利用导数研究函数的单调性(超好复习题型)

利用导数研究函数的单调性

考点一 函数单调性的判断 知识点：

函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 （1）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递增； （2）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递减； （3）若 ，则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间.

（1）()ln f x x e x =+ （2）2

1()ln 2

f x x x =-

（3）()()3x f x x e =- （4）()2x f x e x =-

（5）()3ln f x x x =+ （6）ln ()x f x x

=

（7）2()(0)1

ax

f x a x =>+ （8）32333()x

x x x f x e +--=

2、讨论下列函数的单调性.

（1）()ln (1),f x x a x a R =+-∈ （2）3(),f x x ax b a R =--∈

（3）2

()ln ,2

x f x a x a R =-∈ （4）32(),,f x x ax b a b R =++∈

（5）2()(22),0x f x e ax x a =-+> （6）2

1()2ln (2),2

f x x a x a x a R =-+-∈

（7）2()1ln ,0f x x a x a x =-+->

（8）221

()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈

3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4

3

x =-处取得极值.

（1）确定a 的值；

（2）若()()x g x f x e =，讨论函数()g x 的单调性.

4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. （1）确定a 的值；

（2）求函数()f x 的单调区间.

5、（2016全国卷2节选）讨论2()2

x

x f x e x -=+的单调性，

并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>.

6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性.

考点二 根据函数的单调性求参数的取值范围

知识点：若函数()y f x =在区间(),a b 上可导，则'()0('()0)f x f x ><或是()f x 在(),a b 内单调递增（或递减）的 条件.（充分不必要/必要不充分/充要/既不充分也不必要）

1、已知函数3()1,f x x ax a R =--∈. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 在R 上为增函数，求实数a 的取值范围.

变式：

（1）若将本题（2）的条件变为：函数()f x 在(1,1)-上为单调递减函数，试求实数a 的取值范围.

（2）若将本题（2）的条件变为：函数()f x 的单调递减区间为(1,1)-，试求实数a 的值.

（3）若将本题（2）的条件变为：函数()f x 在(1,1)-上不单调，试求实数a 的取值范围.

2、若函数32()267f x ax x =-+在(]02，内是减函数，则实数a 的取值范围是 .

3、已知函数321

()5,3

f x x x ax a R =-+-∈在区间[]1,2-上不单调，则实数a 的取值范围

是 .

考点三 利用导数解决抽象函数的相关问题（比较大小或解不等式）

常用技巧：结合题目条件，构造函数，把比较大小或解不等式的问题转化为利用导数研究函数的单调性问题，在利用函数的单调性比较大小或解不等式.

1()(1)1,()1()()(0,1)(1,0)(0,1)(1,)(,1)(1,)

y g x R f f x f x x A B C D ==>>-⋃+∞-∞-⋃+∞’、已知是定义在上的函数，且，则的解集是 、 、 、

、22()43sin ,(1,1),(1)(1)0()

(0,1)(1(-2,(,2)(1,)

f x x x x f a f a a A B C D =+∈--+-<-∞-⋃+∞、已知函数如果成立，则实数的取值范围为 、 、 、()()()()()()()0.20.2333()0()'()022,lo

g 3log 3,log 9log 9,,,,f x y x f x xf x a f b f c f a b c A b a c B c a b C c b a D a c b

ππ∈-∞+<=⋅=⋅=⋅>>>>>>>>、已知函数的图象关于轴对称，且当，时,有成立，则的大小关系是( )

、 、 、 、2

2.

'()()

4()(2)0,00()0xf x f x f x R f x x x f x -=><>——————————————、设是定义在上的奇函数，且当时，有恒成立，

则不等式的解集是

22

115()()(1)1,'(),()222

x f x x R f f x f x ∈=<<+——————————.、函数满足则不等式的解集为

6、已知定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且对于任意的0,2x π⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，都有

'()sin ()cos f x x f x x <，则（ ）

()()()(1)()()()()4336463

A B f f C f D f πππππππ

>><< 、

7、设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）

()(),1(0,1)(1,0)(1,),1(1,0)(0,1)(1,)A B C D -∞--+∞-∞--+∞、 、 、 、 8、已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为'()y f x =，当0x >时，'()()0xf x f x -<，若()(ln 2)(3)

,,ln 23

f e f f a b c e -=

==

-，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A a b c B b c a C a c b D c a b <<<<<<<<、 、 、 、

9、定义在R 上的函数()f x 满足：()'()1f x f x +>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e >+（其中

e 为自然对数的底数）的解集为（ ）

()()

(0,)(,0)3,,0(0,)(3,)

A B C D +∞-∞+∞-∞+∞+∞、 、 、 、