快乐学堂小升初数学专题三容斥原理
XX小升初奥数知识点：容斥原理、余数问题【DOC可编辑范文】
XX小升初奥数知识点：容斥原理、余数问题小升初奥数知识点：容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“ B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“ A类和B类元素个数”的总和。
答案+12-4=23试一试电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人？00- =15小升初奥数知识点讲解：余数问题一、同余的定义：①若两个整数a、b除以的余数相同，则称a、b对于模同余。
②已知三个整数a、b、，如果|a-b，就称a、b对于模同余，记作a= b，读作a同余于b模。
二、同余的性质：①自身性：a = a;②对称性：若a= b,则b= a;③传递性：若a= b, b= c,则a = c;④和差性：若a= b, c = d,贝y a+c = b+d, a-c = b-d ;⑤相乘性：若a= b, c = d,贝y a x c = b x d;⑥乘方性：若a= b,则an= bn;⑦同倍性：若a= b,整数c,贝y a x c = b x c;三、关于乘方的预备知识：①若A=a x b,贝U A=a x b=b②若B=c+d 则B=c+d=c x d四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数，n表示的各个数位上数字的和，则三或;②一个自然数，X表示的各个奇数位上数字的和，y表示的各个偶数数位上数字的和，则三y-X或三11-；五、费尔马小定理：如果p是质数，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1 =1 O。
三者容斥原理公式
三者容斥原理公式——解决集合问题的利器集合问题在数学中是一个极其重要的研究方向，而在解决集合问题的过程中，三者容斥原理公式则是一个非常重要的理论工具。
下面我们来详细了解一下三者容斥原理公式。
三者容斥原理公式指的是：对于三个集合A、B、C，它们之间的关系可以表示为：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|其中，|A|表示集合A的元素个数，而A∩B表示集合A和集合B 的交集。
这个公式的含义其实很简单，在计算三个集合的并集时，需要先把三个集合中的元素个数加起来，但是因为有些元素被重复计算，所以需要减去重复部分，也就是减去其中两两交集的元素个数，但是这样减去之后，又会有部分元素被减多了，所以还需要加上三个集合的交集。
三者容斥原理公式看起来可能比较抽象，但实际上在解决集合问题时非常有用。
接下来我们来看一些例子，帮助大家更好地理解三者容斥原理公式的应用。
例1：有100个人，其中40人喜欢篮球，50人喜欢足球，60人喜欢排球，其中有15人既喜欢篮球又喜欢足球，25人既喜欢足球又喜欢排球，20人既喜欢篮球又喜欢排球，有5人即喜欢篮球又喜欢足球又喜欢排球。
求喜欢篮球、足球或排球的人数。
根据三者容斥原理公式有：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|设A为喜欢篮球的人数，B为喜欢足球的人数，C为喜欢排球的人数，则|A|=40，|B|=50，|C|=60|A∩B|=15，|B∩C|=25，|C∩A|=20|A∩B∩C|=5将上述数据带入公式，可得：|A∪B∪C|=40+50+60-15-25-20+5=95所以喜欢篮球、足球或排球的人数为95。
例2：某个班级参加语文、数学、英语考试，其中有40人参加语文考试，50人参加数学考试，60人参加英语考试，有10人同时参加了语文和数学考试，15人同时参加了数学和英语考试，20人同时参加了语文和英语考试，有5人同时参加了三个考试。
三容斥原理所有公式
三容斥原理所有公式
三容斥原理是概率论中常用的计算两个事件交集的概率的方法。
它可以推广到多个事件的情况。
对于两个事件A和B的交集，可以使用以下公式计算其概率：P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的
概率，P(A∪B)表示事件A和B至少一个发生的概率。
推广到三个事件A、B和C的情况，可以使用以下公式计算它们的交集概率：
P(A∩B∩C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∪B) - P(A∪C) - P(B∪C) + P(A∪B∪C)
其中，P(A∪B)表示事件A和B至少一个发生的概率，
P(A∪C)表示事件A和C至少一个发生的概率，P(B∪C)表示
事件B和C至少一个发生的概率，P(A∪B∪C)表示事件A、
B和C至少一个发生的概率。
这个公式可以继续推广到更多事件的情况。
每次多算了一个交集的概率，然后减去多算的所有交集的概率，再加上多算的所有三个事件的交集的概率，以此类推。
三容斥原理的应用非常广泛，可以用于计算概率、计算排列组合等问题。
在实际问题中，可以通过分析事件之间的关系，利用三容斥原理计算出所需的概率或数量。
三集合容斥原理问题
行测数学运算技巧：三集合容斥原理问题的解决方法容斥原理类型是目前国家、各地区公务员考试数学运算的“常客”题型，对于大部分应试者来说，还是比较头痛的一种类型。
这里我们介绍一下三集合容斥原理问题的解决方法。
1、三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C2、三个集合的容斥关系(三元)例题：假设有100人参加了三个兴趣小组。
其中参加数学兴趣小组的有55人，参加语文兴趣小组的有65人，参加英语兴趣小组的有70人，同时参加语文和数学兴趣小组的人数是31人，同时参加数学和英语兴趣小组的人数是40人，同时参加语文和英语兴趣小组的有25人，则三个兴趣小组都参加的人数是多少人?(1) A+B+T=至少参与一项的总人数(无重叠)(2) A+2B+3T=至少参与一项的总人数(含重叠部分)(3) B+3T=至少参与两项的总人数(含重叠)(4) T三项都参与的人数。
这里介绍一下A、B、T分别是什么A=x+y+z;表示只参加一个兴趣小组的人数，在图中反应的区域就是每个圆圈互不重叠的部分。
B=a+b+c;表示仅参加了两个兴趣兴趣小组的人数，是图中两两相交的部分总和(不含中间的T区域)T=全部都参加的人数。
也就是图形当中最中间的部分T。
例题通过公式有如下解法：(1) A+B+T=100;(2) A+2B+3T=55+65+70=190(3) B+3T=31+40+25=96实际上我们要求的是T， (1)+(3)-(2)=T。
即得到答案T=100+96-190=63、三元容斥公式应用实例三元容斥涉及的对象比较多。
我们通常建议考生根据不同提问情况区别对待。
本小节先对一般情况的题目做一些分析。
例：如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积是：【09国考】A.15B.16C.14D.18【解析】参考答案为B。
容斥原理的三个公式
容斥原理的三个公式容斥原理是数学中一个挺有意思的概念，它有三个重要的公式，今天咱们就来好好聊聊这三个公式。
我先跟您说啊，这容斥原理在解决集合相关的问题时，那可真是大显身手。
就拿咱们生活中的例子来说吧，比如说学校组织活动，有参加书法比赛的同学，有参加绘画比赛的同学，还有既参加书法又参加绘画比赛的同学。
那怎么算总共有多少同学参加了这两类比赛呢？这时候容斥原理就派上用场啦！咱们先来说说容斥原理的第一个公式。
这个公式可以表述为：两个集合 A 和 B 的并集的元素个数，等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去 A 和 B 的交集的元素个数。
简单来说就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
举个例子哈，一个班级里，喜欢语文的有 20 个同学，喜欢数学的有 30 个同学，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个同学。
那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱们就可以用这个公式来算。
|A|就是喜欢语文的 20 个同学，|B|就是喜欢数学的 30 个同学，|A∩B|就是既喜欢语文又喜欢数学的 10 个同学。
把数字带进去，那就是 |A∪B| = 20 + 30 - 10 = 40 个同学。
您瞧，是不是很清楚明了？再来说说第二个公式。
如果是三个集合 A、B、C ，那它们的并集的元素个数就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| +|A∩B∩C| 。
咱们还是拿例子来说事儿。
比如说在一个班级里，喜欢体育的有 25 个同学，喜欢音乐的有 15 个同学，喜欢美术的有 20 个同学，既喜欢体育又喜欢音乐的有8 个同学，既喜欢音乐又喜欢美术的有6 个同学，既喜欢体育又喜欢美术的有 9 个同学，三个都喜欢的有 3 个同学。
那喜欢体育或者音乐或者美术的同学一共有多少个呢？咱们就把数字往公式里带：|A|是 25 ，|B|是 15 ，|C|是 20 ，|A∩B|是 8 ，|B∩C|是 6 ，|C∩A|是 9 ，|A∩B∩C|是 3 。
小升初容斥原理
小升初容斥原理
容斥原理是指通过排除重叠的部分，计算出两个或多个集合的并集的方法。
在小升初数学中，容斥原理常常用于解决集合与运算的问题。
例如，假设A和B是两个集合，我们要求A和B的并集中元
素的个数。
容斥原理告诉我们，可以通过计算A的元素个数
加上B的元素个数，然后减去A和B的交集中元素的个数来
得到并集中元素的个数。
用数学公式表示就是：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|
在小升初数学中，容斥原理常常用于解决排列组合类问题。
通过应用容斥原理，可以将一个复杂的问题转化为更简单的子问题，从而简化解题过程。
需要注意的是，在应用容斥原理时，需要注意重叠部分的计算。
有时候，重叠部分需要进行递推计算，或者使用其他方法来求解。
总之，容斥原理是小升初数学中常用的一个解题方法，通过排除重叠部分，可以简化解题过程，提高解题效率。
三集合容斥两个公式的用法
三集合容斥两个公式的用法容斥原理是一种集合论中常用的计数技巧，它通过巧妙地组合集合的交集和并集来解决计数问题。
在这篇文章中，我们将介绍三集合容斥原理的基本概念和用法，并通过两个具体的例子来说明容斥原理的运用。
一、三集合容斥原理的基本概念在集合论中，我们经常会遇到要计算若干个集合的并集和交集中元素个数的问题。
三集合容斥原理就是针对三个集合进行计数的一种技巧。
假设有三个集合A、B和C，我们希望计算它们的并集和交集中元素的个数。
根据容斥原理，可以得到如下公式：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C||X| 表示集合X中元素的个数，A ∪ B 表示集合A和B的并集，A ∩ B表示集合A和B的交集。
二、三集合容斥原理的两个具体例子接下来，我们通过两个具体的例子来说明三集合容斥原理的用法。
1. 例子一：三个班级学生参加数学竞赛，其中A班有40名学生，B班有35名学生，C 班有30名学生。
如果A班有12名学生参加了英语竞赛，B班有10名学生参加了英语竞赛，C班有8名学生参加了英语竞赛，而且有3名学生同时参加了数学竞赛和英语竞赛。
那么参加了数学竞赛或者英语竞赛的学生总数是多少？根据容斥原理，我们可以利用上面的公式来计算参加了数学竞赛或者英语竞赛的学生总数：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|= 40 + 35 + 30 - 12 - 10 - 8 + 3= 78参加了数学竞赛或者英语竞赛的学生总数是78人。
2. 例子二：某餐馆供应三种果汁，分别是橙汁、苹果汁和西瓜汁。
一天内统计发现，有30人点了橙汁，25人点了苹果汁，20人点了西瓜汁，同时有7人点了橙汁和苹果汁，6人点了橙汁和西瓜汁，5人点了苹果汁和西瓜汁，而且有2人同时点了三种果汁。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
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快乐学堂小升初数学专题三容斥原理
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理1
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
(A∪B = A+B - A∩B )
例1
一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4
人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
分析
依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
答案
15+12-4=23
试一试
电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人？
100-(62+34-11)=15
课堂训练
1. 在1,2，3，…,100这100个自然数中，能被5或9整除的数有( )。
2. 在1,2，3，…，100这100个自然数中，能被2和3整除，但不能被5整除的数有( )个。
3. 500以内既是完全平方数也是完全立方数的数有( )个。
容斥原理2
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
例2
某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B 类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C 类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。
注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。
答案：25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3
例3
在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？
分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。
我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。
求的是“A类或B类元素个数”。
现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。
1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。
例4分母是1001的最简分数一共有多少个？
分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。
由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。
解答：1~1001中,有7的倍数1001/7 = 143 (个)；有11的倍数1001/11 = 91 (个),有13的倍数1001/13 = 77 (个)；有7´11=77的倍数1001/77 = 13 (个),有7´13=91的倍数1001/91 = 11 (个),有
11´13=143的倍数1001/43 = 7 (个).有1001的倍数1个.
由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有
(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.
课堂训练4、在一所中学的实验班里，60个学生参加过竞赛。
其中参加过数学竞赛的有30人，参加过英语竞赛的有25人，参加过作文比赛的有17人，参加过数学竞赛和英语竞赛的有12人，参加过英语竞赛和作文比赛的有10人，参加过数学竞赛和作文比赛的有7人，则三种竞赛都参加过的学生有( )人。
5. 以60为分母的最简真分数共有( )个。
6. 某学校数学竞赛的加试题有2道。
结果全校参赛的210人中，第一题得满分的有40人，第二题没得满分的有150人，两道都得满分的有10人。
则两题都没得满分的人数有( )人。
7. 某兴趣小组有50人，有的会画画，有的会书法，有的两样都不会，有的两样都会，其中会画画的有25人，会书法的有21人，都不会的有14人。
那么既会画又会书法的有( )人。
8. 90以内是3或7的倍数的自然数有( )个。
答案与解析
1. 解：
能被5整除的数是5，10，15，…，100，共20个；
能被9整除的数是9，18，27，…，99；共11个；
能被45整除的数是45，90。
则能被5或9整除的数有20+11-2=29(个)。
2. 解：能被2和3整除的数有6，12，18，…，96；共16个；
其中能被5整除的数有30，60，90，则能被2和3整除，但不能被5整除的数有16-3=13(个)。
3. 解：有2个。
500以内既是完全平方数也是完全立方数的数有1、64。
因为1和4是完全平方数，那么它们的立方就是完全平方数，而9的立方超过500了。
4. 解：三种竞赛都参加过的人有：60-30-25-17+12+10+7=17(人)。
5. 解：只需要考察其中分子的个数即可；并且分子要满足与60互质，即分子不是2、3、5中任何一个数的倍数。
在60以内，2的倍数有30个，3的倍数有20个，5的倍数有12个，2和3的公倍数有10个，2和5的公倍数有6个，3和5的公倍数有4个，2、3和5的公倍数有2个，则最简真分数共有60-(30+20+12-10-6-4+2)=16(个)。
6. 解：150-(40-10)=120(人)
7. 解：10。
50-14=36(人)画画、书法至少会一样，
则21+25-36=10(人)既会画画又会书法。
8. 解：38。
90以内是3的倍数的自然数有3，6，9，…，90，共30个；
90以内是7的倍数的自然数有7，14，21，…,84共12个；
90以内是21的倍数的自然数有21，42，63，84，共4个。
90以内是3或7的倍数的自然数的个数有30+12-4=38(个)。