-函数的单调性与曲线的凹凸性

) 2
f
(
x2
)
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
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例3 判断曲线
的凹凸性.
y
解: y 4x3,
故曲线
在
上是向上凹的. o x
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
例5 求曲线
的凹凸区间及拐点.
解: 1) 求 y
y 12x3 12x2,
36x(x 32)
2)
求可疑拐点坐标
令 y 0 得 x1
0
,
x2
2 3
,
对应
y1
(0,1)
1,
y(232
, 12121717)
3) 列表判别
2 3
x (,0)
0
(0, 32)
2 3
(
2 3
,
)
y 0 0
wk.baidu.com
y
凹
1
凸
11 27
凹
故该曲线在 (,0) 及 (32 , ) 上向上凹, 在(0, 32)上 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 (32 , 1217) 均为拐点.
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内容小结
1. 可导函数单调性判别
f (x) 0, x I f (x) 0, x I
2.曲线凹凸与拐点的判别
2! 4!
(2m) !
(1)m1 cos( x) x2m2
(2m 2) !
(0 1)
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ln(1 x)
x
x2 2
x3 3
(1)n1
xn n
(1)n
n 1
xn1
(1 x)n1
(1 x) 1 x ( 1) x2
(0 1)
2!
( 1)( n 1) xn
n!
( 1) ( n) (1 x)n1 xn1 (0 1)
(n 1) !
1 1 x x2 (1)n xn (1)n1(1 x)n1 xn1 1 x
1 1 x x2 xn(1 x)n1 xn1 1 x
(0 1)
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第四节
第三章
函数的单调性与
o
x11
xx11 xx22 22
x22
x
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定理2 (凹凸判定法) 设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 在 I 内图形是凸的 .
利用一阶泰勒公式可得
f (x1)
f
(x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2
o 12 x
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说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
x
y
y x3
o
x
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例2 证明
时, 成立不等式
证: 令 f (x) sin x 2 ,
若曲线
或不存在,
但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点(x0 , f (x0 )) 是曲线
的一个拐点.
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例4 求曲线
的拐点.
2
5
解:
y
1 3
x
3,
y
2 9
x
3
x (,0) 0 (0, )
y
不存在
y凹
0
凸
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
的拐点 .
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(A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f (x) 单调增加 , 及
f (x) 0, x I
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
+
f (x) 0, x I
–
拐点 — 连续曲线上凹凸的分界点
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思考与练习
1. 设在[0,1] 上 f (x) 0, 则 f (0), f (1), f (1) f (0) 或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
例1 确定函数
的单调区间.
解: f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)
令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2
x (,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
f (x)
0 0
f (x)
2
1
y
故
的单调增区间为 (, 1), (2, );
2 1
的单调减区间为(1, 2).
2!
n!
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几个初等函数的麦克劳林公式
ex 1 x x2 x3 xn
2! 3!
n!
sin x x x3 x5 (1)m1 x2m1
3! 5!
(2m 1) !
(1)m cos( x)
x2m1 (0 1)
(2m 1) !
cos x 1 x2 x4 (1)m x2m
x
且
f (x)
x cos x sin x x2
cos x2
x
(
x
tan
x)
0
证
tan x x
1
因此
从而
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二、曲线的凹凸与拐点
定义 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
(2) 若恒有
图形A是凸的 .
连续曲线上凹凸的分界点 称为拐点 .
则称
B
则称 y
)(
x1
x1 x2 2
)
f
(1)
2!
(
x1
x1
2
x2)2
f (x2)
f (x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2)(x2
x1
2
x2)
f
(2
2!
)(
x2
x1
2
x2)2
两式相加
f (x1)
f
(
x2
)
2
f
(x1
2
x2)
1 2!
(
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1
曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点
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一、 函数单调性的判定法
定理 1 设函数
在开区间 I 内可导, 若
( f (x) 0), 则
证: 不妨设
在 I 内单调递增 (递减) . 任取
由拉格朗日中值定理得
0
故
这说明 在 I 内单调递增.
证毕
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n 阶泰勒公式 :
f
(x0 )
f (x0 )(x
x0 )
f (x0 ) (x 2!
x0 )2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn
(
x)
其中 Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)
n1
( 在 x0 与x 之间)
n阶麦克劳林（ Maclaurin ）公式
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn