[理学]气体分子热运动速率
热学-第三章气体分子热运动速率和能量分布
得：dN m 4 e 得
N
kT 2
v dv
记忆这个公式分三部分： 第一部分，4v2dv是“球壳”的体积，而“球壳”全方位的高 度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现；
第二部分 ,
e
mv2 / 2kT
正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，这个 指数衰减律的结果没有单位，mv2/2是分子热运动的动能，kT 既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能 与体系能量状态特征量之比，对于大的速率，指数衰减的速 度比v2增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数 值必然较小。
vf v dv
Nvfvdv
（B）
v2
v1 v2 v1
vf v dv f v dv
（C）
v2
v1
（D）
v2 v1
vf v dv N
（B）
2.麦克斯韦速度分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以 d v的分子 忽略时，分布在速度区间 v ~ v 数占总分子数的比率为
dω＝ 4πv2dv
麦克斯韦速率分布律
将dω＝dvxdvydvz代入
dN m e N 2 kT
x y
3 2 2 2 m ( v v v 2 x y z) 2 2 kT
v dv dv dv x y z
麦克斯韦 速率分布 分布律
2 2 2 2 且： v v v v z
小球在伽 尔顿板中的分 布规律 .
统计规律 当小球数 N 足够大时小球的分布具有 统计规律. . . . . . . . . . 设 N i 为第 i格中的粒子数 .
热学-统计物理3 第3章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
v v pv v 2
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
下面哪种表述正确？
（A） vp 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） vp 是速率最大的速度值. （C） vp 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
例1 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均
M
3.方均根速率 v2
v2
N
0
v2dN N
0
v2Nf N
(v)dv
o
v
v2 v2 f (v)dv 4 ( m )3 2 e mv2 2kT v4dv
0
2 kT
0
v4ev2 dv 3
0
8 5
v2 3kT m
v2 3kT 3RT
2kT
v
麦克斯韦速率分布函数的物理意义： f (v) dNv
Nd v
既反映理想气体在热动平衡条件下，分布在速率 v 附近单
位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，又表示任意
一分子的速率出现在 v附近单位速率区间内的概率。
如果以速率为横坐标轴，速率分布函数为纵坐标轴，画 出的一条表示f(v) —v之间关系的曲线，称为气体分子的麦 克斯韦速率分布曲线。 ，它形象地描绘出气体分子按速率 分布的情况。
大量分子的速率的算术平均值叫做分子的平均速率.
v
vNf (v)dv
0
vf (v)dv
v 4 (
m
)3 e2 mv2 2kT v2dv
N
0
0
分子平均运动速度
分子平均运动速度一、引言分子运动的速度是一个涉及分子物理学、化学和工程学等多个学科的重要概念。
它描述了分子在气体、液体或固体中的移动速度，揭示了分子的运动特性。
分子平均运动速度作为这一概念的核心，对于理解物质的热力学、传热和传质等过程至关重要。
本文将对分子平均运动速度的概念、影响因素、实验研究方法及其应用领域进行详细的探讨。
二、分子平均运动速度的定义分子平均运动速度是指在某一温度和压力下，单个分子在连续两次碰撞之间所移动的平均距离与所用的时间的比值。
这个速度通常以米每秒（m/s）为单位进行测量。
在理想气体中，分子平均运动速度与分子的动能和分子质量有关，其计算公式为：v=√(8kT/πm)，其中k是玻尔兹曼常数，T是绝对温度，m是分子质量。
三、分子平均运动速度的影响因素分子平均运动速度受到多种因素的影响。
以下是一些主要的影响因素：1.温度：随着温度的升高，分子的平均动能增大，因此其平均运动速度也会相应增大。
2.分子质量：较轻的分子具有较大的动能，因此它们的平均运动速度通常更快。
相反，较重的分子具有较小的平均运动速度。
3.压力：在较高的压力下，分子间的碰撞频率增加，这可能会影响分子的平均运动速度。
4.分子间的相互作用：分子间的相互作用力，如范德华力、氢键等，也会影响分子的平均运动速度。
5.分子的扩散系数：扩散系数决定了分子在介质中的迁移能力，它与分子的平均运动速度密切相关。
四、实验研究与观测方法为了实际测量分子平均运动速度，研究者们采用了多种实验技术和观测方法。
以下是一些常用的方法：1.分子束实验：通过将一束单一种类的分子射入真空室，并观察这些分子的飞行路径和速度分布，可以测量分子的平均运动速度。
这种方法可以提供关于分子速度的详细信息。
2.粒子图像速度场仪（PIV）：这是一种用于测量流体中粒子速度的激光诊断技术。
通过将小颗粒散布在流体中并使用高速摄像机记录它们的运动轨迹，可以测量流体的流速和分子的平均运动速度。
热力学-3.气体分子动理论速率与能量
1.59 RT M
一般用于计算分子运动的平均距离；
同理，方均根速率
v2 v2 f (v)dv
3kT
3RT 1.73 RT
0
m
M
M
方均根速率用来计算分子平均动能。
最概然速率
2kT 2RT
RT
vp
m
1.41
M
M
最概然速率用在讨论分子速率分布。
f(v)
O
vp v v2
•在气体动理论方面，他提出气体分子按 速率分布的统计规律。
1。由于分子受到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的， 要某一分子具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某 个速率间隔内出现的概率；
2。哪怕是相同的速率间隔，但是不同的速率附近，其概率是不 等的。
速率接近为0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小， 而居中速率的可能性则较大。
f (v) dN Ndv
速率分布函数
理解分布函数的几个要点： 1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的；
2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv； 3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。
f (v)dv dN N
N v1 v2
v2
f (v)dv
第三章 气体分子热运动 速率和能量的统计分布律
内容回顾
第一章 平衡态和温度 第二章 压强和温度的微观本质
平均效果
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于
1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统 计力学中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子 按速率分布的统计规律。
气体的分子速率计算
气体的分子速率计算气体的分子速率计算是物理学中的一个重要概念。
在研究气体行为、热力学性质以及化学反应时，了解气体分子的速率非常有帮助。
本文将介绍气体的分子速率计算的原理和方法。
首先，我们需要了解气体分子速率计算的基本参数。
分子速率通常用平均速率表示，即气体分子实际速率的平均值。
它与气体分子的质量和温度有关。
根据动能定理，气体分子的平均动能与温度成正比。
因此，当温度升高时，分子的平均动能也会增加。
而分子的动能与速率有直接的关系。
因此，当温度升高时，分子的平均速率也会增加。
根据理想气体状态方程，PV=nRT，其中P表示气体的压力，V表示气体的体积，n表示气体的物质量，R为气体常数，T表示气体的绝对温度。
根据这个方程，我们可以推导出气体分子的平均速率公式。
首先，我们需要考虑分子速率分布的相关概念。
根据玻尔兹曼分布定律，分子速率服从Maxwell-Boltzmann速率分布，其概率密度函数为f(v) = (m/2πkT)^(3/2) * 4πv^2e^(-mv^2/2kT)，其中m表示气体分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为气体的绝对温度。
在这个速率分布中，v表示分子速率，f(v)表示该速率下分子的概率密度。
我们可以根据这个概率密度函数来计算平均速率。
首先，我们需要计算气体分子的平均速率的平方，即⟨v^2⟩。
在Maxwell-Boltzmann速率分布下，⟨v^2⟩= ∫(v^2)f(v)dv ，我们可以将此积分分解成三个积分：⟨v^2⟩= (∫v^4e^(-mv^2/2kT)dv) *(∫(m/2πkT)^(3/2)v^2e^(-mv^2/2kT)dv)。
对于第一个积分(∫v^4e^(-mv^2/2kT)dv)，我们可以使用数值方法来计算。
而第二个积分(∫(m/2πk T)^(3/2)v^2e^(-mv^2/2kT)dv) 是一个常数，与速率分布无关。
因此，我们可以将这个常数用一个符号C来表示。
于是，我们有⟨v^2⟩= C * (∫v^4e^(-mv^2/2kT)dv) 。
热学第三章 气体分子速率和能量统计分布律
第三章 气体分子速率和能量统计分布律
概率统计基础知识
对于由大量分子 组成的热力学系 统从微观上加以 研究时，必须用 统计的方法 .
f (v) 4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v2
2πkT
dN 4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v2dv
N
2πkT
反映理想气体在热动平衡
波尔兹曼常量
f (v) dN Ndv
f (v)
条件下，气体分子按速率
分布的规律 .
o
v
三 三种统计速率
1）最概然速率 v p
f (v)
f max
df (v) 0 dv vvp
S
速率位于 v v dv内分子数:
o
v1 v2 v
dN Nf (v)dv
速率位于 v1
v2
区间的分子数
N
v2
v1
N
f
(v)dv
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
S
N (v1 N
v2 )
v2
v1
f
(v)dv
例1
N 个假想的气体分子，其速率分布如图所示，（1）根据
N 和 v0 求 a 的值；（2）求速率在 2v0 到 3v0 间隔内的分子 数；（3）求分子的平均速率。 N f(v)
即：在任一瞬时,一个气体 分子在速度空间中与一个代
表点相对应,气体的N 个分子 对应有N 个代表点。这样就
气体分子的平均动能与速率分布
气体分子的平均动能与速率分布气体是一种物质的聚合态，由大量的分子组成。
这些分子可以自由运动，彼此之间只有微弱的相互作用力。
在气体分子中，分子之间的平均距离相较于分子的尺寸来说是非常大的，因此可以将气体看作是一个弛豫系统。
而气体分子的平均动能与速率分布是描述气体性质的关键因素。
首先，我们来探讨气体分子的平均动能。
根据气体分子的动能理论，气体分子的平均动能与其温度成正比。
这是因为温度是物体内部分子的热运动程度的度量。
对于气体分子，它们的速度与能量是紧密相关的。
速度较大的分子动能较高，速度较小的分子动能较低。
因此，我们可以得出结论：气体分子的平均动能与气体的温度相关，温度越高，分子的动能越大。
其次，我们来探讨气体分子的速率分布。
速率是描述物体运动的物理量，与速度密切相关。
对于气体分子，不同分子具有不同的速率。
有些分子的速率较大，有些分子的速率较小。
速率分布与分子的速度分布有关。
根据玻尔兹曼分布定律，气体分子的速度分布是服从一个特定的分布曲线的。
这个分布曲线被称为麦克斯韦分布曲线。
麦克斯韦分布曲线是由麦克斯韦速度分布定律给出的。
该定律说明了理想气体分子速度的概率密度函数与温度的关系。
根据麦克斯韦速度分布定律，分子的速度分布满足一个二次高斯分布，即分子速度的概率密度与速率的平方成正比。
在麦克斯韦分布曲线中，有两个重要的参数：平均速率和最概然速率。
平均速率是所有分子速率的平均值，它代表了气体中分子的整体运动情况。
最概然速率是速率分布曲线的峰值对应的速率值，它代表了大多数分子的速率。
根据麦克斯韦分布曲线的形状可知，最概然速率小于平均速率。
对于不同温度的气体，麦克斯韦分布曲线的形状会发生变化。
当温度升高时，曲线会向右扩展，说明分子速率的范围增加。
而当温度降低时，曲线会向左收缩，说明分子速率的范围减少。
同时，当温度升高时，最概然速率也会增加，表示大多数分子的速率增加。
这与我们之前得出的结论一致：温度升高，分子的动能增加，速率分布范围增大。
《分子的热运动》热运动速率分布
《分子的热运动》热运动速率分布在我们生活的这个世界里，物质的存在和变化都有着其内在的规律。
其中，分子的热运动就是一个非常重要的现象。
而分子热运动的速率分布，则是理解许多物理和化学过程的关键。
让我们先来想象一下，假如我们能够把自己缩小到分子的尺度，那会是怎样一番景象？我们会看到周围的分子都在不停地运动，就像一群没有指挥的舞者，各自以不同的速度和方向跳跃、旋转。
分子热运动的速率并不是均匀一致的，而是呈现出一定的分布规律。
这种分布与温度有着密切的关系。
温度越高，分子的平均动能就越大，运动速率也就越快。
为了更好地理解分子热运动速率分布，我们需要引入一个重要的概念——麦克斯韦速率分布函数。
它就像是一张地图，告诉我们在一定温度下，不同速率的分子所占的比例。
在低温时，分子的运动速率普遍较低。
大多数分子都慢悠悠地移动着，只有极少数分子具有较高的速率。
而随着温度的升高，情况就发生了明显的变化。
越来越多的分子获得了更高的能量，运动速率加快。
想象一下，在一个寒冷的冬天，室内的温度较低，空气分子的热运动相对缓慢。
我们可能不会感觉到强烈的空气流动。
但当夏天来临，温度升高，空气分子的热运动变得更加剧烈，我们就能更明显地感受到风的存在。
麦克斯韦速率分布函数呈现出一个独特的形状。
它有一个峰值，表示最概然速率，即在这个速率附近的分子数量最多。
同时，还有一个平均速率和方均根速率。
最概然速率是一个很有趣的概念。
它告诉我们在特定温度下，哪种速率的分子最常见。
比如说，在某个温度下，大多数氧气分子的运动速率接近最概然速率。
平均速率则是所有分子速率的平均值。
它能让我们对分子整体的运动速度有一个大致的了解。
方均根速率则与分子的动能有着更直接的关系。
通过计算方均根速率，我们可以更好地理解分子能量的分布情况。
分子热运动速率分布在许多领域都有着重要的应用。
在化学中，它有助于我们理解化学反应的速率和方向。
不同速率的分子在相互碰撞时，发生反应的可能性也不同。
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涨落现象 “涨落”现 象 ------测量值与统计值之间总有偏离 处在平衡态的系统的宏观量，如压强p，不随时 间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的 情况完全一样， 分子数越多，涨落就越小。
飞镖
F(x)
分布曲线
伽耳顿板
从入口投入小球与钉碰撞 落入狭槽( 偶然 )
为清楚起见 , 从正面来观察。
N /( Nx)
O
x
x x
x
连续量的分布函数曲线
返回1 返回2
概率分布函数f（x），满足条件：
①
0 f ( x) 1, a x b
②
b
a
f ( x)dx 1
归一化条件
离散量与连续量的分布函数
三、统计平均值
对于离散型随机变量
统计平均值为
N1 x1 N 2 x 2 N k x k x N1 N 2 N k
N x
i 1 i
k
i
N
Ni xi Pi xi i 1 N i
k
方均值为
x
2 2 N x i i i 1 k k Ni 2 xi Pi xi2 i 1 N i 1 k
N
对于连续型随机变量 统计平均值为x xf ( x)dx
a
b
方均值为
x x f ( x)dx
—— 变量x可取某一区间内的一切数值。 随机变量x的概率密度:
dP ( x ) f ( x) dx
概率密度f(x)等于随机变量取值在单位间隔内的概率， 又称为概率分布函数（简称分布函数）。 分布函数
N 1 N 1 dN f (x) lim lim x 0 Nx N x 0 x N dx
铁钉
隔板
再投入小球： 经一定段时间后 , 大量小球落 入狭槽。 分布情况：中间多，两边少。 重复几次 ，结果相似。 单个小球运动是随机的 , 大量小球运动分布是确定的。 大量偶然事件整体所遵 循的规律 —— 统计规律。 小球数按空间 位置分布曲线
少数分子无规律性
大量分子的统计分布
统计规律性是对大量偶然事件整体起作用的规律， 它表现了这些事物整体的本质和必然的联系。对于 由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时， 必须用统计的方法。 统计规律特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义。 （2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变)。 （3）大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。 （4）统计规律是以动力学规律为基础的。 （5）永远伴随着涨落现象。
1、 离散型随机变量 表示方式
取值有限、分立
x1 , , xi , , xn P1 , , Pi , , Pn
Pi 为随机变量x的概率，满足条件： ① 0 P , i 1,2,... i 1
②
P 1
i
归一化条件
2、 连续型随机变量
取值无限、连续
分子射线的速率分布曲线
§1.气体分子的速率分布律
一、速率分布函数
1、速率分布函数的定义
平衡态下，气体分子速率v可以看做在0~∞之间连续分布的。 • 设系统的总分子数为： N
• 速率在v~v+dv之间的分子数：dN
• 速率在v~v+dv之间的分子数占系统总分子数的比率：dP=dN/N （对于任意一个分子来说，速率处于v~v+dv之间的概率）
D v 2s
令R以恒定的角速度转动较长的时间（一二十小时）。然 后取下玻璃板G，用测微光度计测定板上各处沉积的铋层的厚 度，找出铋层厚度随s变化的关系，从而确定铋分子按速率分 布的规律。
德国物理学家斯特恩（Sterm）最早于1920年做了分子射线 束实验以测定分子射线束中的分子速率分布曲线。 此处介绍朗缪尔（Langmuir）的实验装置。
PL lim
N
NL ( ) N
2、概率的基本性质
(1) 0 Pi 1 ，即事件i的概率只可能在0和1之间。 (2) 各种可能发生的事件的概率总和等于1.
N
P 1
i 1 i
归一化条件
3、等概率性
在掷骰子时，一般认为出现每一面向上的概率是相等的。 由此可总结出一条基本原理： 等概率性——在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更 小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。
2 2 a
b
四、方差（涨落）
—— 表示随机变量x的取值在其统计平均值附近分散的程度。 （或描述x的取值在其统计平均值上下涨落的平均幅度。）
x 0
定义相对均方根偏差：
(x) 0
2
(x) rms
(x)
2
1/ 2
x
相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近分 散开分布的程度，也称为涨落、散度或散差。
S’ 分子源 狭缝屏
W
W’
P
淀积屏 速率筛
（装置置于真空之中）
实验装置
接抽气泵
Hg
金属蒸汽 狭 缝
l
l t v
显 示 屏
分子束中能穿过第一个凹槽的分子同时能第二个凹槽时，它的速 率v 满足如下关系：
v l
密勒－库什实验装置
分布曲线
只要调节不同的旋转角速度，就可以测出不同速率范围 Δv 内（凹槽有一定宽度）的分子射线强度，从而得到不同速 率范围的分子数比率。
3、概率的基本法则
（1）概率相加法则
—— n个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和。
（2）概率相乘法则 —— 同时或依次发生的，互不相关（相互统计独立）的事件 发生的概率等于各个事件概率之乘积。
二、随机变量
—— 如果一变量在一定条件下，能以确定的概率取各种不同 的数值，则该变量称为~。
概率论的基本知识
§1 气体分子的速率分布律 §2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律 §3 玻耳兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布
§4 能量按自由度均分定理
概率论的基本知识
一、概率的基本性质
1、概率的定义
概率是大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。
若在相同条件下重复进行同一个试验，在总次数N足够多的 情况下（N→∞），计算所出现某一事件的次数NL，则这一 事件出现的百分比就是该事件出现的概率 ：
§2
用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律
葛正权实验装置
分布曲线
D 铋分子由S3到达P’处所需时间为： t v
t 时间内R转过的角度为： 弧PP’长度：
设速率为v的分子沉积在P’处，s表示弧PP’长度，ω表示R的 角速度，D表示R的直径。
t
2
D 1 s D t 2 2