五年级奥数-容斥原理
第十讲 容斥原理小学五年级奥数
點算的奧秘：容斥原理基本公式「容斥原理」(Principle of Inclusion and Exclusion)(亦作「排容原理」)是「點算組合學」中的一條重要原理。
但凡略為複雜、包含多種限制條件的點算問題，都要用到這條原理。
現在首先從一個點算問題說起。
例題1：設某班每名學生都要選修至少一種外語，其中選修英語的學生人數為25，選修法語的學生人數為18，選修德語的學生人數為20，同時選修英語和法語的學生人數為8，同時選修英語和德語的學生人數為13 ，同時選修法語和德語的學生人數為6，而同時選修上述三種外語的學生人數則為3，問該班共有多少名學生？答1：我們可以把上述問題表達為下圖：其中紅色、綠色和藍色圓圈分別代表選修英語、法語和德語的學生。
根據三個圓圈之間的交叉關係，可把上圖分為七個區域，分別標以A至G七個字母。
如果我們用這七個字母分別代表各字母所在區域的學生人數，那麼根據題意，我們有以下七條等式：(1) A+D+E+G = 25；(2) B+D+F+G = 18；(3) C+E+F+G = 20；(4) D+G = 8； (5) E+G = 13；(6) F+G = 6；(7) G = 3。
現在我們要求的是A+B+C+D+E+F+G。
如何利用以上資料求得答案？把頭三條等式加起來，我們得到A+B+C+2D+2E+2F+3G = 63。
可是這結果包含了多餘的D、E、F和G，必須設法把多餘的部分減去。
由於等式(4)－(6)各有一個D、E和F，若從上述結果減去這三條等式，便可以把多餘的D、E和 F減去，得A+B+C+D+E+F = 36。
可是這麼一來，本來重覆重現的G卻變被完全減去了，所以最後還得把等式(7)加上去，得最終結果為A+B+C+D+E+F+G = 39，即該班共有39名學生。
□在以上例題中，給定的資料是三個集合的元素個數以及這些集合之間的交集的元素個數。
在該題的解答中，我們交替加上及減去這些給定的資料。
五年级奥数专题 容斥原理(学生版)
容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单,是计数问题中比较浅的一支。
这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。
这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知识结合出题,所以对学生的理解层次要求较高,学生必须充分理解、吃透。
1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透,这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A 的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|,我们称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：A∩B,即阴影面积。
用法：包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数,可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）二.竞赛考点1. 容斥原理的基本概念2. 与数论相结合的综合型题目例题精讲【试题来源】【题目】在一个炎热的夏日,10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
其中6人买了汽水,6人买了可乐,4人买了果汁,有 3人既买了汽水又买了可乐,1人既买了汽水又买了果汁,2人既买了可乐又买了果汁。
问：(1)三样都买的有几人？(2)只买一样的有几人？【试题来源】【题目】某班有学生46人,在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现,有电子琴的22人,两种琴都没有的14人,只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。
五年级奥数五年级奥数培训资料(容斥原理)
五年级奥数培训资料—容斥原理班级：姓名：策略思想：在生活中我们经常会碰到有些数量会出现重复、包含的情况，那么在解题时就要考虑排除由于重复、相互包含而引起的多加的情况，这就是包含与排除问题，也称容斥原理。
解题要点：解答重叠问题时首先要确定采用哪种分类标准，然后根据题意画出图示，找出哪些是重复的，重复了几次，仔细审题，明确求的哪部分，再根据包含与排除原理进行解题。
例题1：五（3）班每个人都订阅了学习报（数学报、语文报），订阅《小学生数学报》的有30人，订阅《小学生语文报》的有26人。
两种都订阅的有14人，这个班有学生多少人？练习1：五（3）班每人都参加了课外兴趣小组（舞蹈、合唱），参加舞蹈队的有21人，参加合唱团的有32人，既参加舞蹈队的又参加合唱团的有9人，全班共有多少人？练习2：一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有多少人？例题2：47名学生参加数学和语文考试，其中语文得100分的有12人，数学得100分的有17人，两门都没得100分的26人，两门都得100分的有多少人？练习1：六（1）班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有多少人？练习2：音乐班有40名学生，25名学生会作曲，20人会指挥，有10人作曲和指挥都不会，既会作曲、又会指挥的学生有多少人？例题3：在一个炎热的夏日，有一群小朋友去冷饮店每人都买了冷饮。
其中6人买了汽水，6人买了可乐，4人买了果汁，有3人既买了汽水又买了可乐，1人既买了汽水又买了果汁，2人既买了可乐又买了果汁，三种冷饮都买了的有1人，一共有几个小朋友？练习1：一批教师，每人至少都会一门外语，会英语的有65人，会俄语的有58人，会日语的有51人，既会英语又会俄语的有21人，既会英语又会日语的有19人，既会俄语又会日语的有17人，三种都会的有5人。
五年级奥数-容斥原理(一)
容斥原理（一）
森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜。
其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的2倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的3倍。
它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？
有100位旅客，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，又83人懂俄语。
那么这100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人。
在1至2011的自然数中，
⑴能被3或5或7整除的数有个；
⑵能同时被3，5，7整除的有个；
⑶能被3整除，但不能被5和7整除的有个；
⑷能被5和7整除，但不能被3整除的有个。
体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3， (60)
然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有________人。
中国田径队的40名运动员在训练基地进行封闭训练，其中男运动员有20名，训练长跑的运动员有15名，训练竞走的女运动员有8名，那么训练长跑的男运动员有多少名？。
小学五年级奥数 容斥原理(二)
一、本讲重点知识回顾 1．基本原理 ⑴二者容斥
⑵三者容斥 A B
A B A B
CA
A BC
BC A BC A B BC AC A BC
2．口诀：奇层加，偶层减 3．解题技巧：画图——文氏图，线段图
方程 列表 高斯记号应用——取整运算 二、本讲经典例题 容斥原理㈠：例1，例2，例5，例6 容斥原理㈡：例１，例３，例６，例7
1
【例6】(★★★★★) 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲 浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人 浇过的花最少有多少盆？
【例7】 (★★★) 中国田径队的40名运动员在训练基地进行封闭训练，其中男运动员有 20名，训练长跑的运动员有15名，训练竞走的女运动员有8名，那么训 练长跑的男运动员有多少名？
【例4】(★★★) 六年级⑴班有32人参加数学竞赛，有27人参加英语竞赛，有22人参加语 文竞赛，其中参加了数学和英语的有12人，参加了英语和语文的有14 人，参加了数学和语文的有10人，那么六年级⑴班全班至少有多少人？
【例5】(★★★) 甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有100个故事。已知甲读了 85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事。请问：甲、乙、丙三人 共同读过的故事最少有多少个？
【例1】59难 【例2】 ⑴9人 【例3】 21人 【例4】 47人 【例5】 17个 【例6】 15盆 【例7】 3名
答案 ⑵29人
⑶31人
2
【例2】(★★★★) 某班人数60人，在一次抽考英语、数学、化学的考试中，英语及格的 有41人，数学及格的有39人，化学及格的有42人；英语、数学两科不及 格的有14人，数学、化学两科不及格的有13人，英语、化学两科不及 格的有11人，有两科或两科以上不及格的人数为20人，则： ⑴三科都不及格的有几人？ ⑵至少有一科不及格的有几人？ ⑶三科都及格的人数有几人？
小学数学五年级下册奥数思维 — 容斥原理
小学数学五年级下册奥数思维—容斥原理知识点解析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？例5：光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？1.分析与解答完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
2.分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
五年级 数学试题 奥数第33讲 包含与排除(容斥原理) 全国通用 无答案
第33讲包含与排除（容斥原理）一、知识要点集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A ＋B－AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
二、精讲精练例1 五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？分析用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。
显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
练习一1，一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人？2，五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。
其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。
语文、数学都得优的有多少人？3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。
如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的有多少人？例2：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。
这个学校共有多少名教师？分析把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。
五年级下册数学专项训练 - 奥数第十二讲 容斥原理 全国版 (含答案)
第十二讲容斥原埋在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝.我们称一些事物的全体为一个集合.A＝{五（1）班全体同学}就是一个集合。
例1 B＝｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体有无限多个元素的集合。
例2 C=｛在1，2，3，…，100中能被3整除的数｝＝（3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。
集合通常用大写的英文字母A、B、C、…表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A的一个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素.像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、|C|、…表示。
记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合A∪B叫做集合A与集合B 的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。
例3 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。
记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是上页图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”.如例3中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。
下面再举例介绍补集的概念。
例4 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。
补集（或余集），如图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）.对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。
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主讲：刘文峰
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概 念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为 这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都 是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组 成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是 包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再 “排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素， 即：C=A＋B－AB。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，
64＋48=112人， 比总人数多112－96=16人， 这16人就是两种报刊都订的人数。
实战演练1
1，一个班的52人都在做语文和数学作业。有32人 做完了语文作业，有35人做完了数学作业。语文、 数学作业都做完的有多少人？
2，五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少 有一门功课得优。其中语文得优的有65人，数学得 优的有87人。语文、数学都得优的有多少人？
3，老师在统计考试成 在90分以上的有38人。两科都在90分以上的有多少 人？
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者 中有16人不是四年级的，有12人不是五年 级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
书山有路勤为径
下课
祝
搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了 适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
五年级96名学生都订了报纸，有64人订了 少年报，有48人订了小学生报。两种报纸
都订的有多少人？
分析与解答
用左边的圆表示订少年报的64人，右边 的圆表示订小学报的48人，中间重叠部 分表示两种报刊都订的人数。显然，两 种报刊都订的人数被统计了两次：
实战演练5
1，40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中 的一题。已知做对第一题的有30人，做对第二题的 有21人。只做对第一题的有多少人？
2，五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至 少有一门得优。已知语文65人得优，数学78人得优， 求只有语文一门得优的人数。
3，全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打 乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不 会打羽毛球的有6人。仅会打羽毛球的有多少人？
35＋34=69人， 但是，两种语言都懂的21人被统计过两
次，应该从69里去掉一个21才能得出这 个地区外语教师的总人数：
69－21=48人。
实战演练2
1，某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。 已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动， 其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少 人？
分析与解答
由“16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年级 的；由“12人不是五年级的”可知：12人是四年级和其它 年级的。用16＋12可算出四年级加五年级以及两个其它年 级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他 年级的人数是：
（16＋12－20）÷2=4人， 该校参加书法比赛获奖的总人数是: 4＋20=24人。
实战演练4
1，五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运 动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已 知五、六年级运动员共有32名，求五、六年级和中 低年级运动员各有多少名？
2，少年乐团学生中有170人不是五年级的，有135 人不是六年级的，已知五、六年级的共有205人， 求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？
2，某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数 学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8 人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？
3，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对 第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做 对的有7人，两题都做错的有2人。第一小组共有多 少人？
例3、
84＋86－25=144人， 所以，这两个小组都不参加的人数是： 250－144=106人。
实战演练3
1，五年级有250人，其中参加象棋组的有83人，参 加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。 两个小组都不参加的有多少人？
2，五（1）班有50人，在一次测试中，语文90分以 上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都 在90分以上的有20人。两科都在90分以下的有多少 人？
3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分， 在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得 过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的 有多少人？
某校教师至少懂得英语和日语 中的一种语言。已知有35人懂 英语，34人懂日语，两种语言 都懂的有21人。这个学校共有 多少名教师？
把懂英语和懂日语的人数加起来得
3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是 红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共 有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
在100个外语教师中，懂英语的有75人， 懂日语的有45人，其中必然有既懂英语 又懂日语的老师。问：只懂英语的老师 有多少人？
分析与解答
显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计 过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此， 75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语 言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两 种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了： 75－20=55人。
学校开展课外活动，共有250人参加。其中 参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动， 参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86 人，这两个小组都参加的有25人。问这250 名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有 多少人？
分析与解答
两个小组都参加的有25人，因此，至少参 加这两种小组的一个小组的人数是：