是解题的关键.24、表格内数据：0.26，0.25，0.25 （1）0.25；（2）1；（1）916． 【分析】(1)直接利用频数÷总数=频率求出答案;(2)设袋子中白球有x 个,利用表格中数据估算出得到黑球的频率列出关于x 的分式方程,【详解】（1）251÷1000=0.251;∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近0.25,∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25;（2）设袋中白球为x 个, 11+x=0.25, x =1．答：估计袋中有1个白球．（1）由题意画树状图得:由树状图可知,所有可能出现的结果共有16种,这些结果出现的可能性相等,其中两次都摸出白球的有9种情况． 所以P (两次都摸出白球)=916． 【点睛】本题主要考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率, 解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法.25、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)连接OD ，根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出∠CAD=∠ODA ，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AE//OD ，结合切线的性质即可证出DE ⊥AE ；(2)过点D 作DM ⊥AB 于点M ，连接CD 、DB ，根据角平分线的性质可得出DE=DM ，结合AD=AD 、∠AED=∠AMD=90°即可证出△DAE ≌△DAM(SAS)，根据全等三角形的性质可得出AE=AM ，由∠EAD=∠MAD 可得出CD BD =，进而可得出CD=BD ，结合DE=DM 可证出Rt △DEC ≌Rt △DMB(HL)，根据全等三角形的性质可得出CE=BM ，结合AB=AM+BM 即可证出AE+CE=AB ．【详解】()1连接OD ，如图1所示，OA OD =，AD 平分BAC ∠，OAD ODA ∠∠∴=，CAD OAD ∠∠=，CAD ODA ∠∠∴=，AE //OD ∴， DE 是O 的切线，ODE 90∠∴=，OD DE ∴⊥，DE AE ∴⊥；()2过点D 作DM AB ⊥于点M ，连接CD 、DB ，如图2所示，AD 平分BAC ∠，DE AE ⊥，DM AB ⊥，DE DM ∴=，在DAE 和DAM 中，90DE DM AED AMD AD AD =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，DAE ∴≌()DAM SAS ，AE AM ∴=，EAD MAD ∠∠=，CD BD ∴=，CD BD ∴=，在Rt DEC 和Rt DMB 中，{DE DMCD BD ==， Rt DEC ∴≌()Rt DMB HL ，CE BM ∴=，AE CE AM BM AB ∴+=+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质以及圆周角定理，解题的关键是：(1)利用平行线的判定定理找出AE//OD ；(2)利用全等三角形的性质找出AE=AM 、CE=BM ．26、（1）答案见解析；（2）BD=CE,证明见解析；（3）PB 的长是255或655． 【解析】试题分析：（1）根据题意画出图形即可；（2）根据“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ，从而可得BD =CE ;（3）①根据“SAS ”可证△ABD ≌△ACE ,从而得到∠ABD =∠ACE ,再由两角对应相等的两个三角形相似可证△ACD ∽△PBE ,列比例方程可求出PB 的长；②与①类似，先求出PD 的长，再把PD 和BD 相加.解：（1）如图（2）BD 和CE 的数量是：BD=CE ；∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠CAE ． ∵AD=AE ，AB=AC ，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ．（3）①22215+ .∵△ABD ≌△ACE , ∴∠ABD =∠ACE ,∴△ACD ∽△PBE ,PB BE AC CE∴= , ∴2255PB == ; ②∵△ABD ∽△PDC ,PD CDAD BD ∴=,∴11555PD⨯==;∴PB=PD+BD=566555+= .∴PB的长是255或655．。
广东省深圳市龙华区2022-2022学年九年级数学上学期期末试卷
2022- 2022学年广东省深圳市龙华区九年级〔上〕期末数学试卷一、选择题〔此题共有12小题，每题3分，共36分，每题有四个选项，其中只有一个是正确的〕1．〔3分〕方程x2＝4x的根是〔〕A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4 2．〔3分〕如下图为某几何体的示意图，那么该几何体的主视图应为〔〕A．B．C．D．3．〔3分〕假设点〔1，﹣3〕、〔﹣2，m〕都是反比例函数y＝〔k≠0〕的图象上的点，那么m的值是〔〕A．B．C．6 D．﹣64．〔3分〕如图，四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的两点，且AD∥BC∥EF，AB＝4BE，那么DF与FC的关系是〔〕A．DF＝4FC B．DF＝3FC C．D．DF＝2FC5．〔3分〕如图，菱形ABCD中，∠A＝40°，那么∠ADB的度数是〔〕A．40°B．50°C．60°D．70°6．〔3分〕如图，DE∥BC，CD与BE相交于点O，假设，那么的值为〔〕A．B．C．D．7．〔3分〕将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为〔〕A．y＝〔x+2〕2﹣5 B．y＝〔x+2〕2+5 C．y＝〔x﹣2〕2﹣5 D．y＝〔x﹣2〕2+5 8．〔3分〕某商品房原价60000元/m2，经过连续两次降价后，现价48600元/m2，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，依题意可列方程为〔〕A．60000〔1﹣2x〕＝48600 B．60000〔1﹣x〕2＝48600C．48600〔1+2x〕＝60000 D．48600〔1+x〕2＝600009．〔3分〕?孙子算经?是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸〔提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸〕，那么竹竿的长为〔〕A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺10．〔3分〕以下命题中，是真命题的是〔〕A．对角线相等的平行四边形是正方形B．相似三角形的周长之比等于相似比的平方C．假设方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么k＞﹣1D．假设一个斜坡的坡度为，那么该斜坡的坡角为30°11．〔3分〕二次函数y＝ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＜0 12．〔3分〕如图，在边长4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△CDE沿直线DE折叠后，点C落在点F处，再将其翻开、展平，得折痕DE．连接CF、BF、EF，延长BF交AD 于点G．那么以下结论：①BG＝DE；②CF⊥BG；③sin∠DFG＝；④S△DFG＝，其中正确的有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题〔每题3分，共12分．请把答案填在答题卷相应的表格里〕13．〔3分〕假设x＝2是方程x2﹣x﹣c＝0的一个根，那么c＝．14．〔3分〕＝，那么＝．15．〔3分〕如图，以矩形ABCD的对角线AC为一边向左下方作正方形ACEF，延长AB交EF 于点G，假设AB＝3，BC＝4，那么EG的长为．16．〔3分〕如图，函数y＝x+2的图象与函数y＝〔k≠0〕的图象交于A、B两点，连接BO并延长交函数y＝〔k≠0〕的图象于点C，连接AC，假设△ABC的面积为8．那么k 的值为．三、解答题〔此题共7小题，共52分〕17．〔5分〕计算：〔〕﹣1﹣tan245°+2cos30°•sin60°18．〔5分〕x2﹣2x﹣15＝0．19．〔8分〕小亮正在参加学校举办的古诗词比赛节目，他须答对两道单项选择题才能顺利通过最后一关，其中第一题有A、B、C、D共4个选项，第二题有A、B、C共3个选项，而这两题小亮都不会，但小亮有一次使用“特权〞的时机〔使用“特权〞可去掉其中一题的一个错误选项〕．〔1〕如果小亮第一题不使用“特权〞，随机选择一个选项，那么小亮答对第一题的概率是；〔2〕如果小亮将“特权〞留在第二题，请用画树状图或列表法来求出小亮通过最后一关的概率．20．〔8分〕为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心〞AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD＝32°．登上大厦DE的顶部E处后，测得“平安中心〞AB的顶部A处的仰角为60°，〔如图〕．C、D、B三点在同一水平直线上，且CD＝400米，DB＝200米．〔1〕求大厦DE的高度；〔2〕求平安金融中心AB的高度；〔参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，≈1.41，≈1.73〕21．〔8分〕深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产本钱为200元，试销过程中发现，每月销售量y〔个〕与销售单价x〔元〕之间的关系可以近似的看作一次函数y＝﹣0.2x+260，设每月的利润为w〔元〕〔利润＝销售额﹣投入〕．〔1〕该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为多少元？〔2〕如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？22．〔8分〕如图11，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q．〔1〕tan∠ACB＝；〔2〕在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；〔3〕假设将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，那么PC的长为．23．〔10分〕如图1，在平面直角坐标系中，A〔﹣1，0〕、C、〔0，﹣2〕，以AC为一边向右上方作正方形ACDE，其中点D在第四象限，点E在第一象限，过点E作直线l∥y轴，抛物线y＝ax2+bx+c〔a≠0〕的对称轴为直线l，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．〔1〕点E的坐标为，该抛物线的函数表达式为；〔2〕设抛物线的顶点为M，连接MB．在抛物线上是否存在点N，使∠NBA＝∠MBA？假设存在，请求出所有满足条件的点N的坐标；假设不存在，请说明理由．〔3〕过点D作直线m∥x轴，交直线l于点F，如图2．动点P从抛物线的顶点M出发，沿抛物线的对称轴l向上运动，与此同时，动点Q从点F出发，沿直线m向右运动，连接PQ、PB、BQ．设P、Q两点运动的速度均为1个单位长度/秒，运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．2022- 2022学年广东省深圳市龙华区九年级〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔此题共有12小题，每题3分，共36分，每题有四个选项，其中只有一个是正确的〕1．〔3分〕方程x2＝4x的根是〔〕A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4 【分析】原式利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：x〔x﹣4〕＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，应选：C．【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键．2．〔3分〕如下图为某几何体的示意图，那么该几何体的主视图应为〔〕A．B．C．D．【分析】几何体的主视图就是从正面看所得到的图形，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看可得到图形．应选：A．【点评】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，关键是掌握主视图所看的位置．3．〔3分〕假设点〔1，﹣3〕、〔﹣2，m〕都是反比例函数y＝〔k≠0〕的图象上的点，那么m的值是〔〕A．B．C．6 D．﹣6【分析】用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式，再把点〔﹣2，m〕代入可求m的值．【解答】解：∵点〔1，﹣3〕是反比例函数y＝〔k≠0〕的图象上的点，∴k＝﹣3×1＝﹣3∴反比例函数解析式：y＝∵点〔﹣2，m〕都是反比例函数y＝的图象上的点，∴m＝应选：B．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．4．〔3分〕如图，四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的两点，且AD∥BC∥EF，AB＝4BE，那么DF与FC的关系是〔〕A．DF＝4FC B．DF＝3FC C．D．DF＝2FC【分析】由AB＝4BE知AE＝3BE，即＝3，根据AD∥BC∥EF得＝＝3，从而得出答案．【解答】解：∵AB＝4BE，∴AE＝3BE，即＝3，∵AD∥BC∥EF，∴＝＝3，那么DF＝3FC，应选：B．【点评】此题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5．〔3分〕如图，菱形ABCD中，∠A＝40°，那么∠ADB的度数是〔〕A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据菱形的对角线平分一组对角即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝40°，∴∠ADC＝140°，∴∠ADB＝×140°＝70°，应选：D．【点评】此题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握根本知识，属于中考常考题型．6．〔3分〕如图，DE∥BC，CD与BE相交于点O，假设，那么的值为〔〕A．B．C．D．【分析】由DE∥BC，得到△DOE∽△COB，根据相似三角形的性质得到S△DOE：S△COB＝〔〕2＝1：4，求得＝，通过△ADE∽△ABC即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOE：S△COB＝〔〕2＝1：4，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，应选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，比例的性质，证得＝是解题的关键．7．〔3分〕将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为〔〕A．y＝〔x+2〕2﹣5 B．y＝〔x+2〕2+5 C．y＝〔x﹣2〕2﹣5 D．y＝〔x﹣2〕2+5 【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为〔0，0〕，先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为〔﹣2，﹣5〕，所以，平移后的抛物线的解析式为y＝〔x+2〕2﹣5．应选：A．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并根据规律利用点的变化确定函数解析式．8．〔3分〕某商品房原价60000元/m2，经过连续两次降价后，现价48600元/m2，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，依题意可列方程为〔〕A．60000〔1﹣2x〕＝48600 B．60000〔1﹣x〕2＝48600C．48600〔1+2x〕＝60000 D．48600〔1+x〕2＝60000【分析】此题利用根本数量关系：商品原价×〔1﹣平均每次降价的百分率〕＝现在的价格，列方程即可．【解答】解：由题意可列方程是：6000〔1﹣x2〕＝48600．应选：B．【点评】此题考查一元二次方程的应用最根本数量关系：商品原价×〔1﹣平均每次降价的百分率〕＝现在的价格．9．〔3分〕?孙子算经?是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸〔提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸〕，那么竹竿的长为〔〕A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴，解得x＝45〔尺〕．应选：B．【点评】此题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．10．〔3分〕以下命题中，是真命题的是〔〕A．对角线相等的平行四边形是正方形B．相似三角形的周长之比等于相似比的平方C．假设方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么k＞﹣1D．假设一个斜坡的坡度为，那么该斜坡的坡角为30°【分析】根据正方形的判定，相似三角形的性质，一元二次方程的根的判别式，坡度坡角的定义一一判断即可．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是正方形，是假命题，应该是对角线相等的平行四边形是矩形；B、相似三角形的周长之比等于相似比的平方，是假命题，应该是相似三角形的周长之比等于相似比；C、假设方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么k＞﹣1，是假命题，应该是k＞﹣1且k≠0；D、假设一个斜坡的坡度为，那么该斜坡的坡角为30°，是真命题；应选：D．【点评】此题考查正方形的判定，相似三角形的性质，一元二次方程的根的判别式，坡度坡角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握根本知识，属于中考常考题型．11．〔3分〕二次函数y＝ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＜0【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；对称轴x＝﹣＞0，所以b＜0；所以abc＞0；由图象可知：0＜﹣＜1，所以﹣b＜2a，即2a+b＞0；由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，那么△＝b2﹣4ac＞0；由图可知：当x＝1时，y＜0，所以a+b+c＜0；应选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．12．〔3分〕如图，在边长4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△CDE沿直线DE折叠后，点C落在点F处，再将其翻开、展平，得折痕DE．连接CF、BF、EF，延长BF交AD于点G．那么以下结论：①BG＝DE；②CF⊥BG；③sin∠DFG＝；④S△DFG＝，其中正确的有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC＝AD＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，根据折叠的性质得到DF＝CD＝4，EF＝CE＝2，∠DFE＝∠DCE＝90°，∠DEF＝∠DEC，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠GBE＝∠DEC，根据平行线的性质得到BG∥DE，推出四边形BEDG 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BG＝DE，故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠EFC＝∠ECF，根据三角形的内角和得到∠BFC＝90°，求得CF⊥BG，故②正确；根据余角的性质得到∠ABG＝∠DFG，根据三角函数的定义得到sin∠DFG＝sin∠ABG＝＝＝，故③错误；过G作GH⊥DF于H，根据跟勾股定理得到DH＝，根据三角形的面积公式得到S△DFG＝×4×1.2＝，故④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵E是边BC的中点，∴BE＝CE＝2，∵将△CDE沿直线DE折叠得到△DFE，∴DF＝CD＝4，EF＝CE＝2，∠DFE＝∠DCE＝90°，∠DEF＝∠DEC，∴EF＝EB，∴∠EBF＝∠BFE，∵∠EBF＝∠BFE＝〔180°﹣∠BEF〕，∠CED＝∠FED＝〔180°﹣∠BEF〕，∴∠GBE＝∠DEC，∴BG∥DE，∵BE∥DG，∴四边形BEDG是平行四边形，∴BG＝DE，故①正确；∵EF＝CE，∴∠EFC＝∠ECF，∴∠FBE+∠BCF＝∠BFE+∠CFE＝×180°＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CF⊥BG，故②正确；∵∠ABG+∠CBG＝∠BFE+∠DFG＝90°，∴∠ABG＝∠DFG，∵AB＝4，DG＝BE＝2，∴AG＝2，∴BG＝2，∴sin∠DFG＝sin∠ABG＝＝＝，故③错误；过G作GH⊥DF于H，∵tan∠GFH＝tan∠ABG＝，∴设GH＝x，那么FH＝2x，∵DH＝，∴DF＝FH+DH＝2x+＝4，解得：x＝1.2，x＝2〔舍去〕，∴GH＝1.2，∴S△DFG＝×4×1.2＝，故④正确；应选：C．【点评】此题考查了正方形的性质，翻折变换，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题〔每题3分，共12分．请把答案填在答题卷相应的表格里〕13．〔3分〕假设x＝2是方程x2﹣x﹣c＝0的一个根，那么c＝ 2 ．【分析】根据一元二次方程的解，把x＝2代入x2﹣4x+c＝0可求出c的值．【解答】解：把x＝2代入x2﹣x﹣c＝0得4﹣2﹣c＝0，解得c＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14．〔3分〕＝，那么＝．【分析】用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵＝，∴a＝b，∴＝＝．故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．15．〔3分〕如图，以矩形ABCD的对角线AC为一边向左下方作正方形ACEF，延长AB交EF 于点G，假设AB＝3，BC＝4，那么EG的长为．【分析】根据勾股定理得到AC＝5，根据正方形的性质得到AF＝AC＝FE＝5，∠FAC＝90°，根据余角的性质得到∠FAG＝∠ACB，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∵四边形AFEC是正方形，∴AF＝AC＝FE＝5，∠FAC＝90°，∴∠FAG+∠CAB＝∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠FAG＝∠ACB，∵∠F＝∠ABC＝90°，∴△AFG∽△ABC，∴＝，∴＝，∴FG＝，∴GE＝FE﹣FG＝，故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．16．〔3分〕如图，函数y＝x+2的图象与函数y＝〔k≠0〕的图象交于A、B两点，连接BO并延长交函数y＝〔k≠0〕的图象于点C，连接AC，假设△ABC的面积为8．那么k 的值为 3 ．【分析】连接OA．根据反比例函数的对称性可得OB＝OC，那么S△OAB＝S△OAC＝S△ABC＝4．求出直线y＝x+2与y轴交点D的坐标．设A〔a，a+2〕，B〔b，b+2〕，那么C〔﹣b，﹣b﹣2〕，根据S△OAB＝4，得出a﹣b＝4 ①．根据S△OAC＝4，得出﹣a﹣b＝2 ②，①与②联立，求出a、b的值，即可求解．【解答】解：如图，连接OA．由题意，可得OB＝OC，∴S△OAB＝S△OAC＝S△ABC＝4．设直线y＝x+2与y轴交于点D，那么D〔0，2〕，设A〔a，a+2〕，B〔b，b+2〕，那么C〔﹣b，﹣b﹣2〕，∴S△OAB＝×2×〔a﹣b〕＝4，∴a﹣b＝4 ①．过A点作AM⊥x轴于点M，过C点作CN⊥x轴于点N，那么S△OAM＝S△OCN＝k，∴S△OAC＝S△OAM+S梯形AMNC﹣S△OCN＝S梯形AMNC＝4，∴〔﹣b﹣2+a+2〕〔﹣b﹣a〕＝4，将①代入，得∴﹣a﹣b＝2 ②，①+②，得﹣2b＝6，b＝﹣3，①﹣②，得2a＝2，a＝1，∴A〔1，3〕，∴k＝1×3＝3．故答案为3．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式等知识，综合性较强，难度适中．根据反比例函数的对称性得出OB＝OC是解题的突破口．三、解答题〔此题共7小题，共52分〕17．〔5分〕计算：〔〕﹣1﹣tan245°+2cos30°•sin60°【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣1+2××＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．〔5分〕x2﹣2x﹣15＝0．【分析】利用十字相乘法将方程左边的多项式分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2﹣2x﹣15＝0，分解因式得：〔x﹣5〕〔x+3〕＝0，可得x﹣5＝0或x+3＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣3．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．19．〔8分〕小亮正在参加学校举办的古诗词比赛节目，他须答对两道单项选择题才能顺利通过最后一关，其中第一题有A、B、C、D共4个选项，第二题有A、B、C共3个选项，而这两题小亮都不会，但小亮有一次使用“特权〞的时机〔使用“特权〞可去掉其中一题的一个错误选项〕．〔1〕如果小亮第一题不使用“特权〞，随机选择一个选项，那么小亮答对第一题的概率是；〔2〕如果小亮将“特权〞留在第二题，请用画树状图或列表法来求出小亮通过最后一关的概率．【分析】〔1〕由第一道单项选择题有4个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；〔2〕首先根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小亮顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：〔1〕∵第一道单项选择题有4个选项，∴小亮答对第一道题的概率是：；故答案为：；〔2〕假设第二道选择“特权〞，画树状图可得：∵共有8种等可能的结果，小亮顺利通关的只有1种情况，此时小亮通过最后一关的概率为．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．〔8分〕为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心〞AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD＝32°．登上大厦DE的顶部E处后，测得“平安中心〞AB的顶部A处的仰角为60°，〔如图〕．C、D、B三点在同一水平直线上，且CD＝400米，DB＝200米．〔1〕求大厦DE的高度；〔2〕求平安金融中心AB的高度；〔参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，≈1.41，≈1.73〕【分析】〔1〕在Rt△DCE中，根据正切函数的定义即可求出大厦DE的高度；〔2〕作EF⊥AB于F．由题意，得EF＝DB＝200米，BF＝DE，∠AEF＝60°．在Rt△AFE 中，根据正切函数的定义得出AF＝EF•tan∠AEF，那么AB＝BF+AF．【解答】解：〔1〕∵在Rt△DCE中，∠CDE＝90°，∠ECD＝32°，CD＝400米，∴DE＝CD•tan∠ECD≈400×0.62＝248〔米〕．故大厦DE的高度约为248米；〔2〕如图，作EF⊥AB于F．由题意，得EF＝DB＝200米，BF＝DE＝248米，∠AEF＝60°．∵在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，∴AF＝EF•tan∠AEF≈200×1.73＝346〔米〕，∴AB＝BF+AF＝248+346＝594〔米〕．故平安金融中心AB的高度约为594米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．21．〔8分〕深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产本钱为200元，试销过程中发现，每月销售量y〔个〕与销售单价x〔元〕之间的关系可以近似的看作一次函数y＝﹣0.2x+260，设每月的利润为w〔元〕〔利润＝销售额﹣投入〕．〔1〕该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为多少元？〔2〕如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？【分析】〔1〕根据月销售利润＝月销量×〔单件售价﹣单件制造本钱〕，构建方程即可解决问题；〔2〕构建不等式求出x的取值范围，再利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：〔1〕由题意得，〔﹣0.2x+260〕〔x﹣200〕＝36000，解得：x1＝1100，x2＝400．答：销售单价定为1100元或400元时厂商每月能获得36000万元的利润；〔2〕由题意：200〔﹣0.2x+260〕≤20000，解得x≥800，∵w＝〔﹣0.2x+260〕〔x﹣200〕＝﹣0.2x2+300x﹣52000，∴函数的对称轴x＝750，开口向下，∴x＝800时利润最大，最大利润为60000元．答：所获得的最大利润为60000元，此时定价应为800元．【点评】此题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答此题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用．22．〔8分〕如图11，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q．〔1〕tan∠ACB＝；〔2〕在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；〔3〕假设将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，那么PC的长为．【分析】〔1〕根据矩形的性质求出∠ABC＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝4，最后用锐角三角函数的定义即可得出结论；〔2〕设出PE＝a，利用锐角三角函数得出CE＝2a，得出BE＝2〔4﹣2a〕，再判断出△BEP ∽△PFQ，进而得出FQ，即可得出结论；〔3〕根据折叠的性质，判断出BQ⊥AC，AD＝PD＝AP，再用勾股定理求出AC，判断出△ABC∽△ADB，得出AD，进而求出AP，即可得出结论．【解答】解：〔1〕∵四边形OABC是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝4，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，故答案为：；〔2〕的值不发生变化，其值为，理由：如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，∴EF＝OC＝4，设PE＝a，那么PF＝EF﹣PE＝4﹣a，在Rt△CEP中，tan∠ACB＝＝，∴CE＝2PE＝2a，∴BE＝BC﹣CE＝8﹣2a＝2〔4﹣a〕，∵PQ⊥PB，∴∠BPE+∠FPQ＝90°，∵∠BPE+∠PBE＝90°，∴∠FPQ＝∠EBP，∵∠BEP＝∠PFQ＝90°，∴△BEP∽△PFQ，∴＝，∴，∴FQ＝a，∴＝＝；〔3〕如备用图，∵将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，∴BQ⊥AC，AD＝PD＝AP，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝8，根据勾股定理得，AC＝＝4，∵∠BAC＝∠DAB，∠ADB＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△ADB，∴，∴，∴AD＝，∴PC＝AC﹣AP＝AC﹣2AD＝4﹣2×＝，故答案为：．【点评】此题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，构造出相似三角形表示出BP和PQ是解此题的关键．23．〔10分〕如图1，在平面直角坐标系中，A〔﹣1，0〕、C、〔0，﹣2〕，以AC为一边向右上方作正方形ACDE，其中点D在第四象限，点E在第一象限，过点E作直线l∥y轴，抛物线y＝ax2+bx+c〔a≠0〕的对称轴为直线l，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．〔1〕点E的坐标为〔1，1〕，该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2 ；〔2〕设抛物线的顶点为M，连接MB．在抛物线上是否存在点N，使∠NBA＝∠MBA？假设存在，请求出所有满足条件的点N的坐标；假设不存在，请说明理由．〔3〕过点D作直线m∥x轴，交直线l于点F，如图2．动点P从抛物线的顶点M出发，沿抛物线的对称轴l向上运动，与此同时，动点Q从点F出发，沿直线m向右运动，连接PQ、PB、BQ．设P、Q两点运动的速度均为1个单位长度/秒，运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．【分析】〔1〕证明△AOC≌△ESA〔AAS〕即可求解；〔2〕分当BN在∠MBA的内部、的外部两种情况求解即可；〔3〕利用S＝S梯形PQTS﹣S△PBS﹣S△QTB，即可求解．【解答】解：〔1〕设直线直线l交x轴于点S，∠EAS+∠CAS＝90°，∠SEA+∠EAS＝90°，∴∠AES＝∠CAS，∠AOC＝∠ASE＝90°，AC＝AE，∴△AOC≌△ESA〔AAS〕，∴OA＝SE＝1，CO＝AS＝2，故点E坐标为〔1，1〕，同理可得点D坐标为〔2，1〕，由题意得：，解得：故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2…①，故：答案为：〔1，1〕、y＝x2﹣x﹣2；〔2〕存在，理由：①当BN在∠MBA的内部时，如上图，设直线BN交直线l于点H，过点H作HG⊥BM交BM于点G，∠NBA＝∠MBA，∴SH＝HG＝a，tan∠SBM＝＝＝tanα，cosα＝在Rt△HGM中，HM＝﹣a，HG＝a，sin∠HMG＝cosα＝＝＝，解得：a＝1，即点H的坐标为〔1，﹣1〕，把点H、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线HB的表达式为：y＝x+…②，将①②联立并解得：x＝﹣3或﹣〔舍去x＝﹣3〕，故点N的坐标为〔﹣，﹣〕，②当BN在∠MBA的外部时，同理可得：点N的坐标为〔﹣，〕，故：点N的坐标为〔﹣，﹣〕或〔﹣，〕；〔3〕如图，过点Q作QT⊥x轴交于点T，那么点P、Q的坐标分别为〔1，﹣+t〕、〔1+t，1〕，S＝S梯形PQTS﹣S△PBS﹣S△QTB＝〔1+﹣t〕×t﹣〔﹣t〕﹣×1×〔1+t﹣3〕＝﹣t2+t﹣，〔t＞0〕，即：S＝﹣t2+t﹣，〔t＞0〕．【点评】此题为二次函数综合应用题，根本的考点是三角形全等、解直角三角形，关键是通过数形结合，正确确定图形的位置，此题难度较大．。