武汉理工大学whut线性代数考试试题及其参考答案
武汉理工2008年末-线代-A
武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称——线性代数—— （ A 卷） |一、填空题：（每小题3分，共15分）1．6；2．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--233421（未写出的元素为0）；3．-128；4．2；5．.3535<<-t二、选择题： 1.B ； 2.C ； 3.B ； 4.C ； 5.A （每小题3分，共15分）三、计算题： 1．()20092008000020082008000200920091200800020092008000020092008200820082007⨯⨯-+⨯=D （5分）=2007200720092008+ (10分)2．首先，11)(6---=E A B （3分）其次，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-7431A ， （5分）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--6321E A ， （7分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---6/13/12/111EA， （9分） 最后， .123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B (10分) 注：矩阵中未写出的元素为0。
3．方程组的系数行列式()()⇒≠+-=---=012111111λλλλλA （3分） （1）21≠-≠λλand，时，方程组有唯一解； （5分）（2）当2=λ时，方程组的增广矩阵)()(100021104211~B R A R B <⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--此时方程组无解； （7分）（3）当1-=λ时，方程组的增广矩阵⇒<=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3)()(000000001111~B R A R B此时方程组有无穷多个解，其通解为.),(0011010112121R k k k k X ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （10分）4．解：观察知，矩阵A 的第一列加上第二列的（-1）倍，然后再交换第二列和第三列即得B ，（4分）根据初等方阵的定义，两次初等 列变换所对应的初等方阵分别为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111111，；（8分） 再根据初等行变换的实质得，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111111111X . （10分）注：矩阵中未写出的元素为0。
武汉理工大学线性代数试卷期末考试卷子3
武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共12分）1、 2；2、 1；3、 21t ≠； 4、k >二、选择题（每小题3分，共12分）1、 A ；2、 C ；3、 B ；4、 D 三、解答题（每小题9分，共36分）1、11(2,,)(2,,)110001111110010002001200020001001i in i n i n r r r r n nn n n D nnn n n n n ==+++---=-------…..…（4分）()(1)(2)(1)112200001(1)1(1)(1)()(1)1222000000n n n n n n nnn n n n n n n n n n n -------+++=⋅=⋅⋅-⋅-=⋅⋅---...….（9分） 2、记 121624,1713A A ---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则121,1A A =-=；…..…………………………………..…..……...（4分）又1112767637,111112A A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以17600110000370012A --⎛⎫⎪ ⎪= ⎪-⎪-⎝⎭－。
………………………...（9分）3、由题意有010100001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100011001B C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，……………..…………………………………………...（4分）于是 010100100011001001A C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以011100001X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
……….……………………………………...（9分）4、()123403481011,,,21043211αααα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭～1011034801220244-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～1011012200220000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭～100001040011000⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭………...（4分）则()1234,,,3R αααα=，且123,,ααα线性无关，所以123,,ααα即为1234,,,αααα的一个极大无关组，（7分） 且412304αααα=+-；…………………………………………………………………………………..………...（9分） 或者取124,,ααα，312404αααα=+-；还可以取134,,ααα，2341144ααα=+ 四、解()2111,1111tA b t t tt -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭～2223110110111t t t t t t t t t ⎛⎫-⎪--+-- ⎪ ⎪+-++⎝⎭～22321101100(1)(2)1t t t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪--+-- ⎪ ⎪-+---+⎝⎭…………………………….…………..………...（4分） 所以当12t t ≠-≠且时，方程组有唯一解；…………………………………..…………………………….……...（6分）当2t ＝时，(),A b ～112403360001-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭ ()(),32R A b R A =≠=，所以方程组无解。
武汉理工大学 2014-2015第一学期现代试卷A答案
向量组1,2 ,3 线性相关，知 R(2 ,3,1) R(1,2,3) 3 -----------1 分 向量组2 ,3,4 线性无关，知 R(2 ,3,4 )=3.
由整体无关则部分无关，知2 ,3 也线性无关。---------------------2 分
而 R(2 ,3,1) R(2 ,3) 2 ，综上知
--------------6 分
A卷3
A卷4
1 1
1 2 1, 3 2 为特征值
1 1
当 1 1解方程组 (A E)x 0 ，得正交的的特征向量为 p1 1 , p2 1
0
2
1
当
3
2
解方程组 ( A
2E)x
0
得
p3
1
为对应特征向量
1
故所求正交矩阵 P 为
1
1
1
2
P(
p1
,
p2
,
p3
) 1
p1 p2 p3 2
…
…
31
11
… …
4 31 23 若 1,4 是最大无关组，则3 2 1 2 4 ，2 2 1 2 4
…
4. k=-2.
装
订
线
… … … …
A卷1
四、（本题 15 分）
（1）a=-8,b≠1,无解；--------------6 分
（2）a≠-8,唯一解；--------------8 分
,3
线性表示。-----------------6
分
第二部分还可以用反证法：假设即4 能由1,2 ,3 线性表示，由于1 能由2 ,3 线性表示，
且表示法唯一，故4 能由2 ,3 线性表示，------------5 分
2008-2009第二学期线性代数试卷及标答(B卷)
12n n n b b b ；12312⎛⎫ ⎪，2⎛武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、2A E +；2、1；3、4；4、3；5、 0.二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、C3、A4、D 5 、B三、解答题（每小题7分，共35分）1、 2212111nn nn i i n b b a b b D a b b a b =+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+∑ ………………………………………………………（3分） 11n i iaa b a =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ ………………………………………………………………（6分）11n n i i a b a -=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑…………………………………………………………………………………（7分） 2、 因为()123240,312402231024A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………………（2分） 553100444333010444131001222r r ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………………………………………………（6分）所以 X=55313334262-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（7分） 3、 因 22|3|3||T AA A =29||A = ……………………………………………………（5分）2229()a b =+。
……………………………………………………（7分）4、设10,T X α= 即123220x x x ++= ……………………………………… （2分）解得基础解系12221,001ηη--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
……………………………………… （4分）Schmidt 正交化12,ηη，得到222132222252[,]41,[,]501ηααηαηααα⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求。
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武汉理工大学考试试题纸（A 卷）课程名称 线 性 代 数专业班级 全校07级本科题号一二三四五六七八九十总分题分151532141410100 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、填空题（每小题3分，共15分）1、已知,B 均为三阶方阵，且=1，=－3，则=____________。
A AB 1T A B -2、设阶方阵的个列向量两两正交且均为单位向量，则＝ 。
n A n T A A 3、如果三阶方阵相似于对角矩阵，则行列式＝ 。
A )2,1,1(-=Λdiag 2A +E 4、设向量组，，，当满足 时，向量组1(1,1,1)T α=2(1,2,3)T α=3(1,3,)T t α=t 123,,ααα可以构成空间的一组基。
3R 5、已知实二次型，经过某个正交变换后，可以化成标222123121323()4()f a x x x x x x x x x =+++++准形，则＝ 。
216f y =a 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、设均为三维列向量，且，那么＝ 。
321,,ααα1321=ααα32122αααα-(A) 0 (B) 1 (C) (D) 不能确定1-2、设为阶方阵，且，则下列选项中错误的是___________。
A n 2A =0(A) 可逆 (B) 可逆 (C) 可逆 (D) 可逆 A A E +A E -2A E +3、设向量组的秩为2，则 ___________。
(,3,1),(1,2,1),(2,3,1)T T T a a =(A) 1 (B) 2 (C) 0 (D) －14、设是阶方阵，如果的秩，且的伴随矩阵，则齐次线性方程组A n (3)n ≥A ()R A n <A *0A ≠的基础解系中所含解向量的个数为___________。
0Ax =(A) (B) (C) 1 (D) 0n 1n -5、设阶方阵与相似，则下列说法中正确的是 ___________。
武汉理工大学whut线性代数考试试题及其参考答案(二)
标准答案及评分标准用纸 课程名称:线性代数 （ A 卷） 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.B 2.C 3.B 4.D二、填空题（每小题3分，共12分）1.2；2.113021002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； 3.a=1；4. 2,2,5；（注：本小题每个数字为一分，错一个则减一分）三、解答题（每小题8分，共40分）1. 解：从第二列起，将其后各列加到第一列，有：1(1)1110111011011101(1)1011101111111111c n n n n D n n n ÷---==---121(1)(2)(1)12200010010(1)01001111(1)(1)(1)(1)(1)nn n nr r r r r r n n n n n n n n -----+----=--=-⋅--=--4分注：若采用其他方法计算出正确结果也应给满分，其正确的步骤也相应给分。
2. 由题，有E A B E A +=-)(2 2分且2202030360,402A E --==≠--故2()A E -可逆。
2分在等式左右两边左乘21()A E --得21()()B A E A E -=-+ 2分 11001001/2()010*********A E ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3.解：2分2分2分2分11111131132231213331 3--------=-=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭*()A A A A A A A A A 2分 1133-=∴= ,A A ,上式＝311339⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭2分注：若前面所有步骤正确，最后计算出现符号错误，扣一分。
4.解：令矩阵123413011031(,,,)27124142A αααα⎛⎫⎪-- ⎪== ⎪⎪⎝⎭，并通过初等行变化化成最简形，有：1301103010310110271200014142A r -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4分 故向量组A 的的一个最大无关组为124,,ααα， 2分 且3123ααα=-+。
武汉理工大学第一学期期末考试线性代数与概率统计(新)
一、单选( 每题参考分值2.5分)1、设总体服从泊松分布：，其中为未知参数，为样本，记，则下面几种说法错误的是（）A. 是的无偏估计B. 是的矩估计C. 是的矩估计D. 是的矩估计错误:【D】2、设随机变量的分布函数为，则（）A.B.C.D.错误:【B】3、A.-1B. 1C.D.错误:【B】4、在下列结果中，构成概率分布的是（）A.B.C.D.错误:【B】5、A.B.C.D.错误:【D】6、设是的特征值且，则是（）特征值A.B.C.D.错误:【D】7、已知，则为（）A.B.C.D.错误:【C】8、设三阶方阵的特征值为，对应的特征向量为，若，则A.B.C.D.错误:【D】9、已知向量，若可由线性表出那么（）A. ，B. ，C. ，D. ，错误:【A】10、实二次型，则负惯性指数为（）A.B.C.D.错误:【B】11、与的相关系数，表示与（）A. 相互独立B. 不线性相关C. 存在常数使D. 满足错误:【B】12、设总体为参数的动态分布，今测得的样本观测值为0.1,0.2,0.3,0.4，则参数的矩估计值为（）A. 0.2B. 0.25C. 1D. 4错误:【B】13、设是来自正态总体的样本，则服从的分布为（）A.B.C.D.错误:【A】14、若是矩阵，是的导出组，则（）A. 若有无穷多个解，则仅有零解B. 仅有零解，则有唯一解C. 若有无穷多个解，则有非零解D. 有非零解，则有无穷多个解错误:【C】15、以下结论中不正确的是（）A. 若存在可逆矩阵，使，则是正定矩阵B. 二次型是正定二次型C. 元实二次型正定的充分必要条件是的正惯性指数为D. 阶实对称矩阵正定的充分必要条件是的特征值全为正数错误:【B】16、设随机事件A与B相互独立，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，且，则（）B.C.D.错误:【B】17、对于正态分布，抽取容量为10的样本，算得样本均值，样本方差，给定显著水平，检验假设.则正确的方法和结论是（）A. 用检验法，查临界值表知，拒绝B. 用检验法，查临界值表知，拒绝C. 用检验法，查临界值表知，拒绝D. 用检验法，查临界值表知，拒绝错误:【C】18、设随机变量和的密度函数分别为若与相互独立，则（）B.C.D.错误:【D】19、设二维随机变量，则（）A.B. 3C. 18D. 36错误:【B】20、A.B.C.D.错误:【B】21、已知为阶方阵，以下说法错误的是（）A.B. 的全部特征向量为的全部解C. 若有个互不相同的特征值，则必有个线性无关的特征向量D. 若可逆，而矩阵的属于特征值的特征向量也是矩阵属于特征值的特征向量错误:【B】22、设离散的随机变量X的分布为则（）A.B. 任意正实数C.D.错误:【C】23、称是来自总体的一个简单随机样本（简称样本），即满足（）A. 相互独立，不一定同分布B. 相互独立同分布，但与总体分布不一定相同C. 相互独立且均与总体同分布D. 与总体同分布，但不一定相互独立错误:【C】24、设是次重复试验中事件出现的次数，是事件在每次试验中出现的概率，则对任意均有（）A. =0B. =1C. >0D. 不存在错误:【A】25、设随机变量为独立同分布序列，且服从参数为的指数分布，则下面式子中正确的是（）A.B.C.D.错误:【A】26、设4个3维列向量组成的矩阵经初等行变换后变为，则可表示为（）A.B.C.D.错误:【A】27、A.B.C.D.错误:【C】28、设是二阶矩阵的两个特征，那么它的特征方程是（）A.B.C.D.错误:【D】29、已知线性无关则（）A. 必线性无关B. 若为奇数，则必有线性无关C. 若为偶数，则线性无关D. 以上都不对错误:【C】30、设是一非齐次线性方程组，是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A. 是的一个解B. 是的一个解C. 是的一个解D. 是的一个解错误:【A】31、设总体的分布函数为,则总体均值和方差的矩估计分别为（）A.B.C.D.错误:【B】32、设一批产品有1000件，其中有50件次品，从中随机地、有放回地抽取500件产品，表示抽到次品的件数，则（）A.B.C.D.错误:【C】33、两个独立事件A和B发生的概率分别为和，则其中之一发生的概率为（）A.B.C.D.错误:【D】34、设A、B、C是三个事件，且，，，则A、B、C至少有1个发生的概率为（）A.B.C.D.错误:【C】35、A.B.C.D.错误:【D】36、设二维随机变量，且与相互独立，则（）A.B.C.D.错误:【D】37、下列结论正确的是（）A.正交向量组一定线性无关B.线性无关向量组一定是正交向量组C.正交向量组不含零向量D.线性无关向量组不含零向量错误:【D】38、向量空间的维数等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3错误:【C】39、下列说法正确的是（）A.B.C.D.错误:【D】40、若阶可逆矩阵与相似，且则（）A.B.C.D.错误:【C】41、设总体的分布中带有未知参数，为样本，和是参数的两个无偏估计，若对任意的样本容量，若为比有效的估计量，则必有（）A.B.C.D.错误:【B 】42、若二次型 为正定二次型，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.错误:【C 】43、已知方阵相似于对角阵，则常数（ ）A.B.C.D.错误:【A】44、实二次型为正定的充要条件是（）A.的秩为B.的正惯性指数为C.的正惯性指数等于的秩D.的负惯性指数为错误:【B】45、A.B.C.D.错误:【C】46、A.B.C.D.以上都不对错误:【C】47、二次型的标准型为（）A.B.C.D.错误:【D】48、若，则的特征值为（）A.或B.或C.D.错误:【B】49、设与都是来自于总体的两独立样本，，与分别是两样本的均值和方差，，则有（）A.对于任意的常数是的无偏估计，且，，达到最小B.对于任意的常数是的无偏估计，且，，达到最小C.对于任意常数，都是的无偏估计，并且当时，达到最小D.对于任意常数，都是的无偏估计错误:【D】50、已知是正定矩阵，则（）A.B.C.D.错误:【B】。
武汉理工大学线性代数试卷期末考试卷子4
(B) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 1 (D) α 1 + α 2 , 2α 1 + α 2 + α 3 , α 3 + α 1 ） 。
4、二次型 f = x1 + 4 x 2 +4 x3 + 2tx1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3 是正定二次型，则 t 应满足（ (A) − 2 < t < 2 (B) − 2 < t < 0 (C) 0 < t < 1 (D) − 2 < t < 1 ） 。 5、设 A 为 n 阶方阵， A∗ 为 A 的伴随矩阵，且 R ( A) = n − 2 ，则 A∗ 的秩为（ (A) n − 1 (B) n − 2 (C) 1 (D) 0
三、计算题(每小题 8 分，共 32 分) 计算题( 3 −5 1 、 已 知 Aij 是 行 列 式 D = 2 2 A13 − 3 A23 + A33 ； 1 1 0 −5 −1 − 2 3 2 的 元 素 a ij (i, j = 1,2,3,4) 的 代 数 余 子 式 ， 计 算 1 −1 3 −1
组的通解为____________。
4、已知向量组 α 1 = (1,0,0) T ， α 2 = (1,0,1) T ， α 3 = (1,2,0) T ， α 4 = (1,3,1) T ，则 R (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) ＝____________。 5、设三阶方阵 A 与对角阵 Λ = diag (1,−1,3) 相似，则 A − 2 E ＝ 二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 单项选择题（ 1、设 α 1, α 2 , L, α n 是 n 维列向量，且 α1 , α 2 , L , α n = 1 ，则 2α 1, α 2 , L, α n ＝（ (A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 2 n ） 。 (D) 4 ） 。 ） 。 。
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标准答案及评分标准用纸
课程名称:线性代数 ( A 卷)
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、2
3
-
; 2、E; 3、-15; 4、5t ≠; 5、 2 二、选择题(每小题3分,共15分)
1、C
2、A
3、B
4、C 5 、D 三、解答题(每小题8分,共32分)
1、 1
210001
210
00
(1)2121000
121
1
21n n n x x
n x n x n n D x x n n x x n n n n
-+-++⎡
⎤==+⎢⎥⎣⎦+-+--L L L L M
M
L
M M M M L M
M L L L
L
………………(4分)
(1)12
(1)(1)
2n n n n n x x --+⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦
………………………………………………………………(8分) 2、 由题意(1,2)B AE = ……………………………………………………………………………………(4分)
又BX A =,即(1,2)AE X A =,所以1
(1,2)X E -=(1,2)E =……………………………………………(8分)
3、 记1
200A A A ⎛⎫=
⎪⎝⎭,则1
111200A A A ---⎛⎫
= ⎪⎝⎭
, ……………………………………………………………(2分) 又*
11211,10A A ⎛⎫==
⎪-⎝⎭,故1
12110A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
…………………………………………………………(4分)
*
21
211,31A A -⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭,故1
22131A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭
………………………………………………………(6分)
所以1
21
010*******
031A -⎛⎫ ⎪
-
⎪
= ⎪
- ⎪
-⎝⎭。
…………………………………………………………………(8分)
4、记()1234,,,A αααα=,对A 进行行初等变换,将其化为行最简形:
1211241012213631A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭～1211003200320064-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭～
1
2110
0320
0000
00-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪
⎪⎝⎭～11
20320
01300000000⎛⎫
-
⎪
⎪
⎪
-
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
…………………(4分)
()2R A =,又显然13,αα线性无关,所以13,αα即为原向量组的一个最大无关组;………………………(6分)
且212αα=,4131
233
ααα=--。
………………………………………………………………………………(8分)
或取13,αα为原向量组的一个最大无关组;且212αα=,3131
32
2
ααα=--。
取23,αα为原向量组的一个最大无关组;且1212αα=,42312
63ααα=--。
取24,αα为原向量组的一个最大无关组;且1212αα=,32413
42
ααα=--。
四(14分)、解 先将方程组的增广矩阵通过初等行变换化成行阶梯形
111132130012654312a B b ⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭～1111012630126012625a a b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭～101520
1263000030
22a a b a a ---⎛⎫
⎪ ⎪
⎪-
⎪-⎝⎭
…………………(4分) 可见当1a =且3b =时,()()2R B R A ==,方程组有解,否则方程组无解; ……………………(7分) 在方程组组有解时,同解方程组为
1342
3452263x x x x x x =+-⎧⎨=--+⎩,取34
0x x ==,得原方程组一特解()*
2,3,0,0T η=-; ……………………(9分) 取
()()()
34,1,0,0,1T T T
x x =,得原方程组导出组的基础解系为
()11,2,1,0T ξ=-,()
25,6,0,1T
ξ=-;………………………………………………………………………………
…………(12分)
所以原方程组的同解为*
1122c c ηξξη=++,12,c c 为任意常数。
…………………………………(14分) 注:此题基础解系有很多种表示形式,改卷时需注意。
五(14分)、矩阵A 的特征多项式222082(6)(2)0
6A E a λ
λλλλλ
--=
-=--+-,
故A 的特征值为126λλ==,32λ=-。
…………………………………………………………………(4分)
由于A 相似于对角矩阵Λ,故对应于126λλ==应有两个线性无关的特征向量,即齐次线性方程组
(6)0A E x -=的基础解系中应含两个解,所以(6)1R A E -=,…………………………………………………(6分)
而420684000A E a -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭～42000000a -⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
,故0a = …………………………………………………(8分)
对126λλ==,解(6)0A E x -=,6A E -～210000000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,得基础解系12102,001p p ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………(10分)
对32λ=-,解(2)0A E x +=,2A E +～210001000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,得基础解系3120p ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
………………………(12分)
记矩阵600060002⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭,则矩阵101202010P ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
即满足1
P AP -=Λ。
………………………(14分)
注:此题基础解系有很多种表示形式,故可逆矩阵P 有多种形式都可以,改卷时需注意。
六、证明题(每题5分,共10分)
1、证法一 设存在一组数01,,,n r k k k -L ,使得*
011220n r n r k k k k ηξξξ--+++=L
以矩阵A 左乘上式,因为*
η就是Ax b =的一个解,12,,,n r ξξξ-L 就是0Ax =解,故
*A b η=,0i A ξ=,1,,i n r =-L ,所以00k b =,又0b ≠,则必有00k =。
……………………(3分)
又因为12,,,n r ξξξ-L 就是 0Ax =的一个基础解系,故它们线性无关,所以,120n r k k k -====L ,即证得
*12,,,,n r ηξξξ-L 线性无关;………………………………………………………………………………(5分)
证法二 假设*
12,,,,n r ηξξξ-L 线性相关,
因为12,,,n r ξξξ-L 就是 0Ax =的一个基础解系,故它们线性无关,
则 *
η可以由12,,,n r ξξξ-L 线性表示,………………………………………………………………………(3分) 由其次线性方程组解的性质知*η就是0Ax =的解,这与已知*
η就是Ax b =的一个解矛盾,故假设不成立,所
以*
12,,,,n r ηξξξ-L 线性无关。
………………………………………………………………………………(5分)
2、证 因为A 就是正交矩阵,故1
T A A -=; …………………………………………………………………………(2分)
又1A =-,则有T
T A E A
A E A E A E +=-+=-+=-+,所以0A E +=,
即证得1λ=-就是A 的特征值。
………………………………………………………………………………(5分)。