六年级数学容斥原理
六年级数学专题详解 容斥原理
容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素的个数。
在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|。
我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。
包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素个数，可以分一下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来。
即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。
例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？解：设I={1、2、3、…、19、20}，A={I中2的倍数}，B={I中3的倍数}。
显然题目中要求计算并集A∪B的元素个数，即求|A∪B|。
我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。
A ∩B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3，根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。
此题可以直观地用图表示如下：例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}，由题意知|A |=25，|B |=21。
A ∪B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。
A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}，由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |，所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。
六年级容斥原理阴影面积题型
求平面图形中阴影部分的面积，是每年小升初考试中得几何热点，思维能力要求高，学生失分率高。
由于阴影部分的图形常常不是以基本几何图形的形状出现，没法直接利用课本中的基本公式来计算，所以比较麻烦，有的甚至无法求解。
家长辅导孩子处理这类型的几何题，除了要让孩子熟练地掌握平面图形的概念和面积公式之外，关键还在于懂得如何“巧用方法、妙在变形”。
以下是小学阶段常见的求阴影面积的方法，家长可以让孩子边做边总结方法，逐一攻关。
求阴影部分的面积例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为 r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求) 正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。
小升初六年级数学专项练习《(22)容斥原理》知识点总结复习训练
小升初小学六年级数学复习总结·知识点专项练习题+答案（22）容斥原理知识要点：1、“容”就是相容，相加，而“斥”就是相斥，相减，容斥原理作为一种计数方法，说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，加多了再减，减多了再加……最终得到正确结果。
对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。
2、核心：画出韦恩图，弄清楚每一个部分图中所表示的含义。
习题精选：1. 育才小学六年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有30人，有12人两个小组都参加。
这个班有（）人参加了语文或数学兴趣小组。
A.33B.46C.50D.572. 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴有（）人。
A.21B.6C.74D.373. 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。
这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有（）人。
A.5B.10C.12D.164. 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人.两项都会的有10人，两项都不会的有9人。
这个班一共有（）人。
A.35B.44C.45D.505. 在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有（）人。
A.15B.16C.18D.206. 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有（）幅。
A.3B.4C.5D.67. 解放大路小学五年级三班有36名同学。
调查显示，参加数学课外活动小组的有25人，参加语文课外活动小组的有23人，没有两个课外活动小组都不参加的同学。
两个课外活动小组都参加的同学有（）人。
A.9B.10C.12D.148. 四（2）班学生对英语、语文、数学三门功课中至少有一门感兴趣。
六年级容斥原理阴影面积题型
容斥原理在数学中是一种常用的计数方法，通常用于处理具有重复计数的问题。
在六年级的数学课程中，我们也学习了容斥原理的应用，特别是在解决阴影面积的题目时会用到这个原理。
阴影面积题目一般指的是计算由多个图形组成的区域的面积，其中某些部分被其他图形覆盖或重叠而形成阴影。
容斥原理是一种非常有效的解决方法，在这个问题中也能够派上用场。
例如，考虑一个矩形和一个圆形组成的图形区域。
矩形的长为10，宽为6，圆形的半径为4。
我们需要计算这个图形区域的阴影面积。
首先，我们可以计算矩形的面积，即长乘以宽，得到60平方单位。
然后，我们计算圆形的面积，即π乘以半径的平方。
在这个例子中，半径为4，那么圆形的面积为16π平方单位。
接下来，我们需要考虑矩形和圆形的重叠部分。
使用容斥原理，我们可以通过减去重叠部分的面积来避免重复计数。
重叠部分是由矩形和圆形的交集部分组成的，可以通过计算圆心到矩形边界的距离来确定。
在这个例子中，圆心到矩形左边界的距离是6-4=2。
我们知道圆形与矩形的交集是由两个四分之一圆组成的，而每个四分之一圆的面积为1/4乘以π乘以半径的平方。
在这个例子中，半径为4，所以一个四分之一圆的面积为4π/4=π平方单位。
因为重叠部分是由两个四分之一圆组成的，所以重叠部分的面积为2个π平方单位。
最后，我们可以通过应用容斥原理得到阴影面积。
阴影面积等于矩形的面积加上圆形的面积减去重叠部分的面积。
阴影面积 = 矩形面积 + 圆形面积 - 重叠部分面积= 60 + 16π - 2π = 60 + 14π 平方单位最后的结果是一个带有π的阴影面积，如果需要精确的数字，可以用计算器计算π的近似值。
在实际的阴影面积问题中，可能会涉及多个图形的组合，使用容斥原理可以将问题分解成更小的部分，简化计算过程。
通过理解和掌握容斥原理，我们可以更好地解决这类题目。
容斥原理是数学中一个非常重要的概念，它不仅在阴影面积问题中有应用，还可以应用于其他计数问题。
六年级《容斥原理》奥数教案
星系站备课教员：第二讲容斥原理一、教学目标： 1. 理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2. 培养逻辑思维和数学思考能力。
3. 培养良好的书写习惯。
二、教学重点：理解容斥原理，会画图分析其中关系。
三、教学难点：理解容斥原理，会画图分析其中关系。
四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（40分钟）一、外星游记（5分钟）师：一个家庭里有2个爸爸和2个儿子，同学们你们知道这个家庭有几个人吗？生1：4个啊，2+2=4啊。
生2：一个家庭怎么会有2个爸爸呢？师：这问题问的太好了，同学们，你爸爸叫你爷爷叫什么？生：爸爸啊。
师：那你爷爷管你爸爸叫什么呢？生：儿子。
师：所以这个家庭有几个人啊？生：3个。
师：也就是说爸爸既是爸爸也是儿子对吗？生：是的。
师：所以对于重复的题，我们在计算的时候要排除。
也就是我们这节课所要学习的内容。
【板书课题：容斥原理】二、星海遨游（30分钟）（一）星海遨游1（10分钟）一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
师：同学们，最后班主任问了什么问题？生：谁语文、数学作业都没有做完？师：是的，但是有没有人举手啊？生：没有。
师：那说明什么？生：全班的人都至少做完一门作业。
师：至少做完一门作业都包括什么呢？生：只做完数学作业，只做完语文作业，语文、数学作业都做完。
师：现在我把我们班分成三组，第一组代表只做完语文作业的，第二组代表语文、数学都做完的，第三组代表只做完数学作业的，都明白自己都代表什么吗？生：明白。
师：那么我们班的人数怎么求？生：就等于三个组的人数和。
师：如果我问谁做完语文作业，那么哪些人会举手？生：第一组和第二组的人。
师：这些人有多少个？生：……（根据实际情况的人数）师：那如果我问谁做完数学作业呢？生：第二组和第三组的人。
小学奥数之容斥原理知识点
小学奥数之容斥原理知识点容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
容斥原理(试题)六年级上册数学人教版
容斥原理容斥原理，也称为重叠原理或包含与排除原理。
原理一：两个集合A,B 相交合并成一个集合C,C 的元素个数等于A ，B 的个数和减去A 、B 的公共元素的个数，如下图所示：即：C=A+B-AB 或 AB=A+B-C原理二：三个集合A.B,C 两两都交合并点一个集合D.D 的元素个数等于A,B.C 的个数减去A.B.C 两两公共元素加上A.B.C 公共元素的个数。
如下图所示：即D=A+B+C-AB-BC-AC+ABC 或ABC=D+AB+BC+AC-A-B-C 。
1. 某校五年级举行语文和数学竞赛,参加人数占全年级人数的25，参加语文占竞赛人数的25，参加数学竞赛的占竞赛人数的34,两项都参加的有12人，全年级共有多少人？2.36名学生参加数学竞赛,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人,两题都没答对的有多少人?3.50名同学面向老师站成一行,老师先让大家从左到右按1,2,3,......依次报数,再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问:现在面向老师的同学还有多少名?4.有一栋居民楼,每家都订不同的两份报纸,该居民楼共订了三种报纸,其中《楚天都市报》34份,《武汉晚报》30份,《武汉晨报》22份,那么订《武汉晚报》和《武汉晨报》的共有多少家？5、胜一小学六年级课外活动分体育、音乐、书法三个小组，分别有54人,46人.36人同时参加体育.音乐的有4人,同时参加体育书法的有7人.同时参加着乐,书法的有10人。
三个组都参加的有2人,参加课外活动一共多少人？6、桌子上放有甲,乙,西三个正方形;甲、丙重叠部分占甲正方面积的14,乙丙重叠都分占乙正方形面积的25,丙正方形与甲.乙正方形重叠部分占丙正方形面积的19,甲正方形和乙正方形面积的和是丙正方形面积的13,求甲正方形与乙正方形面积的最简整数比？7、某校五年级共有110人,参加语文、数学、英语三科活动小组,每人至少参加一组，已知参加语文小组的有52人,只参加语文小组的有16人;参加英语小组的有61人,只参加英语小组的有15人，参加数学小组的有63人,只参加数学小组的有21人.那么三组都参加的有多少人?8、一次数学竞赛,小王做对的题目占题目总数的23.小李做错5题,两人都做错的题数占题目总数的14,小王做对了多少题?9、某班有60人,其中42人会游泳，46人会骑车,50人会溜冰,55人会打乒乓球,可以肯定至少有多少人这四项都会?10、40名同学在做3道数学题时,有25人做对第一题,有28人做对第二题,有31人做对第三题,那么至少有多少人做对了三道题?11.某班有50名学生,在一次测验中有26人满分,在第二次测验中有21人满分。
容斥原理课
9、六年级一班有45名同学，每人都参加暑假体育培训班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。问三项都报的有多少人？
10、向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的 3/5，其余不赞成；赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的1/3多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人？
例9：甲、乙、丙同时给100盆花浇水。已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？
例10：某班同学参加期末测试，得优秀成绩的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科都是优秀成绩的有8人，数学、语文两科成绩都是优秀的有7人，语文、英语两科成绩都是优秀的有9人，三科都没得优秀成绩的有3人。请问：这个班最多有多少人？最少有多少人？
例1：一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？
例2：一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。问：两题都做错的有多少人？
例3：李老师出Biblioteka 两道题，全班40人中，第一道题有30人对，第2题有12人未做对，两题都做对的有20人。请问：
例6.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
例7.有128位旅客，其中25人既不懂英语、又不懂法语，有98人懂英语，75人懂法语，请问：既懂英语、又懂法语的有多少人？
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第31讲容斥原理
例1在1～100的自然数中，不能被3也不能被5整除的数有多少个?
例2某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这三项都会的至少有几人?
例3100名学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语、83人懂英语、65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂两种外语的有多少人?
例4在1～143这143个自然数中，与143互质的自然数共有多少个? 例5某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文、数学、英语都得满分的分别有21人、l9人、20人。
语文、数学都得满分的有9人；数学、英语都得满分的有7人；语文、英语都得满分的有8人；另有5人三科都未得满分。
这个班最多能有多少人?
1、某班有学生46名，其中爱好音乐的有17人，爱好美术的有14人，既爱好音乐又爱好美术的有5人。
问：两样都不爱好的有多少人？
2、分母是105的最简真分数共有多少个？
3、一个家电维修站有80%的工人精通修彩电，有70%的工人精通修空调，10%的工人两项都不熟悉。
问：两项都精通的工人占百分之几？
4、在自然数1~100中，既不能被5整除也不能被9整除的数的和是多少？
5、在自然数1~200中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的数共有多少个？
6、在100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好体育的有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人？最多有多少人？
7、64人订A、B、C三种杂志，订A杂志的有28人，订B杂志的有41人，订C杂志的有20人，订A、B两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有12人，订A、C两种杂志的有12人。
三种杂志都订的有多少人？8、某小学六年级的学生中有88%的是“歌迷”，80%的是“球迷”，60%的是“棋迷”。
那么，该校六年级学生“球迷”中至少有百分之几是“歌迷”？“棋迷”中至少有百分之几是“球迷”？
9、70名学生参加体育比赛，短跑得奖的31人，投掷得奖的36人，跳远得奖的29人，短跑与投掷两项都得奖的12人，跑、跳、投三项都得奖的有5人，只得跳远奖的7人，只得投掷奖的15人，求：（1）只得短跑奖的人数；(2)只得两项奖的人数；（3）一项奖都未得的人数。
10、如右图所示，甲、乙、丙三个正方形的面积分别为25平方厘米、16平方厘米和9平方厘米，它们叠在一起，盖住的面积为32平方厘米，且甲、乙公共部分为10平方厘米，乙、丙公共部分为6平方厘米，甲、丙公共部分为7平方厘米，求阴影部分面积。