第六节 高斯公式 通量与散度
第六节 高斯公式 通量与散度
一、填空题
1. 设∑是球面2222a z y x =++的外侧, 则⎰⎰∑
zdxdy = .
2. 设∑是球面z z y x 2222=++, cos α、cos β、cos γ 是∑上点的外法线向量的方向余弦, 则 ⎰⎰∑
++dS z y x )cos cos cos (γβα=______.
3. divgrad(222z y x ++)= .
二、解答题
1. 指出下列求解过程的错误之处, 并改正之:
设∑是球面2222a z y x =++的外侧, ∑ 所围成的球体Ω 的体积33
4a V π=, 由高斯公式有: ⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333=⎰⎰⎰Ω++dV z y x )(3222=⎰⎰⎰ΩdV a 23=54a π.
2. 计算曲面积分
⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz , 其中∑ 是介于z = 0和z = 3之间的圆柱体922≤+y x 的整个表面的外侧.
3. 计算曲面积分⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑ 为上半球体222a y x ≤+,
2220y x a z --≤≤的表面外侧.
4. 计算曲面积分⎰⎰∑+-+-zdxdy dzdx x y x dydz z xy
)()(22, 其中∑为锥面:)20(22≤≤+=z y x z 的下侧.
5. 计算曲面积分:⎰⎰∑
--++=yzdxdy dzdx y xdydz y I 4)1(2)18(2, 其中∑为是由曲线)30(,0,≤≤⎩⎨⎧==z x y z 绕z 轴旋转一周所成的曲面, 其法向量与z 轴的正向夹角恒大于2
π. 6. 求向量场A = i - j + xyz k 通过由平面y = x 截球2222R z y x ≤++所得的圆面S 朝x 轴正向一侧的通量.。
10-6高斯公式与散度 (1)
v v v v u dS [ ( u ) ( u ) ( u )]dxdydz , x x y y z z n u v u v u v uvdxdydz ( )dxdydz x x y y z z
Dxy
sin( xy )dxdy
======0
奇偶对称
I
0
0
184 I1 I 2 35
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例3：计算曲面积分
其中, r
2 2 2 2 : x y z R 取外侧 . x y z ,
2 2 2
解: 不能直接用高斯公式
第六节 高斯公式与散度
一、高斯公式
第十章
二、曲面积分与 曲面无关的条件
三、通量与散度
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一、高 斯 公 式
说明：
若 可表成：
( x , y ) | z1 ( x , y ) z z2 ( x , y ), ( x , y ) Dxy
则称 是 xy 型空间区域；
r
在椭球面内作辅助小球面
x2 y2 z2
z
1 : x 2 y 2 z 2 2
1
y
x
0
高斯公式
1
3
3 d x d y d z
1
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例3**：计算曲面积分
其中 r
x2 y2 z2 ,
: 任意不经过原点的封闭 曲面， 取外侧 .
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高等数学 第六节 高斯公式 通量与散度
Φ Pdydz Qdzdx Rdxdy
n
Σ
当 > 0， 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉;
n
当 < 0， 说明流入 的流体质量多于流出的,
表明 内有洞 ; 当 = 0， 说明流入与流出 的流体质量相等 。
根据高斯公式, 流量也可表为
P x
Q y
R z
dxdydz
2、是否满足高斯公式的条件；
3、Σ 是取闭曲面的外侧。
第2xzdydz yzdzdx z2dxdy ，
其中 是由曲面 z x2 y2 与
z 2 x2 y2 所围立体的表面外侧。
z
Dxy
2y
x
第十一章 第六节
7
例2 计算 ( x y)dxdy ( y z)xdydz ，其中 Σ 是
cos
n
0
r
0
n
0
r
0
则
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1
3dv V
3 第十一章 第六节
23
内容小结
1 高斯公式及其应用
公式
P Q R
Ω
(
x
y
z
)dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
应用 (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 闭曲面积分为零的充要条件:
Gauss
I 2 (x y z)dv
1 1
1
对称性
2 zdv h2dS
1方 程
1
1 2
h4
第六节 高斯公式 通量与散度
第六节 高斯公式 通量与散度㈠本课的基本要求了解高斯公式，会用高斯公式计算曲面积分，了解通量与散度的概念，并会计算㈡本课的重点、难点高斯公式重点、利用高斯公式计算曲面积分为难点㈢教学内容在本章的第三节中，我们介绍了格林公式。
它反映了平面区域D 上的二重积分与其边界曲线L 上的曲线积分之间的关系。
作为格林公式在空间的推广，下面介绍的高斯公式则反映了空间区域Ω上的三重积分与其边界曲面∑上的曲面积分之间的关系。
一．高斯公式定理1 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(),,,(z y x Q z y x P , ),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂)()(Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P ⑴ 或ds R Q P dv z R y Q x P ⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂)cos cos cos ()(γβα ⑵ 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦。
公式⑴或⑵叫做高斯公式。
证 由第五节中两类曲面积分的关系可知，公式⑴及⑵的右端是相等的，因此这里只要证明公式⑴就可以了。
首先假设穿过区域Ω内部且平行于z 轴的直线与Ω的边界曲面∑只有两个交点，并且Ω在xoy 平面上的投影区域为xy D ，这样∑可为三部分321,,∑∑∑，其中21,∑∑的方程分别为),(:11y x z z =∑，取下侧，),(:22y x z z =∑，取上侧，并且21z z ≤，而3∑是以xy D 边界线为准线且母线平行于z 轴的柱面的一部分，取外侧。
一方面，根据三重积分的计算法，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂Ωxy D y x z y x z dxdy dz z R dv z R ),(),(21 ⎰⎰-=xy D dxdy y x z y x R y x z y x R )]},(,,[)],(,,[{12另一方面，根据第二类曲面积分的计算法，又有⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(11 ⑶ ⎰⎰⎰⎰=∑xy D dxdy y x zy x R dxdy z y x R )],(,,[),,(22因为3∑在xoy 平面上的投影区域为一条曲线，其面积为零，因而由定义知0),,(3=⎰⎰∑dxdy z y x R将上述三式相加可得⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(⎰⎰-=xyD dxdy y x z y x R y x zy x R )]},(,,[)],(,,[{12 ⑷ 比较⑶式与⑷式，得=∂∂⎰⎰⎰Ωdv z R ⎰⎰∑dxdy z y x R ),,( 若穿过区域Ω内部且平行于x 轴及平行于y 轴的直线与Ω的边界曲面∑也都只有两个交点，那么类似地可证=∂∂⎰⎰⎰Ωdv x P ⎰⎰∑dydz z y x P ),,( =∂∂⎰⎰⎰Ωdv y Q ⎰⎰∑dzdx z y x Q ),,( 将以上三式两端分别相加，即得高斯公式⑴。
第六节：高斯公式
2
2
2
2
2 ( x y z )dxdydz 2 (a b c )dxdydz
由对称性知 ( x y z )dxdydz 0
4 3 2 ( a b c ) R I 2(a b c ) dxdydz 3
P x dxdydz Pdydz,
Q y dxdydz Qdzdx ,
假设条件（1）用平行于 z 轴的直线穿越 的内部 时，与 的边界曲面 交点恰好为两点。
（2） 取外侧。
（3）R (x , y , z) 在 上具有一阶连续偏导数。 R dxdydz R( x , y , z )dxdy 结论： z P Q x dxdydz Pdydz, y dxdydz Qdzdx , 说明 1. 若 不满足条件（1），则可类似于格林公 式的情形进行处理。 2. 三式合并即为
其中 为锥面 z 2 x 2 y 2 介于平面 z = 0 及 z = h （h > 0）之间部分的下侧。 n (cos , cos , cos ) 是与 的侧向一致的法向量的方向余弦。
解：在 1 可以应用高斯公式。
zn (0,0,1)
I ( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
2 3 dxdydz z dxdydz a 3 a x 3 2 2 a a 2 2 a 3 0 d d 0 r cos r sin d r a 3 a 2
2
0 n
y
例4：计算 I y ln rdydz x ln rdzdx zdxdy
《高等数学》第十章 第六节 高斯公式 通量与散度
①
的充要条件是:
P Q R 0 , (x, y, z) G
②
x y z
证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.
“必要性”. 用反证法已. 知①成立,假设存在 M 0 G, 使
P x
Q y
R z
M 0
0
23
因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域
d xd yd z
0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
24
(M0 ) G,使在 (M 0 )上, P Q R 0 x y z
设 (M 0 )的边界为 取外侧, 则由高斯公式得
P d y d z Q d z d x R d x d y
(M0)
P Q R x y z
0
d
01dr
03r(r
sin
z) dz
9
2
.
)
(
1y
利 用 柱 面 坐 标 得
5
使用Guass公式时应注意:
1. P, Q, R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧.
6
例 2 利用高斯公式计算曲面积分
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS ,
:
00
r
2，
h,
r z h.
202
d
h
0
dr
h
r
(r
cos
r
sin
z)
r
dz
高斯公式
3
(r sin z )r dr d d z
o 1 x
y
0
2
d rd r ( r sin z ) d z
0 0
1
3
9 2
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
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即 Pu
v x
, Qu
v y
, Ru
v z
,
由高斯公式得
移项即得所证公式
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计算 I 例5.
xdydz ydzdx zdxdy ( 2x 2 y z )
2 2 2 3
其中 为球面 x 2 y 2 z 2 1 外侧 分析:由
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
注
P d y d z Q d z d x R d xdy
P x
Q y
R z
d x d ydz
(1) Gauss 公式是计算第二型曲面积分的重要工具 (2) Gauss 公式是针对朝外封闭曲面,若朝内则三重 积分前有负号;若不封闭,则不能直接应用 (3)Gauss 公式中函数 P, Q, R 在 上有连续的 一阶偏导数条件不可少
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2 2 2 2 解: 做曲面 1 : 2 x 2 y z a 外侧, 其中a 足够小
使得曲面 1 含在球面内. 设 1 与 围成的区域为 则在 上满足高斯公式条件 则 即
1 a
3
1
xdydz ydzdx zdxdy
高斯公式 通量及散度
o 1 x
y
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 ∑ 为锥面 x2 + y2 = z2 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧.
∑1 h h
∑
o y 解: 作辅助面 2 2 2 x ∑1: z = h, (x, y) ∈Dxy : x + y ≤ h , 取上侧
记∑,∑1所围区域为, 则
n n
当Φ = 0 时, 说明流入与流出∑ 的流体质量相等 .
③
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为了揭示场内任意点M 处的特性, 设∑ 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记∑ 所围域为, 在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 Φ lim →M V
r2 3x2 r 2 3y2 r 2 3z2 = q + + 5 5 5 r r r ( r ≠ 0) =0
计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.
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内容小结
1. 高斯公式及其应用 公式:
∫∫∑ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y P Q R )d xd y d z = ∫∫∫ ( + + x y z
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2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2. 设P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在空间二 维 定理 间二 单连通域G内具有连续一阶偏导数, ∑为G内任一闭曲面, 则
∫∫∑ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y = 0
11.6高斯公式
3 ：母线平行于z 轴的柱面
R dv { z2( x,y) R dz}dxdy
z
z z1 ( x , y )
Dxy
x
2
3
o 1
y
D 1 xy
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy.
Dxy
Q y
R z
=3
（2） Pdydz Qdzdx Rdxdy
divAdv 3dv 108
练习题
1. 设∑是球面x2 + y2 + z2 = a2 的外侧，则向量场
A
{3 xy 2 ,2
y3,
z}
通过∑的通量为
__43___a_3___
dydz cosdS,
曲面Σ：f(x,y,z)=z2+y2-1=0,
dzdx cosdS,
fx=0, fy=2y, fz=2z, 法向量：n (0, y, z),
dxdy cos dS
cos
|
ny
, |
z cos | n |
( y2z z3 )dS zdS
求单位时间内流过曲面Σ 的流量。
在Σ 上任取一小曲面dS,
在dS上任一点处的单位法向
量为：n0 {cos,cos,cos }
dS
则单位时间内流过dS的流量： d
(
A
n0
)dS
[P( x, y, z)cos Q( x, y, z)cos R( x, y, z)cos ]dS
第六节 Gauss公式、通量与散度
1 lim S →M V
vn dS = ( ∂X + ∂Y + ∂Z )( x, y, z ) ∫∫ ∂x ∂y ∂z S
上式左端的极限称为向量场 v 在点 M ( x, y, z ) 处的散度， 处的散度， 记作 divv. 即
Σ1取上侧， 取上侧，
⋅h
Σ
构成封闭曲面， Σ + Σ1构成封闭曲面， Σ + Σ1围成空间区域 Ω .
在Ω上使用高斯公式 ,
Dxy
o
y
x
z
Σ + Σ1
( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ∫∫
Σ1
⋅h
Σ
= 2 ∫∫∫ ( x + y + z )dv
Ω
Dxy
1 ∂X ∂Y ∂Z = + + ) 应用积分中值定理， 应用积分中值定理， ( ∂x ∂y ∂z (ξ ,η ,ζ ) V 1 lim S →M V
∫∫ v dS
n S
令V 缩成一点 M (x, y, z), 此时 (ξ ,η , ζ ) → ( x, y, z ), 因此
∂X ∂Y ∂Z ∫∫ vn dS = ( ∂x + ∂y + ∂z )( x, y, z ) S
∂X ∂Y ∂Z 由高斯公式， 由高斯公式， ∫∫∫ ( + + )dV = ∂x ∂y ∂z V
∫∫ v dS
n S
由此得
1 V
∂X ∂Y ∂Z 1 ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dV = V V
∫∫ v dS
n S
单位时间单位体积所 产生流体量的平均值
大学经典课件之高等数学——10-6高斯公式与散度
其中 Σ 是以原点为中心，边长为 体的整个表面的外侧。
a 的轴向正方
解:
由高斯公式
I = ∫∫∫ (1 + 1 + 1) dxdydz
Ω
zΣ
Σ1上
3后
Σ 2左 Σ 2右 y Σ1下
x
Σ 3前
= 3 ∫∫∫ dxdydz = 3a 3
Ω
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例 3：计算 I = ∫∫ ( x 2 cosα + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ，其中 Σ 为
= −2πR 3
xy
I 2 = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy =
+ Σ1
∴ I = −2πR
2
∫∫ 0dxdy D
=0
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例5. 计算曲面积分
x y z I = ∫∫ 3 d y d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r
二阶连续偏导数，证明 ∂v ∂u ∂ v ∂ u ∂v ∂u ∂ v r ∫∫∫ uΔvdxdydz = ∫∫ u ∂n dS − ∫∫∫ ( ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z )dxdydz , Ω ∑ Ω
∂v 其中Σ 是闭区域 Ω 的整个边界曲面，取外侧， r 为函数 ∂n v ( x , y , z )沿Σ 的外法线方向的方向导数.
z
解2 加辅助平面，用高斯公式 1 I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy R Σ下 1 1 = [ ∫∫ − ∫∫ ] = [ I1 − I 2 ] R Σ +Σ+ Σ+ R