第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律

归一化条件 归一化条件
f (v)
表示速率在 v → v + dv 区间的分子数占总分子数的 百分比 .
∫0
N
dN = ∞ f ( v )dv = 1 N ∫0
速率位于 v → v + dv 内分子数
∆S
dN = Nf (v)dv
o
v1 v2
v
热学

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速率位于 v1 → v2 区间的分子数
∆N = ∫ N f ( v )dv
∆N 1 ∆N 1 dN 分布函数 f ( v) = lim = lim = ∆v→0 N∆v N ∆v→0 ∆v N dv
f (v)
dS
o
v v + dv
v
物理意义 表示在温度为 T 的平衡 状态下， 状态下，速率在 v 附近单位 速率区间 的分子数占总数的 百分比 .
热学

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dN = f ( v)dv = dS N
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讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念 下面哪种表述正确？ 下面哪种表述正确？ 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （A） vp 是气体分子中大部分分子所具有的速率 ） 是速率最大的速度值. （B） vp 是速率最大的速度值 ） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值. （C） vp 是麦克斯韦速率分布函数的最大值 ） （D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 ） 率最大. 率最大
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∫ v=
N 0
vdN N
∫ =
∞ 0
v Nf ( v )dv N
v=∫
∞ 0
8kT v f ( v )dv = πm
kT RT v ≈ 1.60 = 1.60 m M
f (v)
3）方均根速率 ）
N
v2
∞
o
v
2 = ∫0 v
v 2 dN N
∫0 =
v2 Nf (v)dv N
3kT v = m
v1
v2
速率位于 v1 → v2 区间的分子数占总数的百分比
∆N (v1 → v2 ) v2 ∆S = = ∫ f (v)dv v1 N
二、麦克斯韦速率分布函数 麦氏分布函数 麦氏分布函数
− mv )3 2 e 2kT v2
2
f (v) = 4π( m 2πkT
mv 2 − 2 kT
dN m 32 = 4π( ) e 2πkT N
vp
v

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根据分布函数求得
M = mN A , R = N A k
2kT kT vp = ≈ 1.41 m m
RT ∴ vp ≈ 1.41 M
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然 速率 v p 附近单位速率间隔内的相对 分子数最多 .
2）平均速率 ）
v
v1dN1 + v2dN2 +⋅⋅⋅+ vidNi +⋅⋅⋅+ vndNn v= N
v rms = 483m ⋅ s − 1
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例 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函数
f (v) 求 1） 速率在 vp ~v 间的分子数； 2）速率 间的分子数； ） ）
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麦克斯韦（ 麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831-1879) 1831-1879)
凭借他高深的数学造诣和丰富的想象力接连发表了电磁场理论的三篇论文： 凭借他高深的数学造诣和丰富的想象力接连发表了电磁场理论的三篇论文： 《论法拉第的力线》（1855年12 月至1856年2月）；《论物理的力线》 论法拉第的力线》 1855年 月至1856 1856年 ）；《论物理的力线》 （1861至1862年）；《电磁场的动力学理论》（1864年12月8日）。对前 1861至1862年）；《电磁场的动力学理论》 1864年12月 ）。对前 人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场理论用简洁、对称、完美数 人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场理论用简洁、对称、 学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典电动力学主要基础的麦克 学形式表示出来，经后人整理和改写， 斯韦方程组。据此，1865年他预言了电磁波的存在，电磁波只可能是横波， 斯韦方程组。据此，1865年他预言了电磁波的存在，电磁波只可能是横波， 年他预言了电磁波的存在 并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出结论：光是电磁波的一种 并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出结论： 形式，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。1888年德国物理学家赫兹用 形式，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。1888年德国物理学家赫兹用 实验验证了电磁波的存在。麦克斯韦于1873年出版了科学名著《电磁理 实验验证了电磁波的存在。麦克斯韦于1873年出版了科学名著《 1873年出版了科学名著 论》。系统、全面、完美地阐述了电磁场理论。这一理论成为经典物理学 系统、全面、完美地阐述了电磁场理论。 的重要支柱之一。在热力学与统计物理学方面麦克斯韦也作出了重要贡献， 的重要支柱之一。在热力学与统计物理学方面麦克斯韦也作出了重要贡献， 他是气体动理论的创始人之一。1859年他首次用统计规律 年他首次用统计规律— 他是气体动理论的创始人之一。1859年他首次用统计规律—麦克斯韦速度 分布律，从而找到了由微观两求统计平均值的更确切的途径。1866年他给 分布律，从而找到了由微观两求统计平均值的更确切的途径。1866年他给 出了分子按速度的分布函数的新推导方法，这种方法是以分析正向和反向 出了分子按速度的分布函数的新推导方法， 碰撞为基础的。 碰撞为基础的。
o
vp1 vp2
v
o
vp0 vpH
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
同一温度下不同 气体的速率分布
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麦克斯韦（ 麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831-1879) 1831-1879)
麦克斯韦是19世纪伟大的英国物理学家、 麦克斯韦是19世纪伟大的英国物理学家、数 19世纪伟大的英国物理学家 学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡 日生于苏格兰的爱丁堡， 学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡，自 幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯韦 幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师， 从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡中学学 从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡中学学 14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一篇 习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一篇 关于二次曲线作图问题的论文， 关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众的 才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理 年进入爱丁堡大学学习数学和物理。 才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理。 1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习， 1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习，1854 年转入剑桥大学三一学院数学系学习 年以第二名的成绩获史密斯奖学金， 年以第二名的成绩获史密斯奖学金，毕业留校任 职两年。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自 职两年。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自 然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自然哲学 然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自然哲学 和天文学教授。 和天文学教授。
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麦克斯韦（ 麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831-1879) 1831-1879)
他引入了迟豫时间的概念，发展了一般形式的输运理论， 他引入了迟豫时间的概念，发展了一般形式的输运理论，并把它应 用于扩散、热传导和气体内摩擦过程。1867年引入了 统计力学” 年引入了“ 用于扩散、热传导和气体内摩擦过程。1867年引入了“统计力学” 这个术语。 这个术语。麦克斯韦是运用数学工具分析物理问题和精确地表述科 学思想的大师，他非常重视实验， 学思想的大师，他非常重视实验，由他负责建立起来的卡文迪什实 验室，在他和以后几位主任的领导下， 验室，在他和以后几位主任的领导下，发展成为举世闻名的学术中 心之一。他善于从实验出发，经过敏锐的观察思考， 心之一。他善于从实验出发，经过敏锐的观察思考，应用娴熟的数 学技巧，从缜密的分析和推理，大胆地提出有实验基础的假设， 学技巧，从缜密的分析和推理，大胆地提出有实验基础的假设，建 立新的理论，再使理论及其预言的结论接受实验检验，逐渐完善， 立新的理论，再使理论及其预言的结论接受实验检验，逐渐完善， 形成系统、完整的理论。特别是汤姆孙W 形成系统、完整的理论。特别是汤姆孙W卓有成效地运用类比的方法 使麦克斯韦深受启示， 使麦克斯韦深受启示，使他成为建立各种模型来类比研究不同物理 现象的能手。 现象的能手。在他的电磁场理论的三篇论文中多次使用了类比研究 方法，寻找到了不同现象之间的联系，从而逐步揭示了科学真理。 方法，寻找到了不同现象之间的联系，从而逐步揭示了科学真理。 麦克斯韦严谨的科学态度和科学研究方法是人类极其宝贵的精 神财富。 神财富。
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例 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均 根速率 vrms .
M H = 0.002kg ⋅ mol −1
R = 8.31J ⋅ K −1 ⋅ mol−1
T = 300K
M O = 0.032kg ⋅ mol −1
vrms = 3RT M
氢气分子 氧气分子
v rm s = 1 .9 3 × 1 0 3 m ⋅ s − 1
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v 2 dv

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反映理想气体在热动 平衡条件下， 平衡条件下，各速率区间 分子数占总分子数的百分 比的规律 .
f (v)
dN f ( v) = Nd v
o
三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值 （1）最概然速率 vp ）
三种统计速率
v
f (v)
f max
df ( v ) =0 dv v=v
p
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