第一章勾股定理测试题1
八年级第一章勾股定理测试卷
第一章勾股定理达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的( ) A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，63．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是( ) A．169 B．119 C．13 D．1444．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是( )A．3 cm2B．4 cm2C．5 cm2D．6 cm2(第4题) (第10题)5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为( )A．∠A＝∠B－∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2C．b2＝a2－c2D．a∶b∶c＝2∶3∶46．已知一轮船以18 n mile/h的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口 h后，两轮船相距( )A．30 n mile B．35 n mile C．40 n mile D．45 n mile7．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形8．如图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是( ) A．S1＋S2＞S3B．S1＋S2＝S3C．S1＋S2＜S3D．无法确定1.如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为()A. 8B. 9C. 10D. 119．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A．5 B．6 C．7 D．2510、如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是( ). A. 12cc≤ℎ≤19cc B. 12cc≤ℎ≤13ccC. 11cc≤ℎ≤12ccD. 5cc≤ℎ≤12cc二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高，若AB＝5 cm，BC＝6 cm，则AD＝__________．(第11题) (第12题) (第13题)12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为________．13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，AC＝5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________．14\．如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有___________米。
第一章勾股定理
北 南 东 （4题图） 《勾股定理》单元检测姓名一﹑选择题(每小题4分, 共32分) 1．4的值为（ ）A ． 2B ． －2C ． ±2D ．４2. 一个直角三角形两条边的长分别是2 和5 ，则它的第三边的长度是（ ）A ．21B ．29C ．21 或29 D ．213．下列实数：2π，0，32.0，227，169， 3.1415926，2.121121112……（相邻两个2之间1的数目每次多一个），123.7887887887……（相邻两个7之间有两个8）中无理数个数为（ )A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个4．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A ．25海里 B ．30海里 C ．35海里 D ．40海里5．如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A ．6cm 2 B ．8cm 2 C ．10cm 2 D ．12cm 2 6．在ΔABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c,则下列条件,能判定ΔABC 是直角三角形的有（ ）①∠B -∠C =∠A ②(c+a)(c-a)=b 2 ③∠A :∠B :∠C =3:7:4 ④a :b :c=1:3:10A. 1B.2C. 3D. 47. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h B. a 2+b 2=2h 2C.a 1+b 1=h1 D.21a +21b=21h8. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角是（ ）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60° 二﹑填空题 (每小题4分, 共24分)9. 若0)25(2472=-+-+-c b a ，则以a 、b 、c 为三边的三角形的形状是________（5题图）10. 一个直角三角形两条直角边的边长分别是6，8，这个三角形斜边上的高是11.如图 ，长方体的长为10 cm ，宽为8 cm ，高为20 cm ，点B 离点M 5 cm ，点E 离点N 6cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点M 爬到点N ，需要爬行的最短距离是 12．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是1７，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2)(b a + 的值为1３．如图，四边形ABCD 中，已知AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且90=∠B ,则______=∠DAB 。
八年级数学上册测试题及答案(1-6章)
八年级上册数学评价检测试卷第一章勾股定理一、选择题1．以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（ ） （A ）4cm ，8cm ，7cm （B ） 2cm ，2cm ，2cm （C ） 2cm ，2cm ，4cm （D ）13cm ，12 cm ，5 cm2．一个三角形的三边长分别为15cm ，20cm ，25cm ，则这个三角形最长边上的高为（ ） （A ）12cm （B ）10cm （C ）12.5cm （D ）10.5cm3．Rt ∆ABC 的两边长分别为3和4，若一个正方形的边长是∆ABC 的第三边，则这个正方形的面积是（ ） （A ）25 （B ）7 （C ）12 （D ）25或74．有长度为9cm ，12cm ，15cm ，36cm ，39cm 的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个5．将直角三角形的三边长扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）以上结论都不对 6．在△ABC 中，AB =12cm ， AC =9cm ，BC =15cm ，下列关系成立的是（ ） （A ）B C A ∠+∠>∠ （B ）B C A ∠+∠=∠ （C ）B C A ∠+∠<∠ （D ）以上都不对7．小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水平刚好相齐，河水的深度为（ ）（A ）2m （B ）2.5cm （C ）2.25m （D ）3m 8．若一个三角形三边满足ab c b a 2)(22=-+，则这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上结论都不对 9．一架250cm 的梯子斜靠在墙上，这时梯足与墙的终端距离为70cm ，如果梯子顶端沿墙下滑40cm ，那么梯足将向外滑动（ ） （A ）150cm（B ）90cm（C ）80cm（D ）40cm10．三角形三边长分别为12+n 、n n 222+、1222++n n （n 为自然数），则此三角形是（ ） （A ）直角三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上结论都不对二、填空题11．写四组勾股数组.______，______，______，______.12．若一个直角三角形的三边为三个连续的偶数，则它的周长为____________。
第一章 勾股定理单元测试题(含答案)
第一章 勾股定理单元测试题一、认真填一填 —— 要相信自己．1．如图1,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．S S S 321图1 图22．如果梯子的底端离建筑物5m ，那么13m 的消防梯可达建筑物的高度为 3．在△ABC 中，∠C =900， ∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若c =10，a ﹕b =3﹕4，则a =____，b =_____． （2）若a =b ，c 2=m ，则a 2=______. （3）若c =61，a =60，则b =______.4．将直角三角形的各边扩大相同的倍数，则得到的三角形一定是_______三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）．5．在Rt △ABC 中，AC =8，在△ABE 中，DE 为AB 边上的高，DE =12，S △ABE =60，则BC 长为_______．6．小明把一根70cm 长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm 、40cm 、50cm 的木箱中，他能放进去吗？答： .（填“能”、或“不能”）7．如图2，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为8．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上， 且与AE 重合，则CD 的长为.E DA9．观察下列表格：请你结合该表格及相关知识，求出b 、c 的值.即b = ，c =10．如图所示，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 上F 点处，已知CE ＝3厘米，AB ＝8厘米，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿＿平方厘米．二、细心选一选 —— 要认真考虑．11. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对12. 满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A ．222b c a =- B ．a ∶b ∶c=3∶4∶5 C ．∠C=∠A －∠B D ．∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶15 13．下面说法正确的是（ ） A ．在Rt △ABC 中，a 2+b 2=c 2B ．在Rt △ABC 中，a =3，b =4，那么c =5 C ．直角三角形两直角边都是5，那么斜边长为10D ．直角三角形中，斜边最长14．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍15．有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）A ．2，4，8B .4,8,10C .6,8,10D .8,10,12 16. 如图所示，在△ABC 中，三边a,b,c 的大小关系是（ ）A.a ＜b ＜cB. c ＜a ＜bC. c ＜b ＜aD. b ＜a ＜c17．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 3318．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D三、精心做一做 —— 要注意审题（共47分）19．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm ，高为12cm ，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出4.6cm ，问吸管要做多长？20.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出2AB =2、2CD =5、2EF =13这样的线段，并选择其中的一个说明这样画的道理.21．在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树直向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？22．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km /h .如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？观测点23．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？24．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直至算法统宗》里由一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”参考答案1．169 ;2．12米；3．（1）．6，8； （2）．2m； （3）．11； 4. 直角；5. 6；6．能；7. 49；8. CD =3cm ． 提示：由题可知CD =DE ，AC =AE ，设CD =x cm ，在Rt △BDE 中，有42+ x 2= 8－x ．2，解得x =3． 9. 85，86；10．30；11．B ； 12．D ； 13. D ； 14．B ； 15．C ； 16.D ； 17．D ； 18．C ； 19. 解：设吸管长x cm ，由勾股定理得：（x －4.6）2=122+（2.5×2）2，解得x =17.6，即吸管要做17.6cm 长． 20.画图略，结合勾股定理说明．21．分析 为了求解问题，将这个实际问题转化为数学问题，于是，根据题意画出图形，将问题转化到在直角三角形中来，从而可以运用勾股定理构建方程求解. 解 如图1，D 为树顶，AB ＝10ｍ，C 为池塘，AC ＝20 m ，设BD 的长是x m ，则树高(x ＋10)m.因为AC +AB ＝BD +DC ，所以DC ＝20+10－x ，在△ACD 中，∠A ＝90°，所以AC 2+AD 2＝DC 2.故202+(x ＋10)2＝(30－x )2，解得x ＝5.所以x ＋10＝15，即树高15米.说明 勾股定理的本身就是数形结合的体现，求解时它又与方程紧密相联.22．在Rt △ABC 中：BC 2＝225030 ＝1600，∴BC ＝40,小汽车速度＝40÷2＝20米/秒＝72千米/时>70千米/时. ∴这辆小汽车超速了23．解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即OA =12．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，图1B走了5千米，即OB =5．在Rt △OAB 中，AB 2=122十52＝169，∴AB =13， 因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．答：上午10：00甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系． 24．分析 诗的意思告诉我们：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这是秋千的绳索是呈直线状态，要求这个秋千的绳索有多长？要解决这个古诗中的问题，我们可以先画出图形，再运用勾股定理求解.解 如图1，不妨设图中的OA 为秋千的绳索，CD 为地平面，BC 为身高5尺的人，AE 为两步，即相当于10尺的距离，A 处有一块踏板，EC 为踏板离地的距离，它等于一尺.设OA ＝x ，即OB ＝OA ＝x ，F A ＝BE ＝BC －EC ＝5－1＝4尺，BF ＝EA ＝10尺.在Rt △OBF 中，由勾股定理，得OB 2＝OF 2+BF 2，即x 2＝(x －4)2+102， 解这个方程，得x ＝14.5（尺） 所以这个秋千的绳索长度为14.5尺.图2F OD ECB A。
第一章勾股定理期末复习 1
1.小东拿着一根长竹竿进一个宽为３米的
城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿， 结果竹竿比城门高１米，当他把竹竿斜着 时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长 多少？ 1m
x
(x+1)
3
三、勾股定理的应用
（二）先构造，再运用
1、如图，求△ABC的面积
A
5 B
D
5
6
C
2、如图有两颗树，一棵高8m，另一棵高2m， 两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到 另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
A
8m
E
C
2m
B
8m
D
例6、假期中，王强和同学到某海岛上去玩 探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往 东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后 又往西走3千米，在折向北走到6千米处往 东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
4
A
O D
o
A D
20.如图, 长方体的长为15cm, 宽为10cm, 高为20cm, 点B离点C 5cm, 一只蚂蚁如 果要沿着长方体的表面从点A爬到点B, 需要爬行的最短距离是多少? 25cm
5
B
C
15
A
E 20 E
20
15
A
C5
B
5 C
B
A 10
B 5 C 10 E 20 A
5 20
B C
A
1.在直角三角形ABC中, o， AB=13, CA=5, ∠C=90 12 BC= ______.
2.三角形的三边长分别是17、 8、15，这个三角形是 直角 __________三角形.
5.如图，两个正方形的面积 分别为64，49，则AC= 17 .
第1章勾股定理(已整理)
第一章勾股定理1探索勾股定理练习题1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则ΔABC的斜边AB的长是()A.20B.10C.9.6D.82.直角三角形两直角边长分别是6和8,则周长与最短边长的比是()A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶73.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,若BC=10,AD=12,则AC=.3题图 4题图 5题图4.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于.【基础巩固】1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,则AC=.2.若三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,则此三角形的周长为,面积为.3.已知直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长为.4.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是.【能力提升】5.如图所示,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c6.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是.7.如图所示,阴影部分是一个正方形,它的面积为.8.如图所示,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是.9.飞机在空中水平飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?10.一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.【拓展探究】12.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=.13.如图所示,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是.如左下图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为()A.5B.6C.7D.25例1 例题2如图所示,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为.我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 〔解析〕根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.检测反馈1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是()2.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是()2题图 3题图A.c2=a2+b2B.c2=a2+2ab+b2C.c2=a2-2ab+b2D.c2=(a+b)23.如图所示,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.4.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是()A.1B.2C.12D.131题图 3题图3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c 的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为 ()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC,其中∠DAB=90°,求证a2+b2=c2.证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵b2+ab,又∵c2+a(b-a),∴b2+ab=c2+a(b-a),∴a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,连接BE.验证a2+b2=c2.证明:连接,∵=,又∵=,∴,∴a2+b2=c2.2一定是直角三角形吗？1.以以下各组数为三边长的三角形中,能组成直角三角形的是()A.3,4,6B.9,12,15C.5,12,14D.10,16,252.ΔABC的三边长分别为a,b,c,在下列条件下,不能判定ΔABC是直角三角形的是()A.a2=b2-c2B.a2∶b2∶c2=1∶2∶3C.∠A=∠B-∠CD.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶53.如图所示,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为()A.72B.36C.66D.424.如图所示,在ΔABC中,AB=26,BC=20,边BC上的中线AD=24.求AC.【基础巩固】1.下列几组数中,是勾股数的是 ()A.5,6,7B.3,4,9C.5,3,6D.10,24,262.有五根木棒,它们的长度分别为2 cm,6 cm,8 cm,10 cm,12 cm,从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形,则这三根木棒的长度分别为 ()A.2 cm,6 cm,8 cmB.6 cm,8 cm,10 cmC.6 cm,8 cm,12 cmD.2 cm,8 cm,10 cm3.如图所示,有一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,∠ADC=90°,AB=13 m,BC=12 m,则这块地的面积为()A.24 m2B.26 m2C.28 m2D.30 m24.若ΔABC的三边长a,b,c满足|a-5|+(b-12)2+(c-13)2=0,则ΔABC的面积为.【能力提升】5.观察下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;⑤15,m,n.根据你发现的规律可得m+n=.6.如图所示,∠C=90°,AC=12,BC=9,AD=8,BD=17,求ΔABD的面积.7.已知a,b,c为ΔABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ΔABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②∴c2=a2+b2.③∴ΔABC是直角三角形.(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:;(2)错误的原因为;(3)写出本题正确的解题过程.8.求证若勾股数组中,弦与股的差为1.证明这样的勾股数组可表示为如下形式:2a+1,2a2+2a,2a2+2a+1,其中a为正整数.9.国道通过A,B两村庄,而C村庄离国道较远,为了响应政府“村村通公路”的号召,C村决定采用自己筹集一部分,政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道.已知C村到A,B两村的距离分别为6 km,8 km,A,B两村距离为10 km,那么这条水泥路的最短距离为多少?3勾股定理的应用课后练习题1.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行()A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m2.如图所示,将一根长24 cm的筷子放入底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的最小值是()A.12 cmB.13 cmC.11 cmD.9 cm3.某楼梯的侧面视图如图所示,其中AB=6.5米,BC=2.5米,∠C=90°,楼梯的宽度为6米,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的面积应为.4.如图所示,铁路AB的一边有C,D两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知AB=25 km,DA=15 km,CB=10 km,现要在铁路上建一个农产品收购站E,并使DE=CE,则农产品收购站E应建在距点A多少千米处?【基础巩固】1.如图所示,一根竹子高9尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处,折断处离地面高度是 ()A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺2.如图所示,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到正方体上底面的B点处,它爬行的最短路线是()A.A⇒P⇒BB.A⇒Q⇒BC.A⇒R⇒BD.A⇒S⇒B3.如图所示,一个圆柱的底面半径为8 cm,高为15πcm,一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是cm.4.有一块边长为24米的正方形绿地ABCD(如图所示),在绿地的BC边上距B点7米的点E处有一健身器,居住在A处的居民经常践踏绿地,沿直线AE直达E处健身,小明同学想在A处立一块标牌“少走■米,踏之何忍?”,则标牌上的“■”处的数字是.5.如图所示,要从电线杆离地面12米处向地面拉一条长为13米的钢缆,求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离.【能力提升】6.两艘轮船从同一港口同时出发,甲船时速40海里,乙船时速30海里,两小时后,两船相距100海里,已知甲船的航向为北偏东46°,则乙船的航向为()A.东偏南46°B.北偏西46°C.东偏南46°或西偏北46°D.无法确定7.如图所示,已知长方体的三条棱AB,BC,BD的长分别为4,5,2,蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是.7题图 9题图 10题图8.一艘轮船以24海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船同时以10海里/时的速度离开港口向西南方向航行,经过1小时,这两艘轮船相距多远?9.如图所示,在长15米,宽8米的长方形ABCD花园内修一条长13米的笔直小路EF,小路出口一端E选在AD边上距D点3米处,另一端出口F应选在AB边上距B点几米处?10.如图所示,有一圆柱形油罐,要从A点环绕油罐搭梯子,正好到A点的正上方B点.梯子最短需要多少米?(已知油罐底面的周长是12 m,高AB是5 m)【拓展探究】11.如图所示,三条公路的交叉地带是一个三角形,经测量这个三角形的三条边长分别是AB=130米,BC=140米,AC=150米.市政府准备将其作为绿化用地,请你求出绿化用地的面积.如图所示,圆柱形玻璃杯,高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.第一章勾股定理专题复习专题一勾股定理及其逆定理的基本用法【专题分析】勾股定理是初中阶段应该掌握的一个重要定理,运用勾股定理的过程中蕴含着方程、几何、不等式等多种解决问题的方法.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则ΔABC是以∠C为直角的直角三角形.(若c2>a2+b2,则ΔABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则ΔABC为锐角三角形)若直角三角形两直角边长的比是3∶4,斜边长是20,求此直角三角形的面积.【针对训练1】等腰三角形的底边长为6,腰长为5,求ΔABC的面积.如图所示,ΔABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.(1)求证ΔBCD是直角三角形;(2)求ΔABC的面积.【针对训练2】如图所示,在四边形ABDC中,∠A=90°,AB=9,AC=12,BD=8,CD=17.(1)求BC的长;(2)求四边形ABDC的面积.专题二勾股定理的应用【专题分析】在实际生活中,勾股定理有着广泛的应用.在运用的过程中,要注意是运用勾股定理还是运用勾股定理的逆定理.在解决问题的过程中,寻找和构造垂直关系就成为解题的关键所在.(莱芜中考)如图所示,在ΔABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,求BP的最小值.【针对训练3】如图所示,直线MN表示一条铁路,A,B是两个城市,它们到铁路的垂直距离分别为AA1=20 km,BB1=40 km,已知A1B1=80 km,现要在A1,B1之间设一个中转站P,使两个城市到中转站的距离之和最短,请你设计一种方案确定P点的位置,并求这个最短距离.专题三数学思想方法(一)转化的思想方法【专题分析】我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.如图(1)所示,ΔABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.【针对训练4】在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图(1)所示.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内(包括250米)不得进入,则在进行爆破时,公路AB段是否有危险?是否需要暂时封锁?(二)方程的思想方法【专题分析】方程是通过等量关系解决问题的重要手段,在解决几何计算、代数求值、求解函数解析式等都渗透着方程思想,在中考中方程思想占有重要的地位,渗透在各种大小问题之中.如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求EF的长.【针对训练5】如图所示,四边形ABCD是长方形,把ΔACD沿AC折叠得到ΔACD',AD'与BC交于点E,若AD=4,DC=3,求BE的长.。
第一章 勾股定理 章节测试2022-2023学年北师大版八年级数学上册
北师大版八上勾股定理章节测试一、选择题（共11小题）1. 一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x2为( )A. 5B. 25C. 7D. 7或252. 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米?( )A. 0.4B. 0.6C. 0.7D. 0.83. 如图所示，正方体的棱长为1，一只蜘蛛从正方体的一个顶点A爬行到另一个顶点B，则蜘蛛爬行的最短距离的平方是( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 【例4】下列结论中，错误的有( )①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2=AB2，则∠A=90∘；③在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:5:6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3:4:5，则该三角形是直角三角形．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm6. 如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的Bʹ．则这根芦苇的长度是( )A. 10尺B. 11尺C. 12尺D. 13尺7. 如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是( )A. 16cmB. 18cmC. 20cmD. 24cm8. 硬币有数字的一面为正面，另一面为反面．投掷一枚均匀的硬币一次，硬币落地后，可能性最大的是( )A. 正面向上B. 正面不向上C. 正面或反面向上D. 正面和反面都不向上9. 张瑞同学制作了四块全等的直角三角形纸板，准备复习功课用，六岁的弟弟看到纸板随手做拼图游戏，结果七拼八凑地拼出了如图所示的图形．张瑞热爱思考，借助这个图形设计了一道数学题：如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=a，HG=b，则斜边BD的长为( )A. a+bB. a−bC. √a2+b22D. √a2−b2210. 如图 所示，矩形纸片 ABCD 中，AB =6 cm ，BC =8 cm ，现将其沿EF 对折，使得点 C 与点 A重合，则 AF 的长为 ( )A. 258 cmB. 254 cmC. 252 cmD. 8 cm11. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米，顶端距离地面 2.4 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2 米，则小巷的宽度为 ( )A. 2.2 米B. 2.3 米C. 2.4 米D. 2.5 米二、填空题（共10小题）12. 如图所示，AB =BC =CD =DE =1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则 AE = ．13. 如图，有一块直角三角形纸片 ABC ，两直角边 AC =6，BC =8，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，点 C 与点 E 重合，则 CD 长为 ．14. 如图，在一个长为 2 米，宽为 1 米的纸板上有一长方体木块，它的长和纸板宽 AD 平行且大于AD ，木块的正面是边长为 0.2 米的正方形，一只蚂蚁从 A 处爬行到 C 处需要走的最短路程是 米．15. 已知三角形的三边长分别为AB=2cm，BC=2√3cm，CA=4cm，则此三角形面积是．16. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动米．（假设绳子是直的）17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点Bʹ处，则BE的长为 .18. 小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，当他把竹竿的顶端拉向岸边时，竹竿和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为．19. 如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2=4，S3=6，则S1=．20. 阅读下列题目的解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2−b2c2=a4−b4，（A）∴c2(a2−b2)=(a2+b2)(a2−b2)，（B）∴c2=a2+b2，（C）∴△ABC是直角三角形．问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号：；（2）错误的原因为；（3）本题正确的结论为 .21. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少?示意图如下图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为尺，根据题意，可列方程为．三、解答题（共7小题）22. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长．23. 如图，有一只小鸟在一棵高4m的小树的树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，该小鸟立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少经过几秒才能到达大树和伙伴在一起?24. 列方程解下列应用题．如图，∠ABC=90∘，AB=12厘米，点P从A点开始沿AB边向B点移动，P的速度为2厘米/秒．点Q同时从点B开始沿BC边向C移动，Q的速度为3厘米/秒．几秒后，两点相距10厘米?25. 如图所示，若OA=3，OB=4，AB=5，OC=5，OD=12，CD=13，则∠BOC+∠AOD的度数是多少?26. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，以格点为线段的端点，按下列要求仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法与证明）．（1）在图1中画一条线段AB，使AB=√17，并标出AB的中点M；（2）在图2中画一条线段CD，使CD=2√13，并标出CD的中点N．27. 如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EBʹF，连接BʹD，求BʹD的最小值.28. 如图，某学校（A点）到公路（直线D）的距离为300m，到公交站（D点）的距离为500m，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，求商店C与车站D之间的距离．答案1. D2. D【解析】∵AB=2.5米，AC=0.7米，∴BC=√AB2−AC2=2.4（米），∵梯子的顶部下滑0.4米，∴BE=0.4米，∴EC=BC−0.4=2米，∴DC=√DE2−EC2=1.5米．∴梯子的底部向外滑出AD=1.5−0.7=0.8（米）．3. D【解析】将正方体的前面、上面展开放在同一平面上，连接AB，如图所示，爬行的最短路径为线段AB．由勾股定理得，AB2=(1+1)2+12=5，故选D．4. C【解析】①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或√7，错误；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2=AB2，则∠C=90∘，错误；③在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:5:6，则△ABC是直角三角形，正确；④若三角形的三边长之比为3:4:5，则该三角形是直角三角形，正确；故选：C．5. A【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AB=√BC2+AC2=√82+62=10，由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6，∠DEA=∠C=90∘，∴BE=AB−AE=10−6=4，∠DEB=90∘，设DC=x，则BD=8−x，DE=x，在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，即42+x2=(8−x)2，解得：x=3，∴CD=3．6. D 【解析】设芦苇长AB=ABʹ=x尺，则水深AC=(x−1)尺，因为边长为10尺的正方形，所以BʹC=5尺．在Rt△ABʹC中，52+(x−1)2=x2，解之得x=13，即水深12尺，芦苇长13尺．故选：D．7. C 【解析】如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则SE=BC=12×24=12cm，EF=18−1−1=16cm，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF=√SE2+EF2=√122+162=20(cm)，答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．8. C【解析】A．正面向上的可能性为12；B．正面不向上的可能性为12；C．正面或反面向上的可能性为1；D．正面和反面都不向上的可能性为0．9. C【解析】设CD=x，则DE=a−x，∵HG=b，∴AH=CD=AG−HG=DE−HG=a−x−b=x，∴x=a−b2，∴BC=DE=a−a−b2=a+b2，∴BD2=BC2+CD2=(a+b2)2+(a−b2)2=a2+b22，∴BD=√a2+b22．10. B【解析】设AF=x cm，则DF=(8−x)cm .∵矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，∴DF=DʹF．在Rt△ADʹF中，∵AF2=ADʹ2+DʹF2，∴x2=62+(8−x)2 .解得x=25.411. A 【解析】如图，在Rt△ACB中．∵∠ACB=90∘，BC=0.7米，AC=2.4米，AB2=AC2+BC2，∴AB2=0.72+2.42=6.25．在Rt△AʹBD中，∵∠AʹBD=90∘，AʹD=2米，BD2+AʹD2=AʹB2，∴BD2+22=6.25．∴BD2=2.25．∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．即小巷的宽度为2.2米，故答案选A．12. 2【解析】∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，∴AC=√AB2+BC2=√12+12=√2；AD=√AC2+CD2=√(√2)2+12=√3；AE=√AD2+DE2=√(√3)2+12=2．13. 314. 2.6【解析】如图，将木块看成是由纸片折成的，将其拉平成一个长方形，连接AC，AB=2+0.2×2=2.4米，BC=1米，∴AC2=2.42+12=6.76=2.62，∴AC=2.6米，∴妈蚁从A处爬行到C处需要走的最短路程为2.6米．15. 2√3cm216. 9【解析】在Rt△ABC中：∵∠CAB=90∘，BC=17米，AC=8米，∴AB=√BC2−AC2=√172−82=15（米），∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD=17−1×7=10（米），∴AD=√CD2−AC2=√102−82=6（米），∴BD=AB−AD=15−6=9（米），答：船向岸边移动了9米．17. 3218. 2米【解析】若假设竹竿长x米，则水深(x−0.5)米，由题意得，x2=1.5x+(x−0.5)2，解之得，x=2.5．所以水深2.5−0.5=2米．19. 2【解析】∵△ABC中，∠ABC=90∘，∴AB2+BC2=AC2，∴BC2=AC2−AB2．∵BC2=S1，AB2=S2=4，AC2=S3=6，∴S1=S3−S2=6−4=2．20. C，没有考虑a=b的情况，△ABC是等腰三角形或直角三角形21. x−3，(x−3)2+82=x2【解析】x−3；由题意可知AB⊥BC，由勾股定理可得(x−3)2+82=x2．22. 由题意得DB=AD；设CD=xcm，则AD=DB=(8−x)cm，∵∠C=90∘，∴在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2−CD2=AC2，即(8−x)2−x2=36，解得x=7；4cm．即CD=7423. 这只小鸟至少经过5s才能到达大树和伙伴在一起．秒或2秒24. 221325. 在△AOB中，OA=3，OB=4，AB=5，所以OA2+OB2=AB2，所以△AOB是直角三角形，且∠AOB=90∘，在△COD中，OC=5，OD=12，CD=13，所以OC2+OD2=CD2，所以△COD是直角三角形，且∠COD=90∘，所以∠BOC+∠AOD=∠AOB+∠COD=90∘+90∘=180∘．26. （1）如图1，AB=√17，点M为线段AB的中点．（2）如图2，CD=2√13，点N为线段CD的中点．27. 如图，当∠BEF=∠DEF，点Bʹ在DE上时，BʹD的值最小.根据折叠的性质，得△EBF≌△EBʹF，所以EBʹ⊥FBʹ，EBʹ=EB .因为E是AB边的中点，AB=4，所以AE=EBʹ=2 .因为AD=6，所以DE=√62+22=2√10，所以BʹD=2√10−2 .28. 过点A作AB⊥l于点B，AD=500，AB=300，∴BD=400，设CD=AC=x，则BC=400−x，在Rt△ABC中，x2=(400−x)2+3002，x=312.5，∴CD=312.5m．。
第一章 最新勾股定理习题及答案
第一章勾股定理1．1探索勾股定理第1课时探索勾股定理基础题知识点1认识勾股定理1．(郑州月考)直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则斜边长是( D )A．2 B．3 C．4 D．52．下列说法正确的是( D )A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则c2＋b2＝a23．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，AB2＋AC2＋BC2的值为( A )A．18 B．9 C．6 D．无法计算4．(淮安中考)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( A )A．5B．6C．7D．255．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)若a＝6，c＝10，则b＝8；(2)若a＝5，b＝12，则c＝13；(3)若c＝25，b＝15，则a＝20.知识点2勾股定理的简单应用6．如图，做一个宽80 cm，高60 cm的长方形木框，需在相对角的顶点钉一根加固木条，则木条的长为( B ) A．90 cm B．100 cmC．105 cm D．110 cm7．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( D )8．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．9．已知等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，求等腰三角形的腰长．解：如图，因为AD 是BC 的中线， 所以BD ＝12BC ＝3，AD ⊥BC.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得 AB 2＝AD 2＋BD 2＝42＋32＝25. 所以AB ＝5，即腰长为5.易错点 考虑不全而漏解10．若一个直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，已知a 2＝25，b 2＝144，则c 2＝( D )A ．169B ．119C ．13或25D ．169或119中档题11．(资阳中考)如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB ＝90°，AE ＝6，BE ＝8，则阴影部分的面积是( C ) A ．48 B ．60 C ．76 D ．8012．如图，若∠BAD ＝∠DBC ＝90°，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝12，则CD ＝( B ) A ．5 B ．13 C ．17 D ．1813．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a ∶b ＝3∶4，c ＝100，其中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则b 的长为( C )A ．30B ．60C ．80D ．12014．(西安莲湖区期中)如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( B )A ．2B ．4C ．8D ．1615．已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1 800 cm 2，则斜边长为( A ) A ．30 cm B ．80 cmC ．90 cmD ．120 cm16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，且BD ＝4，则BC ＝8．17．在△ABC 中，AB ＝41，AC ＝15，高AH ＝9，则△ABC 的面积是234或126. 18．如图所示，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．解：因为△ABC 是直角三角形，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ， 由勾股定理，得 AC 2＝AB 2－BC 2， 所以AC ＝4 cm.又因为S △ABC ＝12AB·CD ＝12BC·AC ，所以CD ＝AC·BC AB ＝125 .所以CD 的长是125cm.综合题19．如图，已知AB ＝12，AB ⊥BC 于点B ，AB ⊥AD 于点A ，AD ＝5，BC ＝10，点E 是CD 的中点，求AE 的长．解：延长AE 交BC 于点F. 因为AB ⊥BC ，AB ⊥AD ， 所以AD ∥BC.所以∠D ＝∠C ，∠DAE ＝∠CFE. 又因为点E 是CD 的中点， 所以DE ＝CE.在△AED 和△FEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠C ，∠DAE ＝∠CFE DE ＝CE ，， 所以△AED ≌△FEC(AAS)． 所以AE ＝FE ，AD ＝FC. 因为AD ＝5，BC ＝10. 所以BF ＝5.在Rt △ABF 中，由勾股定理有AF 2＝AB 2＋BF 2. 所以AF ＝13.1所以AE＝2AF＝6.5.第2课时 验证勾股定理及其计算基础题知识点1 验证勾股定理1．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形，其中两个全等的直角三角形边AE 、EB 在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( D )A ．S △EDA ＝S △CEBB ．S △EDA ＋S △CEB ＝S △CDEC ．S 四边形CDAE ＝S 四边形CDEBD ．S △EDA ＋S △CDE ＋S △CEB ＝S 四边形ABCD2．用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，你能利用这个图形验证勾股定理吗？解：观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是(a ＋b)，里面小的正方形的边长为 c.大正方形面积可以表示为(a ＋b)2，也可以表示为12ab ×4＋c 2.对比这两种表示方法，可得出(a ＋b)2＝12ab ×4＋c 2.整理得c 2＝a 2＋b 2.因此利用这个图形可以验证勾股定理．知识点2 勾股定理的实际应用 3．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为2.5 m 的木梯，准备把梯子架到2.4 m 高的墙上，则梯脚与墙角的距离为( A )A ．0.7 mB ．0.8 mC ．0.9 mD ．1.0 m4．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9 m 远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m 处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m ．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答( A )A ．一定不会B ．可能会C ．一定会D ．以上答案都不对5．某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距50海里．6．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A 和B 的距离为100mm.7．如图是某小区一健身中心的平面图，活动区是面积为200 m 2的长方形，休息区是直角三角形，请你求出半圆形餐饮区的面积．解：AD 的长为20020＝10(m)．由勾股定理可得DE ＝6 m.所以半圆形餐饮区的面积S ＝12π×(6÷2)2＝92π(m 2)．答：半圆形餐饮区的面积为92π m 2.中档题8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为( D )A ．x 2－6＝(10－x)2B ．x 2－62＝(10－x)2C ．x 2＋6＝(10－x)2D ．x 2＋62＝(10－x)29．(襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若(a ＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( C )A ．3B ．4C ．5D ．610．一辆装满货物，宽为2.4 m 的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于( A ) A ．4.1 m B ．4.0 m C ．3.9 m D ．3.8 m11．如图，将一根20 cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 和12 cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是7cm.12．(西安雁塔区月考)《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方50 m 处，过了4 s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130 m ．这辆小汽车超速了吗？解：这辆小汽车超速了． 依题意，得AB ＝130 m ， AC ＝50 m ，由勾股定理得AB 2＝BC 2＋AC 2，也就是1302＝BC 2＋502，所以BC ＝120(m)． 小汽车速度为120÷4＝30(m/s)＝108(km/h)．因为小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70 km/h ， 所以这辆小汽车超速了．13．4个全等的直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．解：图形的总面积可以表示为： c 2＋2×12ab ＝c 2＋ab ，也可以表示为：a 2＋b 2＋2×12ab ＝a 2＋b 2＋ab ，所以c 2＋ab ＝a 2＋b 2＋ab ，即a 2＋b 2＝c 2.综合题14．十一国庆节快到了，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC ＝20 cm ，宽AB ＝16 cm 的长方形纸片ABCD ； ②如图，将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处． 请你根据①②步骤计算EC ，FC 的长．解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以△ADE≌△AFE.所以DE＝FE，AD＝AF.因为BC＝20 cm，AB＝16 cm，所以CD＝16 cm，AD＝AF＝20 cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝12 cm. 所以FC＝20－12＝8(cm)．因为四边形ABCD是长方形，所以∠C＝90°.设CE＝x，则DE＝EF＝16－x，在Rt△CEF中，由勾股定理，得(16－x)2＝64＋x2.解得x＝6.所以EC＝6 cm.1.2 一定是直角三角形吗基础题知识点1 直角三角形的判定1．(西安莲湖区期中)以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是( C ) A ．3，5，3 B ．4，6，8 C ．7，24，25 D ．6，12，132．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c 且a 2－b 2＝c 2，则下列说法正确的是( C ) A ．∠C 是直角 B ．∠B 是直角 C ．∠A 是直角 D ．∠A 是锐角3．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 的形状为( A )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对4．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60 cm ，宽为32 cm ，对角线长为68 cm ，则这个桌面合格(填“合格”或“不合格”)．5．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c 2＝58，则S △ABC ＝212. 6．如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝10，BC 边上的中线AD ＝12.求： (1)AC 的长度； (2)△ABC 的面积．解：(1)因为AD 是BC 的中线，BC ＝10， 所以BD ＝CD ＝5. 因为52＋122＝132， 所以BD 2＋AD 2＝AB 2. 所以∠ADB ＝90°. 所以∠ADC ＝90°.所以AC 2＝AD 2＋CD 2，即AC 2＝122＋52， 所以AC ＝13.(2)S △ABC ＝12CB·AD ＝12×10×12＝60.知识点2 勾股数7．下列一组数是勾股数的是( B )A ．6，7，8B ．5，12，13C ．0.3，0.4，0.5D ．10，15，188．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是15．9．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：答案不唯一，如5，12，13；7，24，25等．10．(西安雁塔区期中)如图，在四边形ABDC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，CD ＝13，BD ＝12，求这个四边形的面积．解：连接BC.在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，由勾股定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2＝32＋42＝25，则BC ＝5. 在△BDC 中，CD ＝13，BD ＝12，BC ＝5， BD 2＋BC 2＝122＋52＝169，CD 2＝132＝169， 所以BD 2＋BC 2＝CD 2.所以△BDC 为直角三角形，且∠CBD ＝90°.所以四边形ABDC 的面积为12AB·AC ＋12BC·BD ＝12×4×3＋12×5×12＝36.中档题11．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是( D ) A ．b 2＝c 2－a 2B ．a ∶b ∶c ＝3∶4∶5C ．∠C ＝∠A －∠BD ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶512．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( C )A. B.C. D.13．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形14．如图，方格中的点A ，B 称为格点(横竖线的交点)，以AB 为一边画△ABC ，其中是直角三角形的格点C 的个数为( B )A ．3B ．4C ．5D ．615．观察下列一组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；…；a ，b ，c.根据你的发现，写出当a ＝20时，b ＝99，c ＝101.16．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c ＋a ＝2b ，c －a ＝12b ，则△ABC 是什么特殊三角形？解：因为c ＋a ＝2b ，c －a ＝12b ，所以(c ＋a)(c －a)＝2b·12b.所以c 2－a 2＝b 2，即a 2＋b 2＝c 2. 所以△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形．综合题17．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6 cm ，AD ＝24 cm ，BC 与CD 的长度之和为34 cm ，其中点C 是直线l 上的一个动点，请你探究当点C 离点B 有多远时，△ACD 是以DC 为斜边的直角三角形．解：因为BC 与CD 的长度之和为34 cm ， 所以设BC ＝x cm ，则CD ＝(34－x)cm. 因为在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6 cm ， 所以AC 2＝AB 2＋BC 2＝62＋x 2.因为△ACD 是以DC 为斜边的直角三角形，AD ＝24 cm ， 所以AC 2＝CD 2－AD 2＝(34－x)2－242. 所以62＋x 2＝(34－x)2－242. 解得x ＝8， 即BC ＝8 cm.答：当点C 离点B 8 cm 时，△ACD 是以DC 为斜边的直角三角形．1.3勾股定理的应用基础题知识点1勾股定理在生活中的应用1．如图，湖的两端有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝130 m，CB＝120 m，则AB为( C )A．30 m B．40 m C．50 m D．60 m2．一个圆柱形的油桶高120 cm，底面直径为50 cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为( D )A．5 cm B．100 cm C．120 cm D．130 cm3．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照如图所示的探宝图，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( D )A．20 km B．14 km C．11 km D．10 km4．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高0.9 m，宽1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需1.5__m长．5．一渔船从A点出发，向正北方向航行5公里到B点，然后从B点向正东方向航行12公里至C点，则AC 长为13公里．6．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长，已知滑梯的高度CE＝3 m，CD＝1 m，求滑道AC的长．解：设AC的长为x m.因为AC＝AB，所以AB＝AC＝x m.因为EB＝CD＝1 m，所以AE＝(x－1)m.在Rt△AEC中，AC2＝CE2＋AE2，即x2＝32＋(x－1)2.解得x＝5.所以滑道AC的长为5 m.7．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5 m，顶端A在AC上运动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m 时，求滑竿顶端A下滑多少米？解：因为AB＝DE＝2.5，BC＝1.5，∠C＝90°，所以AC2＝AB2－BC2＝2.52－1.52＝4.所以AC＝2.因为BD＝0.5，所以在Rt△ECD中，CD＝CB＋BD＝2 m，CE2＝DE2－CD2＝2.52－22＝2.25.所以CE＝1.5.所以AE＝AC－EC＝0.5.答：滑竿顶端A下滑了0.5 m.知识点2立体图形中两点之间的最短距离8．如图，若圆柱的底面周长是30 cm，高是40 cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是( D )A．80 cm B．70 cm C．60 cm D．50 cm9．如图所示，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现使一绳子从点A出发，沿长方体表面到达C处，则绳子最短是5cm.中档题10．如图，已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160 m，再向东直走80 m后，可到神仙百货，则阿虎向西直走________m后，他与神仙百货的距离为340 m( C )A．100 B．180 C．220 D．26011．(绍兴中考)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m12．如图，在高3 m 、坡面线段距离AB 为5 m 的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需7m.13．如图是延安某地一个农家的窑洞的洞门示意图，其上方为半圆形．若长方形的对角线AC ＝2.5 m ，AD ＝1.5 m ，则洞口的面积为4.5m 2(π取3)．14．(本课时T9变式)如图，长方体的底面边长分别为1 cm 和3 cm ，高为6 cm.如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要10cm.15．如图，圆柱的底面周长为6 cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝6 cm ，点P 是BC 上一点，且PC ＝23BC.一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是多少？解：画侧面展开图，如图， 因为圆柱的底面周长为6 cm ， 所以展开图中AC ＝3 cm. 又因为PC ＝23BC ，所以PC ＝23×6＝4(cm)．在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2，得AP ＝5 cm. 所以蚂蚁爬行的最短距离是5 cm.综合题16．(运城盐湖区期末)(教材P15习题T5变式)阅读下列问题情景，回答问题：于公元1世纪成书的我国数学经典著作《九章算术》第一章第6题是：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”该题被称为“引葭赴岸”问题．公元12世纪，印度的数学家婆什迦罗在他的著作《丽罗娃提》中将该题编成一首诗歌，在中东和西欧国家广泛流传，成为著名的“莲花问题”(如图)，该诗为：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一遍；渔人观看忙向前，花离原位两尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？(1)这个问题可以用勾股定理来解答； (2)列方程求出“莲花问题”中湖水深度．解：设湖水深x 尺，则 x 2＋22＝(x ＋0.5)2， 解得x ＝154.答：湖水深度为154尺．小专题(一) 利用勾股定理解决最短路径问题——教材P19复习题T12的变式与应用几何体中最短路径基本模型如下：――→展开则AB 2＝B′A 2＋B′B 2将立体图形展开成平面图形→利用两点之间线段最短确定最短路线角三角形→利用勾股定理求解【教材母题】 (教材P19复习题T12)如图，长方体的长为15 cm ，宽为10 cm ，高为20 cm ，点B 离点C 的距离是5 cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短路程是多少？【解答】 ①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1， 所以BD ＝CD ＋BC ＝10＋5＝15，AD ＝20. 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得 AB 2＝AD 2＋BD 2＝202＋152＝625. 所以AB ＝25.②把长方体的上侧表面剪开与右面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2， 所以BD ＝CD ＋BC ＝20＋5＝25，AD ＝10. 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得 AB 2＝AD 2＋BD 2＝102＋252＝725.③把长方体的上侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3， 所以AC ＝CD ＋AD ＝10＋20＝30. 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝302＋52＝925.因为625<725<925，即路程最短的是第①种情况，所以最短路程是25 cm.1．如图所示，一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是( A )A．10 cm B．14 cm C．20 cm D．无法确定2．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是25dm.3．(西安雁塔区月考)有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE ＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．(1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；(2)求蚂蚁爬行的最短路线长．解：(1)作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，连接AQ，蚂蚁沿着A→Q→G的路线爬行时，路程最短．(2)因为在Rt△A′EG中，A′E＝80 cm，EG＝60 cm，由勾股定理有A′E2＋EG2＝A′G2，所以A′G＝100 cm.且AQ＋QG＝A′G，所以最短路线长为100 cm.小专题(二) 利用勾股定理解决折叠问题1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( A )A ．1 cmB ．1.5 cmC ．2 cmD ．3 cm2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 上的点F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于( B )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( D )A.252 cmB.152 cmC.254 cmD.154cm4．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝8 cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F.若AF ＝254cm ，则AD 的长为( C )A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．7 cm5．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C′处，BC′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( B )A ．3 B.154C ．5 D.1526．(郑州月考)如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使其对角顶点A 与C 重合．若长方形的长BC 为8，宽AB为4，则折痕EF叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是6__cm2.对应点为点A′，且B′C＝3，求AM的长．解：连接BM，B′M.因为四边形ABCD为正方形，所以∠A＝∠D＝90°.由题意，得DB′＝9－3＝6，BM＝B′M.设AM＝x，则DM＝9－x.由勾股定理，得x2＋92＝BM2，(9－x)2＋62＝B′M2，所以x2＋92＝(9－x)2＋62，解得x＝2，即AM的长为2.章末复习(一) 勾股定理分点突破知识点1 勾股定理及其验证1．(西安雁塔区月考)如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在格点上，BD ⊥AC 于点D ，则BD 的长为( B )A.125B.245C.45D.352．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为( B )A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．10 cm3．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( D )知识点2 直角三角形的判别4．在△ABC 中，AB ＝12 cm ，AC ＝9 cm ，BC ＝15 cm ，则S △ABC 等于( A ) A ．54 cm 2 B ．108 cm 2 C ．180 cm 2 D ．90 cm 2 5．下列说法中，错误的是( D )A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A －∠B ，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3，则△ABC 为直角三角形 C ．在△ABC 中，若a ＝35c ，b ＝45c ，则△ABC 为直角三角形D ．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，则△ABC 为直角三角形6．如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝14，BC 边上的中线AD ＝24，试说明△ABC 是等腰三角形．解：因为AB ＝25，AD ＝24，BD ＝12BC ＝12×14＝7， AD 2＋BD 2＝242＋72＝625＝252＝AB 2，所以△ADB 为直角三角形，且∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC.在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝242＋72＝625，所以AC ＝25.所以AB ＝AC.故△ABC 是等腰三角形．知识点3 勾股定理的应用7．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200 m ，他在水中实际游了520 m ，那么该河的宽度为( C )A ．440 mB ．460 mC ．480 mD ．500 m8．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇．公路PQ 上A 处距离O 点240 m ，与MN 这条铁路的距离是120 m ．如果火车行驶时，周围200 m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72 km/h 的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间是多少？解：作AD ⊥MN ，并作AB ＝AC ＝200 m 交MN 于点B ，C.因为AD ＝120 m ，所以BD 2＝AB 2－AD 2＝2002－1202.所以BD ＝160.BC ＝160×2＝320(m)＝0.32(km)，t ＝0.32÷72×3 600＝16(s)．答：A 处受噪音影响的时间是16 s.常考题型演练9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长(大于12AB)为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E.若AC ＝3，AB ＝5，则DE 等于( C )A ．2 B.103 C.158 D.15210．(西安雁塔区月考)在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 上的高AD 长为12，则△ABC 的面积为( C )A ．84B ．24C ．24或84D ．42或8411．(泰州中考)如图，在长方形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP, PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，则AP 的长为4.8.12．(西安碑林区月考)如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，BC 边上的中线AD ＝6，则△ABD 的面积是15.13．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2－1，c ＝m 2＋1，那么a ，b ，c 为勾股数．请你说明理由．你能利用这个结论得出一些勾股数吗？解：因为a 2＝4m 2，b 2＝m 4－2m 2＋1，c 2＝m 4＋2m 2＋1，a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形，∠C 为直角．又m 为大于1的整数，故2m ，m 2－1，m 2＋1都是正整数，因此，a ，b ，c 为勾股数．利用这个结论可以得出勾股数：如4，3，5；8，15，17等．14．如图，小明把一根长为160 cm 的细铁丝弯折成三段，将其做成一个等腰三角形风筝的边框ABC ，已知风筝的高AD ＝40 cm ，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？解：设腰长AB ＝AC ＝x ，则BC ＝160－2x ，BD ＝12BC ＝80－x. 在Rt △ABD 中，AB 2＝BD 2＋AD 2，即x 2＝(80－x)2＋402.解得x ＝50.所以AB ＝AC ＝50 cm ，BC ＝160－2×50＝60(cm)．所以小明先量取铁丝50 cm 弯折一次，再量取50 cm 弯折一次，然后将铁丝的两端点对接即可得到等腰三角形风筝的边框ABC.15．如图，一根长度为50 cm 的木棒的两端系着一根长度为70 cm 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？解：分两种情况(设AB 为木棒)：①如图1，当∠B ＝90°时，设BC ＝x cm ，则AC ＝(70－x)cm.在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2，即(70－x)2＝502＋x 2，解得x ＝1207， 则AC ＝70－x ＝3707.②如图2，当∠C ＝90°时，根据勾3股4弦5可知这两段绳子的长度分别为30 cm 和40 cm.答：该点将绳子分成长度分别为1207 cm 和3707cm 的两段或30 cm 和40 cm 的两段．。
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第一章勾股定理单元检测题(满分：120分 时间：120分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线为4，它的腰长为() A．7 B．6 C．5 D．42．一直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边的长的平方为() A．25 B．7 C．5 D．25或73．在△ABC中，AB＝15，BC＝12，AC＝9，则△ABC的面积为() A．180 B．90 C．54 D．1084．如图所示，AB⊥CD于点B，△ABD和△BCE都是等腰三角形，如果CD＝17，BE＝5，那么AC的长为()A．12 B．7 C．5 D．13,第4题图 ,第8题图) ,第10题图)5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离为( )A. B. C. D.6．如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则这个三角形一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7．一架2.5米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端离墙0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子底部在水平方向上滑动( )A．0.9米B．0.8米C．0.5米D．0.4米8．如图所示，圆柱高8 cm，底面圆的半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃蜂蜜，则要爬行的最短路程是()A．20 cm B．10 cm C．14 cm D．无法确定9．在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，那么△ABC的周长为()A．32 B．42 C．32或42 D．以上都不对10．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处，若AB＝3，AD＝4，则ED的长为()A. B．3 C．1 D.二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，两个正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为___.,第11题图) ,第15题图) ,第16题图) ,第17题图)12．△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，a＋b＋c是3的倍数，则c应为___，此三角形为____三角形．13．小红从家里出发向正北方向走80米，接着向正东方向走150米，现在她离家的距离是____米．14．小雨用竹竿扎了一个长80 cm，宽60 cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹竿作斜拉竿将四边形定形，则斜拉竿的长是____ cm.15．如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，在Rt△ABF 中，∠AFB＝90°，AF＝3，AB＝5，则四边形EFGH的面积是____. 16．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP 的最小值是____.17．如图有一个棱长为9 cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点(C点在一条棱上，距离顶点B 3 cm处)，需爬行的最短路程是___cm.18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则C′D的长为___.三、解答题(共66分)19．(9分)如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题：(1)求△ABC的面积；(2)判断△ABC是什么形状，并说明理由．20．(9分)如图，AF⊥DE于F，且DF＝15 cm，EF＝6 cm，AE＝10 cm.求正方形ABCD的面积．21．(9分)一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的A点处，升起云梯到发火的窗口点C.已知云梯BC长15米，云梯底部B距地面A为2.2米，问发生火灾的窗口距地面有多少米？22．(9分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE＝4，FC ＝3，求EF的长．23．(10分)如图，∠AOB＝90°，OA＝45 cm，OB＝15 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？24．(10分) 如图，已知∠MBN＝60°，在BM，BN上分别截取BA＝BC，P是∠MBN内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连接PQ，求证∠PQC＝90°.25．(10分)如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80 m，现有一拖拉机在公路MN上以18 km/h 的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100 m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？答案：一、选择题(每小题3分，共30分)1—5 CDCDA 6—10 BBBCA二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，两个正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为__5__.,第11题图) ,第15题图) ,第16题图) ,第17题图)12．△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，a＋b＋c是3的倍数，则c应为__13__，此三角形为__直角__三角形．13．小红从家里出发向正北方向走80米，接着向正东方向走150米，现在她离家的距离是__170__米．14．小雨用竹竿扎了一个长80 cm，宽60 cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹竿作斜拉竿将四边形定形，则斜拉竿的长是__100__ cm.15．如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，在Rt△ABF 中，∠AFB＝90°，AF＝3，AB＝5，则四边形EFGH的面积是__1__. 16．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP 的最小值是____.17．如图有一个棱长为9 cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点(C点在一条棱上，距离顶点B 3 cm处)，需爬行的最短路程是__15__cm.18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则C′D的长为__3__.三、解答题(共66分)19．(9分)如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题：(1)求△ABC的面积；(2)判断△ABC是什么形状，并说明理由．解：(1)用正方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出△ABC的面积．S△ABC＝4×4－1×2×－4×3×－2×4×＝16－1－6－4＝5，∴△ABC的面积为5(2)△ABC是直角三角形．理由如下：∵AB2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，BC2＝32＋42＝25，∴AC2＋AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形20．(9分)如图，AF⊥DE于F，且DF＝15 cm，EF＝6 cm，AE＝10 cm.求正方形ABCD的面积．解：在Rt△AEF中，AF2＝AE2－EF2＝64，在Rt△AFD中，AD2＝AF2＋DF2＝289，所以正方形ABCD的面积是28921．(9分)一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的A点处，升起云梯到发火的窗口点C.已知云梯BC长15米，云梯底部B距地面A为2.2米，问发生火灾的窗口距地面有多少米？解：在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144，所以CD＝12米，即火灾的窗口距地面有12＋2.2＝14.2米22．(9分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE＝4，FC ＝3，求EF的长．解：连接BD，证△BDE≌△CDF，得BE＝FC，∴AB＝7，BF＝4，在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2＝25，即EF＝523．(10分)如图，∠AOB＝90°，OA＝45 cm，OB＝15 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，时间相同．即BC ＝CA，设AC＝x，则OC＝45－x，在Rt△BOC中，OB2＋OC2＝BC2，即152＋(45－x)2＝x2，解得：x＝25.所以机器人行走的路程BC是25 cm 24．(10分) 如图，已知∠MBN＝60°，在BM，BN上分别截取BA＝BC，P是∠MBN内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连接PQ，求证∠PQC＝90°.解：(1)AP＝CQ.∵∠ABP＋∠PBC＝60°，∠QBC＋∠PBC＝60°，∴∠ABP＝∠QBC，又∵AB＝BC，BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ，AP ＝CQ(2)设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，连接PQ，在△PBQ中，∵PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60°，∴△PBQ为等边三角形，∴PQ＝4a，在△PQC中，∵PQ2＋QC2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2，∴△PQC为直角三角形，即∠PQC＝90°25．(10分)如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80 m，现有一拖拉机在公路MN上以18 km/h 的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100 m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？解：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时，结束了噪声的影响，则有CA＝DA＝100 m，在Rt△ABC中，CB2＝1002－802＝602，∴CB＝60 (m)，∴CD＝2CB＝120 m．∵18 km/h＝5 m/s，∴该校受影响的时间为120÷5＝24 (s)．即该校受影响的时间为24 s。