2017中考数学专题训练(四)三角形、四边形中的相关证明及计算
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_直角三角形斜边上的中线,综合题专训及答案
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_直角三角形斜边上的中线，综合题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_三角形_直角三角形斜边上的中线，综合题专训1、(2017北京.中考真卷) 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．2、(2017重庆.中考模拟) 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．3、(2019平阳.中考模拟) 如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使得CD＝B D，连结AC交⊙O于点F，连接BE，DE，DF.（1）若∠E＝35°，求∠BDF的度数.（2）若DF＝4，cos∠CFD＝，E是的中点，求DE的长.4、(2018台州.中考真卷) 如图，在中，，，点，分别在，上，且.（1）如图1，求证：；（2）如图2，是的中点.求证：；（3）如图3，，分别是，的中点.若，，求的面积.5、(2018新乡.中考模拟) 如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时①证明：△BFC是等腰三角形；②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．6、(2018驻马店.中考模拟) 已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF.（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC= ，求此时线段CF的长（直接写出结果）.7、(2019深圳.中考模拟) 如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C.（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线.8、(2018深圳.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90º，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC 交 BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD=AF．（2）当AB=AC= 时，求四边形ADCF 的面积.9、(2018青羊.中考模拟) 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 中点，AE ∥CD ，CE ∥AB ．（1） 试判断四边形ADCE 的形状，并证明你的结论．（2） 连接BE ，若∠BAC=30°，CE=1，求BE 的长．10、(2018罗平.中考模拟) 阅读下面材料:如图1,圆的概念:在平面内,线段PA 绕它固定的一个端点P 旋转一周,另一个端点A 所形成的图形叫做圆.就是说,到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上.圆心在P(a,b),半径为r 的圆的方程可以写为:(x-a)+(y-b)=r .如:圆心在P(2,-1),半径为5的圆的方程为:(x-2)+(y+1)=25.（1） 填空: ①以A(3,0)为圆心,1为半径的圆的方程为:; ②以B(-1,-2)为圆心,为半径的圆的方程为:;（2） 根据以上材料解决以下问题:如图2,以B(-6,0)为圆心的圆与y 轴相切于原点,C 是☉B 上一点,连接OC,作BD ⊥OC 垂足为D,延长BD 交y 轴于点E,已知sin ∠AOC= .①连接EC,证明EC 是☉B 的切线;②在BE 上是否存在一点P,使PB=PC=PE=PO,若存在,求P 点坐标,并写出以P 为圆心,以PB 为半径的☉P 的方程;若不存在,说明理由.11、(2020永州.中考模拟)（1） （学习心得）于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 是△ABC 外一点，且AD ＝AC ，求∠BDC 的度数．若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助⊙A ，则点C 、D 必在⊙A 上，∠BAC 是⊙A 的圆心角，而∠BDC 是圆周角，从而可容易得到∠B DC ＝________°．（2） （问题解决）如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∠BDC ＝25°，求∠BAC 的度数．（3） （问题拓展）如图3，如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．2222212、(2020和平.中考模拟) 如图，在△ABC中，，tanA=3，∠ABC=45°，射线BD从与射线BA重合的位置开始，绕点B按顺时针方向旋转，与射线BC重合时就停止旋转，射线BD与线段AC相交于点D，点M是线段BD的中点．（1）求线段BC的长；（2）①当点D与点A、点C不重合时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接ME，MF，在射线BD旋转的过程中，∠EMF的大小是否发生变化？若不变，求∠EMF的度数；若变化，请说明理由．②在①的条件下，连接EF，直接写出△EFM面积的最小值________．13、(2020南昌.中考模拟)（1）化简：（2）如图，在四边形中，，，，分别是，，的中点，连接，．求证：．14、(2020.中考模拟) 定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．理解：（1）如图，已知A、B是上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图，在平面直角坐标系中， 的半径为1，点Q是直线上的一点，若在 上存在一点P ，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标．15、(2020武威.中考模拟) 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，点E 是边BC 的中点.（1） 求证：BC ＝BD•BA ；（2） 判断DE 与⊙O 位置关系，并说明理由.备考2021中考数学复习专题：图形的性质_三角形_直角三角形斜边上的中线，综合题答案1.答案：22.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
2017中考数学三角形面积小专题
三角形面积小专题亲爱的老师，给学生设计题目一定要注意归类训练，抓住重点题型要训练透彻亲爱的老师，亲爱的同学们，做题一定要注意反思总结：这个题用了什么知识点，给我们什么启示，以后遇到此类问题怎么办？一、面积问题的通法是求底和高1．如图所示，要判断△ABC 的面积是△DBC 的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直尺，需要测量（ ）A ．1次 B ．2次 C ．3次 D ．3次以上2．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E 、F 分别是AD 、CD 的中点，连接BE 、BF 、EF ．若四边形ABCD 的面积为6，求△BEF 的面积3．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=8cm ，AC=6cm ，求S △ABD ：S △ACD =4．在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 是AD 中点，过点E 作垂线交BC 于点F ，已知BC=10，△ABD 的面积为12，求EF 的长根据底和高之间的关系求面积之间的关系5．如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，求图中阴影部分的面积6．如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，若S△ABC=30，求四边形BEFD的面积7．△ABC的两条中线AD、BE交于点F，连接CF，若△ABC的面积为24，求△ABF的面积8．如图，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，延长边CA到点E，使AE=AC，=168，延长AB到点F，使FB=AB，连接DE，FD，FE，得到△DEF，若S△EFD求S△ABC9．如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，求三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比10．如图，三角形ABC内的线段BD、CE相交于点O，已知OB=OD，OC=2OE．若△BOC的面积=2，求四边形AEOD的面积11．如图，△PBC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，求△ABC的面积答案及解析1．（2016•翔安区模拟）如图所示，要判断△ABC的面积是△DBC的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直尺，需要测量（）A．1次B．2次C．3次D．3次以上【分析】连接AD并延长交BC于M，一次测量AM和AD的长（在同一直线上，可以一次就测出），然后求出DM，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求解．【解答】解：连接AD并延长交BC于M，一次测量AM（AD）即可得AD，AM 长，即可算出DM长，由AM：DM=AP：PF，即可求出△ABC的面积是△DBC的面积的几倍．∴只量一次．故选A．【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底的三角形的面积的比等于高线的比．2．（2016•苏州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2B．C．D．3【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC===4，∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，∴AG=BG=2=•AB•AC=×2×2=4，∵S△ABC∴S=2，△ADC∵=2，∴GH=BG=，∴BH=，又∵EF=AC=2，=•EF•BH=×2×=，∴S△BEF故选C．【点评】此题主要考查了三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．3．（2016秋•抚宁县期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（）A．3：4B．4：3C．16：9D．9：16【分析】利用角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=8：6=4：3，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．4．（2016秋•和县期中）在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD中点，过点E作垂线交BC于点F，已知BC=10，△ABD的面积为12，则EF的长为（）A．1.2B．2.4C．3.6D．4.8【分析】根据三角形的中线的性质和三角形面积公式进行解答即可．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，△ABD的面积为12，∴△ADC的面积=12，∵点E是AD中点，∴△CDE的面积=6，∵BC=10，AD是BC边上的中线，∴DC=5，∴EF=，故选B．【点评】此题考查三角形面积问题，关键是根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解答．5．（2016•淄博）如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．6【分析】设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，根据图形可知h=h1+h2．利用三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可得出S阴影=S△ABC，由此即可得出结论．【解答】解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH 底边GH上的高为h2，则有h=h1+h2．S△ABC=BC•h=16，S阴影=S△AGH+S△CGH=GH•h1+GH•h2=GH•（h1+h2）=GH•h．∵四边形BDHG是平行四边形，且BD=BC，∴GH=BD=BC，∴S阴影=×（BC•h）=S△ABC=4．故选B．【点评】本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是找出S阴影=S△ABC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出阴影部分的面积与△ABC的面积之间的关系是关键．6．（2016•历城区二模）如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，若S△ABC=30，则四边形BEFD的面积为（）A．5B．7C．9D．10【分析】作DM∥AE，交BC于M，根据平行线分线段成比例定理求得三角形ADF的面积，进而根据已知条件求得三角形ABE的面积，根据S四边形BDFE =S△ABE﹣S△ADF即可求得．【解答】解：作DM∥AE，交BC于M，∴=，∵AD=2BD，∴=，∴EM=BE，∴BE=CE，∴=，∵DM∥AE，∴==，∴=，∴∴，∵AD=2BD，∴S△ADC =S△ABC=×30=20，∴S△ADF=×20=8，∵S △ABE =S △ACE =S △ABC =15，∴S 四边形BDFE =S △ABE ﹣S △ADF =15﹣8=7．故选B ．【点评】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，底相等时，面积等于高的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．7．（2016春•泰兴市期末）△ABC 的两条中线AD 、BE 交于点F ，连接CF ，若△ABC 的面积为24，则△ABF 的面积为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4【分析】由中线得：S △ABD =S △ADC 得S △ABD =S △ABE ，由已知S △ABC =24，得出△ABE 和△ABD 的面积为12，根据等式性质可知S △AEF =S △BDF ，结合中点得：S △AEF =S △EFC =S △DFC =，相当于把△ADC 的面积平均分成三份，每份为4，由此可得S △ABF =S △ABD ﹣S △BDF ．【解答】解∵AD 是中线，∴S △ABD =S △ADC =S △ABC ，∵S △ABC =24，∴S △ABD =S △ADC =×24=12，同理S △ABE =12，∴S △ABD =S △ABE ，∴S △ABD ﹣S △ABF =S △ABE ﹣S △ABF ，即S △AEF =S △BDF ，∵D 是中点，∴S △BDF =S △DFC ，同理S △AEF =S △EFC ，∴S △AEF =S △EFC =S △DFC =S △ADC =×12=4，∴S △ABF =S △ABD ﹣S △BDF =12﹣4=8，故选B ．【点评】本题考查了三角形的面积问题，应用了三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，与各三角形面积的和与差相结合，分别求出各三角形的面积；本题是求三角形的面积，思考的方法有两种：①直接利用面积公式求；②利用面积的和与差求；本题采用了后一种方法．8．（2016春•青岛校级期末）如图，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD=BC ，延长边CA 到点E ，使AE=AC ，延长AB 到点F ，使FB=AB ，连接DE ，FD ，FE ，得到△DEF ，若S △EFD =168，则S △ABC 为（ ）A ．42B ．28C ．24D ．21【分析】分别连接AD 、BE 、CF ，利用△DEA 与△ACD 等底同高，求出S △AED =S △ACD ，然后利用△ABC 与△ACD 等底同高，求出S △ABC =S △ACD ，求出S △AED =S △ACD =S △ABC ；同理可求出S △ABE =S △FBE =S △FDC =S △BCF =S △ABC ，即可得出答案．【解答】解：分别连接AD 、BE 、CF ，∵CD=BC ，AE=AC ，FB=AB ，∴S △AED =S △ACD ，S △ABC =S △ACD ，∴S △AED =S △ACD =S △ABC ；同理可求出S △ABE =S △FBE =S △FDC =S △BCF =S △ABC ，∵S=168，△EFD∴S=168÷7=24．△ABC故选：C．【点评】此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是分别连接AD、BE、CF，求出各三角形的面积．9．（2016春•宝应县期末）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC 两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（）A．4：23B．4：25C．5：26D．1：6【分析】连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等，推出=，推出S△BEF=S△ABF，同理得出S△ABF=S△ABC，推出S△BEF=S△ABC，即可得出答案．【解答】解：连接AF，∵BE=3，AE=6，∴AB=9，∵△BEF 的边BE 上的高和△ABF 边AB 上的高相等，∴=，即S △BEF =S △ABF ，同理BF=4，CF=5，BC=9，得出S △ABF =S △ABC ，推出S △BEF =S △ABC ， ∴S △BEF ：S 四边形AEFC =4：23，故选A【点评】本题考查了面积与等积变形的应用，主要考查学生能否灵活运用等高的三角形的面积比等于对应边之比．10．（2016春•惠山区期中）如图，三角形ABC 内的线段BD 、CE 相交于点O ，已知OB=OD ，OC=2OE ．若△BOC 的面积=2，则四边形AEOD 的面积等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】连接AO ，利用等高不等底的三角形面积比等于底长的比，可求出△COD 与△BOE 的面积．列出关于△AOE 与△AOD 的面积的方程即可求出四边形AEOD 的面积．【解答】解：连接OA ，∵OB=OD ，∴S △BOC =S △COD =2，∵OC=2OE ，∴S △BOE =S △BOC =1，∵OB=OD ，∴S △AOB =S △AOD ，∴S △BOE +S △AOE =S △AOD ，即：1+S △AOE =S △AOD ①，∵OC=2OE ，∴S △AOC =2S △AOE ，∴S △AOD +S △COD =2S △AOE ，即：S △AOD +2=2S △AOE ②，联立①和②：解得：S △AOE =3，S △AOD =4，S 四边形AEOD =S △AOE +S △AOD =7，故选（D ）【点评】本题考查三角形面积问题，涉及方程组的解法，注意灵活运用等高不等底的三角形面积比等于底长的比这一结论．11．（2016秋•江阴市期中）如图，△PBC 的面积为10cm 2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△ABC 的面积为（ ）A ．10cm 2B ．12cm 2C ．16cm 2D ．20cm 2【分析】延长AP 交BC 于点Q ，则由条件可知S △ABP =S △BQP ，S △APC =S △PQC ，则阴影部分面积为△ABC 的一半，可得出答案．【解答】解：如图，延长AP 交BC 于点Q ，∵AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，∴AP=QP ，∴S△ABP =S△BQP，S△APC=S△PQC，∴S△ABC =2S阴影=20cm2，故选D．【点评】本题主要考查垂直平分线的定义及三角形的面积，由条件得出阴影部分面积为△ABC的一半是解题的关键．。
2017中考数学《压轴题》专题训练含答案解析
压轴题1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）若⊙P 的半径为58，⊙Q 的半径为23；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。
解：（1）42033y x =-+ （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似．当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ，∵t>2.5，∴符合条件．②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ，∵t>2.5，∴符合条件．综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似．（3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（109,531）。
2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．解：（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠=o， 2222125EF EB BF ∴=+=+=．设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，Q 顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+（第2题）②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+． 解得52n =-（舍去）．③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345+=．又5EF =Q ，∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是553、如图，在边长为2的等边△ABC 中，A D ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . （1）①试判断BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;（2）记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能相似，请求出BP 的长，如果不能，请说明理由。
中考数学冲刺专题训练(附答案)：三角形与四边形
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学冲刺专题训练（附答案）：三角形与四边形一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程28150x x -+=的一根，则此三角形的周长是（ ） A ．16 B ．12C ．14D ．12或16【答案】A 【解析】解方程28150x x -+=，得：3x =或5x =，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形； 若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16， 故选：A ．2．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B 【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线， ∴∠EBM=12∠ABC ， ∵CE 是外角∠ACM 的平分线， ∴∠ECM=12∠ACM ， 则∠BEC=∠ECM-∠EBM=12×（∠ACM-∠ABC ）=12∠A=30°， 故选：B ．3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝57，则BC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．3D ．6【答案】D 【解析】∵∠C ＝90°，cos ∠BDC ＝57， 设CD ＝5x ，BD ＝7x ， ∴BC ＝6x ，∵AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ， ∴AD ＝BD ＝7x ， ∴AC ＝12x ， ∵AC ＝12， ∴x ＝1， ∴BC ＝6； 故选D.4．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( ) A ．8 B ．12C ．16D ．32【答案】C 【解析】 如图所示：四边形ABCD 是菱形，12AO CO AC ∴==， 12DC BO BD ==，AC BD ⊥， 面积为28，∴12282AC BD OD AO ⋅=⋅=① 菱形的边长为6，2236OD OA ∴+=②，由①②两式可得：222()2362864OD AO OD OA OD AO +=++⋅=+=，8OD AO ∴+=，2()16OD AO ∴+=，即该菱形的两条对角线的长度之和为16， 故选C ．5．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．AB =DE B ．AC =DF C ．∠A =∠D D ．BF =EC【答案】C 【解析】解：选项A 、添加AB=DE 可用AAS 进行判定，故本选项错误； 选项B 、添加AC=DF 可用AAS 进行判定，故本选项错误； 选项C 、添加∠A=∠D 不能判定△ABC ≌△DEF ，故本选项正确；选项D 、添加BF=EC 可得出BC=EF ，然后可用ASA 进行判定，故本选项错误． 故选C ．6．如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE ，若ABCD 的周长为28，则ABE ∆的周长为（ ）A ．28B ．24C ．21D ．14【答案】D 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB OD =，AB CD =，AD BC =， ∵平行四边形的周长为28， ∴14AB AD += ∵OE BD ⊥，∴OE 是线段BD 的中垂线， ∴BE ED =，∴ABE ∆的周长14AB BE AE AB AD =++=+=， 故选：D ．7．如图，在ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若=60B ︒∠，=3AB ，则ADE ∆的周长为（ ）A ．12B ．15C ．18D ．21【答案】C 【解析】由折叠可得，90ACD ACE ︒∠=∠=，90BAC ︒∴∠=，又60B ︒∠=，30ACB ︒∴∠=，26BC AB ∴==，6AD ∴=，由折叠可得，60E D B ︒∠=∠=∠=，60DAE ︒∴∠=，ADE ∴∆是等边三角形， ADE ∴∆的周长为6318⨯=，故选：C ．8．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连按EN 、EF 、有以下结论：①AN ＝EN ，②当AE ＝AF 时，BEEC＝2﹣2，③BE+DF ＝EF ，④存在点E 、F ，使得NF ＞DF ，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 ①如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBM ＝∠ADM ＝∠FDN ＝∠ABD ＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴AM MN BM EM=，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵AB ADABE ADF90 AE AF︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt △CEF 中，OC ＝12EF ＝22x ， △EAF 中，∠EAO ＝∠FAO ＝22.5°＝∠BAE ＝22.5°， ∴OE ＝BE ， ∵AE ＝AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AOE （HL ）， ∴AO ＝AB ＝1， ∴AC ＝2＝AO+OC ，∴1+22x ＝2， x ＝2﹣2，∴BE EC ＝1(22)22---＝(21)(22)2-+＝22； 故②不正确； ③如图3，∴将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则AF ＝AH ，∠DAF ＝∠BAH ， ∵∠EAF ＝45°＝∠DAF+∠BAE ＝∠HAE ， ∵∠ABE ＝∠ABH ＝90°， ∴H 、B 、E 三点共线， 在△AEF 和△AEH 中，AE AE FAE HAE AF AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AEH （SAS ）， ∴EF ＝EH ＝BE+BH ＝BE+DF ， 故③正确；④△ADN 中，∠FND ＝∠ADN+∠NAD ＞45°， ∠FDN ＝45°， ∴DF ＞FN ，故存在点E 、F ，使得NF ＞DF ， 故④不正确； 故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．如图，在△ABC 中，以点B 为圆心，以BA 长为半径画弧交边BC 与点D ，连结AD ，若∠B =40°，∠C =36°，则∠DAC 的度数是____________．【答案】34° 【解析】由作图过程可知BD=BA ， ∵∠B=40°， ∴∠BDA=∠BAD=12(180°-∠B)=70°， ∴∠DAC=∠BDA-∠C=70°-36°=34°. 故答案为34°. 10．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE α=．连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠，若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则 a 的值为________．【答案】53或53【解析】 分两种情况：①当点B '落在AD 边上时，如图1． 四边形ABCD 是矩形，90BAD B ︒∴∠=∠=，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上，1452BAE B AE BAD '︒∴∠=∠=∠=，AB BE ∴=，315a ∴=， 53a ∴=；②当点B '落在CD 边上时，如图2． ∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ︒∴∠=∠=∠=∠=，AD BC a ==．将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上，90B AB E '︒∴∠=∠=，1AB AB '==，35EB EB a '==，2221DB B A AD a ''∴=-=-，3255EC BC BE a a =-=-=． 在ADB '∆与B CE '∆中，90A 90B AD EBC B DD C ︒︒⎧∠=∠=-∠'''⎨∠=∠=⎩， ADB B CE ''∴∆⋃∆，DB AB CE B E'''∴=，即2112355a a a -=，解得153a =，20a =（舍去）． 综上，所求a 的值为53或53． 故答案为53或53． 11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90°得ABG ∆，则CF 的长为_____．【答案】6-25 【解析】作FM AD M FN AG N ⊥⊥于，于 ，如图，易得四边形CFMD 为矩形，则4FM ＝∵正方形ABCD的边长为4，点是的中点，2DE ∴＝，∴224225AE =+=∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得△ABG ，∴252349090AG AE BG DE GAE ABG D ∠∠∠︒∠∠︒＝＝，＝＝，＝，＝，＝＝ 而90ABC ∠︒＝ ， ∴点G 在CB 的延长线上，∵AF 平分∠BAE 交BC 于点F ，∴∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即F A 平分∠GAD ， ∴FN ＝FM ＝4， ∵11••22AB GF FN AG ＝, ∴425254GF ⨯==, ∴4225625CF CG GF +=-＝﹣＝﹣ ． 故答案为6-25．12．如图，在平面直角坐标系中，OA ＝1，以OA 为一边，在第一象限作菱形OAA 1B ，并使∠AOB ＝60°，再以对角线OA 1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA 1A 2B 1，再依次作菱形OA 2A 3B 2，OA 3A 4B 3，……，则过点B 2018，B 2019，A 2019的圆的圆心坐标为_____．【答案】（-32018，3）2019） 【解析】过A 1作A 1C ⊥x 轴于C ，∵四边形OAA1B是菱形，∴OA＝AA1＝1，∠A1AC＝∠AOB＝60°，∴A1C＝32，AC＝12，∴OC＝OA+AC＝32，在Rt△OA1C中，OA1＝2213OC AC+=，∵∠OA2C＝∠B1A2O＝30°，∠A3A2O＝120°，∴∠A3A2B1＝90°，∴∠A2B1A3＝60°，∴B1A3＝23，A2A3＝3，∴OA3＝OB1+B1A3＝33＝（3）3∴菱形OA2A3B2的边长＝3＝（3）2，设B1A3的中点为O1，连接O1A2，O1B2，于是求得，O1A2＝O1B2＝O1B133）1，∴过点B1，B2，A2的圆的圆心坐标为O1（0，23，∵菱形OA3A4B3的边长为333，∴OA4＝934，设B2A4的中点为O2，连接O2A3，O2B3，同理可得，O2A3＝O2B3＝O2B2＝3＝（3）2，∴过点B2，B3，A3的圆的圆心坐标为O2（﹣3，33），…以此类推，菱形OA2019A2020B2019的边长为（3）2019，OA2020＝（3）2020，设B2018A2020的中点为O2018，连接O2018A2019，O2018B2019，求得，O2018A2019＝O2018B2019＝O2018B2018＝（3）2018，∴点O2018是过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心，∵2018÷12＝168…2，∴点O2018在射线OB2上，则点O2018的坐标为（﹣（3）2018，（3）2019），即过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为：（﹣（3）2018，（3）2019），故答案为：（﹣（3）2018，（3）2019）．三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上.=；（1）求证：BG DEFH=，求菱形ABCD的周长。
北师大中考数学复习专题_三角形四边形的有关计算证明
三角形四边形的有关计算证明一、考点，热点分析：(1) 了解多边形的内角和与外角和公式，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系•了解四边形的不稳定性；(2) 掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件(一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形)• 了解中心对称图形及其基本性质；(3) 掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；⑷了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论5•进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。
6. 了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。
7. 经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。
8. 在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形(会写已知、求作和作法，不要求证明)。
二、知识点归纳：般多边形的内角和(n—2) • 180。
，外角和为360°平面图形的密铺般的多边形点证：此题是让学生动手拼接，把/ 1移至/ 2,已知a // b ，根据两直线平行，？同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于 180。
”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的 方法也很多，注意对学生的引导.探索三角形全等的条件例 2 .如图所示，/ E=Z F=90°,Z B=Z C, AE=AF 给出 下列结论：①/ 仁/ 2;② BE=CF ③厶 ACN^A ABM ④ CD=DN 其中正确的结论是 ________________ .解析：由/ E=Z F ,Z B=Z C, AE=AF可判定△ AEB^A AFC 从而得/ EAB 玄FAC.•••/仁/ 2,又可证出厶 AEM2A AFN依此类推得①、②、③点评：注意已知条件与隐含条件相结合.全等三角形的应用例3. （20XX 年重庆市）如图所示， A 、D F 、B 在同一直线 上，AD=BFAE=BC 且 AE// BC.求证：（〔）△ AEF ^A BCD （2） EF// CD【解析】（1）因为AE// BC,所以/ A=Z B.又因AD=BF 所以AF=AD+DF=BF+FD=B 取因 AE=BC 所以△ AEF ^A BCD（2）因为△ AEF ^A BCD 所以/ EFA=Z CDB 所以 EF // CD.【点评】根据平行寻求全线于点F ,求证：S ^ ABF =S -【解析】•••四边形 ABCD 为平行四边形,• AD// BC.•/ E 是DC 的中点，• DE=CE• △ AED^A FEC 三角形的高，中线,角平分线 三角形 k 三角形全等的表示及特征 三角形的全等:探索三角形全等的条件 [ 匸角形全等的应用 三、【例题经典】 三角形内角和定理的证明 例1 •如图所示，把图（1）中的/ 1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什 么结论？请你证明你所得到的结论.三角形的基本要素及基本性质 •三角形的概念及表示 ’三边的关系，三内角的关AAED =S△FEC -二S^ ABF =S 四边形ABCE+S^ CEF =S 四边形ABCE+S° AED =S I ABCD会根据条件选择适当方法判定平行四边形例5. （20XX年山东省）如图，在.—D中，对角线AC BD相交于点0, E、F?是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A. 0E=0F B . DE=BF C . Z ADE=Z CBF D . Z ABE=/ CDF【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑, 但此例图中已有对角线，所以最适当方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”.能利用平行四边形的性质进行计算例6. （20XX年西宁市）如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点0,A A0B?勺周长为15, AB=6,那么对角线AC+BD= _________【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出A0+B0=9 ?再求得 AC+BD=18四、【考点精练】（一）、基础训练1 .如图 1 所示，若△ 0AD^A 0BC 且/ 0=65,Z C=20°,则/ 0AD= _________________2.如图2,在厶ABC 中，/ C=90°, AD 平分/ CAB BC=8cm BD=5cm 那么 D?点到直线 AB的距离是 _________ cm.3.如图3, AD AF 分别是△ ABC 的高和角平分线，已知/ B=36°, / C=?76?°,则/ DAF= ___________度.4.（ 20XX 年烟CD?交于点 0, ?且A0?平分/ BAC那么图中全等三角形共有 ____________ 对.6. ________________________________________ （ 20XX 年河南省）如图 6,在厶ABC 中，AC=BC=2 / ACB=90 , D 是BC 边的中点，E?是 AB 边上一动点，贝U EC+ED 勺最小值是 . 7. 以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）A . 1cm, 2cm, 4cmB . 8cm, 6cm, 4cm C. 12cm, 5cm, 6cm D . 2cm, 3cm, 6cm& （ 20XX 年绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形” 为公共边的“共边三角形”有（ ）A . 2对B . 3对C . 4对D . 6对,?则图中以BC9. （20XX年德阳市）已知△ ABC的三边长分别为20cm, 50cm, 60cm,现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与厶ABC相似.？要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边.那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（）(7) (8)A . 10, 25B . 10, 36 或12, 36C . 12, 36D . 10, 25 或12, 3610. （20XX年黄冈市）如图所示，已知△ ABC中，AB=AC / BAC=90，直角/ EPF的顶点P 是BC中点，两边PE PF分别交AB AC于点E、F,给出以下四个结论：① AE=CF②厶1EPF是等腰直角三角形；③ S四边形AEPF=—0ABC :④EF=AP当/ EPF在厶ABC内绕顶点P2旋转时（点E?不与A B重合），上述结论中始终正确的有（）A .①④B .①②C .①②③D .①②③④12. ___________________________________________________________________________ 如图2, E、F是LI ABCD寸角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：_________________________ 使四边形AECF是平行四边形.13. _________________________ （20XX年长沙市）如图3,四边形ABCD中, AB//CD要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）.14. （20XX年扬州市）ABCD勺对角线交于点O,下列结论错误的是（）A . ABCD是中心对称图形B . △ AOB^A CODC . △ AOD^A BOCD . △ AOB与△ BOC的面积相等15. （20XX年天津市）如图4，在口ABCD中, EF/ AB, GH// AD EF与GH交于点O,则该图中的平行四边形的个数共有（）A . 7 个B . 8 个C . 9 个D . 11 个16 . （20XX年广东省）如图5所示，在ABCD中，对角线AC BD交于点O,下列式子中一定成立的是（）A. ACL BD B . OA=OC C . AC=BD D . AO=OD(4) (5)17. （20XX年淄博市）如图6,在厶MBN中, BM=6点A, C, D分别在MB NB MN上，?四边形ABCE为平行四边形，/ NDC=/ MDA贝M I ABCD的周长是（）A. 24 B . 18 C . 16 D . 1218. （20XX年怀化市）如图7, AB=AC AD L BC, AD=BC若用剪刀沿AD剪开，？则最多能拼出不同形状的四边形个数是（）26. （20XX 年德阳市）如图，已知点 的中点，？求证：？ / DAN=/ BCM27. （20XX 年临安市）已知：如图， E 、F 是平行四边形 ABCD 的 对角线AC?h 的两点，AE=CF求证：（〔）△ ADF^A CBE （2） EB// DF.B . 3个C . 4个D . 5个 A . 2个 19.如图8, ABCD 中，点E 、F 分别是 AD AB 的中点, 值为（？ A. 1 : EF 交AC 于点G,那么AG GC 的 3 C 3 (9) ■ 匕旦 ⑺ (20XX 年南通市) ) .6m B . 20. （ A （二八能力提升 21.已知：如图，点 （8） 如图 9, ABCD 的周长是 12cm C . 4cm D 28cm, △ ABC 的周长是 22cm,则AC 的长为 8cm C D 在线段AB 上，PC=PD 请你添加一个 条件，？使图中存在全等三角 形，并给予证明.所添条件为 ___________ •你得到的一对全等三角形是厶 ____________ ◎△ ______ . 22.已知：如图，△ ABC 是等边三角形，过 AB 边上的点 D 作DG/ BC,交AC 于点G, ?在GD 的延长线上取点 E ,使DE=DB 连结AE 、CD. （1） 求证：△ AGE^A DAC （2） 过点E 作EF // DC 交BC 于点F ,请你连结 AF ,并判断△ AEF 是怎样 的三角形，试证明你的结论. 23. （20XX 年大连市）如图， AB// CD AB=CD 点 B 、E 、F 、D 在一条直线上, / A=Z C, 求证：AE=CF （说明：证明过程中要写出每步的证明依据） 24. （20XX 年内江市）如图，在△ ABD 和△ ACE 中，有下列四个等式: ①AB=AC ②AD=AE ③/ 仁/ 2 ④ BD=CE 请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（ 要求写出已知，求证及证明过程） 25.如图，在L_l ABCD 中, E 、F 是对角线 AC 上的两点，AE=CF 求证: BE=DF M N 分别是.ABCD 的边AB DC D128. 如图，DB// AC,且DB= AC, E是AC的中点，求证：BC=DE2(三)、应用与探究29. (20XX年浙江省)如图，△ ABC与△ ABD中, AD与BC 相交于0点，/ 1= / 2, ?请你添加一个条件(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，使AC=BD并给出证明.你添加的条件是：_______________ .B 30. (20XX年江阴市)已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB BC上.(1)若AB=10, AB与CD间距离为8, AE=EB BF=FC 求厶DEF的面积.(2)若厶ADE △ BEF △ CDF的面积分别为5、3、4，求△ DEF的面积.答案：考点精练I. 95° 2 . 3 3 . 20° 4 . 60° 5 . 4 对6 . 、.57. B 8 . B 9 . D 10 . CII. 答案不唯一，比如：/ A=Z B,A PAC^A PBD12 . (1)证略(2)连接AF, ?则厶AEF是等边三角形.证略13 . •/ AB// CD AB=CD Z A=Z C,•••△ABE^A CDF(ASA) ?, ?••• AE=CF(全等三角形对应边相等)14. ①②③为题设④为结论，证略15. / C=Z D,证略.例题经典例2. B考点精练I . 900 2 .答案不唯一，女口BE=DF等3 .答案不唯一，女口AB=CD等4. D 5 . C 6 . C 7 . D 8 . D 9 . B 10 . DII .证厶ABE^A CDF( SAS,即可得到BE=?DF12 .证厶BCM2A DAN( SAS,即可得/ DAN/ BCM13 . (1)根据(？SAS ?证厶ADFT^A CBE(2)连接BF、DE DB, ?根据对角线互相平分的四边形是平行四边形. 证四边形BEDF是平行四边形即可14 .证四边形BCED是平行四边形即可15 . ( 1 ) S^ DEF =30 (2) S^ DEF =68。
中考数学专题复习题 命题与证明(含解析)
2017-2018年中考数学专题复习题：命题与证明一、选择题1.下列命题中是假命题的A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行B. 三角形的三个内角中至少有一个角不大于C. 三角形的一个外角等于两个内角之和D. 平行于同一条直线的两条直线平行2.如图，有下列命题：若，则；若，则；若，则；若，，则，其中正确的个数为A. 1B. 2C. 3D. 43.对于命题“如果，那么”，说明它是假命题的反例可以是A. ，B. ，C. ，D.4.用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设A. 有一个内角小于B. 每一个内角都小于C. 有一个内角大于D. 每一个内角都大于5.对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是A. ，B. ，C.， D. ，6.下列命题的逆命题是真命题的是A. 如果，那么B. 如果，那么C. 对顶角相等D. 对角线相等的四边形是矩形7.下列命题：负数没有立方根；一个实数的立方根不是正数就是负数；一个正数或负数的立方根与这个数的符号一致；如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是1或0．其中正确的是A. 1B. 2C. 3D. 48.在足球、篮球、网球和垒球中，小张、小王、小李和小刘分别喜欢其中的一种，根据下面的提示，判断小刘喜欢的是小张不喜欢网球；小王不喜欢足球；小王和小李都是既不喜欢篮球也不喜欢网球．A. 足球B. 篮球C. 网球D. 垒球9.一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为和的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是A. 3B. 4C. 5D. 610.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点A向结点B传递信息，信息分开可以从不同的路线同时传递，则单位的时间内传递的最大信息量为A. 19B. 20C. 24D. 25二、填空题11.用反证法证明“一个三角形不能有两个角是直角”时应首先假设______ ．12.小红为奶奶冲杯热牛奶，她需要做下列事情：烧开水分钟，洗杯子分钟，冲奶粉分钟她至少要用______ 分钟才能让奶奶喝上热牛奶．13.甲、乙、丙、丁、戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，已知甲赛了5场，乙赛了4场，丙赛了3场，丁赛了2场，戊赛了1场，则小强赛了______ 场14.把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式：______．15.给出四个命题：若，，则；若，则；若，则；若，则．正确的是______填序号16.证明“为实数”是假命题的一个反例是______．17.命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：______ ．18.若，则，它的逆命题是______真或假命题．19.字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为______ ．20.在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形其中点B、F、C、E在同一直线上，并写出四个条件：，，，请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．条件：______ ；结论：______ 均填写序号三、计算题21.某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．22.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；如果，那么；两个锐角的和是钝角．23.某商店有5只分别装有麻油、豆油、菜油，其重量如图，其中麻油一桶，豆油的公斤数恰好是菜油的两倍，五只桶分别装的是哪种油？并请说明推理过程．24.我们的数学教材中有一个“抢30的游戏”，现在改为“甲、乙二人抢20”的游戏游戏规则是：甲先说“1”或“1、2”乙接着甲的数往下说一个或两个数，然后又轮到甲再接着乙的数往下说一个或两个数，甲、乙反复轮流说，每次每人说一个或两个数都可以，但不能连续说三个数，也不能一个数也不说谁先抢到20，谁就获胜因为甲先说，你认为谁会获胜？请你分析获胜策略、推理说明获胜的道理．【答案】1. C2. B3. D4. B5. B6. D7. A8. C9. A10. A11. 这个三角形中有两个角是直角12. 613. 314. 如果两个角是对顶角，那么它们相等15.16. 当时，17. “如果m是有理数，那么它是整数”18. 假19.20. ；21. 证明：我们证明每一个学生的得分都是偶数．设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有道题没有答于是此人的得分是，这是一个偶数．所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．22. 解：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补是假命题，如：三角形三边可看作为两条直线被第三条直线所截，则同旁内角不互补；如果，那么是假命题，如：当，则；两个锐角的和是钝角是假命题，如：和的和为锐角．23. 解：商店有5只分别装有麻油、豆油、菜油，其中麻油一桶，豆油、菜油各两桶，且麻油重量一定不是60kg，又豆油的公斤数恰好是菜油的两倍，豆油的公斤数至少是的2倍，豆油公斤数是：，菜油的公斤数是：120，五只桶分别装的是：60kg菜油，60kg菜油，80kg麻油，90kg豆油，150kg豆油．24. 解：第一个人必胜；因为是第一个人先说，所以主动权在第一个人，他肯定按2，5，8，11，17，20，报数，故第一个人必胜．。
特殊四边形的计算与证明问题(真题10道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】
专题14特殊四边形的计算与证明问题（北京真题10道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢考点考查年份考查频率十年8考特殊四边形的计算与证明（大题）2013.2014.2015.2016.2017.2020.2021.2022以四边形为载体的计算与证明是北京市中考数学常考的一类解答题，要求学生理解和掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，会画出四边形全等变换后的图形，并会结合其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力.解决此类问题的关键是要牢牢把握四边形的性质与特征，挖掘相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之间形状、大小、位置关系，进行观察、实验、比较、联想、类比、分析、综合等.常用到的矩形、菱形、正方形的解题策略有：（1）对于矩形：①判定四边形是矩形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形；②矩形的内角是直角和对角线相等，相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质；③利用矩形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解．（2）对于菱形：①判定四边形是菱形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是菱形；②菱形的邻边相等和对角线垂直，相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质；③利用菱形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解；④求线段和的最小值时，往往运用菱形的轴对称的性质转化为求线段的长度．（3）对于正方形：①判定四边形是正方形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形或菱形，最后判定这个四边形是正方形；②正方形是最特殊的四边形，在正方形的计算或证明时，要特别注意线段或角的等量转化．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2021·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；，求BF和AD的长．（2）若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=45【例2】（2022·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD是菱形．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2014·北京·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．2．（2016·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．3．（2017·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．4．（2017·北京·中考真题）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD=S△ADC-（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC-（____________+____________）．易知，S△ADC=S△ABC，_____________=______________，______________=_____________．可得S矩形NFGD= S矩形EBMF．5．（2013·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=1BC，连结DE，2CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．6．（2015·北京·中考真题）在▱ABCD，过点D作DE∠AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.7．（2020·北京·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF∠AB，OG∠EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．8．（2016·北京·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京房山·二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AC⊥BD，垂足为M，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若AC=8,sin∠ABD=4，求BD的长．52．（2022·北京西城·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE∠ED，CF=AE．(1)求证：四边形EBFD是矩形；(2)若AB=5，cos∠OBC=4，求BF的长．53．（2022·北京朝阳·二模）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC 的中点．(1)求证：四边形OMPN是矩形；(2)连接AP，若AB=4，∠BAD=60∘，求AP的长．4．（2022·北京东城·二模）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC=√10，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的边长．5．（2022·北京平谷·二模）如图，在□ABCD中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG∥AF，交DA的延长线于点G．(1)求证：四边形AGEF是平行四边形；(2)若sin∠G=3，AC=10，BC=12，连接GF，求GF的长．56．（2022·北京北京·二模）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE=DC，连接CE．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)连接BE交AD于点F，连接CF．若AB=4，求CF的长．7．（2022·北京丰台·二模）如图，在∠ABC中，∠BAC=90∘，AD∠BC，垂足为D，AE∠BC，CE∠DA．(1)求证：四边形AECD是矩形；(2)若AB＝5，cosB=3，求AE的长．58．（2022·北京密云·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠BAD，点E为AD边中点，过点E作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若FB=2，sinF=3，求AC的长．59．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD=CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE=OD，BF⊥AE于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB=3，tan∠CED=3，求EF和AD的长．410．（2022·北京昌平·二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线交于点E，连接OE交AD于点F．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若AC=8，∠DOC=60°，求菱形OCED的面积．11．（2022·北京海淀·二模）如图，在Rt∠ABC中，∠A =90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接BE，若AB = 2，tan C =1，求BE的长．212．（2022·北京东城·一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（AE>CE），连接BE，DE．(1)求证：BE=DE；(2)过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG=BF，连接DG．∠依题意补全图形；∠用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．13．（2022·北京东城·一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，∠EAO=∠DCO．(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若AB=BC，CD=5，AC=8，tan∠ABD=2，求BE的长．314．（2022·北京市十一学校二模）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得AF=DE，连接BF，CF．(1)求证：四边形BCEF是矩形；(2)若AB=6，CF=8，DF=10，求EF的长．15．（2022·北京石景山·一模）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE 并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF．(1)求证：四边形BFCD是菱形；(2)若cos A=5，DE=5，求菱形BFCD的面积．1316．（2022·北京大兴·一模）如图，在平面四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD上的点，CF=BE．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若∠A=60°，AD=2，AB=4，求BD的长．17．（2022·北京丰台·一模）如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，AD∥BC，点E在BC上，AB∥DE，AE 平分∠BAD．(1)求证：四边形ABED为菱形；(2)连接BD，交AE于点O．若AE＝6，sin∠DBE＝3，求CD的长．518．（2022·北京市师达中学模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形,AE∠BC，AF∠CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的长．19．（2022·北京四中模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD∠AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF∠AE于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．20．（2021·北京丰台·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE∠BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．21．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BD 交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若BD=4，AC=3，求sin∠CDE的值．22．（2022·北京平谷·一模）如图，∠ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC 于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．(1)求证：四边形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝3，BF＝5，连接CD，求CD的长．523．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点C作CE∠BD交AD的延长线于点E．(1)求证：∠ACD＝∠ECD；(2)连接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的长．24．（2022·北京房山·一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE∠CD交CD的延长线于点E，过点C作CF∥EB交AB的延长线于点F．(1)求证：四边形BFCE是矩形；(2)连接AC，若AB=BE=2，tan∠FBC=1，求AC的长225．（2022·北京朝阳·一模）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE//BD，BE//AC．(1)求证：四边形AEBO是菱形；(2)若AB=OB=2，求四边形AEBO的面积．26．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP 交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．BC，27．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点A作AE，且AE=12连结DE．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)作FG⊥AB于点G，AG=4，cos∠GAF=4，求FG和FD的长．528．（2022·北京西城·一模）如图，在∠ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA∠AF，AD=4，BC=4√5，求BD和AE的长．29．（2022·北京顺义·一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，cos∠ACB=4，求BC的长．530．（2022·北京通州·一模）如图．在∠ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；(2)当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．。
河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习《三角形四边形有关的证明计算》练习解析
三角形四边形有关的证明计算一、证明题典例精讲例1. 已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．解：（1）证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=12∠BAC．∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：证全等也可得到AC=CD∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB．∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB．注：证全等也可得到A C=AB∴AB=CD．（2）∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∴∠MPC=∠CDA．∴∠MP F=∠CDM．∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．注：证全等也可得到CE=BE∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM．（6分）注：证全等也可得到CM=BM ∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，（等腰三角形三线合一）∴∠C ME=∠BME．注：证全等也可得到∠CME=∠BME ∵∠BME=∠PMF，∴∠PMF=∠C M E，∴∠MCD=∠F（三角形内角和）．例2. 如图，在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2．（1）求证：OD=OE；FM PE DCBA（2）求证：四边形AB ＥD 是等腰梯形； （3）若AB=3DE, △DCE 的面积为2, 求四边形ABED 的面积．1）证明：如图，∵△ABC 是等腰三角形，∴AC=BC ， ∴∠BAD ＝∠ABE ， 又∵AB=BA 、∠2＝∠1， ∴△ABD ≌△BAE （ASA ）， ∴BD=AE ，又∵∠１＝∠２，∴OA=OB ， ∴BD-OB=AE-OA ，即：OD=OE ．(2)证明：由（1）知：OD=OE ，∴∠OED ＝∠ODE ， ∴∠OED=180(21-∠DOE ）， 同理：∠1=180(21-∠AOB ）， 又∵∠DOE ＝∠AOB ，∴∠1＝∠OED ，∴DE ∥AB ，∵AD 、BE 是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD 与BE 不平行， ∴四边形ABED 是梯形， 又由（1）知∴△ABD ≌△BAE ，∴AD=BE ∴梯形ABED 是等腰梯形．（3）解：由（2）可知：DE ∥AB ，∴△DCE ∽△ACB ， ∴2)(ABDE ACB DCE =∆∆的面积的面积，即：91)3(22==∆DE DE ACB 的面积，∴△ACB 的面积=18，∴四边形ABED 的面积=△ACB 的面积-△DCE 的面积=18-2=16 ． 针对性训练1.已知：如图①，在ABC △中 ，AB AC =，90BAC ∠=°，D E 、分别是AB AC 、边的中点，将ABC △绕点A 顺时针旋转α角（0180α<<°°），得到AB C ''△（如图②）． （1）探究DB '与EC '的数量关系，并给予证明；（2）当DB AE '∥时，试求旋转角α的度数．2. 如图，ABC △中，AB =BC ，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，45BAD ∠=°，AD 与BE交于点F ，连接CF . （1）求证：BF =2AE ；（2）若CD AD 的长.3. 如图，点A 是线段BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形.（1）连结BE ，CD ，求证：BE =CD ；（2）如图，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得到△AB D ''. ①当旋转角为 度时，边AD '边落在边AE 上；②在①的条件下，延长DD '交CE 于点P ，连接BD '，CD '.当线段AB ，AC 满足什么数量关系时，△BDD ′与△CPD ′全等？并给予证明.参考答案1. 1）DB EC ''=证明：D E ，分别是AB AC ，的中点，1122AD AB AE AC ∴==，． AB AC AD AE =∴= ，．B AC '' △是BAC △顺时针旋转得到．EAC DAB AC AC AB AB α''''∴∠=∠====，． ADB AEC DB EC ''''∴∴=△≌△，． （2）DB AE ' ∥，90B DA DAE '∴∠=∠=°． 1190cos 22AE C EA B DA AE AC AC α'''∴∠=∠==∴=' °，，． ∴旋转角60α=°．2. （1）证明：∵45AD BC BAD ∠=⊥，°， ∴45ABD BAD ∠=∠=°， ∴AD =BD.∵AD BC BE AC ⊥，⊥，∴90CAD ACD ∠+∠=°，90CBE ACD ∠+∠=°， ∴CAD CBE ∠=∠.又∵90CDA BDF ∠=∠=°， ∴ADC BDF △≌△， ∴AC =BF .∵AB =BC ，BE AC ⊥， ∴AE =EC ，即AC =2AE . ∴BF =2AE .（2）解：∵ADC BDF △≌△，∴DF =CD∴在Rt CDF △中，CF ∵BE AC AE EC =⊥，， ∴AF =FC =2.∴AD =AF +DF3.（1）证明：∵△ACE 、△ABD 都是等边三角形.∴AB ＝AD ，AE ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°， ∴∠BAD ＋∠DAE ＝∠CAE ＋∠DAE ∴∠BAE ＝∠D AC ，∴△BAE ≌△DAC ∴BE ＝CD .（2）①60，②当AC ＝2AB 时，△BDD '与△CPD '全等，证明如下： 由旋转可知AB '与AD 重合，∴AB BD DD AD ''===， ∴四边形ABDD '是菱形， ∴ABD '∠＝DBD '∠＝21∠ABD ＝21×60°＝30°， DP BC ∥. ∵△ACE 是等边三角形，∴ AC ＝AE ，∠A CE ＝60°， ∵AC ＝2AB ，∴AE ＝2AD ′， ∴∠PCD ′＝∠ACD ′＝21∠ACE 1602=⨯°＝30°， .DP BC ∥30ABD DBD BD D ACD PCD PD C ''''''∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=°.∴BD CD ''=， ∴BDD CPD ''△≌△. 二、猜想、探究题 典例精讲例1 如图（1），Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD于点E ，交CB 于点F ． （1）求证：CE CF =．将图（1）中的ADE △沿AB 向右平移到A D E '''△的位置，使点E '落在BC 边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE '与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（1）证明：∵AF 平分CAB ∠，∴.CAF EAD ∠=∠∵90ACB ∠=°，∴90.CAF CFA ∠+∠=°又∵CD AB ⊥于D ，∴90EAD AED ∠+∠=°. ∴.CFA AED ∠=∠∵AED CEF ∠=∠，∴.CFA CEF ∠=∠ ∴.CE CF =（2）证明：如图，过点E 作EG AC ⊥于G ． 又∵AF 平分CAB ∠，.ED AB ⊥∴.ED EG =由平移的性质可知：D E DE =′′，∴.D E GE =′′ ∵90ACB ∠=°，∴90.ACD DCB ∠+∠=° ∵CD AB ⊥于D ，∴90.B DCB ∠+∠=° ∴.ACD B ∠=∠在Rt CEG △与Rt BE D △′′中，GCE BCGE BD E GE D E ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩′′′′ ∴CEG BE D △≌△′′.∴CE BE =′. 由（1）可知CE CF =，∴.BE CF =′例2 如图，△ABC 的边BC 在直线m 上，AC ⊥BC ，且AC=BC ，△DEF 的边FE 也在直线m 上，边DF 与边AC 重合，且DF=EF ．（1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB 与AE 所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）将△DEF 沿直线m 向左平移到图（2）的位置时，DE 交AC 于点G ，连结AE ，BG ．猜想△BCG 与△ACE 能否通过旋转重合？请证明你的猜想．解：（1）AB=AE , AB ⊥AE（2）将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合（或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合），理由如下：∵AC ⊥BC ，DF ⊥EF ，B 、F 、C 、E 共线，∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90° 又∵AC=BC ，DF=EF ，∴∠DFE =∠D =45°，在△CEG 中，∵∠ACE=90°，∴∠CGE=∠DEF=90°， ∴CG=CE ， 在△BCG 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CG ACE ACB AC BC ∴△BCG ≌△ACE （SAS ）∴将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合（或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合）例3如图，ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC EDF ∠=∠=°，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP AQ =时，求证：BPE CQE △≌△；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：BPE CEQ △≌△；并求当BP a = ，92CQ a =时，P 、Q 两点间的距离 （用含a 的代数式表示）．证明：（1） 点E 是等腰直角三角形斜边的中点，BE CE B C AB AC ∴=∠=∠=，，，（1分）AP AQ = ， BP CQ ∴=， （2分） BPE CQE ∴△≌△；（3分）（2）BEF C CQE BEF DEF BEP ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，，C CQE DEF BEP ∴∠+∠=∠+∠， 45C DEF ∠=∠= °，BEF CQE ∠=∠ ． （4分）B C ∠=∠ ，BPE CEQ ∴△∽△；（5分）BP BECE CQ∴=， （6分）92BP a CQ a BE CE === ，，，BE ∴=，即3BC = （7分） 3sin 45322AB AC BC a PA a QA a ∴===∴==°，，， （8分）∴在Rt PAQ △中52PQ a ===．针对性训练1.（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连结AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与（1）相同．猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连结AF、BF′．探究AF、BF 与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其它作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．2. 在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE＝AB，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F．猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为__________；探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G．判断线段AF与DE的大小关系．应用：如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．FFCBDA图①图②3. 已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M.(1)当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时,如图①，求证：AB+BE=AM；(提示：延长MF，交边BC的延长线于点H.)(2)当点E 在边CB 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图②；当点E 在边BC 的延长 线上，点M 在边AD 上时，如图③.请分别写出线段AB ，BE ，AM 之间的数量关系, 不需要证明； (3)在(1)，(2)的条件下，若BE=3，∠AFM =15°，则AM = .参考答案1. 解（1）发现：AF BD =．（1分） 证明：在等边ABC △中，60AC BC ACB =∠=︒，，在等边DCF △中，60DC FC DCF =∠=︒，，∴ACB ACD DCF ACD ∠-∠=∠-∠，即BCD ACF ∠=∠，(SAS)BCD ACF ∴△≌△．AF BD ∴=.（2分） (2)猜测：AF=BD ．（3分） (3)探究：Ⅰ）AF BF AB '+=．（5分） 证明：同理可证BCF ACD ACF BCD '△≌△，△≌△．BF AD AF BD '∴==，，AF BF AD BD AB '∴+=+=.Ⅱ）AF BF AB '-=．（6分）证明：同理可证BCF ACD ACF BCD '△≌△，△≌△，,BF AD AF BD '∴==．又AD AB BD +=，AF BF AB '∴=+，AF BF AB '∴-=.2.AF＝DE；AF＝DE；23 BG=．【解析】解：（1）猜想：AF＝DE；（2）探究：AF＝DE，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝CD，∴∠AFE＋∠AEF＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，∵AE＝AB，∴AE＝CD，∴△AFE≌△DEC，∴AF＝DE．（3）由（2）得△AFE≌△DEC，∴设D E＝x，∵AD＝5，∴AE＝5－x＝2，∵AB＝2，AB＝AE，∴AE＝5－x＝2，解得x＝3，∴AF＝DE＝3，∴FB＝1，∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴FB BG FA AE=，即132BG =，∴23BG =． 3.证明略（2）如图②:AM=AB-BE,如图③:AM=BE-AB.(3)有两种情况，如图②:AM=3-3 如图③:AM=3-1【解析】解：（1）证明：∵∠AEB+∠HEF =90°，∠AEB+∠BAE =90°∴∠BAE =∠HEF 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017中考数学专题训练(四)三角形、四边形中的相关证明及计算纵观近5年中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．三角形的有关计算及证明【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF ＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．【学生解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.1．已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D为△ABC外一点，连接AD，BD，过D 作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.若△ABD是等边三角形，求DE的长．解：∵△ABD是等边三角形，AB＝10，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10.∵DH⊥AB，∴AH＝12AB＝5.∴DH＝AD2－AH2＝102－52＝5 3.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°.∴∠AEH＝45°.∴EH＝AH＝5.∴DE＝DH－EH＝53－5.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四边形AEDF的周长．解：∵AB＝AC，E，F分别是边AB，AC的中点，∴AE＝AF＝12AB.又∵DE＝DF，AD＝AD，∴△AED ≌△AFD .∴∠EAD ＝∠F AD .∴AD ⊥BC ，且D 是BC 的中点．在Rt △ABD 中，∵E 是斜边AB 的中点，∴DE＝AE .同理，DF ＝AF .∴四边形AEDF 的周长是2AB .在Rt △ABD 中，AD ＝2，BD ＝12BC ＝3，AB ＝4＋9＝13，∴四边形AEDF 的周长为213.3．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F 为BC 中点，BE 与DF ，DC 分别交于点G ，H ，∠ABE ＝∠CBE .(1)线段BH 与AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG 2－GE 2＝EA 2.证明：(1)BH ＝AC .∵∠BDC ＝∠BEC ＝∠CDA ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BCD ＝45°＝∠ABC ，∴DB ＝DC .又∵∠BHD ＝∠CHE ，∴∠DBH ＝∠DCA .∴△DBH ≌△DCA ，∴BH ＝AC ；(2)连接GC .则GC 2－GE 2＝EC 2.∵F 为BC 中点，DB ＝DC ，∴DF 垂直平分BC ，∴BG ＝GC .∴BG 2－GE 2＝EC 2.∵∠ABE ＝∠CBE ，∠CEB ＝∠AEB ，BE ＝BE ，∴△BCE ≌△BAE .∴EC ＝EA ，∴BG 2－GE 2＝EA 2.4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E .在△ABC 外有一点F ，使F A ⊥AE ，FC ⊥BC .(1)求证：BE ＝CF ；(2)在AB 上取一点M ，使BM ＝2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME .求证：①ME ⊥BC ；②DE ＝DN .证明：(1)∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝45°.∵FC ⊥BC ，∴∠BCF ＝90°.∴∠ACF ＝90°－45°＝45°，∴∠B ＝∠ACF .∵∠BAC ＝90°，F A ⊥AE ，∴∠BAE ＋∠CAE ＝90°，∠CAF ＋∠CAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAF .在△ABE和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF ，∴△ABE ≌△ACF (ASA )．∴BE ＝CF ；(2)①过点E 作EH ⊥AB 于H ，则△BEH 是等腰直角三角形．∴HE ＝BH ，∠BEH ＝45°.∵AE 平分∠BAD ，AD ⊥BC ，∴DE ＝HE ，∴DE ＝BH ＝HE .∵BM ＝2DE ，∴HE ＝HM ，∴△HEM 是等腰直角三角形，∴∠MEH ＝45°，∴∠BEM ＝45°＋45°＝90°，∴ME ⊥BC .②由题意，得∠CAE ＝45°＋12×45°＝67.5°，∴∠CEA ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠CAE ＝∠CEA ＝67.5°，∴AC ＝CE .在Rt △ACM 和Rt △ECM 中，⎩⎪⎨⎪⎧CM ＝CM ，AC ＝CE ，∴Rt △ACM ≌Rt △ECM (HL )，∴∠ACM ＝∠ECM ＝12×45°＝22.5°.又∵∠DAE ＝12×45°＝22.5°，∴∠DAE ＝∠ECM .∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD ＝CD ＝12BC .在△ADE 和△CDN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠ECM ，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDN ，∴△ADE ≌△CDN (ASA )，∴DE ＝DN .四边形的有关计算及证明【例2】(2014邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的M 点；将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上的N 点．(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若四边形BFDE 是菱形，AB ＝2，求菱形BFDE 的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM ≌△FBN ，从而证出四边形BFDE 是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE ＝∠DBE ＝∠DBC ＝30°，利用锐角三角函数可求出AE 、BE ，进而求出AD 、DE ，即可求出菱形BFDE 的面积．【学生解答】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD .由翻折得：BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB ，∠C ＝∠DNF ，∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF ＝90°，∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN ，∴△EDM ≌△FBN (ASA )，∴ED ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形；(2)∵四边形BFDE 是菱形，∴∠EBD ＝∠FBD .∵∠ABE ＝∠EBD ，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°.在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433，∴ED ＝433，∴S 菱形BFDE ＝ED ·AB ＝433·2＝833.5．如图，已知△ABC .按如下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧；②以C 为圆心，CB 长为半径画弧，两弧相交于点D ；③连接BD ，与AC 交于点E ，连接AD ，CD .(1)求证：△ABC ≌△ADC ；(2)若∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，AC ＝4，求BE 的长．解：(1)在△ABC 与△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝CD ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS )；(2)设BE ＝x ，∵∠BAC ＝30°，∴∠ABE＝60°，∴AE ＝tan 60°·x ＝3x ，∵∠BCA ＝45°，∴CE ＝BE ＝x ，∴3x ＋x ＝4，∴x ＝23－2，∴BE ＝23－2.6．(2016温州中考)如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F .(1)求证：△ADE ≌△FCE .(2)若∠BAF ＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF ，∵E 是▱ABCD的边CD 的中点，∴DE ＝CE ，在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE (AAS )；(2)∵ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ＝3，∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF ＝90°，在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5，∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4，∴CD ＝2DE ＝8.7．(2016青岛中考)已知：如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，直线EF 分别交BA 的延长线、DC 的延长线于点G ，H ，交BD 于点O .(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)连接DG ，若DG ＝BG ，则四边形BEDF 是什么特殊四边形？请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∠BAE ＝∠DCF ，在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，，∴△ABE ≌△CDF (SAS )；(2)四边形BEDF 是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵AE ＝CF ，∴DE ＝BF ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴OB ＝OD ，∵DG ＝BG ，∴EF ⊥BD ，∴四边形BEDF 是菱形．8．(2016滨州中考)如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB ，BD ，BC 于点E ，F ，G ，连接ED ，DG .(1)请判断四边形EBGD 的形状，并说明理由；(2)若∠ABC ＝30°，∠C ＝45°，ED ＝210，点H 是BD 上的一个动点，求HG ＋HC 的最小值．解：(1)四边形EBGD 是菱形．理由：∵EG 垂直平分BD ，∴EB ＝ED ，GB ＝GD ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∵∠EBD＝∠DBC ，∴∠EDF ＝∠GBF ，在△EFD 和△GFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EDF ＝∠GBF ，∠EFD ＝∠GFB ，DF ＝BF ，∴△EFD ≌△GFB ，∴ED ＝BG ，∴BE＝ED ＝DG ＝GB ，∴四边形EBGD 是菱形；(2)作EM ⊥BC 于点M ，DN ⊥BC 于点N ，连接EC 交BD 于点H ，此时HG ＋HC 最小，在Rt △EBM 中，∵∠EMB ＝90°，∠EBM ＝30°，EB ＝ED ＝210，∴EM ＝12BE ＝10，∵DE ∥BC ，EM ⊥BC ，DN ⊥BC ，∴EM ∥DN ，EM ＝DN ＝10，MN ＝DE ＝210，在Rt △DNC 中，∵∠DNC ＝90°，∠DCN ＝45°，∴∠NDC ＝∠NCD ＝45°，∴DN ＝NC ＝10，∴MC ＝310，在Rt △EMC 中，∵∠EMC ＝90°，EM ＝10.MC ＝310，∴EC ＝EM 2＋MC 2＝（10）2＋（310）2＝10.∵HG ＋HC ＝EH ＋HC ＝EC ，∴HG ＋HC 的最小值为10.。