散度与高斯公式
10-6第六节 高斯公式与散度
-3-
Dxy
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
∂R 所以 ∫∫∫ ∂z dxd ydz = ∫∫ Rdxd y Σ Ω 若 Ω 是 其它类型区域 , 则可引进辅助面 相应的区域, 将其分割成若干个 相应的区域 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 正反两侧面积分正负抵消 故上式仍成立 . 类似可证 ∂Q ∂P ∫∫∫ ∂x dxd ydz= ∫∫ Pd ydz ∫∫∫ ∂y dxd ydz= ∫∫Qdzdx Ω Σ Ω Σ
三式相加, 公式： 三式相加 即得所证 Gauss 公式： ∂P ∂Q ∂R ∫∫∫( ∂x + ∂y + ∂z )dxd ydz Ω = ∫∫ Pd ydz +Qdzd x + Rd xdy
Σ
-4-
第六节
高斯公式与散度
第六节
高斯公式与散度
例1 计算曲面积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
( x 2 − yz )dydz + ( y 2 − xz )dzdx + ( z 2 − xy )dxdy ∫∫
表面外侧。 其中 Σ 长方体 Ω : 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c 表面外侧。
Σ
P = x − yz , Q = y − xz , R = z 2 − xy ,
Σ
- 10 -
第六节
高斯公式与散度
∂v ∂v ∂v 证:令 P = u , Q= u , R= u , 由高斯公式得 = = ∂x ∂y ∂z
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
第六节
高斯公式与散度
∂2v ∂2v ∂2v 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
高斯散度定理公式
高斯散度定理公式
高斯散度定理公式是∫∫（(əQ/əx)-(əP/əy)）dxdy。
散度定理又称为高斯散度定理、高斯公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。
散度定理经常应用于矢量分析中。
矢量场的散度在体积τ上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面s上的面积分。
在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。
然而，它可以推广到任意维数。
在一维，它等价于微积分基本定理；在二维，它等价于格林公式。
散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处流散开来程度的量。
从定义中还可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量。
微积分高斯公式与散度
一、高斯（Gauss）公式
定理：设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成，
函数 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在 上具有 一阶连续偏导数，则有公式：
P Q R
( )dV Pdydz Qdzdx Rdxdy.
x y z
Байду номын сангаас
其中 表示 的边界曲面的外侧。
3
其中 为柱面 x 2 y 2 1及
平面 z 0 z 3，所围成的空
间闭区域 的整个边界曲面
o1
y
1
的外侧。
x
例2、计算曲面积分
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
z
其中 为锥面 x2 y2 z2介于平
h
面 z 0，z h (h 0)之间的部分的下侧，
3 :
取外侧。
（1）高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系；
（2）使用高斯公式时的注意事项：
① P,Q, R分别是对什么变量求偏导数；
②是否满足高斯公式的条件；
③ 取的是闭曲面的外侧。
二、高斯公式的应用
例1、计算曲面积分
z
( x y)dxdy ( y z)xdydz
x 2 yz 2dydz xy2 z 2dzdx z(1 xyz)dxdy V . S
div F dV F d S
设M 为场内一点，为包围点 M的任一闭曲面，其
所围区域 位于场内。则
F d S
表示单位时间内通过 流向外部的流体
的总质量，即流量或通量。
其中：F ( x, y, z) 为密度为1的不可压缩流体的稳定速度场；
第四章 曲线积分与曲面积分 第六节 高斯公式与散度
1 2 3 , 1 : z z1 ( x , y ) ,
第 十则 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
2 : z z2 ( x , y ),
z
z
z d x d y d z d x d y z ( x , y )
1
R
z2 ( x , y ) R
流速场，穿过有向曲面 的流量
v n dS
电位移为 D
电场，穿过有向曲面 的电通量
磁感应强度为 B 磁场，穿过有向曲面 B dS B n dS
D dS
D n dS
2 ( x y z )dxdydz h dS
2
2
, 0, z h
Dxy
z
1
h
2
2
d
0
0
h
d zdz h 4
h
h 2
1
4
o x
y
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第六节
高斯公式与散度
例5 设函数
在闭区域 上具有一阶和
x v Qu y v Ru z
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
第 十 章
曲 线 积 分 u v u v u v ( d x d y d z 与 x x y y z z 曲 面 其中 是整个 边界面的外侧. 积 P Q R 分 分析: 高斯公式 d x d ydz x y z
高斯公式散度
高斯公式散度
高斯公式是物理学中的一个重要定理，用于计算三维空间中任意区域的散度。
散度描述了一个向量场的源汇性质，即矢量场中的流量增加或减少的速率。
高斯公式的数学表达为：对于一个闭合曲面S，曲面内无任何漏洞或孔隙，且向外指向为正。
如果向量场F在曲面S的每一点都是连续可导的，那么该向量场经过曲面S的总流量等于该向量场在曲面S 内的散度与曲面S的体积积分之和。
即∮F·dS = ∭div(F)dV
其中，F为向量场，dS为曲面面积元素的矢量微元，div(F)为F 的散度，dV为体积元素。
通过高斯公式，我们可以将原本需要对整个体积进行积分的问题，转化为只需要对曲面上的散度进行积分的问题。
这简化了很多计算过程。
高斯公式在物理学中的应用非常广泛，例如在电磁学中用于计算电场、磁场的通量，以及在流体力学中用于计算流体的体积流量等。
它为我们研究各种物理现象提供了强大的数学工具。
散度形式高斯公式证明
散度形式高斯公式证明一、高斯公式的散度形式。
高斯公式的散度形式表述为：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面§igma所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有。
∭_Ω((∂ P)/(∂ x)+(∂ Q)/(∂ y)+(∂ R)/(∂ z))dV = ∬_§igmaPdydz + Qdzdx+Rdxdy二、证明思路。
1. 用微元法进行分析。
- 把闭区域Ω分割成许多小闭区域。
考虑一个小闭区域Δ V，其边界曲面为Δ§igma。
- 设小闭区域Δ V在点(x,y,z)处的体积为Δ V，Δ§igma的外法线方向的单位向量为→n=(cosα,cosβ,cosγ)。
2. 对P分量进行分析。
- 根据通量的概念，向量场→A = P→i+Q→j+R→k通过Δ§igma的通量ΔvarPhi中关于P的部分为∬_Δ§igmaP→i·→ndS=∬_Δ§igmaPcosα dS。
- 由高斯公式的物理意义（通量与散度的关系），在小闭区域Δ V内，P对通量的贡献近似为((∂ P)/(∂ x))Δ V（这里是利用了散度的定义div→A=(∂ P)/(∂ x)+(∂ Q)/(∂ y)+(∂ R)/(∂ z)，当只考虑P分量时，其散度的主要部分为(∂ P)/(∂ x)）。
- 当Δ Vto0时，精确地有∬_Δ§igmaPcosα dS = ((∂ P)/(∂ x))Δ V。
3. 同理对Q和R分量进行分析。
- 对于Q，有∬_Δ§igmaQcosβ dS = ((∂ Q)/(∂ y))Δ V。
- 对于R，有∬_Δ§igmaRcosγ dS = ((∂ R)/(∂ z))Δ V。
4. 对整个闭区域Ω和闭曲面§igma进行分析。
- 将所有小闭区域的上述关系相加。
对于整个闭区域Ω，其被分割成了n个小闭区域Δ V_i，i = 1,2,·s,n。
散度与高斯公式
，
其中 是锥面 z2 x2 y2 介于 z 0 和 z 2 两平面间
的部分取上侧。
不是封闭曲面，能否直接用高斯公式？
z
解：添补平面 1 : z 2, ( x2 y2 4) ，
取下侧；
1 z 2
则 1 是一个封闭曲面的内侧， 可用 Gauss 公式求解。
Ò Gauss
8
,
1
udivA A gardu.
10.5 散度与高斯公式
例 1．设点电荷 q 位于 坐标原点，它在真空中产生一电场，
场中任一点 M(
r
{
x,
y,
z}
，
r
x,
y, r
z) 处的电场强度
E
1
4
q r2
r
（
r
r r
，
），求场中点 M 处电场强度 E 的 散度。
divE
P x
Q y
R z
由高斯公式得：
Ò
r F
dA
(
P x
Q y
R z
)dv
，
再由积分中值定理可以得到散度的计算公式：
P Q R x y z
r
r
故高斯公式可以表示为： Ò F dA divFdv 。
Gauss 公式建立了曲面积分与三重积分之间的联系，
其物理意义为：一区域中总散度等于通过边界的通量。
9
10.5 散度与高斯公式
体积为 ΔV ，直径为 d，且取外侧，如果当 d 0 时，
比式 r
1 V
r
Ò F(M ) dA的极限存在，则称此极限为向量场
r
F (M ) 在点 M 处的散度，记为 divF (M ) ，即
高斯公式流量与散度
一、高斯公式
证明
先证明 设闭区域Ω在xOy面上的投影区域为Dxy.假设穿过Ω内部 且平行于z轴的直线与Ω的边界曲面Σ的交点恰好是两个，即其 边界曲面Σ由曲面
及以垂直于Dxy边界的柱面Σ3组成（见图10-18），其中Σ1取下
高斯公式可写成 上述公式表明，向量场A通过闭曲面Σ流向外侧的流量等于 向量场A的散度在闭曲面Σ所围闭区域Ω上的积分.
二、向量场的流量与散度
【例4】
求向量场
穿过曲面
流向外侧的流量.
解设
为Σ上任何一点的切平面的法向量，则由高斯公式知所求的
流量为
谢谢聆听
二、向量场的流量与散度
设区域的体积为V，则
表示单位时间内区域Ω内单位体积流体的平均发散量,即平均散度. 令Ω收缩到一点M（ x,y,z ），若极限
存在，则称此极限值为向量场A在点M的散度，记为di有向量场
其中函数P，Q，R均具有一阶连续偏导数，Σ是场内的一片有向 曲面，n是Σ在点x,y,z处的单位法向量，则积分
称为向量场A通过曲面Σ向着指定侧的流量（或通量）.如果A是定 常流体（假定密度为1）的速度，则|Q|表示单位时间内穿过Σ流 体的质量.如果Σ是闭曲面，则表示单位时间内通过闭曲面Σ的流体 的质量，它是从Σ流出的流体的质量与流入Σ的流体的质量之差， 表示单位时间内流体从Σ包围的区域Ω内部向外发出的总质量.
一、高斯公式
注意
对于一般的空间有界闭区域高斯公式均成立.若曲面 Σ与平行于坐标轴的直线的交点多于两个，则用有限个 光滑的曲面将Ω分为有限个满足条件的小闭区域来讨论.
一、高斯公式
【例1】
求 及半球面
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则 uA {uP , uQ, uR} ，
div(uA)
(uP )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(uQ )
( uR )
x
y
z
u P P u u Q Q u u R R u x x y y z z
u( P Q R ) ( u P u Q u R) x y z x y z
的外侧单位法向量， 所围成的区域为Ω 。
总流量 流出的流量—流入的流量。
0 ，流出大于流入，表明 内有“源”；
0 ，流出小于流入，表明 内有“洞”；
0 ，流出等于流入。
10
比式 1 V
v
ndS
表示区域 内有“源”与有“洞”
的平均状态，称为流速场 v 在 内的平均强源；
F(M ) dA
8
d 0 V
2、散度的计算公式：
由高斯公式得：
F
dA
(
P x
Q y
R z
)dv
，
再由积分中值定理可以得到散度的计算公式：
divF(M ) lim 1
P Q R F(M ) dA
d 0 V
由 Gauss 公式得
1 I a2
3( x2 y2 z2 )dxdydz
1 a2
2
d d
0
0
a 3r 2r 2 sin dr
0
12 a3 .
5
6
使用Guass公式时应注意: 是否满足高斯公式的条件?
1． P, Q, R 是否有一阶连续偏导数，又是分别对 什么变量求偏导数。
dv y
Qdz
dx
x
Rdv z
?
Rdx
dy
( )dxdy
Dxy
二．3 一般区域的情形：分块，利用积分可加性
二、应用Gauss公式解题
例1． 计算 I y( x z)dy dz x2dz dx ( y2 xz)dx dy ，
Gauss
8
,
1
3
I 40 .
3
16
1
Dxy
2y
2
x
5
例 3．
计算 I
x3dy
dz
y3dz dx x2 y2 z2
z 3dx
dy
，
是
x2 y2 z2 a2 的内侧。
解： I
x3dy dz y3dz dx z3dx dy a2
，
其中 是锥面 z2 x2 y2 介于 z 0 和 z 2 两平面间
的部分取上侧。
不是封闭曲面，能否直接用高斯公式？
z
解：添补平面 1 : z 2, ( x 2 y2 4) ，
取下侧；
1 z 2
则 1 是一个封闭曲面的内侧， 可用 Gauss 公式求解。
udivA A gardu.
x y z
故高斯公式可以表示为： F dA divFdv 。
Gauss 公式建立了曲面积分与三重积分之间的联系，
其物理意义为：一区域中总散度等于通过边界的通量。
9
下面以流量问题为背景，分析散度的物理意义：
设一稳定的不可压缩的流体速度场为
v(
x,
y,
z)
，流过
有向封闭曲面 外侧的流量 v ndS ，其中n 为
（1） div(aA bB) adivA bdivB ，其中 a,b 是常数。
（2）若 u( x, y, z) 的梯度存在，则 div(uA) udivA A gardu 。
证明：仅证(2). 设 A {P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} ，
其中是正六面体的外侧（如图所示）。z
解： P y( x z) , Q x2 , R y2 xz ， a
P Q R y x ， x y z
答案： a4
4
5 2
4 o
1
a
3
ay
6
x
例
2
计算 I
2(
x 2
x2 )dy dz 8xydz dx 4x( x z)dx dy
divA M 则表示在点 M 处有“源”与有“洞”的状态：
divv M 0 ，则表示该点处有“正源”；
divv M 0 ，则表示该点处有“负源（洞）”；
divv M 表示该点处“源”与“洞”的强度。
如果 divv(M ) 在场内处处等于零，则称向量场v 为无源场。
11
3、散度的性质
2．Σ 是分片光滑闭曲面，取外侧。
思考题：计算积分 I y ln rdy dz x ln rdz dx zdx dy ，
其中 是椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 的外侧， r
x2 y2 z2 。
7
三、散度
1、定义 设有连续向量场 F ( M ) (M 3R，)点 M ，
dx
Rdx
dy
(
x
y
z
)dv
Gauss 公式的实质：
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲
面上的第二型曲面积分之间的关系.
2
证明 （类比:格林公式的证明思路） z
2
一．考虑简单区域的情形：
分项处理
P ?
x
dv
Pdy dz
Q ?
1
o
Dxy
y
任何包围点 M 的闭曲面 Δ R3 ，设 所围的区域为 ΔΩ ，
体积为 ΔV ，直径为 d，且取外侧，如果当 d 0 时，
比式 1
F(M ) dA的极限存在，则称此极限为向量场
V
F (M ) 在点 M 处的散度，记为 divF (M ) ，即
1
divF(M ) lim
10.5 散度与高斯公式
一、定理（Gauss Th）
设（1） 是分片光滑闭曲面， 是 围成的空间闭区域，
（2） 取外侧，
（3）函数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 在 上
具有一阶连续偏导数，
P Q R
Pdy
dz
Qdz