(完整版)八年级上册第一章《勾股定理》测试题(附答案
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理含答案【参考答案】
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=5，BC=3，那么AC等于（）A. B.3 C.4 D.52、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q。
若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为（)A.14B.15C.8D.63、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD 于F，则PE+PF等于（）A. B. C. D.4、直角三角形的两条直角边长分别为4和6，那么斜边长是（）A.2B.2C.52D.5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积．下列方案中，错误的是( )A. B. C. D.6、⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3 cm，则⊙O的直径为（）A.4 cmB.5 cmC.8 cmD.10 cm7、⊙o的半径是13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是（）A.7B.17C.7或17D.48、如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）A.7B.8C.9D.109、若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（）A.169B.169或119C.169或225D.22510、如图所示，在矩形ABCD中，AD=8，DC=4，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点,A,B,E在同一直线上），连接CF，则CF=( )A.10B.12C.D.11、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A. B. C. D.12、如图，在边长为2的正方形中，点为对角线上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为（）A.1B.C.D.13、如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B最大时，BC的长是（）A.1B.5C.D.14、以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（）A.3，4，5B.4，5，6C.5，12，13D.6，8，1015、如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边＝6＋3 ．其中正确的结论有（）形AOBO′A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如果一个直角二角形的两条直角边的长分别是5和12，那么这个直角三角形斜边长是________。
八年级数学上册第一章勾股定理单元测试卷(含答案)
第一章勾股定理单元测试卷一.选择题（共12小题）1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（）A.3B.4C.2D.4(第1题) (第4题) (第5题) 2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：63.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.﹣1B.+1C.﹣1D.+15.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.3，4，5C.5，10，13D.2，3，47.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里(第7题) (第9题) (第10题)8.△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4B.6C.8D.1011.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米(第11题) (第12题) 12.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC=8cm，AC=17cm，AB=5cm，BD=10m，则C，D两辆车之间的距离为（）A.5mB.4mC.3mD.2m二.填空题（共5小题）13.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为.(第13题) (第14题) (第15题)14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米.15.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是.16.如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为.17.如果矩形的周长是14cm，相邻两边长之比为3：4，那么对角线长为cm.三.解答题（共5小题）18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？19.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？20.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，求线段AE的长.21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE.求证：BE2=AC2+AE2.22.（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系.（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系并证明.参考答案一.选择题（共12小题）1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD 的长为（）A.3B.4C.2D.4【解答】解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；Rt△DOC中可得：DO2=DC2﹣CO2；∴可得AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2=18，即可得AD==3.故选A.2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：6【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.故选D.3.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形【解答】解：∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形.故选：C.http://www、czsx、com、cn4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.﹣1B.+1C.﹣1D.+1【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=5，在Rt△ADC中，DC===1，∴BC=+1.故选D.5.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.【解答】解：△ABC的面积=×BC×AE=2，由勾股定理得，AC==，则××BD=2，解得BD=，故选：A.6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.3，4，5C.5，10，13D.2，3，4【解答】解：A、12+12≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误；B、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项正确；C、52+102≠132，不能构成直角三角形，故此选项错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误.故选B.7.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里【解答】解：连接BC，由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），CB==40（海里），故选：C.8.△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.不能确定【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5，∴BC=9﹣5=4.∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.综上所述，△ABC的周长是42或32.故选：C.9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，∴AC==3，∴这个直角三角形的面积=AC•BC=3，故选A.10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4B.6C.8D.10【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=17，四个直角三角形的面积是：ab×4=17﹣5=12，即：ab=6.故选：B.11.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米【解答】解：由题意可知.BE=CD=1、5m，AE=AB﹣BE=4、5﹣1、5=3m，BD=5m由勾股定理得CE==4m故离门4米远的地方，灯刚好打开，故选A.12.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC=8cm，AC=17cm，AB=5cm，BD=10m，则C，D两辆车之间的距离为（）A.5mB.4mC.3mD.2m【解答】解：在RT△AOC中，∵OA2+OC2=AC2，∴OA===15（m），∴OB=0A+AB=20m，在RT△BOD中，∵BD2=OB2+OD2，∴OD===10（m），∴CD=OD﹣OC=2m，故选：D.二.填空题（共5小题）13.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2.【解答】解：当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=120°，∴∠AOP=60°，∴△AOP为等边三角形，∴∠OAP=60°，∴∠∠PBA=30°，∴AP=AB=2；情况二：如图2，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=BO，∵∠AOC=120°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴∠OBP=60°，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠BAP=90°时，如图3，∵∠AOC=120°，∴∠AOP=60°，∴AP=OA•tan∠AOP=2×=2.故答案为：2或2.14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯 2 米.【解答】解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m.又∵梯子的长度不变，在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m.则AA′=8﹣6=2m.15.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm.=24﹣12=12cm.【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm.所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm.故答案是：11cm≤a≤12cm.16.如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为.【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得DD′==3，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′==，∴BD=CD′=，故答案为：.17.如果矩形的周长是14cm，相邻两边长之比为3：4，那么对角线长为 5 cm. 【解答】解：设矩形的相邻两边的长度分别为3acm，4acm，由题意3a+4a=7，a=1，所以矩形的相邻两边分别为3cm，4cm，所以对角线长==5cm，故答案为5.三.解答题（共5小题）18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【解答】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA′=20米，BC′==15（米），则：CC′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米.19.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，在Rt△BCD中，BC=3，DB=，根据勾股定理得：CD==，在Rt△ACD中，AC=4，CD=，根据勾股定理得：AD==；（2）△ABC为直角三角形，理由为：∵AB=BD+AD=+=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.20.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，求线段AE的长.【解答】解：∵BC⊥AB，CD⊥AC，AC⊥DE，∴∠B=∠ACD=∠ADE=90°，∵AB=BC=CD=DE=1，∴在Rt△ACB中，AC═==，∴在Rt△ACD中，AD===，在Rt△ADE中，AE===2.21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE.求证：BE2=AC2+AE2.【解答】证明：∵如图，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，∴CE=BE.∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∴由勾股定理得到：CE2=AC2+AE2∴BE2=AC2+AE2.22.（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系.（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系并证明.【解答】解：（1）S2+S3=S1，由三个四边形都是正方形则：∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.（2）∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.（3）∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.。
北师大版八年级上册数学第一单元《勾股定理》测试卷(含答案)
北师大版八年级上册数学第一单元《勾股定理》测试卷(含答案)一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列说法中，正确的是（）A. 在任意三角形中，最长边的平方等于另外两边平方和B. 在直角三角形中，最长边的平方等于另外两边平方和C. 在直角三角形中，最长边的平方小于另外两边平方和D. 在直角三角形中，最长边的平方大于另外两边平方和答案：B2. 已知直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm，那么它的斜边长是（）A. 10cmB. 14cmC. 12cmD. 16cm答案：A3. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB 的长度是（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 下列三角形中，能构成直角三角形的是（）A. 3, 4, 5B. 5, 6, 7C. 8, 9, 10D. 10, 11, 12答案：A5. 一个三角形的三边长分别是3cm、4cm和5cm，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定答案：B6. 下列关于勾股定理的说法，错误的是（）A. 勾股定理的适用范围是直角三角形B. 勾股定理可以用来求直角三角形的斜边长C. 勾股定理可以用来判断一个三角形是否为直角三角形D. 勾股定理只适用于直角三角形的直角边答案：D7. 如果一个三角形的两边长分别为5cm和12cm，那么第三边的长度可能是（）A. 13cmB. 14cmC. 15cmD. 16cm答案：A8. 在直角三角形中，如果最长边的长是10cm，那么另外两边长的可能取值是（）A. 6cm和8cmB. 5cm和12cmC. 3cm和4cmD. 2cm和3cm答案：B9. 已知直角三角形的斜边长为10cm，其中一条直角边长为6cm，那么另一条直角边长为（）A. 4cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm答案：B10. 下列图形中，不能用勾股定理求解的是（）A. 正方形B. 矩形C. 等腰三角形D. 直角三角形答案：C二、填空题（每题4分，共40分）11. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=__________。
八年级上册数学第一章勾股定理同步练习(含答案)
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．C F60cm．3．134．D．5．25km．6．4．7．3 cm．1.1 探索勾股定理第2课时验证勾股定理1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案1.（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC =(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+722.①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.1.2 一定是直角三角形吗1.如图在∆ABC 中, BAC = 90, AD BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。
八年级数学上《第一章勾股定理》单元测试题(含答案)
第一章勾股定理一、选择题(每题3分，共30分)1．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是()A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝4，b＝5，c＝62．如图1所示，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝8，OP＝10，则PE的长为()图1A．5 B．6C．7 D．83．下列结论中，错误的有()①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝c2，则∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形．A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图2，将长为8 cm的橡皮筋放置在地面上，固定两端点A和B，然后把中点C向上拉升3 cm 至点D，则橡皮筋被拉长了()图2A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm5．将面积为8π的半圆与两个正方形按图3所示的方式摆放，则这两个正方形面积的和为()图3A ．16B ．32C ．8πD ．646．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足()a －b 2＋||b －2＋()c 2－82＝0，则下列对此三角形的形状描述最确切的是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形7．如图4所示，AC ⊥BD ，O 为垂足，设m ＝AB 2＋CD 2，n ＝AD 2＋BC 2，则m ，n 的大小关系为( )图4A ．m ＜nB ．m ＝nC ．m ＞nD ．不确定8．如图5，点D 在△ABC 的边AC 上，将△ABC 沿BD 翻折后，点A 恰好与点C 重合．若BC ＝5，CD ＝3，则BD 的长为( )图5A ．1B ．2C ．3D ．49．如图6，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑甲壳虫从点A 出发，白甲壳虫从点C 1出发，它们以相同的速度分别沿棱向前爬行．黑甲壳虫爬行的路线是：AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C →CB →BA →AA 1→A 1D 1…，白甲壳虫爬行的路线是：C 1C →CB →BB 1→B 1C 1→C 1C →CB …，那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的最短路程的平方是( )图6A ．2B ．3C ．4D ．510．如图7所示，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为()图7A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题(每题3分，共18分)11．在△ABC中，若AC2＋BC2＝AB2，∠A∶∠B＝1∶2，则∠B的度数是________．12．古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是____________．13．木工师傅做了一个桌面，要求桌面为长方形，现量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线的长为68 cm，则这个桌面________．(填“合格”或“不合格”)14．一座垂直于两岸的桥长27米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头36米，则小船实际行驶了________米．15．如图8所示，把长方形纸片ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好都落在AD边上的点P处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则BC边的长为________．图816．我国数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图9，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝15，则S2的值是________．图9三、解答题(共52分)17．(6分)如图10，△ABC中，D是BC上的一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.(1)判断AD与BC的位置关系，并说明理由；(2)求△ABC的面积．图1018．(6分)如图11所示，在长方形ABCD中，AB＝CD＝24，AD＝BC＝50，E是AD上一点，且AE∶DE＝9∶16，判断△BEC的形状．图1119．(6分)如图12是某同学设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走4 m，又往北走1.5 m，遇到障碍后又往西走2 m，再转向北走4.5 m处往东一拐，仅走0.5 m就到达了B处，则点A，B之间的距离是多少？图1220．(6分)如图13所示，有两根长杆隔河相对，一杆高3 m，另一杆高2 m，两杆相距5 m．两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．求两杆底部距小鱼的距离各是多少米．(假设小鱼在此过程中保持不动)图1321．(6分)如图14，河边有A，B两个村庄，A村距河边10 m，B村距河边30 m，两村平行于河边方向的水平距离为30 m，现要在河边建一抽水站，需铺设管道抽水到A村和B村．(1)求铺设管道的最短长度是多少，请画图说明；(2)若铺设管道每米需要500元，则最低费用为多少？图1422.(6分)有一个如图15所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；(2)试求小虫爬行的最短路程．图1523．(8分)如图16，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，设每个小正方形的边长均为1.(1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的位置关系，并说明理由；(2)如图②，连接三格和两格的对角线，求∠α＋∠β的度数(要求：画出示意图，并说明理由)．图1624．(8分)八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品时的第一、二个步骤是：①如图17，先裁下一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm 的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．请你根据步骤①②解答下列问题：(1)找出图中∠FEC的余角；(2)求EC的长．图17答案1．C 2．B 3．C 4．A5．D 6．C 7．B 8．D 9.D10．D 11．60°12．答案不唯一，如20，99，101 13．合格 14．45 15．24 16．517．解：(1)AD ⊥BC .理由如下： 因为BD 2＋AD 2＝62＋82＝102＝AB 2， 所以△ABD 是直角三角形，且∠ADB ＝90°， 所以AD ⊥BC .(2)在Rt △ACD 中，因为CD 2＝AC 2－AD 2＝172－82＝152，所以CD ＝15， 所以S △ABC ＝12BC ·AD ＝12(BD ＋CD )·AD ＝12×21×8＝84.18．解：因为AD ＝50，AE ∶DE ＝9∶16，所以AE ＝18，DE ＝32. 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2＝242＋182＝900. 在Rt △CDE 中，由勾股定理，得CE 2＝DE 2＋CD 2＝322＋242＝1600.在△BCE 中，因为BE 2＋CE 2＝900＋1600＝2500＝502＝BC 2，所以△BEC 是直角三角形．19．解：如图，过点B 作BC ⊥AD 于点C ，由图可知AC ＝4－2＋0.5＝2.5(m)，BC ＝4.5＋1.5＝6(m)．在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2＝2.52＋62＝42.25，所以AB ＝6.5(m)，即点A ，B 之间的距离是6.5 m.20．解：由题意可知AB ＝2 m ，CD ＝3 m ，BC ＝5 m ，AE ＝DE . 设BE ＝x m ，则EC ＝(5－x )m.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE 2＝AB 2＋BE 2. 在Rt △DCE 中，由勾股定理，得DE 2＝CD 2＋EC 2.所以AB2＋BE2＝CD2＋EC2，即22＋x2＝32＋(5－x)2，解得x＝3，则5－x＝2.所以杆AB底部距小鱼3 m，杆CD底部距小鱼2 m.21．解：(1)如图，过点A作AC⊥CE于点C，延长AC至点D，使CD＝AC，连接BD，交河边于点E，连接AE，则抽水站应建在点E处，可使铺设的管道最短，最短长度为AE＋BE，即BD的长．过点B作BF⊥AC于点F，由题意得：AC＝10 m，CF＝30 m，BF＝30 m，所以CD＝AC＝10 m，所以DF＝10＋30＝40(m)．在Rt△BDF中，BD2＝302＋402＝502，所以BD＝50(m)．即铺设管道的最短长度是50 m.(2)最低费用为50×500＝25000(元)．22．解：(1)如图所示，AQ→QG为最短路线．(2)因为AE＝40 cm，AA′＝120 cm，所以A′E＝120－40＝80(cm)．因为EG＝60 cm，所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000，所以A′G＝100 cm，所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100 cm，所以小虫爬行的最短路程为100 cm.23．解：(1)AB⊥BC.理由：如图①，连接AC.由勾股定理可得AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形且∠ABC＝90°，所以AB⊥BC.(2)∠α＋∠β＝45°.理由：如图②，由勾股定理得AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形且∠ABC＝90°.又因为AB＝BC，所以△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC＝45°，即∠α＋∠γ＝45°.由图可知∠β＝∠γ，所以∠α＋∠β＝45°.24．解：(1)∠CFE，∠BAF.(2)由折叠的性质，得AF＝AD＝20 cm，EF＝DE.设EC＝x cm，则EF＝DE＝(16－x)cm.在Rt△ABF中，BF2＝AF2－AB2＝202－162＝144，所以BF＝12(cm)，所以FC＝BC－BF＝20－12＝8(cm)．在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2＝FC2＋EC2，即(16－x)2＝82＋x2，解得x＝6，所以EC的长为6 cm.。
初中数学北师大版八年级上册 第一章 勾股定理单元测试(含答案)
第一章勾股定理一、选择题1. 若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．a=1.5，b=2，c=2.5B．a:b:c=3:4:5C．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:52. 在Rt△ABC中，若∠C=90∘，AC=3，BC=4，则点C到直线AB的距离为( )A．3B．4C．5D．2.43. 如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，且AB=BC=2，CD=3，DA=1，则∠DAB的度数为( )A．90∘B．120∘C．135∘D．150∘4. 如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要( )A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )A．47B．13C．11D．86. 如图，将一根长度为8 cm，自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3 cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了( )A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．2 cm7. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90∘，并测得BC长为16 m，若已知AC比AB长8 m，则A点和B点之间的距离为( )A．25 m B．12 m C．13 m D．43 m8. 如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．207二、填空题9. 在△ABC中，∠C=90∘．（1）已知a=10，b=24，那么c=．（2）已知b:c=4:5，a=9，那么b=，c=．10. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH=6，EF=2，那么AB等于．11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为．12. 如图，一个长方体长4 cm，宽3 cm，高12 cm，则它上下两底面的对角线MN的长为cm．13. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则可以判断△ABC的形状为．14. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=∘（点A，B，P是网格线的交点）．15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2=．三、解答题16. 在Rt△ABC中，∠C=90∘．(1) 已知a=8，c=17，求b．(2) 已知b=40，c=41，求a．17. 如图，在四边形ABCD中，∠DBC=90∘，AB=9，AD=12，BC=8，DC=17，求四边形ABCD的面积．18. 如图，滑竿在机械槽内运动，∠C=90∘，AB=2.5 m，BC=1.5 m，当底端B向右移动0.5 m时，顶端A下滑了多少米？19. 假期中，王强和同学到某海岛上去旅游．他们按照如图所示路线．在点A登陆后租借了自行车，骑车往东走8千米，又往北走2千米；遇到障碍后往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，走了1千米到达景点B．登陆点A到景点B的直线距离是多少千米？20. 若正整数a，b，c（a<b<c）满足a2+b2=c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯⋯第二类（a是偶数）：(6,8,10)，(8,15,17)，(10,24,26)，⋯⋯(1) 请再写出两组勾股数，每类各写一组；(2) 分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”．答案一、选择题1. D2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. D二、填空题9. 26；12；1510. 1011. x2+62=(10−x)212. 1313. 直角三角形14. 4515. 20三、解答题16.(1) 15．(2) 9．17. ∵∠DBC=90∘，DC=17，BC=8，∴BD2=CD2−BC2=172−82=225=152，∴BD=15．∵AD2+AB2=122+92=144+81=225，BD 2=225， ∴AD 2+AB 2=BD 2，∴△ABD 是直角三角形，且 ∠A =90∘，∴ 四边形 ABCD 的面积 =△ABD 的面积 +∠CBD 的面积 =12×9×12+12×15×8=54+60=114．18. 依题意得 AB =DE =2.5 m ，BC =1.5 m ，∠C =90∘，∴AC 2+BC 2=AB 2，即 AC 2+1.52=2.52，解得 AC =2 m ． ∵BD =0.5 m ， ∴CD =2 m ．在 Rt △ECD 中，CE 2+CD 2=DE 2， ∴CE =1.5 m ， ∴AE =0.5 m ．答：顶端 A 下滑了 0.5 m ．19. 10 千米．20.(1) 第一组（a 是奇数）：9,40,41（答案不唯一）；第二组（a 是偶数）：12,35,37（答案不唯一）．(2) 当 a 为奇数时，b =a 2−12，c =a 2+12；当 a 为偶数时，b =a 24−1，c =a 24+1．证明：当 a 为奇数时，a 2+b 2=a 2+(a 2−12)2=(a 2+12)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．当 a 为偶数时，a 2+b 2=a 2+(a 24−1)2=(a 24+1)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．。
(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．如图，动点P 从点A 出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S ，若8BC =，点P 移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（ ）A ．6B ．4πC ．8D ．102．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，已知3AC =，4BC =，则BD =（ ）A ．125B ．95C ．23D ．1653．如图，已知正方体纸盒的高为1，已知一只蚂蚁从其中一个顶点A ，沿着纸盒的外部表面爬行至另一个顶点B ，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）A 3B ．2C 5D 21 4．如图，用64个边长为1cm 的小正方形拼成的网格中，点A ，B ，C ，D ，E ，都在格点（小正方形顶点）上，对于线段AB ，AC ，AD ，AE ，长度为无理数的有（ ）．A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 5．下列数组是勾股数的是（ ） A ．2，3，4B ．0.3，0.4，0.5C ．5，12，13D ．8，12，15 6．若ABC 的三边长a 、b 、c 满足222681050a b c a b c ++=++-，那么ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则DE 的长为（ ）A ．103B ．256C ．203D ．1548．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=︒，12AC cm =，9BC cm =，将斜边AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC 17cmD ．94cm 9．如图，分别以直角三角形ABC 的三边为斜边向外作直角三角形，且AD CD =，CE BE =，AF BF =，这三个直角三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，且19S =，216S =，则S 3S =（ ）A ．25B ．32C ．7D ．1810．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一点，连结AD ，将ACD △沿AD 翻折，得到AED ，AE 交BD 于点F ．若2BD DC =，AB AD =，2AF EF =，2CD =，DFE △的面积为1，则点D 到AE 的距离为（ ）A ．1B ．65C ．5D ．211．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB ＝1；再以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，那么点P 表示的数是（ ）A ．2.2B 5C ．1+2D 612．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值为（ ）A ．25B ．19C ．13D ．169二、填空题13．如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若∠APB ＝α，则∠BPC 的度数为 ____（用含α的式子表示）．14．如图，在ABC 中，90C =∠，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若5AB =，3AC =，则ACD △的周长为__________．15．如图，在4×4方格中，小正方形格的边长为1，则图中阴影正方形的边长是____．16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝15，AC ＝12，那么Rt △ABC 的面积是_____． 17．我国古代数学善作《九章算术》中有这样一个问题：“分有池方一文，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，闻水深、度长各几何．”译文：“有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长分别是多少？”这根芦苇的长度为__________尺．18．如图，90AOB ∠=︒，9OA m =，3OB m =，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC 为__________．19．若一个直角三角形的两条直角边长分别是4和6，则斜边长为__________． 20．如图，它是四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短的直角边长为a ，较长的直角边为b ，那么+a b 的值为__________．三、解答题21．某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知4m AD =，3m CD =，AD DC ⊥，13m AB =，12m BC =，求这块地的面积．22．如图，ABC 中，∠C=90°，BC=5厘米，AB=55厘米，点P 从点A 出发沿AC 边以2厘米/秒的速度向终点C 匀速移动，同时，点Q 从点C 出发沿CB 边以1厘米/秒的速度向终点B 匀速移动，P 、Q 两点运动几秒时，P 、Q 两点间的距离是210厘米？23．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？24．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AC +AD ＝32，BD ＝5，CD ＝16，试确定AB 的长．25．如图，小区有一块三角形空地ABC ，为响应沙区创文创卫，美化小区的号召，小区计划将这块三角形空地进行新的规划，过点D 作垂直于AB 的小路DE ．经测量，15AB =米，13AC =米，12AD =米，5DC =米．（1）求BD 的长；（2）求小路DE 的长．26．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出AB 即可求解．【详解】解：圆柱的侧面展开图如图，点P 移动的最短距离为AS=5，根据题意，BS=12BC=4，∠ABS=90°， ∴22AS BS -2254-，∴圆柱的底面周长为2AB=6，故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图、最短路径问题、勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开图，得出点P 移动的最短距离是AS 是解答的关键．2．D解析：D【分析】勾股定理求出AB ＝5，设BD=x ，AD=5-x ，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =， ∴2222AB AC BC 345=+=+=，设BD=x ，AD=5-x ，∵CD AB ⊥∴∠CDA=∠CDB=90°，2222AC AD BC BD -=-，22223(5)4x x --=-，解得，x=165， 故选：D ．【点睛】 本题考查了勾股定理求线段长，解题关键是设未知数，根据勾股定理列方程． 3．C解析：C【分析】从正方体外部可分三类走法直接走AB 对角线，先走折线AD-DB ，或走三条棱，求出其长度，比较大小即可【详解】方法一：走两个正方形两接的面展开成日字形的对角线在三角形ABC 中，由勾股定理AB=2222AC +BC =2+1=5；方法二：走一面折线AD-BD，由勾股定理；方法三折线AE-ED-DB即AE+ED+DB=3；在正方体外部表面走有这三类走法，∵5<9，∴3，∵2>1，∴>，1∴>，2∴>，2+3∴)25>，∴>故选择：C．【点睛】本题考查蚂蚁爬行最短路径问题是考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用方法，会利用图形分析行走路径是解题关键．4．C解析：C【分析】先根据勾股定理求出AB，AC，AD，AE这4条线段的长度，即可得出结果．【详解】根据勾股定理计算得：=，5==，10长度为无理数的有2条，故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理及无理数．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．5．C解析：C【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，再利用勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：22223134,+=≠ 故A 不符合题意；0.3，0.4，0.5首先不是正整数，故B 不符合题意；22251216913,+== 故C 符合题意；2228126414420815,+=+=≠ 故D 不符合题意；故选：.C【点睛】本题考查的是勾股数的含义，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 6．B解析：B【分析】先用完全平方公式进行因式分解求出a 、b 、c 的值，再确定三角形的形状即可．【详解】解：222681050a b c a b c ++=++-，移项得，2226810500a b c a b c ++---+=，2226981610250a a b b c c +++++--=-，222(3)4)(0(5)a b c -+-+-=，30,40,50a b c -=-=-=，3,4,5a b c ===，2229,16,25a b c ===，222+=a b c ， ABC 是直角三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．7．C解析：C【分析】利用勾股定理求BC 的长度，连接AE ，然后设BE=AE=x ，结合勾股定理列方程求解．【详解】解：如图，∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°， ∴6BC ===，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BD=12AB=5，∠EDB=90°，AE=BE 连接AE ，设AE=BE=x ，则CE=x-6在Rt △ACE 中，222(6)8x x -+=，解得：253x =∴BE=AE=253 在Rt △BDE 中，ED=22222520()533BE BD -=-=． 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．8．A解析：A【分析】根据勾股定理可将斜边AB 的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB ，已知AC 的长，可将CE 的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD 的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，12AC cm =，9BC cm =，22AC BC +，根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm ，∵AC=12cm ，∴CE=AE-AC=3cm ，设CD=xcm ，则BD=9-x=DE ，在Rt △CDE 中，根据勾股定理得CD 2+CE 2=DE 2，即x 2+32=（9-x ）2，解得x=4，即CD 长为4cm ．故选：A ．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．9．A解析：A【分析】根据△ADC 为直角三角形且AD=CD ，可得到22211111=2224S AD AC AC =⨯=，同理可得到221=4S BC 及231=4S AB ，在△ACB 中，由勾股定理得出：222AB AC BC =+，继而可得312S S S =+，代入计算即可．【详解】解：∵△ADC 为直角三角形，且AD=CD ，∴在△ADC 中，有222AC AD CD =+，∴222AC AD =，即AC =， ∴22211111=2224S AD AC AC =⨯=， 同理可得：221=4S BC ，231=4S AB ， ∵∠ACB=90︒，∴222AB AC BC =+，即312111444S S S =+， ∴312S S S =+，∵19S =，216S =，∴3129+16=25S S S =+=，故答案为：A ．【点睛】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．10．B解析：B【分析】过A 作AG BC ⊥于点G ，根据2AF EF =可得3ADE ACD S S ∆∆==，再由勾股定理求得5AE AC ==，最后由三角形面积公式可求出点D 到AE 的距离．【详解】解：过A 作AG BC ⊥于点G∵1DFE S ∆=，2AF EF =∴2ADF S ∆=∴3ADE ACD S S ∆∆== ∵12ADC S CD AG ∆=⋅⋅ ∴3AG =∵AB AD =，AG BC ⊥∴2BD GB =由2BD CD =得，2GD CD ==∴224GC GD DC =+=+=在Rt AGC ∆中，225AC AG GC =+=∴5AE AC == ∴236255ADE S h AE ∆⨯=⋅== 故选：B ．【点睛】 本题考查了折叠问题，勾股定理定理，等腰三角形的性质以及三角形面积公式的应用，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．11．B解析：B【分析】根据题意可知AOB 为直角三角形，再利用勾股定理即可求出OB 的长度，从而得出OP 长度，即可选择．【详解】∵AB OA ⊥∴AOB 为直角三角形．∴在Rt AOB 中，22OB OA AB +根据题意可知2=1OA AB =，， ∴2221=5OB +又∵OB OP =，∴P故选：B ．【点睛】本题考查数轴和勾股定理，利用勾股定理求出OB 的长是解答本题的关键．12．A解析：A【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【详解】 解：由条件可得：22131131240a b ab a b ⎧+=⎪-⎪=⎨⎪>>⎪⎩， 解之得：32a b =⎧⎨=⎩． 所以2()25a b +=，故选A【点睛】本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力． 二、填空题13．【分析】由图可知AC 的长根据勾股定理可以求得PAPC 的长再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC 的形状从而可以得到∠CPA 的度数然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB 的度数【详解】设网格的长度为1则解析：90-α︒【分析】由图可知AC 的长，根据勾股定理可以求得PA 、PC 的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC 的形状，从而可以得到∠CPA 的度数，然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB 的度数．【详解】设网格的长度为1，则== ，AC=6222AP PC AC +=∴ △PAC 为等腰直角三角形∴∠CPA=90︒∴∠BPC=∠CPA−∠APB=90-α︒︒故答案为：90-α【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．7【分析】先根据勾股定理求出BC的长再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD即AD+CD=BC再由AC=6即可求出答案【详解】解：∵△ABC中∠C=90°AB=5AC=3∴BC==4∵DE是线段AB的解析：7【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD，即AD+CD=BC，再由AC=6即可求出答案．【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，∴=4，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD，即AD+CD=BC，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=3+4=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质求出AD+CD=BC是解题的关键．15．【分析】根据勾股定理即可得出结果【详解】解：正方形的边长=故答案为：【点睛】本题主要考查的是勾股定理掌握勾股定理的计算方法是解题的关键【分析】根据勾股定理即可得出结果．【详解】解：正方形的边长．【点睛】本题主要考查的是勾股定理，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．16．54【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可求出BC的长度即可解决问题【详解】解：∵在Rt△ABC中∠C＝90°AB＝15AC＝12∴BC＝＝＝9∴S△ABC＝×9×12＝54故答案为：54【点睛】本解析：54【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理可求出BC 的长度，即可解决问题．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，AC ＝12，∴BC ＝22AB AC - ＝221512-＝9．∴S △ABC ＝12×9×12＝54 故答案为：54．【点睛】本题考查勾股定理的知识，属于基础题，解题关键是掌握勾股定理的形式．17．13【分析】可以将其转化为数学几何图形如图所示根据题意可知EB 的长为10尺则BC ＝5尺设出芦苇长度AB ＝AB ＝x 尺表示出水深AC 根据勾股定理建立方程即可【详解】依题意画出图形设芦苇长AB ＝AB′＝x解析：13【分析】可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C ＝5尺，设出芦苇长度AB ＝AB'＝x 尺，表示出水深AC ，根据勾股定理建立方程即可．【详解】依题意画出图形，设芦苇长AB ＝AB′＝x 尺，则水深AC ＝（x ﹣1）尺，因为B'E ＝10尺，所以B'C ＝5尺， 在Rt △AB'C 中，∵CB′2+AC 2＝AB′2，∴52+（x ﹣1）2＝x 2，解得：x=13，故答案为：13．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．18．5m 【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等得到BC=AC 设BC=AC=xm 根据勾股定理求出x 的值即可【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等∴BC=AC设BC=AC=xm则解析：5m【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC=AC，设BC=AC=xm，则OC=（9-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，∴32+（9-x）2=x2，解得x=5．故答案为：5m．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．19．【分析】直接根据勾股定理求解可得【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6∴斜边长为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理在任何一个直角三角形中两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方即如果直解析：【分析】直接根据勾股定理求解可得．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6，∴故答案为：【点睛】本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．20．5【分析】根据题意结合图形求出ab与a2+b2的值原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值【详解】解：根据题意得：c2=a2+b2=134×ab=13-1=12即2ab=12则（a+b）2=a2解析：5【分析】根据题意，结合图形求出ab 与a 2+b 2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：c 2=a 2+b 2=13，4×12ab=13-1=12，即2ab=12， 则（a+b ）2=a 2+2ab+b 2=13+12=25，则a+b=5故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题21．224cm ．【分析】连接AC ，勾股定理计算AC=222234AD CD +=+，应用勾股定理的逆定理判定三角形ABC 是直角三角形，计算两个直角三角形的面积差即可．【详解】解：连接AC∵AD DC ⊥∴∠ADC=90°，在Rt △ADC 中，根据勾股定理，得AC=222234AD CD +=+ =5，在△ABC 中，∴22222251213AC BC AB +=+==，△ABC 是直角三角形，∴=-ABC ACD ABCD S SS 四边形 =51234-22⨯⨯ =242m （）．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC 是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．【分析】设P、Q两点运动x秒时，P、Q两点间的距离是210厘米，先利用勾股定理求出AC的长度，得到AP=2x厘米，CQ=x厘米，CP=（10﹣2x）厘米，再利用勾股定理得到（10﹣2x）2+x2=（210）2求出x的值.【详解】解：设P、Q两点运动x秒时，P、Q两点间的距离是210厘米.在△ABC中，∠C=90°，BC=5厘米，AB=55厘米，∴AC=2222-=-=10（厘米），(55)5AB BC∴AP=2x厘米，CQ=x厘米，CP=（10﹣2x）厘米，在Rt△CPQ内有PC2+CQ2=PQ2，∴（10﹣2x）2+x2=（210）2，整理得：x2﹣8x+12=0，解得：x=2或x=6，当x=6时，CP=10﹣2x=﹣2＜0，∴x=6不合题意舍去.∴P、Q两点运动2秒时，P、Q两点间的距离是210厘米.【点睛】此题考查勾股定理，动点问题与几何图形，熟练掌握勾股定理的计算公式并运用解决问题是关键.23．6【分析】在吸管（杯内部分）、杯底直径、杯高构成的直角三角形中，由勾股定理可求出杯内吸管部分的长度，再加上外露部分的长度即可求出吸管的总长．【详解】解：如图；杯内的吸管部分长为AC，杯高AB=12cm，杯底直径BC=5cm；Rt△ABC中，AB=12cm，BC=5cm；由勾股定理得：AC=13cm故吸管的长度最少要：13+4.6=17.6cm．24．13【分析】设AD＝x，则AC＝32﹣x，根据勾股定理可求出x的值，在直角三角形ABD中，再利用勾股定理即可求出AB的长．解：设AD ＝x ，则AC ＝32﹣x ，∵AD ⊥BC 于点D ，∴△ADC 和△ADB 是直角三角形，∵CD ＝16，∴x 2+162＝（32﹣x ）2，解得：x ＝12，∴AD ＝12，在直角三角形ABD 中，AB ＝13．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是设出未知数，利用勾股定理列出方程求解．25．（1）9米；（2）365米． 【分析】（1）先由13125AC AD CD ===，，，证明90,ADC ∠=︒ 可得90,ADB ∠=︒ 再由勾股定理可求BD 的长；（2）由,,DE AB AD BC ⊥⊥ 可得,AB DE AD BD =代入数据从而可得答案．【详解】解：（1）13125AC AD CD ===，，， 22222212516913,AD CD AC ∴+=+===90ADC ∴∠=︒，90ADB ∴∠=︒，15AB =，9.BD ∴====BD ∴为9米．（2）,,DE AB AD BC ⊥⊥11,22ABD S AB DE AD BD ∴== ,AB DE AD BD ∴= 15129DE ∴=⨯， 36.5DE ∴=DE ∴为365米． 【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高，掌握以上知识是解题的关键．26．2米【分析】先根据勾股定理求出AB 的长，同理可得出BD 的长，进而可得出结论．【详解】解：在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，0.7BC =米， 2.4AC =米，2220.7 2.4 6.25AB ∴=+=．在Rt △A BD '中，90A DB ∠'=︒，2A D '=米，222BD A D A B +'='，222 6.25BD ∴+=，2 2.25BD ∴=，0BD >，1.5BD ∴=米，0.7 1.5 2.2CD BC BD ∴=+=+=米，答：小巷的宽度为2.2米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．。
八年级数学(上)第一章《勾股定理》测试题及答案
八年级数学(上)第一章《勾股定理》测试题及答案选择题
1.一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）
A.4
B.8
C.10
D.12
2.小丰的妈妈买了一部29英寸(74m)的电视机,下列对29英寸的说法中正确的是()
A.小丰认为指的是屏幕的长度
B.小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度
C.小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长
D.售货员认为指的是屏幕对角线的长度
3.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D. 等腰三角形
4.一直角三角形的一条直角边长是 7cm，另一条直角边与斜边长的和是 49cm，则斜边的长()
A.18cm
B.20 cm
C.24 cm
D.25cm
填空题
1. 小华和小红都从同一点0出发，小华向北走了9米到 A 点，小红向东走了12米到了B点，则AB=_____米。
2.一个三角形三边满足(a+b)2-c2=2ab，则这个三角形是_____三角形。
3.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为 60cm，宽为
32cm，对角线为 68cm,这个桌面______(填“合格”或“不合格”)。
4.直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为_______。
参考答案：
选择题：CDCD
填空题：1.15；2.直角；3.合格；4.30。
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八年级上册数学
第1章检测题
一﹑选择题(每小题3分, 共30分)
1. 一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为 （ ）
A . 4
B . 8
C . 10
D . 12 2.小丰的妈妈买了一部29英寸(74cm)的电视机,下列对29英寸的说法中正确的是( )
A. 小丰认为指的是屏幕的长度
B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度
C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长
D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度
3.如图1，中字母A 所代表的正方形的面积为( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 64
4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A. 钝角三角形
B. 锐角三角形 B.
C. 直角三角形
D. 等腰三角形
5. 一直角三角形的一条直角边长是7cm , 另一条直角边与斜边长的和是49cm , 则斜边的长( )
A. 18cm
B. 20 cm
C. 24 cm
D. 25cm 6. 适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( )
①;51
,41,31===c b a ②,6=a ∠A=450; ③∠A=320, ∠B=580;
④;25,24,7===c b a ⑤.4,2,2===c b a
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
7. 在⊿ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则⊿ABC 是（ ）
A . 锐角三角形
B . 钝角三角形
C . 等腰三角形
D . 直角三角形
8. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角
（图1）
是( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
9.已知，如图2，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，
将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A ．6cm 2 B ．8cm 2 C ．10cm 2 D 12cm 2
10．已知，如图3，，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A ．25海里
B ．30海里
C ．35海里
D ．40海里 二﹑填空题 (每小题3分, 共24分)
11. 利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为
，该定理的结论其数学表达式是 ．
12.如图5， 等腰△ABC 的底边BC 为16, 底边上的高AD 为6, 则腰长AB 的长为____________.
13.如图6，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达
点B200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为_________ m.
14. 小华和小红都从同一点O 出发，小华向北走了9米到A 点，小红向东走了12米到了B 点，则________ AB 米．
15. 一个三角形三边满足(a+b)2-c 2＝2ab, 则这个三角形是 三角形. 16. 木工做一个长方形桌面, 量得桌面的长为60cm, 宽为32cm, 对角线为68cm,
（图4） （ 图5） A B C 200m 520m
D C
B A （图6） D
C B A O A B
D
（图2）
北
南 A
东
（图3）
这个桌面 (填”合格”或”不合格”).
17.直角三角形一直角边为cm
13，则它的面积为．
12，斜边长为cm
18. 如图7，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是.
三、解答题 (共46分)
19. (6分) 如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再
求解）
20. (6分)如图, 在△ABC中, AD⊥BC于D, AB=3, BD=2, DC=1, 求AC2的值.
A
B D C
21. (8分)小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长
为10m ，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？
22．(10分)如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域.
（1） A 城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2） 若A 城受到这次台风影响，那
么A 城遭受这次台风影响有多长时间？
四、创新探索题
一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B ’点,那么沿哪条路最近
,多少?已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm.
E
A
B
八年级下册第二单元测题参考答案
一1.C 2.D 3.D 4.C 5.D 6.A 7.D 8.C 9.A 10.D
二11、勾股定理，222
+=；12、10；13、480； 14、15；15、直角；16、
a b c
合格；17、30；18、25.
三19、13米
20、AC2＝6
21、矩形周长为28米。
22、（1）作AP⊥BD，求出AP＝160＜200，会受影响。
（2）以A为圆心，以200为半径画弧交BF于C、D，连结AC，可求出CD＝240千米，受影响时间为6小时。
附加题
四、创新探索题
分三种情况讨论，最短距离是5 cm.。