组合数学第三章容斥原理
组合数学中的容斥原理及其应用实例
组合数学中的容斥原理及其应用实例容斥原理又称为包含排斥原理，是组合数学中一个重要的计数技巧。
其思想是在计数过程中，先将需要计算的几个集合的元素个数求出，再减去它们的交集元素个数，最后加上它们的交集的交集元素个数。
用数学符号表示为：A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n = \sum_{i} A_i - \sum_{i<j} A_i\cap A_j + \sum_{i<j<k} A_i\cap A_j\cap A_k - \cdots + (-1)^{n-1}A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n其中，A_i 表示集合A_i中元素的个数。
容斥原理在计数问题中的应用是十分广泛的。
下面以几个实例来说明其具体应用。
例1：10个人围坐在一张圆桌周围，问将他们分成若干组，每组至少有3个人，共有多少种分法？解：我们可以以每个小组首位的编号来考虑不重不漏地表示方案数，设小组数量为k，则总方案数为\sum_{k=1}^{5} \binom{10}{k} (k-1)!，其中\binom{10}{k}表示从10个人中选k个人分成小组，(k-1)!表示考虑首位编号的排列数。
但是，这样计算会重复计算某些情况，比如将10个人随便分成3组时，第一组有4个人，第二组有3个人，第三组有3个人，这个方案在计算k=3和k=4时都会被算一次，因此需要使用容斥原理去除重复。
根据容斥原理，减去既有一个人被分在恰好一组的情况，又有两个人被分在恰好一组的情况，再加上既有一个人被分在恰好两组的情况，有：\sum_{k=1}^5 (-1)^{k-1} \binom{10}{k} (k-1)! +\binom{10}{1}\binom{9}{3}2! + \binom{10}{2}\binom{8}{3}\binom{5}{3}1!即：151200 - 19,008 + 1,680 = 134,592因此，共有134,592种分法。
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中常用的一种计数方法，可以用于解决涉及多个集合的计数问题。
它的基本思想是通过求解包含或排除一些元素的方式来计算所需的数量。
1. 容斥原理的基本形式：如果A₁，A₂，...，Aₙ是有限集合，并且S表示它们的并集，则有：|S| = |A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|，其中|X|表示集合X中元素的个数。
2. 两个集合的容斥原理：如果A和B是两个有限集合，则有：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。
3. 三个集合的容斥原理：如果A，B和C是三个有限集合，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|。
4. 四个集合的容斥原理：如果A，B，C和D是四个有限集合，则有：|A∪B∪C∪D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A∩B| - |A∩C| - |A∩D| -|B∩C| - |B∩D| - |C∩D| + |A∩B∩C| + |A∩B∩D| + |A∩C∩D| +|B∩C∩D| - |A∩B∩C∩D|。
5. n个集合的容斥原理：如果A₁，A₂，...，Aₙ是n个有限集合，则有：|A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|。
容斥原理的思想可以扩展到更多个集合的情况，通过求解交集和补集的方式来计算复杂集合的数量。
它在组合数学中具有广泛的应用，特别是在计数问题中常常能够提供简洁有效的解决方案。
第三章 容斥原理
对i=1,2,…,n，令
p1 = ∑ | Ai | ,
i =1 n
p2 = ∑∑ | Ai I A j | , L ,
i =1 j >i
n
pn =| A1 I A2 I L I An |,
q0 =| A1 I A2 I L I An |,
q1 = ∑ | A1 I A2 I L I Ai −1 I Ai I Ai +1 I L I An |,
如何通过Ai来 I Ai 或 I A 中元素的个数？
i
m
m
i =1
i =1
容斥原理: 容斥原理 ①S中均不具有性质P1, P2,…,Pm的元素个数为
m
IA
i =1
i
=| S | −∑ | Ai | + ∑ | Ai I A j | − ∑ | Ai I A j I Ak |
i =1 i≠ j i≠ j≠k
第三章 容斥原理及其应用
§3.1 容斥原理
容斥原理又称为排斥原理,它利用集合的基本运算 (交或并 交或并) 容斥原理 交或并 解决实际中的计数问题。 设S为一个有限集，A为其子集，则 |A|=|S|-|Ā|， 或 |Ā|=|S|-|A|。 若A1、A2为S的两个子集，则 |A1∪A2|=|A1|+|A2|-|A1∩A2|， |Ā1∩Ā2|=|S|- |A1|-|A2|+|A1∩A2|。 以上第二个公式的含义：先将所有元素容纳在内，再排斥掉 A1 和A2中元素，再重新容纳A1∩A2中元素。
恰好一门的教师数： q1＝P1－2P2 + 3P3＝4， 恰好教两门的老师数为： q2＝P2－3P3＝3。 例2 七人围圆桌就座，其中有三对夫妇，问 (1)所有夫妇均不相邻的坐法有多少种？(没有 男女相间的限制) (2)恰好有两对夫妇不相邻的坐法有多少种？ (即恰有一对夫妇相邻的坐法)
组合数学之容斥原理
对个人学习建议
01
深入理解容斥原理的 基本概念
要学好容斥原理，首先要深入理解其 基本概念和公式，掌握其基本原理和 思想。
02
多做练习题
通过大量的练习题，可以加深对容斥 原理的理解和掌握，提高解题能力和 思维水平。
03
拓展相关数学知识
容斥原理涉及到许多相关的数学知识 ，如集合论、概率论等。为了更好地 理解和应用容斥原理，建议学习者拓 展相关数学知识，建立完整的知识体 系。
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感谢聆听
有限制的排列问题
在n个元素中取出m个元素进行排列，要求某些元素必须相邻或某些元素不能相邻。可以 利用容斥原理，通过计算不满足条件的排列数，进而求得满足条件的排列数。
棋盘多项式问题
在n×n的棋盘上放置k个棋子，要求任意两个棋子不在同一行或同一列上。可以利用容斥原理， 通过计算至少有两对棋子在同一行或同一列上的放置方式数，进而求得满足条件的放置方式 数。
图论基本概念
01
图
02
顶点
03 边
04
度
路径
05
由顶点集和边集构成的一种数据结构，表示对象及其之间的 关系。 图中的基本元素，表示对象。
连接两个顶点的线段，表示对象之间的关系。
与顶点相关联的边的数目。
从一个顶点到另一个顶点的一条边的序列。
容斥原理在图论中应用
计算图的着色数
利用容斥原理，通过计算不同 颜色着色的子图个数，进而求 得图的着色数。
当某些元素不能同时选取或某些选取 方式不符合要求时，可以通过容斥原 理来求解符合条件的排列组合数。
典型问题解析
错排问题
n个元素进行排列，要求每个元素都不在原来的 位置，求这样的排列有多少种。
组合数学幻灯片31容斥原理
p1，又不具有性 pm 的元素子集
合。
于是我们有下的容斥原理。
S
p1, p2, pm 的元素个数为
m
A1 I A2 I I Am S Ai Ai I Aj
Ai I Aj I Ak
i1
i j
i jjk
(1)m A1 I A2 I I Am (3.5)
式中，第一个和式取遍集合｛i｜i=1,2,…m}，
A1 I A2 I A3
于是，由式（3.5）有
| A1 A2 A3 | | S | (| A1 | | A2 | | A3 |) (| A1 A2 | | A1 A3 | | A2 A3 |) | A1 A2 A3 | 60 (24 28 26) (10 8 14) 6 8
中，故它在S中被计算的次数为
n 0
1
又由于y恰好具有n个性质，所以它是
集合A1,A2,…,Am中的n个集合的元素，
因而它在
Ai
中被计算的次数是
n 1
n
。
又因为在n个性质中取出一对性质的
I 方法有
n 2
个，故y是
n 2
个集合
Ai
Aj 中的
的次数是
n
2
；
Ai I Aj中被计算
所有放法的集合。
∴|Ai∩Aj｜=(m-2)n(i≠j;i,j=1,2,…,m)
一般地，对于m个箱子取k个箱子为空的组合
｛i1i2…ik｝有
｜Ai1∩Ai2∩…∩Aik｜=(m-k)n,(k=1,2,…,m)。
k=1,2,…,m，在m个带编号的箱子中
取k个箱子一共有
m k
种方式。
由乘法规则和容斥原理即可得：
下面，我们考虑集合S中具有两个子
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
组合数学 —— 容斥定理
即：A∪B∪C = A+B+C - AB - BC - AC + ABC
当被计数的种类被推到 n 类时，其统计规则即遵循奇加偶减。
容斥定理最常用于求 [a,b] 区间与 n 互质的数的个数，该问题可视为求 [1,b] 区间与 n 互质的个数减去 [1,a-1] 区间内与 n 互质的个数，故而可先对 n 进行因子分解，然后从 [1,b]、[1,a-1] 区间中减去存在 n 的因子的个数， 再根据容斥定理，奇加偶减，对 n 的因子的最小公倍数的个数进行处理即可。
2.求[1,n]中能/不能被m个数整除的个数
对于任意一个数 a[i] 来说，我们能知道在 1-n 中有 n/a[i] 个数是 a[i] 的倍数，但这样将 m 个数扫一遍一定会用重
复的数，因此需要用到容斥原理
根据容斥定理的奇加偶减，对于 m 个数来说，其中的任意 2、4、...Байду номын сангаас2k 个数就要减去他们最小公倍数能组成的 数，1、3、...、2k+1 个数就要加上他们的最小公倍数，因此 m 个数就有 2^m 种情况，对于每种状态，依次判
cnt=0; memset(bprime,false,sizeof(bprime)); for(LL i=2; i<N; i++) {
if(!bprime[i]) { prime[cnt++]=i; for(LL j=i*i; j<N; j+=i) bprime[i]=true;
} } } void getFactor(int n){ num=0; for(LL i=0; prime[i]*prime[i]<=n&&i<cnt; i++) {
容斥原理三集合公式
容斥原理三集合公式容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合之间的交集和并集关系。
在实际问题中，经常会遇到多个集合之间的关系，容斥原理能够帮助我们快速有效地求解问题，提高计算效率。
在容斥原理的应用中，三集合公式是其中的一种特殊情况，下面我们将详细介绍容斥原理三集合公式的相关内容。
首先，我们来看一下容斥原理的基本概念。
对于两个集合A和B，它们的并集记为A∪B，交集记为A∩B。
容斥原理的基本思想是通过对不同集合之间的交集和并集进行适当的排列组合，来求解它们的交集和并集的关系。
具体而言，容斥原理的公式可以表示为：|A∪B| = |A| + |B| |A∩B|。
其中，|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|A∩B|表示集合A和B的交集的元素个数，|A∪B|表示集合A和B的并集的元素个数。
这个公式表明，集合A和B的并集的元素个数等于集合A的元素个数加上集合B的元素个数，再减去集合A和B的交集的元素个数。
在容斥原理的应用中，我们经常会遇到三个集合之间的关系。
对于三个集合A、B和C，它们的交集和并集的关系可以用容斥原理三集合公式来表示：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
这个公式表示了三个集合A、B和C的并集的元素个数等于集合A、B和C的元素个数之和，再减去它们两两交集的元素个数，最后再加上它们的交集的交集的元素个数。
通过这个公式，我们可以快速有效地求解三个集合之间的关系，解决实际问题中的计算需求。
在实际问题中，容斥原理三集合公式的应用非常广泛。
例如，在概率统计、组合数学、离散数学等领域，容斥原理都有着重要的应用价值。
通过灵活运用容斥原理三集合公式，我们可以更好地理解集合之间的关系，提高问题求解的效率，为实际问题的解决提供有力的数学工具支持。
总之，容斥原理三集合公式是组合数学中的重要内容，它能够帮助我们快速有效地求解集合之间的交集和并集关系。
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2.错排问题 集合 的一个错排是 该集合的一个满足条件
的全排列 即集合 的一个没有一个数字在它的自然顺序
位置上的全排列。 用Dn记 的全部错排个数，则
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定理3.2.1:对任意正整数n，有
递推关系：
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2.有禁止模式的排列问题 用Qn表示 则有： 定理3.2.2：对任意正整数n，有 的不出现12,23, …,(n-1)n这些模式
推论3.1.1:设S是有限集合，
是同集合S 有关
的m个性质， i 是S 中具有性质Pi 的元素构成的集合 设A
则S 中至少具有一个性质 的元素个数为：
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例1: 1到1000之间不能被5,6,8整除的整数有多少个？
例2：求由a,b,c,d 四个字符构成的n位符号串中，
a,b,c,d 至少出现一次的符号串的数目。
的全排列的个数。并规定
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例2：多重集合
的全排列中不出现
模式的排列有多少中？
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例3(menage问题） N对夫妇参加宴会围桌就座， 要求 男女相间并且每对夫妇两人不得相邻， 问有多少种 就座方式？
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例3：欧拉函数
表示小于n且与n互素的整数的个数,
例4：若图G有n个顶点， 且不含有完全k(k≥2)子图， 则它的顶点的度数d(x)满足不等式
其中X是图G的顶点集。
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设S是有限集合，
是S 上的性质集合，
用N(r)表示集合S中恰好具有P中r个性质的元素个数。 表示S中具有性质 的元素个数
第三章 容斥原理
一、容斥原理 二、容斥原理的应用 三、有限制位置的排列及棋子多项式 四、Mobius反演及可重复的圆排列
3.1 容斥原理
定理3.1.1:设S是有限集合， 是同集合S 有关
的m个性质， i 是S 中具有性质Pi 的元素构成的集合 设A
是S 中不具有性质Pi 的元素构成的集合，
则S 中不具有性质 的元素个数为：
若集合S中某元素x恰好具有P中k+r个性质, 则x在w(k)中 计算了
而对于S中具有P中少于k个性质的元素，
则不计算在w(k)中。
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定理3.1.2:设集合S中具有性质集合 中恰好r个性质的元素个数为N(r)，则
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例5: 某学校有12位教师，已知教数学课的老师有8位， 教物理课的老师有6位， 教化学课的老师有5位， 其中有5位教师既教数学又教物理， 4位教师既教
还有 数学又教化学， 3位教师既教物理又教化学，
3位教师兼教这三门课，试问： （1）教数、理、化以外的课的教师有几位？
（2）只教数、理、化一门课的教师有几位？
（3）正好教数、理、化中两门课的教师有几位？
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3.2 容斥原理的应用
1.具有有限重数的多重集合的r组合数 例1: 求 多重集合 的10组合数。 的m组合数。